《因式分解-提公因式法》知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。
9.13因式分解-提取公因式法
因式分解---提取公因式法一、教材分析：（一）教材所处的地位学习因式分解一是为解高次方程作准备，二是学习代数式恒等变形。
它是在学生学习了整式运算的基础上提出的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系。
同时也是后续学习分式化简、解方程、解不等式等内容的基础，因此，分解因式这一章在代数部分起到了承上启下的作用。
另外，分解因式体现了“化归”、“整体”以及“逆向”的数学思想，是数学学习的重点。
根据《课标》的要求，介绍最基本的4种分解因式的方法，而运用提公因式法分解因式，作为本部分内容的起始课，具有重要的意义。
（二）说教学目标知识与技能目标理解因式分解的意义；掌握提公因式法，并能够运用提公因式法进行因式分解。
过程与方法目标经历探索提公因式法分解因式的过程,提高学生的观察分析能力、判断能力以及计算能力，同时渗透化归、整体的数学思想。
情感与价值观目标体验运用数学知识解决问题的成就感；引导学生养成积极思考、独立思考的良好学习习惯，同时培养学生合作交流的团队精神。
二、重点、难点分析：本着数学新课程标准的要求，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重点和难点：教学重点：找出多项式的公因式，并运用提公因式法分解因式。
教学难点：迅速找出多项式的公因式。
三、教法分析学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导着、合作者。
因此在教学过程中，我以激发学生积极性、主动性、凸显学生主体地位为出发点，采用启发式教学法。
具体地，我将通过引导发现、实例探究、讲练结合等教学过程，让学生积极主动地参与到教学活动中，经历完整的知识形成过程，从而使学生“知其然”，还“知其所以然”。
四、说学法有这样一句话--“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。
让学生从“学会”向“会学”转变，成为学习的真正的主人。
这节课主要采用自主探索、合作交流结合的研讨式学习方式。
学生思考问题，获取知识，掌握方法，同时培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体.五、教学过程设计六、板书设计八、结束语本节课我根据初二年级学生的心理特征及其认知规律，采用直观教学和活动探究的教学方法，放手让学生自主探索的学习，主动地参与到知识形成的整个思维过程，力求使学生在积极、愉快的课堂气氛中提高自己的认识水平，从而达到预期的教学效果。
因式分解知识点总结
因式分解知识点总结一、因式分解的概念。
1. 定义。
- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x - 2)，就是将多项式x^2-4因式分解为两个整式(x + 2)与(x - 2)的积的形式。
2. 与整式乘法的关系。
- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的方法。
1. 提公因式法。
- 公因式的确定。
- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式的步骤。
- 找出公因式。
- 用多项式除以公因式，得到另一个因式。
例如，6x^2+9x = 3x(2x+3)。
2. 公式法。
- 平方差公式。
- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式必须是两项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。
例如，9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)，这里9x^2=(3x)^2，16y^2=(4y)^2。
- 完全平方公式。
- 公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2，a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=(x + 3)^2，这里x^2=x^2，9 = 3^2，6x=2× x×3。
3. 十字相乘法（拓展内容，人教版教材部分有涉及）- 对于二次三项式ax^2+bx + c(a≠0)，如果能找到两个数m和n，使得m + n=b 且mn = ac，那么ax^2+bx + c=(x + m)(x + n)。
因式分解知识点归纳
因式分解知识点归纳因式分解是代数中的重要概念和技巧，它在解方程、求根、化简表达式等方面都有广泛的应用。
以下是关于因式分解的知识点归纳：一、基本概念1.因式：在乘法中，参加运算的每个数或字母或含有字母的式子，称为因式。
2.因式分解：把一个多项式写成若干个因式相乘的形式，称为因式分解。
3.因数：若一个数a能够整除另一个数b，那么称a是b的因数，b 是a的倍数。
二、因式分解的原则1.分解的因式中只能有素数，即不能再分解。
2.同一因式在分解式中只能出现一次，不允许出现多个相同的因式。
三、因式分解的方法1.公因式法：把多项式中的公因式提出来，然后将剩余部分进行因式分解。
2.提取因式法：将多项式中的因式提取出来，然后将剩余部分进行因式分解。
3.平方差公式：对于两个完全平方差的多项式，可以利用平方差公式进行因式分解。
4.分组分解法：将多项式中的项进行分组，然后利用求和公式或平方差公式进行因式分解。
5.完全平方公式：对于一个完全平方的多项式，可以利用完全平方公式进行因式分解。
四、常用的因式分解公式1.两个平方差的因式分解公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；a² + 2ab+ b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²；a² - 2ab + b² = (a - b)²。
3.一次式的因式分解公式：ax + bx = x(a + b)；ax - bx = x(a - b)；ax + ay = a(x + y)；ax - ay = a(x - y)。
五、案例分析1.因式分解：将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例如：x²-3x-10=(x-5)(x+2)。
2.提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
因式分解-提取公因式法
因式分解是数学中的一种重要技巧，通过提取公因式，可以简化复杂的表达 式，更容易进行后续运算。
提取公因式法的定义
提取公因式法是一种因式分解的方法，通过找出表达式中的公因式，将其提取出来，从而简化表达式。
提取公因式法的基本原理
1 寻找公因式
观察表达式中的各项，找 出它们的共同因子。
将3x+6分解为3(x+2)。
练习二
将4y+8分解为4(y+2)。
练习三
将5z+10分解为5(z+2)。
其他因式分解方法的比较
提取公因式法
适用于有公因式的表达式，简 化运算。
配方法
适用于二次型的因式分解。
分组分解法
适用于四项的因式分解，通过 分组化简表达式。
提取公因式法的应用和意义
提取公因式法在代数表达式的化简、解方程、因式分解、展开式等方面有着 广泛的应用。它可以帮助简化运算、找出规律、化简复杂的代数式。
2 提取公因式
将公因式提取出来，得到 一个简化的表达式。
3 化简表达式
对去除公因式后的表达式 行进一步化简。
提取公因式法的步骤与例子
1
步骤一
观察各项中的公因子，将其提取。
2
步骤二
对剩余项进行化简，如需要可以应用其他因式分解方法。
3
例子
例如，将2x+4分解为2(x+2)。
提取公因式法的练习题
练习一
结论和总结
提取公因式法是一种简化代数表达式的重要工具，通过寻找和提取公因式，可以简化运算、化简表达式、发现 规律，并在各种数学问题中应用广泛。
(完整版)提公因式法分解因式典型例题
因式分解（1）一知识点讲解知识点一：因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
1.因式分解特征：因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形知识点二：寻找公因式1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因（约）数方法：（短除法）例如：求20,36,80的最大公（约）数？最大公倍数？2、寻找公因式的方法：（一）因式分解的第一种方法（提公因式法）（重点）：1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
2.符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++ 3.提公因式的步骤：（1）确定公因式 （2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式） 公因式原多项式另一个因式=4.注意事项：因式分解一定要彻底二、例题讲解模块1：考察因式分解的概念1. （2017春峄城区期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、x x x x x 6)3)(3(692+-+=+- B 、103)2)(5(2-+=-+x x x x C 、22)4(168-=+-x x x D 、b a ab 326⋅=2. （2017秋抚宁县期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、2)1(3222++=++x x x B 、22))((y x y x y x -=-+ C 、222)(y x y xy x -=+- D 、)(222y x y x -=- 3. （2017秋姑苏区期末）下列从左到右的运算是因式分解的是（ ） A 、1)1(21222+-=+-a a a a B 、22))((y x y x y x -=+- C 、22)13(169-=+-x x x D 、xy y x y x 2)(222+-=+4.（2017秋华德县校级期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A 、15123-=-+x y x B 、2249)23)(23(b a b a b a -=-+C 、)11(22xx x x +=+ D 、)2)(2(28222y x y x y x -+=-5. （2017春新城区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、ab a b a a -=-2)( B 、1)2(122+-=+-a a a a C 、)1(2-=-x x x x D 、)(222xy y x y x xy -=-6. （2016秋濮阳期末）下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A 、23)2)(1(2+-=--x x x x B 、)2)(1(232--=+-x x x x C 、4)4(442+-=++x x x x D 、))((22y x y x y x -+=+模块2：考察公因式1. （2017春抚宁县期末）多项式3222320515n m n m n m -+的公因式是（ ） A 、mn 5 B 、225n m C 、n m 25 D 、25mn 2.（2017春东平县期中）把多项式332223224168bc a c b a c b a -+-分解因式，应提的公因式是（ ）A 、bc a 28-B 、3222c b aC 、abc 4-D 、33324c b a 3.（2017秋凉州区末）多项式92-a 与a a 32-的公因式是（ ） A 、3+a C 、3-a B 、1+a D 、1-a 4.（2017春邵阳县期中）多项式n m n my x y x 31128--的公因式是（ ）A 、nmy x B 、1-n myx C 、nmy x 4 D 、14-n myx5.（2016春深圳校级期中）多项式mx mx mx 1025523-+-各项的公因式是（ ）A 、25mxB 、35mx - C 、mx D 、mx 5- 6.下列各组代数式中没有公因式的是（ ） A 、)(5b a m -与a b - B 、2)(b a +与b a -- C 、y mx +与y x + D 、ab a +-2与22ab b a -7.观察下列各组式子：①b a +2和b a +；②)(5b a m -和b a +-；③)(3b a +和b a --；④22y x -和22y x +。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
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《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★
知识体系梳理
◆
因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）
注意：
、因式分解对象是多项式；
2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止；
3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性；
◆
分解因式的作用
分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆
分解因式的一些原则
（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个
多项式因式都再不能分解为止。
（3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。
◆
因式分解的首要方法—提公因式法
、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的
因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：
（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
（2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆
提公因式法分解因式的关键：
、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因
式的最低次幂之积）
2、提出公因式后另一因式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式）
★★
典型例题、方法导航
◆
考点一：因式分解的意义
【例1】判断下列变形哪些是因式分解？
（1）---------------------------（
）
（2）-------------------（
）
（3）--------------------（
）
（4）----------------------------------（
）
（）-------------------------------（
）
【例2】根据整式乘法与因式分解的关系连线
【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。
◎变式议练一
、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（
A、
B、
、
D、
2、辨析下列因式分解是否正确，若错误请改正。
（1）分解因式不彻底：
（2）提出公因式后漏项：
◆
考点二：提公因式法
【例4】分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（）
◎变式议练二：
、多项式与多项式的公因式是
；
2、若多项式的一个因式是，那么另一个因式是（）
、
、
、
3、若是的因式，则p为（）
A、－1
B、－2
、8
D、2
4、把下列各式分解因式：（1）
（2）
（3）
（4）
◆
考点三：提公因式法的应用【例】计算：（1）
（2）
◎变式议练三：
、已知，，则
；
2、计算：
3、已知，求的值。
◆
考点四：能力拓展
【例6】已知，，求的值；
【例7】已知：，求代数式的值。
【例8】已知整数、、使等式对任意的均成立，求的值；
（山东省竞赛题)
◎变式议练四：
、多项式可以分解为两个整式的积，其中一个整式为，求另一个整式；
2、分解因式：
3、（IT杯赛）化简：
◆◆◆
快乐体验
将一个乒乓球的半径增加，其周长增加，将地球的半径增加，其周长增加，比较与的大小；。