线性系统的数学模型

1.建立数学模型的方法
解析法(机理)
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律 列写出相应的数学关系式，建立模型。
实验辨识法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用 适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的 简洁性和精确性进行折衷考虑。
建立数学模型的目的之一：是为了用数学方法 定量地对系统进行分析。当系统微分方程列出后， 只要给定输入量的初始条件，便可以对微分方程 求解。
设：给定量或扰动量为系统的输入量 r , n 被控制量称为系统输出量 y , c 系统的输出量在系统输入量作用下的变动过程称作系
统的响应。 考查：输入量、输出量之间微分方程描述的数学模型。
获取微分方程的步骤：
1. 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统 和各元件的输入、输出量；
2. 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的 动态微分方程；
3. 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程；
4. 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排 序
d
dt
时
方程均有变化
La =0时，且ML =常数
RaJm Cm
dw dt
(
Raf m Cm
Ka)w
Ua
Ra Cm
M
L
整理：
Ta
dw dt
w
KmUa
KmM
L
用图示：
ML
ua 电机
w
例2．直流电机的调速系统
Ur
Ra
U
>
Ua
ML Ut
w
设La=0 输入量Ur 、ML ，输出w
e Ur Ut
Ua Ke
2. 几个概念 对一个复杂系统，建立数学模型一般较困难。
（1）通常的办法是作一些简化系统的假设将系 统理想化，一个理想化的系统称作物理模型。
（2）物理模型的数学描述称作数学模型。
（3）建模：通常指建立物理模型的数学模型
经常遇到的一个问题是准确分析出哪些物理变量和 相互关系是可以忽略的，哪些对模型准确度有决定 性影响。
电动机和负载折合到电动机轴上的两个变量：
粘性摩擦系数 fm
转动惯量Jm
电动机轴上的转矩平衡方程：
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm (t)
Mc (t)
电动机转速（m t）
折合到电动机轴上的总负载转矩M c (t)
例1．电机在 Ua作用下带动负载转矩为ML物体以w角 速度旋转。
电枢控制式的直流电动机：
列原始方程：
Ta
du dt
w
KmUa
KmM
L
Ut Ktw
消去中间变量：Ta
dw dt
(1
KmKtK )w
KmKUr
KmM
L
可见：系统为线性定常一阶系统
负载ML可视为特殊输入量，ML =0时
Ta dw (1 KmKtK)w KmKUr dt
一般考虑线性定常系统（单输入—单输出系统）表达式
an
第二章
线性系统的数学模型
学习要求：
1、掌握建立数学模型的一般原理，传递函数的概念， 对于不很复杂的系统能够写出传函；
2、掌握方框图及信号流图化简原则，利用方框图或信号流 图求传函；
3、掌握几种典型环节的传递函数； 4、了解开环传递函数、闭环传递函数、误差传递函数
（内容介绍：微分方程、传递函数、结构图、信号流图）
Ra La
if
i ua
Mc
ea
M
ω
J
解：
1．输入量：Ua、ML 输出量：w
2．列写原始方程
Ua iaRa La dia Ea dt
Ea kaw (反电动势与w成正比)
电枢回路方程： Mm Cm ia (电磁转矩与ia成正比)
Mm
ML
Jm dw dt
f mw
3．消去中间变量ia , Ea , Mm
d nc(t) dt n
an1
d n1c(t) dt n1
a1
d c(t) dt
a0c(t)
dt
K:阻尼系数 F:阻尼力 y:位移 w:旋转角速度 T:阻尼力矩
5、牛顿定律
F ma
v dx dt
a
dv dt
d2x dt 2
6、电机
电枢电压ua (t) 电枢电流ia (t) 电磁转矩Mm (t)
电枢回路电压平衡方程
ua
(t)
=
La
dia (t) dt
+
Raia (t)
+
Ea
反电势 E（a t）= Ceωm (t)
LaJm Cm
d 2w dt 2
Lafm JmRa Cm
dw ( Rafm dt Cm
Ka)w
Ua
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La Cm
dM L dt
Ra Cm
M
L
从方程可看：输入、输出及各阶导数之间无乘积关系 可见：方程线性
输入、输出及各阶导数前系数为常数 可见：方程为线性定常系统。
当ML =0（空载），ML =常数（固定负载），w
预备知识
1、电容
2、电感 3、弹簧弹性力 4、阻尼器
平动阻尼器 旋转阻尼器
ic
(t)
C
duc (t) dt
uL
(t
)
L
diL (t dt
)
F kx k vdt
uc
(t
)
1 C
ic (t)dt
iL (t)
1 L
uL (t)dt
v 1 dF k dt
F kv k dy dt
T k k d
学习内容： §2-1 线性系统的微分方程
一、数学模型的概念
工程的最终目的是构建实际的物理系统，以完成某些规定的 任务。 如一个实际的调速系统，温控系统等。
采用的方法可分为经验法和解析法去完成设计任务。
经验法中依靠丰富的经验，加之试凑方法。对 比较简单系统，可得到满意结果.
对复杂系统，往往采用解析法。解析法的采用 其前题是应先建立其数学模型，即先建立描述这一 系统运动规律的数学表达式。
注： 微分方程（一般系统）; 传递函数（研究输入—输出关系线性定常系统）; 图示方法（结构图、信号图）;
二、线性系统的微分方程
控制系统的时域数学模型
一个完整的控制系统通常是由若干元器件或环节以一 定方式连接而成的。
对系统中每个具体的元器件或环节按照其运动规律可 以比较容易地列出其微分方程，然后将这些微分方程联 立起来，可求出整个系统的微分方程。
如：线性化问题
线性化：
实际物理系统一般均为非线性系统，只是非线性程度 有所不同而已，许多系统在一定条件下可被近似视作 线性系统，使问题得到简化。
工程中一般的做法是将模型简化为线性型，以线性模 型为基础，求得系统的近似特性，必要时，再采用较 复杂模型进一步研究。
（4）数学模型的描述方法 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、 状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性