1.1.1集合的含义与表示
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1.1.1集合的含义与表示
解：由集合中元素的互异性知
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.
1.1.1集 合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到“集合”这个概念。
那什么是集合呢？集合就像是一个“大口袋”，把一些具有特定性质的对象装在一起。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合；一个书架上的所有书籍也能构成一个集合；一年中所有的月份也能形成一个集合。
从这些例子可以看出，集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
集合中的每个对象都被称为这个集合的元素。
元素是构成集合的基本单位。
比如在班级同学这个集合中，每一位同学就是其中的一个元素。
那怎么来表示一个集合呢？常见的方法有列举法、描述法和图示法。
列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来。
就像咱们刚刚说的一年中所有的月份这个集合，就可以用列举法表示为｛1 月，2 月，3 月，4 月，5 月，6 月，7 月，8 月，9 月，10 月，11 月，12 月｝。
再比如小于 5 的自然数组成的集合，用列举法就是｛0，1，2，3，4｝。
描述法呢，是通过描述元素所具有的共同特征来表示集合。
比如｛x ｜ x 是小于 10 的正整数｝，这个集合就表示了小于 10 的所有正整数。
又比如｛x ｜ x 是方程 x² 4 ＝ 0 的解｝，通过这样的描述，我们就能清楚地知道这个集合里的元素是哪些。
图示法中，我们常用的是韦恩图。
通过画一个封闭的曲线，把集合中的元素放在这个曲线内部。
比如有两个集合 A 和 B，A 是｛1，2，3｝，B 是｛2，3，4｝，我们就可以用韦恩图来直观地表示它们之间的关系。
集合还有一些重要的特性。
确定性是说，对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的。
不能模棱两可，比如说“个子高的同学”就不能构成一个集合，因为“个子高”这个标准不明确。
互异性指的是集合中的元素不能重复。
比如｛1，2，2，3｝这样的表示就是错误的，应该写成｛1，2，3｝。
无序性则表示集合中的元素排列顺序是无所谓的。
｛1，2，3｝和｛3，2，1｝表示的是同一个集合。
1.1.1集合的含义与表示
例题9
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.
高一数学必修1第一章课件：1.1.1集合的含义与表示 课件(36张)
(2)列举法和描述法
列举法
描述法
把集合的元一素一列举
用集合所含元素的
_____________出来，并用
共同特征
概念
_______________表示集合的
花括号“{ }”括起来表示集
方法
合的方法
一般
形式 {a1，a2，a3，…，an}
{x∈I|p(x)}
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合．( √ ) (2)高一·二班“数学成绩好的同学”能组成集合．( × ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素．( × ) (4)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示的是同一集合．(√ )
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于 a是集合A中的元素 a∈A a属于集合A
不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A
3.常用的数集及其记法
常用的 自然数 数集 集 记法 N
正整数集 N*或N＋
有理数
整数集
实数集
集
Z
QR
4.集合的表示法 (1)自然语言法 用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法要注意叙述 清楚，如由所有正方形构成的集合，就是自然语言表示的， 不能叙述成“正方形”．
4．当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝___4_____，b＝ __－__1____．
集合的概念 判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)新华中学高一年级全体学生； (2)我国的大河流； (3)不大于 3 的所有自然数；
(4)平面直角坐标系中，和原点距离等于 1 的点．
(链接教材P3思考) [解] (1)能，(1)中的对象是确定的；(2)不能，“大”无明确标 准；(3)能，不大于 3 的所有自然数有 0、1、2、3，其对象是 确定的；(4)能，在平面直角坐标系中任给一点，可明确地判 断是不是“和原点的距离等于 1”，故能组成一个集合．
1.1.1 集合的含义与表示ppt
（3）Venn图（韦恩图）
１，－１
１，３，５， ７，９
思考：结合上述实例，试比较用自然语言、列举法和 描述法表示集合时，各自的特点和适用的对象。
1.自然语言：较通俗易懂，但书写较麻烦。适用于集合中元 素有无数多个，且共同特征不易用于数学符号叙述的集合。 2.列举法：易明确知道集合中的元素，但当集合中元素过多， 且不具有一定规律时无法用列举法，只有当集合中元素个数有 限且较少或集合中元素个数虽无数，但元素共同特征易于数学 符号描述时可用列举法。 3.描述法：可很明确知道集合中元素共同特征，且形式比较简 单，此方法使用于集合中元素个数无限，且元素共同特征易用 数学符号描述。
思考1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象 的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么？ 归纳总结这些例子，你能说出它们的共同特征吗？
定义：
集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
（常用大写字母A、B、C、…表示） 元素：一般地，我们把究研的对象称为元素， （常用小写字母a,b,c …表示）
用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，
18，19}
注意：
如果从上下文关系来看， x∈R， x∈Z是明确的，
那么x∈R， x∈Z可以省略，只写元素x,例如集 合D= {xR| x<10}也可表示为D= {x| x<10}，
集合E= {xZ| x=2k+1,k Z}也可表示为 E= {x| x=2k+1,k Z}，
把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为？
B={1，-2}
例1 用列举法表示下列集合
使用列举法时，应注意以下几点：
1.1.1 集合的含义与表示
有理数于3小于11的偶数； { 4,6,8,10 } A=
②1∼10以内的奇数；
1、列举法 B= { 1,3,5,7,9 }
就是将集合中的元素一一列举出来并放在 大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内； 3、别忘了大括号。
例1.用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程
{ x | p(x) }
x为该集合的 代表元素 p(x)表示该集 合中的元素x 所具有的性 质
例如：x―7<3的解集可以表示为：
｛x∈R|x<10｝
例2.用描述法表示下列集合：
1. 小于10的所有有理数组成的集合； 2. 所有偶数组成的集合； 2 3. 二次函数 y x 2 的函数值组成 的集合； 2 4. 抛物线 y x 2 上的点组成的 集合；
4、集合与元素的关系:
若a是A中元素，记为
a A,
若a不是A中元素，记为
a A
5、有限集：元素个数有限的集合. 无限集：元素个数无限的集合.
集合的三种表示方法：
1、列举法：
2、描述法：
3、图示法：
集合中元素具有 确定性 互异性 无序性
一般 地：我们用小写拉丁字母a,b,c…表示元 素，用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.
若a是A中元素，记为 a A 若a不是A中元素，记为 a A
1、常见数集的表示
N：自然数集（含0）即非负整数集 N+或N*：正整数集（不含0) Z: 整数集
Q：
R：
练习，用适当的方法表示下列集合
1. 小于100的自然数组成的集合； 2. 不等式 2 x 3 3x 的解集 2 3. 方程 x x 6 0 的解集
1.1.1集合的含义与表示
一、集合的含义 1.什么是集合？
一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元 素组成的总体叫做集合（简称为集）。
元素：用小写字母a,b,c...表示 集合：用大写字母A,B,C...表示
2.集合与元素的关系 • 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 a A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，
• 正整数集：N*或N+ • 整数集：Z
• 有理数集：Q
• 实数集：R
二、集合的表示
• 列举法：把集合的元素一一列举出来，写在大括号内 注：1.元素之间要用逗号隔开 2.元素不能重复
如：地球上的四大洋组成的集合表示为｛太平洋，大西洋， 印度洋，北冰洋｝
方程（x 1)( x 2) 0 组成的集合表示为｛1，-2｝
梦 境
集合？ 例:(1)1~20内的所有整数 1，2，3，4，5..... • (2)亚洲的所有国家 中国，韩国，日本，印度..... • (3)所有的正方形 • (4)方程x2 3x 2 0 的所有实数根 - 1 , - 2 • (5)化德一中2020年9月入学的所有高一学生
二、集合的表示
• 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合 注：集合的代表元素
如：不等式 x 7 3的解集，共同特征：x R ,且 x 7 3
集合表示为：｛x R x 10｝
列举法主要针对集合中元素个数较少的情况，而描述法 主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况
记作 a A
• 例：1~20内的所有素数记为集合A，则 3 A，4 A
素数：除1和它本身外，不能被其他自然数整除的 数。
判断下列对象能否组成集合： • 1.小于6的正整数 • 2.大于3小于11的偶数 • 3.中国男子足球队中技术很差的队员 • 4.中国的富翁 • 5.爱好足球的人 • 6.世界上所有的高山
1.1.1集合的含义及表示
考点：元素与集合的关系
一、用合适的符号填空 1、已知A表示大于1且小于10的 所有质数，则 1___A; 2___A;4___A;5___A 2、用P表示我国的直辖市，则 广州___P；重庆___P;北京___P
四、常用数集的符号表示(熟记)
N 正整数集： 或N
整数集：Z 自然数集：N
有理数集：Q
｛， 12 ｝与｛， 21 ｝是相同的集合√ ｛ ｝与｛ 是相同的集合 3.14 ｝
×
二、集合的概念和性质
3、集合相等:两个集合中的元素 完全相同
｛， 12 ｝与｛， 21 ｝是相同的集合 {1 2 ， ｛， ｝= 2 1 ｝
三、元素与集合的关系
1、元素与集合的表示 元素：用a,b,c…表示 集合：用A,B,C…表示 2、元素与集合的关系： 属于，不属于 符号表示：a A, a A
一、接触过的集合的概念
垂直平分线：到线段两端点的距 离相等的点的集合
角平分线：到角两边的距离相等的 点的集合 圆：到定点的距离等于定长的点 的集合
学过的数集： 自然数集→ 整数集 →有理数集→ 实数集 → Z → Q → R N
注： 1、正整数集与自然数集的区别 2、研究的每一个对象称为元素； 这些元素的全体则构成一个集合
实数集：R
五、分析与研究
1、给出下列四个关系：
3 R,0.7 Q,0 {0},0 N
其中正确的个数是_______ A、1 B、2 C、3 D、4
2、下列四个命题：
（1）集合N中最小的元素是1
若 （2） a N , 则
小值是2
a N
（3）若a N , b N ,则a+b中的最 （4） x 4 4 x 的解集是{2，2}
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教材分析4
列举法
规范形式见板书
一起写出答案
教材分析5
描述法
奇数集
偶数集怎样表示呢？ 规范形式见板书
教材分析6
一起写出答案
一起总结一下
《高中同步辅导与检测》 P1 [思考尝试·夯基] T3 P2 [典例3]
小结与 知识框 图：
确定性
集合中元 素的特性 集合与元 素的关系
互异性 无序性
属于 不属于
数学 洪伟荣老师
关于学习的理论：
由美国人Noel Tichy提出的理论，图里的3个区可以表示为你想 学习的事物的等级： 最里面一圈，“舒适区”， 对于你来说是没有学习难度的知识 或者习以为常的事务，自己可以处于舒适心理状态。
中间一圈，“学习区”，对自己来说 有一定挑战，因而感到不适，但是不 至于太难受。 最外面一圈，“恐慌区”，超出自己 能力范围太多的事务或知识，心理感 觉会严重不适，可能导致崩溃以致放 弃学习。
学好数学的基本要求： 认真听课、适当笔记、 独立作业、 不懂就问、巩固复习、 形成体系
非负整数集 （或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集
集合 常见特殊集 合的表示
集合的表示 方法
一般集合 的表示
大写字母法 列举法 描述法
学好数学的基本要求： 认真听课、适当笔记、独立作业、 不懂就问、巩固复习、形成体系 关于作业：
一般由两个部分组成： 1.课本：做在书上，或做在作业本上，一个模块尽量只用 一个作业本，方便以后复习； 2.《金版学案高中同步辅导与检测》（以后简称《金版》） 一般仅要求做每一节课的A级题。
第 一 章 集 合 与 函 数 概 念
1.1.1 集 合 的 含 义 与 表 示
阅读课本P2-P3至第3页倒数第5行，“例1”之上； 掌握、理解板书上的相关概念、知识。
教材分析1
教材等集合*
补（3）：我班比较帅的男生
教材分析3
集合与元素的关系
注意正确表示自然数集: 自然数：Natural number 所以就用N了 2.用Z表示整数集: 这个涉及到一个德国女数学家对环理论的贡献,她叫诺特. 诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数 环）.她是德国人,德语中的整数叫做Zahlen,于是当时她将 整数环记作Z,从那时候起整数集就用Z表示了. 3.用Q表示有理数集（the set of all rational numbers） : 由于两个数相比的结果(商)叫做有理数,商英文是quotient, 所以就用Q了 4.用R表示实数集： 实数：Real number 所以就用R了