《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
数学因式分解方法：分组分解法与十字相乘法
数学因式分解方法：分组分解法与十字相乘法3、分组分解法当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。
因此可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯独。
例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1解原式=(x15+m12)+(m9+m6)+(m3+1)=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)=(m3+1)(m12+m6++1)=(m3+1)[(m6+1)2-m6]=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)例2分解因式：x4+5x3+15x-9解析可依照系数特点进行分组解原式=(x4-9)+5x3+15x=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)=(x2+3)(x2+5x-3)4、十字相乘法关于形如ax2+bx+c结构特点的二次三项式能够考虑用十字相乘法，即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。
例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12解①1x21x-3原式=(x+2)(x-3)②2x-33x4原式=(2x-3)(3x+4)我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。
专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
4--十字相乘法、分组分解法
师航教育一对一个性化辅导讲义4因式分解--十字相乘法、分组分解法学习目标：1．熟练的使用十字相乘法、分组分解法进行多项式的因式分解。
2．熟练的使用因式分解进行简便运算。
3．了解使用配方法、添项(拆项)法、待定系数法来分解因式4．会利用因式分解解决有关的综合题目重点：熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的因式分解难点：利用因式分解解决有关的综合题目因式分解--十字相乘法、分组分解法知识点一：十字相乘法在二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a＝a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c＝c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2＋a2c1，若它正好等于二次三项式ax2＋bx＋c的一次项系数b，即a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x＋c1与a2x＋c2之积，即ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)。
要点诠释：（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：在上式中，竖向的两个数必须满足关系a1a2＝a，c1c2＝c；斜向的两个数必须满足关系a1c2＋a2c1＝b，分解思路为“看两端，凑中间。
”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
（3）形如x2＋px＋q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
，这时只需考虑如何把常数项分解因数。
例如把x2＋2x－15分解因式，x2＋2x－15＝(x－3)(x＋5)。
1-1．把2x2－7x＋3因式分解。
思路点拨：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
具体如下：分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3＝1×3＝3×1＝(－3)×(－1)＝(－1)×(－3)。
初中数学因式分解2十字相乘法、分组分解法
【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 （2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2（2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --； （2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+-（3）()()cd b adc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++思考题（5）()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++【练 习】给下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2=13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az=20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y 48、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －123．x 2－b x －a 2＋a b 4．m －m 3－mn 2＋2m 2n5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b2C 组三、分解因式1、(a2＋b2)2－4a2b22、a4(x－y)＋b4(y－x)3、(a2＋1)2－4a(a2＋1)＋4a2 4.a2＋2ab＋b2－ac－bc5.m2＋2mn＋n2－p2－2pq－q26.(x2－3)2－4x27. (x2－3)2＋(x2－3)－28.(x2－2x)2－4(x2－2x)－59.a4－2a2b2－8b4 10.x4－6x3＋9x2－16。
初二下册因式分解公式法、十字相乘法
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.【知识要点】1．运用公式法：如果把科法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
2．乘法公式逆变形（1）平方差公式：))((22b a b a b a -+=-（2）完全平方公式：222222)(2,)(2b a b ab a b a b ab a -=+-+=++ 3．把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用。
思维导航：运用公式法是分解因式的常用方法，运用公式法分解因式的思路主要有以下几种情况： 一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。
例1、 分解因式：（1）x 2-9 （2）9x 2-6x+1二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。
例2、 分解因式：（1）x 5y 3-x 3y 5 （2）4x 3y+4x 2y 2+xy 3三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解.例3、 分解因式：(1)4x 2-25y 2 (2)4x 2-12xy 2+9y 4四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式,然后利公式法分解因式,应注意分解到每个因式都不能再分解为止.例4、 分解因式:(1)x 4-81y 4 (2)16x 4-72x 2y 2+81y 4五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位置，重新排列，然后再利用公式。
专题4.2 因式分解(十字相乘法与分组分解法)(学生版)
专题4.2 因式分解（十字相乘法与分组分解法）1.理解十字相乘法的原理，并能用十字相乘法分解因式（二次三项式）；2.能熟练使用分组分解法分解因式（四项及以上）；3.能灵活使用因式分解的四种方法，并能解决一些实际问题。
知识点01 因式分解的方法（三）十字相乘法【知识点】③十字相乘法：a 2+(p+q )a+pq=(a+p )(a+q )注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。
【知识拓展1】十字相乘法分解因式例1．（2022·成都市初二课时练习）运用十字相乘法分解因式：（1）232x x --；（2）210218x x ++；（3）22121115x xy y --；（4）2()3()10x y x y +-+-．【即学即练】1．（2020·四川内江·中考真题）分解因式：4212b b --=_____________2．（2022·湖南岳阳·八年级期末）阅读理解题由多项式乘法：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，将该式从右到左使用，即可进行因式分解的公式：()()()2x a b x ab x a x b +++=++．示例：分解因式：()()()2256232323x x x x x x ++=+++´=++．分解因式：()()()()222121212x x x x x x --=++-+´-=+-éùéùëûëû．多项式()2x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．（1）尝试：分解因式：268x x ++=（x +______）（x +______）；（2）应用：请用上述方法将多项式：256x x -+、256x x --进行因式分解．【知识拓展2】先换元再十字相乘例2．（2022·广西象州·八年级期中）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程：解：设，则（第一步）原式（第二步）（第三步）把代入上式，得原式（第四步）我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，请据此回答下列问题：（1）该同学因式分解的结果（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果： ；（2）请你仿照上面的方法，对多项式进行因式分解．【即学即练】1．（2022·陕西金台·八年级期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x ²＋px ＋q 的二次三项式因式分解时，如果能满足q ＝mn 且p ＝m ＋n 则可以把x ²＋px ＋q 因式分解成（x ＋m ）（x ＋n ），如：（1）x 2＋4x ＋3＝（x ＋1）（x ＋3）；（2）x 2﹣4x ﹣12＝（x ﹣6）（x ＋2）．材料2：因式分解：（x ＋y ）2＋2（x ＋y ）＋1，解：将“x ＋y 看成一个整体，令xy ＝A ，则原式＝A ²＋2A ＋1＝（A ＋1）²，再将“A ”还原得：原式＝（x ＋y ＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：()()2252564x x x x -+-++25x x y -=(2)(6)4y y =+++22816(4)y y y =++=+25x x y -=()2254x x =-+()()223344a a a a --++（1）根据材料1，把x 2＋2x ﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x ﹣y ）²﹣8（x ﹣y ）＋16；②分解因式：m （m ﹣2）（m ²﹣2m ﹣2）﹣3知识点02 因式分解的方法（四）分组分解法【知识点】④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分组分解分为三步：1）将原式的项适当分组；2）对每一组进行处理（因式分解）3）将经过处理后的每一组当作一项，再进行分解。
十字相乘法和分组分解法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三 项式分解因式： q=ab，p=a+b
当q>0时，q分解的因数a、b（ 同号 ） 当q<0时，q分解的因数a、b（ 异号 ）
x2+px+q= x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)
对二次三项式
注
x2+px+q进行因式分解， 应重点掌握以下三个问题：
意
1．掌握方法：拆分常数项，验证一次项．
2．符号规律： 当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p 的符号相同； 当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的 因数与p的符号相同．
3．书写格式：竖分横积．
知识要 点
分组分解法分解因式：
练一 练
把下列各式因式分解： （1）x2+2xy+y2-z2 （2）ab+a+b+1
解：（1）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)
（2）原式=(ab+a)+(b+1) =a(b+1)+(b+1) =(b+1)(a+1)
（3）9a4-4a2+4a-1 解：9a4-4a2+4a-1
x
a
xห้องสมุดไป่ตู้
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
十字相乘合分组分解法因式分解小结精编
本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．1、二次三项式：多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则． 如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++， 反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．因式分解（二）内容分析知识结构模块一：十字相乘法知识精讲3、十字交叉法的定义一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .223x x --B .22x x -+C .22x x --D .232x x -+【例2】因式分解225148x xy y -+正确的是（ ）．A .()()58x y x y --B .()()58x y x y --C .()()524x y x y --D .()()542x y x y --【例3】分解因式：（1）256___________x x -+=；（2）26___________x x --=； （3）2231___________x x -+=； （4）2321__________a a --=．【例4】分解因式：（1）()()21024_______________a b a b ----=； （2）22222566_______________a x a xy a y --=．例题解析【例5】对于一切x ，等式2(1)(2)x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为__________．【例6】若二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为_________．【例7】分解因式：（1）23148x x -+；（2）21166a a --+；（3）()225()6a b c a b c ---+； （3）4224109x x y y -+；（5）()()222812x x x x +-++．【例8】分解因式：（1）220920x x --+； （2）539829x x x -+；（3）()22234x x --；（4）()()22247412x x x x ++++；（5）()()2223234x x x x ---+．【例9】用简便方法计算：2998998016++．【例10】已知()()22223540x y x y +++-=，试求22x y +的值．【例11】试判断：当k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【例12】分解因式：（1）()()22323416x x x x +-++-；（2）()()()()312424x x x x --+++；（3）()22214(1)y x yx y ----．【例13】分解因式（1）2231092x xy y x y --++-； （2）222456x xy y x y +--+-．1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解； （2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6）原多项式中带有括号时一般不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解．【例14】把多项式2242x x y y ---用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）．A .()()2242x y x y --+B .()224(2)x y x y --+C .224(2)x x y y -++D .()()2242x x y y --+【例15】把多项式2221xy x y --+分解因式（）．A .()()11x y y x -+-+B .()()11x y y x ---+C .()()11x y x y ---+D .()()11x y x y -+-+【例16】将多项式2a ab ac bc -+-分解因式，分组的方法共有________种．模块二：分组分解法知识精讲例题解析【例17】（1）若3223a a b ab b --+有因式()a b -，则另外的因式是____________．（2）若多项式3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，则m 的值为____________．【例18】分解因式：（1）221448x y xy --+； （2）2222242a x a y a xy -+-；（3）234416x x x +--； （4）3223x x y xy y +--．【例19】分解因式：（1）222ax ay x xy y --+-； （2）22222x x xy y y --+-．【例20】分解因式：（1）54321x x x x x +++++； （2）222212x y z yz x ---+-．【例21】分解因式：（1）243(34)x y x y +-+； （2）2222()()ab c d cd a b +++．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）2214129x xy y -+-，其中1823x y ==，；（2）22446125x xy y x y -+-++，其中28x y =+．【例23】当2a c b +=时，求式子22244a c b bc --+的值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式223232n n n n ++-+-的值一定是 10的整数倍．【例25】求证：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【例26】如果多项式2223352kx xy y x y --+-+能分解成两个一次因式乘积， 求250.25k k ++的值．【例27】对于多项式32510x x x -++,我们把2x =代入多项式，发现2x =能使多项式 32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式()2x -．［注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式()x a -］，于是我们可以把多项式写成：32510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m n 、后再代入3510x x x -++=()()22x x mx n -++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解． （1）求式子中m n 、的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式32584x x x +++．【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A .22x x +-B .223103x x x -+C .232x x -+D .2267x xy y --【习题2】下列因式分解错误的是（ ）．A .()()2a bc ac ab a b a c -+-=-+B .5315(5)(3)ab a b b a -+-=-+C .22619(31)(31)x xy y x y x y --+=+++-D .2326(3)(2)x xy x y x y x +--=+-【习题3】分解因式：25____(___)(4)x x x x ++=++．随堂检测【习题4】若()()23x x -+是二次三项式2x mx n -+的因式分解的结果，则m 的值是_______． 【习题5】若()()215x kx x a x b --=++，则a b +的值不可能是（）．A .14B .16C .2D .14-【习题6】分解因式： （1）3246____________ab a b -+-+=； （2）22____________a bx a cx bx cx --+=； （3）22244_____________a a b b --+=．【习题7】分解因式：（1）21024x +-； （2）2421x x --+；（3）22383x xy y +-； （4）42109x x -+．【习题8】分解因式：（1）2365()()m n m n -+-+；（2）()229()20a b ac bc c +-++．【习题9】分解因式：（1）22444a ab b --+； （2）322x x y xy y x y -+-+-；（3）22446129x xy y x y -+-++； （4）221194n n x x y +-+．【习题10】若一个长方形的周长为32，长为x ，宽为y ，且满足32230x x y xy y +--=． 求这个长方形的面积．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：54321x x x x x +----．【习题12】已知225302x x a a ++++=，求3x a +的值．【习题13】已知a b c d 、、、是整数，且7a b +=，7c d +=，判断ad bc -的值能否被7整除，并简要说明理由．【习题14】分解因式：（1）2235294x xy y x y +-++-；（2）2232453x xy y x y +++++．【习题15】分解因式：（1）()()226824x x x x +-+--；（2）()1(2)(3)(6)20x x x x +---+．【作业1】分解因式：（1）22524__________x xy y --=；（2）2236_______________x ax bx ab +++=；（3）22993______________x x y y +--=．【作业2】分解因式：（1）21220x x ++；（2）212x x +-；（3）2121115x x --．课后作业【作业3】把下列各式因式分解：（1）222422x x y ++-；（2）22ax bx ax bx a b +--++．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值：2233a b a b ab -+-，其中83a =，2b =．【作业5】已知221547280x xy y -+=，求x y 的值．【作业6】在因式分解多项式2x ax b ++时，小明看错了一次项系数后，分解得()()53x x ++，小华看错了常数项后，分解得()()42x x -+，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【作业7】已知多项式2212x xy y --．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式2212x xy y --的值等于6-，且x y 、都是正整数，求满足条件的x y 、的 值．【作业8】分解因式：（1）()2222()()()a b a c c d b d +++-+-+； （2）42222222()()x a b x a b -++-．【作业9】分解因式：（1）22268x y x y -++-； （2）432433x x x x ++++．【作业10】分解因式：（1）()22214()24x x x x +-++； （2）()2(1)1a b ab +-+；（3）(1)(1)(1)xy x y xy ++++； （4）()()22114x y xy --+．【作业11】已知正有理数a b c 、、满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值．。
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《因式分解-分组分解与十字相乘法》知
识点归纳
★★
知识体系梳理
◆
分组分解法：
用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。
、分组后能提公因式；
2、分组后能运用公式
◆
十字相乘法：
、型的二次三项式因式分解：
（其中，）
、二次三项式的分解：
如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式：
借助于画十字交叉线排列如下：
◆
因式分解的一般步骤：一提二代三分组
①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；
②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；
③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；
④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
◆
因式分解几点注意与说明：
①、因式分解要进行到不能再分解为止；
②、结果中相同因式应写成幂的形式；
③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。
★★
典型例题、解法导航
◆
考点一：十字相乘法
、型三项式的分解
【例1】计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
运用上面的结果分解因式：
①、
②、
③、
④、
方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。
◎变式议练一：
、
2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数的个数为（
）
、个
、个
、个
、个
3、把下列各式分解因式：
①、
②、
③、
2、形如：的二次三项式的因式分解
【例2】将下列各式分解因式：
（1）；（2）；（3）
方法点金：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，,直到满足条件为止。
（2）一般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积。
◎变式议练二：
将下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
◆
考点二：运用分组分解法分解因式
【例】分组后能提公因式（二二分组）
①、
②、
【例】分组后能运用公式（一三分组）
①、
②、
◎变式议练三：
分解因式：（1）
（2）
◆
考点三：能力解读
【例】分解因式：
（1）
（2）
（3）
（“希望杯”邀请赛试题）【例6】若（），求的值。
◆◆◆
快乐体验
一、选择题、填空题：
、可以分解因式为（
）
、
、
、
、
2、已知，那么
；
3、（北京）把代数式分解因式，下列结果正确的是-----（
）
、
、
、
、
二、分解因式：
①、
②、
③、
④、
三、（能力提升）把下列多项式分解因式：
①、
②、
③、
④、（为正整数）
、已知：，求：的值；。