现代控制理论 3-1 可控可观的概念 3-2 线性系统的可控性 (上)
现代控制理论3 第三章 线性系统的可控性和可观测性
A'
0
0
0
a0 a1 a2
0
0 可
0
0
B'
控 标
1
an1
0 1
准 形
AT=A’
BT=B’
0 0 0 1 0 0 A 0 1 0
a0
a1
C 0
0 1
0 0
a2
可观标准形
1 an1
结论：状态方程具有可观测标准形的系统一定可观测。
C 0 0
CA
0
0
V
CA2
3.2线性定常系统的可观测性
1．线性定常离散系统状态可观测性
(1) 离散系统可观测定义
x(k 1) Gx(k) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
已知输入u(0)，…，u(n－1)的情况下，通过在
有限个采样周期内测量到的输出y(0)，y(1)，…， y(n-1)，能唯一地确定任意初始状态x(0)的n个分量， 则称系统是完全可观测的，简称系统可观测。
(2) 线性定常连续系统可控性判据
若线性定常连续系统的状态方程为
x Ax Bu
则该系统可控的充分必要条件为其可控性矩阵
Sc B AB
满秩，即 rankSc n
An1B
示例
(3) 可控标准形
结论：状态方程具有可控标准形的系统一定可控。
x1 0
x2
0
xn
1
0
xn a0
使上述方程组有解的充分必要条件是
Sc' Gn1H
GH H
满秩，且 rankSc' n
亦即 Sc H GH
Gn1H 且rankSc n
离散可控性例题
现代控制理论 3-3 线性系统的可观性 3-4 可控可观标准型
返回
说说 明明
⎧x&(t) = Ax(t) ⎩⎨y(t) = Cx(t)
e 当输出个数与状态个数相等，且C 阵可逆时，
状态观测值可以立刻获得：x(t) = Cn×n−1y(t)
a 当输出个数少于状态个数时，状态观测值需要一定
c的时间来确定，即：
y(t0 ) = Cx(t0 )
y y(t1) = Cx(t1) = CeA(t1−t0 )x(t0 )
tc M
x(t ) = eA(t−t0 )x(t0 )
y(t) ⇒ x(t0 ) ⇒ x(t)
——由输出测量值求状 态初值，再由状态初值 求状态任意时刻的值。
定义
3
二、线性定常连续系统的可观测性判据
e 格拉姆矩阵判据
ca 线性定常连续系统完全可观 ⇔ 存在 t1 > 0
tcy ∫ 使格拉姆矩阵
注 意 对角阵含有相同元素时，要求更高！
e ⎡λ1
⎤
⎢
a ⎢
λ1
⎥ ⎥
⎢⎣
λ2 ⎥⎦
A 的两重特征值有两个 独立的特征向量
c¾¾CC矩矩阵阵的的列列线线性性无无关关 tcy or:秩判据
⎡C⎤
⎢ rank ⎢
CA
⎥ ⎥=n
⎢M⎥
⎢ ⎣CA
n−1
⎥ ⎦
返回
8
例：判别下列对角规范型线性定常系统的可观性。
CA M
⎥
⎥ ⎥
=
dim
A
=
n
tc ⎢⎣CA
n−1
⎥ ⎦
nq×n阶可观测性矩阵
返回
4
例：判别下列系统的可观性。
⎡0 1 0⎤
e x&
现代控制工程-第四章线性系统的可控性和可观性概论
对于给定的线性定常系统 x Ax Bu，如果存在一个 分段连续的输入 u(t)，能在有限时间间隔内[t0 ,t f ] ，将 系统由任意非零初始状态 x(t0 ) 转移到零状态 x(t f ) ，则 称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
对于线性定常系统 x Ax Bu，如果存在一个分
段连续的输入 u(t) ，能在有限时间间隔内[t0 ,t f ] ，使 得系统从某一初始状态 x(t0 ) 转移到指定的任一终端状 态 x(t f ) ，则称此状态是可控的。若系统的所有状态 都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系 统是可控的。
系统称为状态完全可控。
x2
P1
P
P3
P2
0 P4
x1
Pn
可控状态的图形说明
（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态 空间中的任意有限点 x(t0 ) ，而终端状态也规定为状 态空间中的任意点 x(t f ) ，这种定义方式不便于写成 解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我 们把上面的可控性定义分两种情况叙述：
∴系统不可控。
在 应 用 定 理 4.2 这 个 判 别 准 则 时 ， 应 注 意 到 “特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互 不相同的，即对角阵中含有相同元素时，上述判据 不适用。应根据定理4.1的秩判据来判断。
定理4.3：
若线性定常系统x Ax Bu，具有重实特征值，
且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统 状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换 后的约当标准型
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
线性系统的可控性与可观测性
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第三章 线性系统的可控性与可观测性
本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运
动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如
可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。
在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容
是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、
可观测性是由卡尔曼于60年代首先提出的，事后被
证明这是系统的两个基本结构属性。
本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学
定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性
的各种准则，这的。
整理版
1
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
第三章 线性系统的可控性与可观测性
3.1 可控性和可观测性的定义 3.2 线性定常连续系统的可控性判据（※） 3.3 线性定常连续系统的可观测性判据（※） 3.4 对偶原理
如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可
由输出完全反映，则称系统是状态可观测的，否则就
称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
整理版
3
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第3章 线性系统的可控性和可观测性
例3-1：给定系统的状态空间描述为
xx1204 05xx1212u
y 0
6
x1 x2
图3-1 系统结构图
如果对取定初始时刻 t0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1Tt,t1t0 和一个无约 束的容许控制u(t)，t [t0,t1]，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
整理版
5
第3章 线性系统的可控性和可观测性
现代控制理论线性控制系统的能控性与能观性基础知识资料PPT课件
u(t)
x(t0 )
x2
x0 x(t f ) 0
所有非零状态
x0 在t0 时刻能控 系统在t0 时刻完全能控
所有时刻
系统一致能控
x1
x(t1)
t0
x(t2 )
t1
线性定常 系统的能 控性与 t0 无关
t
t2
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x(t0 ) 0 x(t1) 0 x(t0 ) 0 x(t1) 0
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能控性和能观测性的基本概念：
20世纪60年代初，由卡尔曼提出， 与状态空间描述相对应。
卡尔曼
能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。 输入能否控制状态（控制问题）
能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。 状态能否由输出反映（估计问题）
第2页/共45页
由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出 关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有 “能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能 控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，或只存在使任意初 态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到 的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。
a2
1 a2 a1 a22
rankM 3 n 故系统的状态完全能控！
此形式的状态方程为能控标准型
第35页/共45页
[例] 判别如下系统的能控性
x1 1 2 2 x1 2
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2 4 0
M b Ab A2b 0 1
0 0 2
3
4 1 0
《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是
名词解释线性系统的可控性
名词解释线性系统的可控性在现代控制理论中，线性系统的可控性是一个重要的概念。
可控性指的是对于一个给定的线性系统，是否存在一种控制方法，可以将系统从任意初始状态控制到任意目标状态。
在本文中，我们将对线性系统的可控性进行解释。
1. 线性系统首先，我们需要了解什么是线性系统。
线性系统是指满足线性等式的系统，其输出仅依赖于输入和系统本身的性质。
线性系统具有许多重要的特性，例如可以通过叠加原理来分析系统的行为，使得控制设计变得相对简单。
2. 可控性的定义可控性是指在给定时间范围内，系统的状态可以从任意初始状态控制到任意目标状态的性质。
换句话说，如果一个线性系统是可控的，那么存在一种控制方法，可以使得系统从任何初始状态到达任何目标状态。
这种控制方法可能需要对系统施加一系列的输入信号，以实现对系统状态的精确调节。
3. 可控性矩阵要判断一个线性系统是否是可控的，我们需要引入可控性矩阵的概念。
可控性矩阵是由系统的状态方程和控制输入组成的矩阵，用于描述系统的可控性。
该矩阵的秩可以告诉我们系统的可控性。
4. 可控性判据通过可控性矩阵的秩的计算，我们可以得到一个重要的结论：当且仅当可控性矩阵的秩等于系统状态的维数时，系统才是可控的。
要注意的是，当系统的可控性矩阵的秩小于系统状态的维数时，系统是不可控的。
5. 可控性的意义为什么可控性是一个重要的概念呢？可控性是控制系统设计的基础，它决定了我们是否能够通过适当的输入信号实现对系统状态的控制。
如果一个系统是不可控的，那么无论我们采取怎样的控制策略，都无法将系统从某个初始状态控制到目标状态，这是控制系统设计中的一个致命缺陷。
6. 提高可控性的方法对于一个不可控的系统，我们需要采取措施来提高其可控性。
一种常用的方法是增加系统的输入维度。
通过引入更多的控制输入，我们可以扩展控制空间，从而增加系统可控性矩阵的秩。
另一种方法是通过设计适当的反馈控制策略，利用系统动态特性来增强系统的可控性。
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cc求系统的可控性矩阵例：m1=1，m2 =0.5， k =1，分析可控性。
& x1 (t ), x1 (t )m1⎡0 ⎢−1 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2c[1 0 0 1 0 0 0 −2e af (t )k前页& x2 (t ), x2 (t )m20⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥, b = ⎢−1⎥ ⎢0⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎦ ⎣2⎦系统不可控！rank b Ab A 2b⎡0 ⎢−1 3 A b =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2]−1 0 2 00 3⎤ 3 0⎥ ⎥=2 0 − 6⎥ ⎥ −6 0 ⎦ty c返回PBH 秩判据 Popov-Belevitch-Hautus Tests& 系统 x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) 完全可控 ⇔A的特征值crank [λi I − A B ] = dim(A ) = ne ai = 1,2,L , n或者rank [sI − A B ] = dim(A ) = nty c11例：判别下列系统的可控性。
⎡0 ⎢0 & x=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0解:A的特征值 λ1 = λ2 = 0, λ3 = 5 , λ4 = − 5cPBH 秩判据e a1 00⎤ ⎡ 0 0 − 1 0⎥ ⎢ 1 ⎥x + ⎢ 0 0 1⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 5 0⎦ ⎣− 21⎤ 0⎥ ⎥u 1⎥ ⎥ 0⎦n = dim(A ) = 40 0 ⎡0 − 1 0 ⎢0 0 1 0 1 rank [0I − A B ] = rank ⎢ ⎢0 0 0 −1 0 ⎢ ⎣0 0 − 5 0 − 2ty c1⎤ 0⎥ ⎥=4 1⎥ ⎥ 0⎦1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦前页⎡ ⎢ rank 5I − A B = rank ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣[⎡− 5 − 1 0 0 0 ⎢ 1 − 5 0 1 0 rank − 5I − A B = rank ⎢ ⎢ 0 0 − 5 −1 0 ⎢ −5 − 5 −2 0 ⎢ 0 ⎣[0 0 ⎡s −1 0 ⎢0 s 1 0 1 或者 rank [sI − A B] = rank ⎢ ⎢0 0 s −1 0 ⎢ 系统可控！ ⎣0 0 − 5 s − 2系统可控！ce a]]5 0 0 0−1 0 5 1 0 5 0 −50 0 1 0 −1 0 5 −2ty c1⎤ 0⎥ ⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎦1⎤ ⎥ 0⎥ =4 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎦12PBH 特征向量判据Popov-Belevitch-Hautus Eigenvector Tests A 不能有与B 所有的列正交的非零左特征向量α T A = λα T , α T B = 0 ⇒ α ≡ 0ce a e at特殊形式判据y cc(1) A 为对角阵 (2) A 为约当阵& x = Λx + Bu & x = Jx + Buty c返回13(1) A 为对角阵⎡λ1 0 L 0 ⎤ ⎢0 λ L 0 ⎥ 2 ⎥ Λ=⎢ ⎢M M M M⎥ ⎥ ⎢ ⎣ 0 0 L λn ⎦ce a e ab2& x = Λx + BuB 矩阵的行不全为零 B 矩阵的行不全为零tc1y c返回⎡λ ⎤ ⎡0⎤ & x=⎢ 1 x+ u λ2 ⎥ ⎢b2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦& x1 = λ1 x1 & x2 = λ2 x2 + b2u y = c1 x1 + c2 x2y = [c1 c2 ]xu 与 x1 无任何联系系统不可控！c& x1∫λ1x1u& x2∫λ2x2tc2y cy14注意c秩判据⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ1 ⎢ ⎥ ⎢ λ2 ⎥ ⎣ ⎦e a[对角阵含有相同元素时，要求更高！B 矩阵的行线性无关 B 矩阵的行线性无关A 的两重特征值有两个独立的特征向量rank B AB A 2 B L A n-1B = dim(A ) = nt]y c返回例：判别下列对角规范型线性定常系统的可控性。
1， ⎢ &1 ⎥ = ⎢& ⎡x ⎤ ⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦& ⎡ x1 ⎤ ⎡8 0 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢& ⎥ 2， ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢3 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u & ⎢ x3 ⎥ ⎢0 0 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣1 3， ⎢ &1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢1⎥u ⎣ x2 ⎦ ⎣ 0 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦c& ⎡x ⎤e a有全零行 系统不可控！ 没有全零行 系统可控！⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡1⎤行线性相关 系统不可控！or: 秩判据 rank [b Ab] = rank ⎢⎡1 1⎤ = 1 < dim A = 2 1 1⎥ ⎣ ⎦ty c15例：判别下列对角规范型线性定常系统的可控性。
1， ⎢ &1 ⎥ = ⎢& ⎡x ⎤⎣ x2 ⎦ ⎡− 2 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ u + 0 − 1⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢0⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦& ⎡ x1 ⎤ ⎡8 0 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡u ⎤ ⎢& ⎥ 2， ⎢ x2 ⎥ = ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢3 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ u & ⎢ x3 ⎥ ⎢0 0 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢0 2⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣c& ⎡x ⎤⎣ x2 ⎦e a e a有全零行 系统不可控！ 没有全零行 系统可控！ 行线性无关 系统可控！3， ⎢ &1 ⎥ = ⎢⎡1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡2 0⎤ ⎡ u1 ⎤ + 0 1⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢0 4⎥ ⎢u2 ⎥ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣or: 秩判据 rank [B AB] = rank ⎢⎡2 0 2 0⎤ ⎥=2 ⎣0 4 0 4⎦ty ccty c16n 阶矩阵A 有 n 个互异特征值，可化为对角阵； n 阶矩阵A 有重特征值，由其独立的特征向量 的个数决定化为对角阵还是约当阵，以及约当 阵的形状。
n 个独立的特征向量 可化为对角阵 r 个独立的特征向量ce a e a0 L λ2 L M 0对角阵 or 约当阵？ 对角阵 or 约当阵？r 个约当块/对角块ty c(1) A可化为对角阵n 阶矩阵A 有 n 个互异特征值； n 阶矩阵A 有重特征值，但有n 个独立的特征向量。
⎡ λ1 ⎢0 −1 P AP = ⎢ ⎢M ⎢ ⎣0 0⎤ 0⎥ ⎥=Λ M M⎥ ⎥ L λn ⎦cP = [p1 p 2 L p n ]可能为互异特征值，也可能有重特征值。
ty c17例1：cλI − A = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3) 三个互异特征值Ap = λi p i = 1,2,3 ⇒e a e a⎡1 − 1 4⎤ A = ⎢0 2 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 3 ⎥ ⎣ ⎦(λi I − A )p = 0P = [p1 p 2⎡1 0 0 ⎤ P −1AP = ⎢0 2 0⎥ = Λ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ty cp3 ]2 − 2⎤ ⎡2 ⎢2 5 − 4⎥ 例2： A = ⎢ ⎥ ⎢− 2 − 4 5 ⎥ ⎣ ⎦λI − A = (λ − 10 )(λ − 1)2⇒(10I − A )p1 = 0cAp = λi p i = 1,2,3(λi I − A )p = 0⎡ 8 − 2 2⎤ ⎡ 2 4 5⎤ ⎢ − 2 5 4⎥ → ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 4 5 ⎥ ⎢0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ p11 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢p ⎥ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎢− 2⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ty c18秩为22 − 2⎤ ⎡2 λI − A = (λ − 10 )(λ − 1)2 A=⎢ 2 5 − 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 2 − 4 5 ⎥ 秩为1 ⎣ ⎦ ⎡ − 1 − 2 2 ⎤ ⎡ − 1 − 2 2⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ (I − A )p 2 = 0 ⎢− 2 − 4 4 ⎥ → ⎢ 0 0 0⎥ ⎢2 4 − 4⎥ ⎢ 0 0 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ 0 ⎥ ⎢ p33 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡10 0 0⎤ 三阶矩阵A共有三个独立的 −1 P AP = ⎢ 0 1 0⎥ = Λ ⎢ ⎥ 特征向量,可化为对角阵。
⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ 前页A 的两重特征值有两个 ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 31 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p22 ⎥ = ⎢ 1 ⎥, ⎢ p32 ⎥ = ⎢0⎥ 独立的特征向量！⎢ p23 ⎥ ⎣ ⎦ce a e a⎡p ⎤⎡ − 2⎤ ⎡ p ⎤ty c⎡5 ⎤(2) A可化为约当阵n 阶矩阵A 有重特征值，少于n 个独立的特征向量。
P −1AP = J P = [p1 p 2 L p n ]cty c19⎡2 6 − 15⎤ A ⎢ 例3： = ⎢1 1 − 5 ⎥ ⎥ ⎢1 2 − 6 ⎥ ⎣ ⎦秩为1⎡− 3 − 6 15⎤ ⎡ p11 ⎤ ⎢−1 − 2 5 ⎥⎢ p ⎥ = 0 ⎢ ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎢ − 1 − 2 5 ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦cAp = λi p i = 1,2,3e aλI − A = (λ + 1)3 三重特征值⇒(λi I − A )p = 0⎡ p21 ⎤ ⎡5⎤ ⎢ p ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p23 ⎥ ⎢1⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ − p11 − 2 p12 + 5 p13 = 0⎡ p11 ⎤ ⎡− 2⎤ ⎢ p ⎥ = ⎢ 1 ⎥, ⎢ 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p13 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦A 的三重特征值有两个 独立的特征向量!⎡− 1 1 0 ⎤ P −1AP = ⎢ 0 − 1 0 ⎥ = J ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎣ ⎦ty c20。