线性相关线性相关等价命题
线性相关线性相关等价命题
(5) 如果向量组 A : a1 , a2 ,……, am 线性无关，
而向量组 B: a1 , a2 ,……, am , b 线性相关, 那么 向量 b 可由向量组 A 线性表示, 且表法唯一. m R(a1 , a2 , L , am ) R(a1 , a2 , L , am , b) m 1
有非零解.
秩 R (A) < m
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
x1a1 x2a2 xmam 0
秩 R (A) = m
只有零解.
Ax 0 只有零解
线性相关性的判定（秩法）
向量组 A: 1， 2 , L ，m
2 , L ，m ) 矩阵 A = ( 1， 2 , L ，m 线性无关 若秩 R (A) = m, 1， 2 , L ，m 线性相关 若秩 R (A) < m, 1，
T T T
的相关性
T 解: 1 2 1 1 （1， 0， 2） T 线性无关 （ 2,1 ， 2 ） 0 1 2 40 2 T 2 2 2 3 （1, 2， 2）
1， 2 , 3 线性无关.
必线性相关. (4) 向量个数大于向量维数，
特别有n +1 个 n 维向量，必线性相关.
作业：
P100 4,5,6
必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k1 1 k2 2 km m 0. 因k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。
当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
06高数—— 向量组的线性相关性知识点速记
向量组的线性相关性1、n 维向量由n 个数组成的有序数组()12,,,n a a a 称作一个n 维向量，记作()12,,,n a a a α= ，其中i a 称作α的第i 个坐标。
设()12,,,n a a a α= ，()12,,,n b b b β= ，当()1,2,,i i a i n b == 时，称α与β相等，记作αβ=。
称()12,,,n a a a α= 为n 维列向量，αT 为n 维行向量。
分量全为0的向量称为零向量。
向量()12,,,n a a a α= 的各分量的相反数所组成的向量，称为α的负向量，记作α-，即()12,,n a a a α=---- 。
向量加法定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ+=+++ ；向量减法定义：()()1122,,,n n a b a b a b αβαβ-=+-=--- 。
向量α与数乘积定义；k 为任意实数，则()12,,,n k k k k αααα= n 维向量的加法和数乘运算满足下面性质（设α、β、γ表示n 维向量，k 、l 表示数量）。
（1）αββα+=+；（2）()()αβγαβγ++=++；（3）0αα+=；（4）()0αα+-=；（5）()k k k αβαβ+=+；（6）()k l k l ααα+=+。
2、向量的线性表示设12,,,s ααα ，β均为n 维向量，若存在一组数12,,,s k k k ，使得1122k k αβα=+++ s s k α，则称向量β是向量组12,,,s ααα 的一个线性组合，也称向量β可由向量组12,,,s ααα 线性表示。
3、向量组的线性相关性对于m 个n 维向量12,,,m ααα ，若存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ，则称这m 个向量线性相关；否则，称它们线性无关。
通过线性相关和线性无关的定义可推出：（1）单独一个0向量，线性相关；高 数向量组的线性相关性知识点速记（2）含有0向量的向量组，线性相关；（3）单独一个非0向量，线性无关；（4）由n 个标准单位向量()11,0,0,,0=ε ，()20,1,0,,0=ε ，…，()0,,0,1n =ε 组成的向量组，线性无关。
线性代数期末考试复习资料
推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
12
如果向量组1, 2 L
则方程组有向量形式 x11 x22 L xnn b 7
2.2 向量的线性关系
定义2.4 设有同维向量1,2 ,L ,n , ，如果存在
一组数 k1, k2 ,L , kn ，使得 k11 k22 L knn 成立，
则称向量 可由向量组 1,2 ,L ,n 线性表示，或称向量
是向量组 1,2 ,L ,n 的线性组合。
26
向量组的等价
如果向量组A 可由向量组B线性表示，且B 可由A线性表示，则称A与B等价。
（1） 自反性：任何向量组都与自身等价。
性
质
（2） 对称性： 如果向量组A与B 等价，则B
与A等价。
（3） 传递性： 如果向量组A与B等价，B与C 等价，则A与C等价。
相互等价的线性无关向量组含有相同的向量个数
设A Amn , R( A) r n, 则方程组 Ax 0的基础解系含有n - r个解向量。
基础解系： 1，2 ,L nr
通解定义2.11 x k11 k22 L knr nr
k1, k2 ,L
kn
为任意实数
r
下面来看如何求齐次线性方程组的通解(书上P61)。
30
非齐次线性方程组
a11x1a12 x 2 L a1n xn b1
1
2
3
4
证明向量组线性相关性的几种方法
方 程 组法就 是将 讨 论 向量进 的线性 相关 性 转化 为 讨论
线性 方程 组解 的情 况 ， 即强 调运 用 下面的命 题进 行讨 论 ：
定 理 ： 量 组 ａ ， ： … … ， ， 性 相 关 的 充 要 条 件 是 向 。ａ ， ａ 线 以 ａ ，：…… ，， 系数 列 向量的 齐次 线性 方 程组 有 非零 。ａ ， ａ 为 解 ； 线 性 无 关 充 要 条 件 是 以 ａ ，： … … ， ，为 系 数 列 向 而 。ａ ， ａ 量 的齐 次线性 方 程在不全为061山东电大学报证明向量组线性相关性的几种方法牝5时由卜1有f矿妁划从而a3可由ai口2表示为嘞ai2a2解
维普资讯
山 东电 大 学报
２０ ０ ２年 第 ２期
证 明 向 量 组 线 性 相 关 性 的 几 种 方 法
鼠（ ｐ ｌ十 ） ３ ｌ＋ （ ｌ十 ） ２ ２＋ （ ２十 ３ ） ＝０ ３
这 与 ｄ１ ｄ ， ２＋ｄ ， ｌ＋ｄ 线 性 无 关 的 条 件 矛 盾 。 ＋ ２ｄ ３ｄ ３
二 、 程 组法 方
则 称 向 量 组 ａ ，： … … ， 性 相 关 ： 则 ， 称 向 量 。ａ ， ａ线 否 就 组 ｄ ，２ … … ， 性 无 关 。 ｌｄ ， ｄ线 在 等 价 定 义 中 ， 理 解 定 义 的 内涵 和 外 延 。 要 现 举 例说 明如 下： 例 １证明 ：ｌ ２ｄ ： ｄ ＋ｄ ，２＋ｄ ， ｌ ３ 性 无 关 的 充 分 必 ３ ｄ ＋ｄ 线 要 条 件 是 ａ ，： ａ 线 性 无 关 。 。ａ ， ，
ｌ ＋ ３ ＝ ０ ｌ ＋ ２ ＝ ０ ２＋ ＝ ０
易 知 上 齐 次 线 性 方 程 只 有 唯 一 零 解 ： ：＝ ，：０ 。＝ ， 所 以 ｌ＋ ２ ２＋ ３ ｌ＋ ３ 性 无 关 。 ， ， 线
线性代数
思考· ：能否给出一个线性无关的充要条件？
三、向量组线性相关性的判定
由定理1及矩阵的秩可以得到如下一个很 实用的线性相关性判定定理： a1 j 补充定理 设有列向量组 j
a2 j a nj
( j 1,2,, s ),
则向量组 1 , 2 ,, s 线性相关的充要条件是: 矩阵 A (1 , 2 ,, s ) 的秩小于向量的个数 s. 证 （由于矩阵A的某一列可全化为零）
二、线性相关性的概念
定义8 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
成立. 因而存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,, kr ,0,,0
使 k1 1 k2 2 kr r 0 r 1 0 n o 成立, 即 1 , 可叙述如下:
线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关. 例如, 含有零向量的向量组线性相关.
因零向量线性相关, 由定理可知, 该向量组也线性相关.
定理4
a1 j a1 j a2 j a2 j j , b j , ( j 1,2,, m ), a rj a rj a r 1, j 即 j 添上一个分量后得向量 b j .若向量组 A： 1 , 2 ,
1 a3 2 , 4
2a1 a2 a3 0,
因此 a1 , a2 , a3 是3个线性相关的3维向量.
线性代数总结
第一章1、矩阵乘法矩阵乘法通常满足分配律而一般不满足交换律即AB!=BAf(x),g(x)为多项式，有：f(A)g(A)=g(A)f(A)f(A)g(B)!=g(B)f(A)2、矩阵的转置（A+B)^T=A^T+B^T （AB)^T=B^TA^T（kA)^T=kA^T（A^T)^T=A若A^t=-A 称A为反对称矩阵（斜对称矩阵）任意n阶方阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和。
3、矩阵的初等变换4、逆矩阵B唯一，B的逆为A。
(AB)^(-1）=B^(-1)A^(-1）(kA)^(-1）=（1/k)A^(-1）①A可逆②AX=0只有零解③Ab=0有唯一解〔①、③即为克拉默法则〕④A≌Ⅰ（等价）最简判断方法：det!=0逆矩阵求法：（A , I）—→（I , A^(-1））5、分块矩阵（注意使用即可）第二章1、性质（①、②为矩阵的某两行）某一行全为零，det=0某两行对应元成比例，则det=0 ①→k·①，则det→k·det①→k·②+①，则det不变①←→②，则det→（-det）detA=det（A^T）detA^-1=1/detAdetAB…N=detAdetB……detN det（kA）=k^n（detA）#伴随矩阵的性质y推导基础：AA*=A*A=（detA）Ⅰ若A可逆，则A^(-1) = (1/detA)A* det(A*）=（detA)^(n-1）(kA)*=k^(n-1）A*(A*)^(-1）= A^(-1)*(A^T)* =（A*)^T(AB)* = B*A*(A*)*=(detA)^(n-2) Ar(A*)={n(rA=n),1(rA=n-1),0(rA<n-1)} 2、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，零矩阵的秩为0。
性质：A可逆←→R（A）=nR（A）=0←→A=0R（A）=R（A^T）k≠0时，R（kA）=R（A）若P,Q为可逆矩阵，则R（A）=R（PA）=R（AQ）=R（PAQ）A≌B←→R（A）=R（B）（1) 有：初等变换不改变矩阵的秩经过行初等变化把矩阵换为行最简，即可得到秩。
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证二：令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R(B) R( AK) R( A) 3,
所以向量组 b1 a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
定义
设有向量组 A : a1, a2,L L , am 如果存在不全为零的数 k1, k2 ,, km使
k1a1 k2a2 kmam 0 () 则称向量组 A 是线性相关的.
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当
k1 k2 L L km 0 时，才能使(＊)式成立，
x1 x1
x2
x3
0 0
101 Q1 1 0 20
x2 x3 0 0 1 1 x1 = 0， x2 = 0，x3 = 0
向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
则称向量组 A 是线性无关的.
说明：
线性相关
等价命题： 任一非零向量 线性无关.
1， 2线性相关 对应分量成比例.
含零向量的向量组 必线性相关.
k α 0 k 0或者α 0 1 k 2 1 k 2 0
线性相关性的判定（定义法）
1 3, 2 1, 3 2
4
1
3 1 2 3
1, 2 , 3共 面 不 全 为0的 数k1, k2 , k3
st. k11 k22 k33 0
共面 线性相关
不共面 线性无关
,
a3
7
的线性相关性.
1
3
0
解：
1 1 2 r3 r1
a1, a2, a3
2
1
1 3
7 0
r2 r3
2r1 2 3 r2
知 R( a1 , a2 , a3 ) = 2 < 3,
所以向量组 a1 , a2 , a3 线性相关.
例8
已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关.
证一 设有数 x1 , x2 , x3 使 x1b1 x2b2 x3b3 0 也就是
向量组 a1 , a2 , a3 线性无关 ,
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0 有非零解.
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
秩 R (A) < m
定理 2
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性无关
x1a1 x2a2 xmam 0 只有零解.
例9
b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1,
证三： 令A (a1, a2 , a3 ), B (b1, b2, b3 ),
令Bx 0, 即AKx 0
B1 A0 K1
因a1 , a2 , a3 线性无关
, Kx 0
K
1
1
0
K 2, R(K ) 3, x 0
0 1 1
所以向量组 b1 ,b2 ,b3 线性无关.
Ax 0 只有零解
秩 R (A) = m
线性相关性的判定（秩法）
向量组 A: 1，2 ,L ，m 矩阵 A = ( 1，2 ,L ，m )
若秩 R (A) = m, 1，2 ,L ，m 线性无关 若秩 R (A) < m, 1，2 ,L ，m 线性相关
例 5 讨论向量组
所 以 向 量 组a1, a2, a3 线 性 相 关 ．
例4
1 0 0
讨论
E
:
e1
0
,
e2
1
,
e3
0
的线性相关性.
解：
0 0 1
设有数 x1, x2, x3, 使得
x1e1 x2e2 x3e3 0
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
2
的线性相关性.
解：
1
2
4
设有数 x1, x2, x3, 使 得 x1a1 x2a2 x3a3 0
1 1 1 1 0 2
Q
0
1
2 2
2
4
r
~
0
0
1 0
1
0
2a1 a2 a3 0
§5.2 线性相关和线性无关
1 3
例1
1 2, 2 6
3
9
2 31
1与2共 线 不 全 为 零 的 数 k1, k2
st. k11 k22 0
共线 线性相关
不共线 线性无关
2 1 1
例2
1
a1
0
,
解： 0
1
a2
1
,
0
1
a3
1
的线性相关性.
1
因为R (A ) = 3 ， 向量组 a1 , a2 , a3是线性无关的.
例 6 讨论向量组
1 1 2
a1
2
,
a2
1
解齐次线性方程组 x11 x22 L xmm 0 （1）
若（1）只有唯一零解， 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性无关
若（1）有非零解 判定向量组 1，2 ,L ，m 线性相关
例3
1 1 1
讨论
a1
0
,
a2
2
,
a3