因式分解知识点总结复习过程

因式分解知识点总结
第一讲因式分解
一，知识梳理
1. 因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解
即：多项式几个整式的积
1 1 例：- ax bx
3 3
因式分解, 应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式;
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式;
5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解;
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程
2. 因式分解的方法：
（1）提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。

公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式
系数一一取各项系数的最大公约数
字母一一取各项都含有的字母
指数---- 取相同字母的最低次幕
例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2的公因式是________________________ .
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分a'b3c,a3b2c3, af2都含有因式a3b2c，故多项式的公因
式是2a3b2c.
②提公因式的步骤
第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因
式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。

多
项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把12a2b 18ab2 24a3b3分解因式.
解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式为
6ab。

解：12a2b 18ab224a'b3
2 2
6ab(2a 3b 4a b )
例2:把多项式3(x 4) x(4 x)分解因式
解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4) x(4 x)可以变形为
3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(x 4 ),所以我们可以提取公因式(x
4 )后,再将多项式写成积的形式.
解：3(x 4) x(4 x)
=3(x 4) x(x 4)
=(3 x)(x 4)
例3：把多项式x2 2x 分解因式
22
解：x2 2x= (x 2x) x(x 2)
(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

a. 逆用平方差公式：a2b2(a b)(a b)
b. 逆用完全平方公式：a22ab b2(a b)2
c逆用立方和公式：a3b3(a b)(a2ab b2)(拓展)
d.逆用立方差公式：a3b3(a b)(a2ab b2)(拓展)
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若
多项式是三项式，可考虑完全平方公式。

2
例1：因式分解a2 14a 49
解：a2 14a 49=(a 7)2
例2：因式分解a2 2a(b c) (b c)2
解：a2 2a(b c) (b c)2=(a b c)2
(3)分组分解法(拓展)
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；
例：把多项式ab a b 1 分解因式
解：ab a b 1=(ab a) (b 1) =a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1)
②将多项式分组后能运用公式进行因式分解
例：将多项式a 2 2ab 1 b 2因式分解
解：a 2 2ab 1 b 2
= (a 2 2ab b 2) 1 (a b)2 1 (a b 1)(a b 1)
2
(4十字相乘法(形如x (p q)x pq (x p )(x q)形式的多项式，可以
考虑运用此种方法)
方法：常数项拆成两个因数P 和q ,这两数的和p q 为一次项系数
x 2 (p q)x pq
(x p)(x q)
50 22 x 2 x 30 (x 6)(x 5) x 2 52x 100 (x 50)( x 2) 3. 因式分解的一般步骤：
例：分解因式x 2 x 30
补充点详解
我们可以将-30分解成p x q 的形式， q 的形式，
使 p+q=-1, p X q=-30,我们就有 p=-6,
就有p=2, q=5 或 q=-6,p=5。

q=50 所以将多项式x 2 (p q)x pq 可以分
2 x (p q)x pq 可以分
解为(x p)(x q) 分解因式x 2 52x 100 补充点详解 我们可以将100分解成p X 使 p+q=52, p X q=100,我们
或 q=2,p=50。

解为(x p)(x q)
-6 (p q)x
pq
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。

因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在
有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

一、例题解析
提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.
确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式) ——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.
【例1】分解因式：
⑴ 15a a b 10ab b a ( n 为正整数)
⑵4a2n1b m 6a n2b m1(m、n为大于1的自然数)
【巩固】
分解因式：(x y)2n 1 (x z)(x y)2n 2(y x)2n (y z) , n 为正整数.
先化简再求值， y x y x y x y x 2，其中 x 2，y
- 求代数式的值： 2 2 (3x 2) (2x 1) (3x 2)(2x 1) x(2x 1)(2 3x)，其中
2 x 一 .
3
【例2】 【巩固】 【例3】 已知：b c a 2，求-a(a b c) 3 2 2 2 b (r 3a 3b) 沖2c 2a ）的值. 【巩固】 分解因式: x 3 (x y z)(y z a) x 2z(z x y) 2 x y(z x y)(x z a).。