等差等比数列性质总结
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6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧：
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ）； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ）
8..等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列． （2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。 （4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
即 当 a1 0，d 0，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值．
或求 an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对
称轴最近的整数时， Sn 取最大值（或最小值）。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
S奇 S偶
n 1 n
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
等比、等差数列性质总结
等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差等比数列性质总结
等差等比数列性质总结一、等差数列1、定义：等差数列是指在数列中任意两项之间的差值相等的数列。
2、正则式：若等差数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，n为正整数，则其等差数列正则式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$3、数列函数：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，则其函数形式为：$$f(x)=a_1+(x-1)d$$4、首项和公差：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之差为公差d，则$$d = \left( {a_2 - a_1} \right) = \left( {a_3 - a_2} \right) = \left( {a_n - a_{n - 1}} \right)$$5、求和公式：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，公差为d，n为正整数，则$a_1$+$a_2$+$a_3$+……+$a_n$的和$$S_n=n \cdot a_1 + \frac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot d$$二、等比数列1、定义：等比数列是指在数列中任意两项之比都相等的数列。
2、正则式：若等比数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公比为q，n为正整数，则其等比数列正则式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$3、数列函数：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的第一项为$a_1$，公比为q，则其函数形式为：$$f(x)=a_1q^{x-1}$$4、首项和公比：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之比为公比q，则。
等差、等比数列的性质总结
等差、等比数列的性质总结(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除等差数列的性质总结1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
数列的等差数列与等比数列知识点总结
数列的等差数列与等比数列知识点总结数列是数学中经常出现的概念，它是按照一定规律排列的一组数的集合。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将对等差数列和等比数列的基本概念、性质、求和公式以及应用进行总结。
一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的基本概念等差数列中，每一项与它的前一项的差值都相等，这个差值称为公差。
等差数列可以是正差、零差或负差的数列。
2. 等差数列的性质（1）首项和末项之和等于中间项之和的两倍：a1 + an = 2Sn，其中Sn表示前n项和。
（2）任意一项与首项之和等于任意一项与末项之和：ai + aj = a1 + an。
（3）等差数列的前n项和Sn等于首项与末项之和乘以项数的一半：Sn = (a1 + an) × n / 2。
3. 求等差数列的和求解等差数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，其中n 为项数。
4. 等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，如金融投资、房贷分期还款等均可以利用等差数列的性质进行计算。
二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比均相等的数列。
用通项公式表示为：an = a1 × r^(n-1)，其中an表示第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的基本概念等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
等比数列可以是正比、零比或负比的数列。
2. 等比数列的性质（1）相邻两项之商等于任意一项与首项之商等于任意一项与末项之商：ai/aj = a1/ai = ai/an。
（2）等比数列的前n项和Sn等于首项与末项之差除以公比减1：Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)。
3. 求等比数列的和求解等比数列的和可以利用求和公式Sn = (a1 - an × r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
等差等比数列性质总结.doc
等差数列性质总结1. 等差数列的定义式： a n a n 1 d （ d 为常数）（ n 2 ）； 2．等差数列通项公式：a n a 1 (n 1)d dn a 1 d ( nN *)，首项 : a 1 ，公差 :d ，末项 : a n推广： a na m ( n m)d ．从而 da nam ；n m3．等差中项（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．即： a b A2或 2 A a b（2）等差中项：数列 a n 是等差数列 2a nan -1a n 1 (n 2, n N + )2a n 1 a n a n 24．等差数列的前 n 项和公式：S n n( a 1 a n )na 1 n(n 1) dd n 2 (a 11 d)nAn 2Bn2222（其中 A 、B 是常数，所以当 d ≠ 0时， S n 是关于 n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数 2n 1 时， a n 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项S2n 12n 1 a 1a2 n 12n 1 a n 1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间2项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若 a n a n 1（2） 等差中项：数列 a n⑶数列 a n 是等差数列（4）数列 a n 是等差数列d 或 a n 1 a n d ( 常数 nN ) a n 是等差数列． 是等差数列 2a n an-1 a n 1 (n 2)2a n 1 a n a n 2 ．a n knb （其中 k ,b 是常数）。
S nAn 2 Bn , （其中 A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若 a n a n 1d 或 a n 1 a nd ( 常数 n N )a n 是等差数列等差中项性质法： 2a n a n-1a n 1(n2， n N ) ．7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a 1 、d 、n 、 a n 及 S n ，其中 a 1 、d 称作为基本元素。
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等差数列性质总结1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +⇔=+≥∈212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：①一般可设通项1(1)n a a n d =+-②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅，（4）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列 (5) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（6）数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等差数列（7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶()11n n n n n S S na na n a a d ++-=-=-=偶奇11n n n nS na aS na a ++==偶奇当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S S n a S n a n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==+⎪⎪⎩⎩偶n+1n+1奇偶奇n+1n+1奇偶偶奇（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．（8）{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n nAf n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （9）等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m+n 项和()m n S m n +=-+a ,,n m m a n ==则a 0n m +=(10)求n S 的最值法一：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。
即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．或求{}n a 中正负分界项 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和d 的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．等比数列性质1. 等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比2. 通项公式：()11110,0n n n n aa a q q A B a q A B q -===⋅⋅≠⋅≠， 首项：1a ；公比：q推广：n mn m a a q -=， 从而得n m nm a q a -=3. 等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅ 4. 等比数列的前n 项和n S公式：(1) 当1q =时， 1n S na =(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS q q --==--11''11n n n a aq A A B A B A q q =-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3） 通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等差，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q -===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q --==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n ms t a a a a ⋅=⋅.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n ka ,{}n k a ⋅,{}kn a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n na b (k 为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++⋅⋅⋅)仍为等比数列 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列(7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12na a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 122n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 21223n n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列(9) ①当1q >时， ②当1q <0<时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列，则为递减数列,110{}0{}{n n a a a a ><，则为递减数列，则为递增数列③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,1S S q =奇偶,.(11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅。