因式分解最全方法归纳

因式分解最全方法归纳一、因式分解的概念与原则1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。

2、原则：（1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）；（2）结果最后只留下小括号；（3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号；（4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简；（5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前；（6）相同因式的乘积写成幂的形式；（7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。

如另有要求，在要求的范围内分解。

3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；（3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解；（4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。

也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要相对合适。

”二、因式分解的方法1、提取公因式公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。

公因式可以是单项式，也可以是多项式。

确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。

提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。

注意事项：（1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉；（3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。

例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab解：原式=3ab (2a-3c+1 )例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y)总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。

2、公式法分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。

平方差a2 –b 2 = (a+b ) (a– b )完全平方(a±b )2 =a 2 +b 2 ±2ab (a+b+c ) 2 =a 2 +b 2+2ab+2bc+2ca立方差a3 –b 3 = (a– b ) (a 2 +b 2 +ab )立方和a3 +b 3 = (a+b ) (a 2 +b 2 – ab )三项立方和a3 +b 3 +c 3 – 3abc= ( a+b+c ) ( a 2 +b 2 +c 2 – ab–bc– ac )完全立方(a+b ) ³ =a³ +3ab² +3a² b+b³ (a-b) ³ =a³ +3ab² -3a² b-b³高次方和a n –bn =(a–b ) [ a ( n –1 ) +a ( n–2 ) b+……+b ( n–2 )a+b ( n–1 )]高次方差a m +bm =(a+b )[ a ( m–1 ) -a ( m–2 ) b+……-b (m–2 )a+b ( m–1 )] ( m 为奇数)部分公式的推导：a 2 –b 2 =a 2 +ab–ab–b2 = (a 2 +ab ) – (ab+b 2) =a( a+b ) –b (a+b ) =( a+b ) ( a–b )a3 +b 3 =a 3 +a 2 b-a 2 b+b 3 =a 2(a+b ) -b (a2 -b 2) =a2(a+b ) -b ( a+b ) ( a-b )=(a+b ) [ a2 -b ( a-b ) ] = ( a+b ) ( a 2 -ab+b 2)a3 -b 3 =a 3 -a 2 b+a 2 b-b 3 =a 2(a-b ) +b (a2 -b 2) =a2(a-b ) +b ( a+b ) ( a-b )= ( a-b ) [ a2 +b( a+b ) ]= ( a-b ) ( a 2 +ab+b 2) 例3、分解因式：x 6 -64y 6解一：原式= (x 3 )2 – (8y 3)2 =(x 3 +8y 3) (x 3 –8y 3 )=( x+2y) (x 2–2xy+4y 2 ) (x–2y) ( x 2 +2xy+4y 2 )解二：x 6 -64y 6 =( x 2 )3 –(4y 2)3 =( x 2 –4y 2) ( x 4 +8x 2 y 2+16y 4 –4x 2 y 2 )=( x+2y) (x–2y)[ (x 2 +4y 2 )2 –(2xy) 2]=( x+2y) (x–2y)( x 2 +2xy+4y 2 ) (x 2 –2xy+4y 2 )注意：分解时既用平方差公式又用立方差公式，一般先用平方差公式，可简化步骤。

3、分组分解法多项式含有多个单项式时，从整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，能够提取公因式或利用公式的，进行适当的分组，使得分组后能够提取公因式或利用公式。

例4、分解因式：am+an–bm–bn解：原式= (am+an ) – (bm+bn ) =a ( m+n ) –b ( m+n) = ( a– b )( m+n )3例5、分解因式：a 2 +b 2 –c 2 –2ab解：原式= (a 2 –2ab+b2) –c 2 = (a–b )2 –c 2 = (a–b+c ) (a–b–c )4、十字相乘法（1）形如ax 2 +bx+c 的二次三项式，如果有mn=a，pq=c，且mq+np=b, 则可把该式分解为ax 2 +bx+c=(mx+p ) ( nx+q) 。

注意：凡是能十字相乘法分解的二次三项式ax2+bx+c，都要求判别式Δ =b2 –4ac≥0，能在有理数范围内分解的，还必须是一个完全平方数。

例6、分解因式：3x 2 –11x+10解：原式=( 3×1 ) x 2 + [ 1× (-5 ) +3× ( -2 ) ] x+(–2 ) × (–5 )=(x-2 ) ( 3x-5 )例7、分解因式：6x 2 y 2 –xy–15解：原式=2×3x 2 y 2 +[ 2× ( –5 ) +3×3 ] xy+3× (–5 )=( 2xy+3 )(3xy-5 )例8、已知k 为正整数，2x 2 +3x+k 能够在整数范围内分解因式，求k 值。

解：Δ=32 –4×2k=9–8k≥0，k≤ 98，且为正整数∴k=1例9、（2004⋅杭州）要是二次三项式x 2 –5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（）。

A、2 个B、4 个C、6 个D、无数个解：Δ=（–5）2 –4p=25–4p≥0，即p≤ 254只要p 能分解为和为–5 的两个数，这样的数有无数组，故选D （2）二次项系数为1 时，是相对上面标准二次三项式的简化。

x 2 +( p+q) x+pq=( x+p ) (x+q)例10、分解因式：x2 –5x+6解：原式=x 2 +[ (–2 ) +( –3 ) ]x+(–2 ) × (–3 ) =( x–2 ) (x–3 )例11、分解因式：x 2 –2x–35解：原式=x 2 +[ 5+(–7 ) ] x+5× (–7 ) =( x+5 ) ( x–7)4（3）对于齐次多项式ax 2 +bxy+cy 2 ，将一个字母当做常数处理，把原多项式看成关于另一个字母的二次三项式，就可以利用十字相乘法进行分解。

例12、分解因式：15x2 +7xy-4y 2解：原式=( 5x+4y)(3x–y)例13、分解因式：x 2 –6xy+8y 2解：原式=( x–4y) ( x–2y)（4）对于高次多项式形如ax 2n +bx n +c 或ax 2n +bx n y m +cy 2m 的，参照上面方法进行，分解后的多项式由于次数较高，如果有能继续分解的要继续分解，直至分解彻底。

例14、分解因式：2s4 –5s 2 +3解：原式=( s 2 –1 ) ( 2s 2 –3 ) =(s+1 ) (s–1 )(2s 2 –3 )例15、分解因式：12m 4 –19m 2 n 2 –18n 4解：原式=( 4m 2 –9n 2 ) (3m 2 +2 ) =(2m+3) (2m–3 ) ( 3m 2 +2 )5、拆项法（包含添项法）把多项式的某一项拆开成其和与原项相等的两项或多项，一个不存在的项也可以拆成其和为0 的两项或多项（也称添项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

注意：拆项（或添项）必须是在与原多项式相等的原则下进行的恒等变换，否则此处一步错，后面步步错。

例16、分解因式：x 3 –3x 2 +4解一：原式=x 3 +1–3x 2 +3=( x+1 )( x 2 –x+1 ) –3 (x+1 ) (x–1 )= (x+1 ) (x 2 –x+1–3x+3 )=(x+1) (x 2 –4x+4 ) =(x+1 )(x–2 )2解二：原式=( x 3 –3x 2 –4x)+4x+4=x (x 2 -3x–4 ) +4 (x+1 )=x (x+1 ) (x–4 ) +4 ( x+1 ) =(x+1 )(x 2 –4x+4 ) =(x+1 ) (x–2 )2例17、分解因式：bc ( b+c ) +ca( c–a) –ab (a+b )解：原式=bc (c-a+a+b )+ca(c–a) –ab ( a+b )=bc ( c–a) +ca(c–a) +bc ( a+b ) –ab ( a+b )=c (c–a) ( b+a) +b (a+b ) (c–a) =(c+b ) (c–a) (a+b )例18、分解因式：x 9 +x 6 +x 3 –3解：原式=x 9 –1+x 6 –1+x 3 –1=( x 3 –1 ) ( x 6 +x 3 +1 )+(x 3 –1 ) ( x 3 +1 ) +(x 3 –1)=( x 3 –1 ) ( x 6 +x 3 +1+x 3 +1+1 ) =( x-1 ) (x 2 +x+1 ) (x 6 +2x 3 +3 )6、配方法有些多项式可以使用拆项法将其配成一个完全平方式，然后剩余部分再利用平方差公式，就能将其因式分解。

（1）为了方便运算，二次项系数不为1时，先提出二次项系数，使其变为1。

（2）对于形如x 2 +bx+c 的二次三项式，作变换：x 2 +bx+c=x 2 +bx+（b2）2 +c–（b2）。