1.1.1集合的含义与表示 练习题(1)
人教A版高中数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》同步练习题 答案和解析
人教A 版高中数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A2．设x ∈N ，且1x∈N ，则x 的值可能是( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．0或13．下面四个关系式：π∈{x|x 是正实数}，0.3∈Q，0∈{0}，0∈N，其中正确的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．14．集合{x∈N|－1<x<112}的另一种表示方法是( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{1，2，3，4} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，5}5．已知集合A ＝{x∈N *|，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈AC ．D ．1∈A6．集合M ＝{(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集7．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．已知A ＝{x|3－3x>0}，则有( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈A D ．－1∉A二、填空题9．集合A ＝{x|x∈N 且42x-∈Z}，用列举法可表示为A ＝________. 10．一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素.11．点(1,3)P 和集合},)(2{|Ax y y x =+＝之间的关系是________. 12．用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x∈N，y∈N *}为________. 13．若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .14．下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)| 31x y x y +=⎧⎨-=⎩}，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个.三、解答题15．“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”.(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.16．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 17．已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.18．已知集合A ＝{0，2，5，10}，集合B 中的元素x 满足x ＝ab ，a∈A，b∈A 且a≠b，写出集合B ．19．已知集合S 满足条件：若a S ∈，则1(0,1)1aS a a a+∈≠≠±-．若3S ∈，试把集合S 中的所有元素都求出来． 20．集合A ＝{x|2y x y x=⎧⎨=⎩ }可化简为___以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由. 学生甲：由2y xy x=⎧⎨=⎩得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0，1}； 学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0，0)，(1，1)}.参考答案1．C 【解析】分析：根据集合A 的表示，判断出a 是A 的元素，根据元素与集合的关系，是属于与不属于，从而得到答案. 详解：集合{}A a =，a A ∴∈.故选C.点睛：在解决元素与集合的关系时，注意它们的关系只有“属于”与“不属于”两种. 2．B 【解析】首先x≠0，排除A ，D ；又x∈N，排除C ，故选B. 3．A 【解析】本题考查元素与集合之间的关系，由数集的分类可知四个关系式均正确.选A. 4．C 【解析】 ∵x∈N，且－1<x<112，∴集合中含有元素0，1，2，3，4，5，故选C. 点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集．列举法应用于有限集，特别为单元素集合. 5．D 【解析】∵x∈N *1，2，即A ＝{1，2}，∴1∈A.选D. 6．D 【解析】根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集7．D 【分析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确； 当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 8．C 【解析】因为A ＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.选C. 9．{0，1，3，4，6} 【解析】 注意到42x-∈Z，因此，2－x ＝±2，±4，±1，解得x ＝－2，0，1，3，4，6，又∵x∈N，∴x＝0，1，3，4，6. 10．1 【解析】这样的三角形只有1个，是两腰长为6，底边长为3的等腰三角形. 11．P A ∈ 【详解】在2y x =+中，当1x =时，3y =， 因此点P 是集合A 的元素，故P A ∈. 故答案为：P A ∈.12．{(0，3)，(1，2)，(2，1)} 【解析】集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1.故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}. 13．{}4,9,16 【分析】解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{}2|,B x x t t A ==∈，2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,{}4,9,16B ∴=，那么用列举法表示B ={}4,9,16.本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题. 14．2 【解析】因为集合{(2，1)}的元素表示的是有序实数对，由已知集合的代表元素知，元素为有序实数对的是C ，D ，而A 表示含有两个元素x ＝2，y ＝1的集合，B 表示含有2个元素的集合. 15．{60，120，180}. 【解析】试题分析：先判断三女相会的日数必为5，4，3的公倍数，再求最小的三个整数，并用集合形式表示试题解析：三女相会的日数，即为5，4，3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60，120，180}. 16．a ＝0或1. 【解析】 试题分析：试题解析：∵a∈A 且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2. 又∵a 是自然数∴a ＝0或1. 17．a ＝－1.【解析】试题分析：本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证. 试题解析：若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 18．B ＝{0，10，20，50}. 【解析】试题分析：先按是否取零进行讨论，再根据乘积结果，利用集合元素互异性进行取舍 试题解析：解析 当或时，x ＝0；当或时，x ＝10； 当或时，x ＝20； 当或时，x ＝50.所以B ＝{0，10，20，50}.点睛：常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数． 19．113,2,,32-- 【分析】由条件“若a S ∈，则11aS a+∈-”可进行一步步推导，根据所得值循环出现可得答案． 【详解】∵3S ∈，∴13213S +=-∈-，从而1(2)11(2)3S +-=-∈--，则11131213S ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴1123112S +=∈-，出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合S 中的所有元素为113,2,,32--．【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 20．甲正确 【解析】试题分析：先解方程组得解集，再根据集合代表元素得应为数集，不是点集，因此选甲 试题解析：同学甲正确，同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ，因此满足条件的元素只能为x ＝0，1；而不是实数对故同学甲正确.。
1.1.1集合的含义与表示精选必考题1
1.1.1集合的含义与表示精选必考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}33x x +=B ．(){}22,,,x y y x x y R =-∈C ．{}20x x ≤D ．{}210,x x x x R -+=∈ 2．下列关系中，正确的是( )A ．0N +∈B ．3Z 2∈ C ．πQ ∉ D ．0⊆n 3．已知集合{}2320A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a =（ ） A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或984．对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M =，则满足条件的非空集合M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．16 5．如果集合{}2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-6．设集合2{|log (1)}A x y x ==-，{|B y y ==，则A B =I （ ） A ．(0,2] B ．(1,2) C ．(1,)+∞D ．(1,2] 7．下列四个关系中，正确的是（ ）A ．{},a a b ∈B ．{}{},a a b ∈C ．{}a a ∉D ．{},a a b ∉ 8．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是（ ）A ．7B ．11C ．13D ．14 9．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形10．若集合()22017*2,10,,2n mn n A m n m Z n Z ⎧⎫++⎪⎪==∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合A 的元素个数为（ ）A ．4038B ．4036C ．22017D ．22018二、多选题11．下列各组对象能构成集合的是（ ）． A ．拥有手机的人B ．2019年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数 12．（多选）已知,,x y z 为非零实数，代数式||||||xyz x y z x y z xyz+++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．0M ∉B ．2M ∈C ．4M -?D ．4M Î 13．（多选）下面四个说法中错误的是（ ）A ．10以内的质数组成的集合是{}2,3,5,7B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,1,2C ．方程2210x x -+=的所有解组成的集合是{}11，D ．0与{}0表示同一个集合14．（多选）已知集合{}A x x x =≤∈R ，a =，b = ） A ．a A ∈B ．a A ∉C ．b A ∈D ．b A ∉三、填空题15．已知集合A ={x ，y x，1}，B ={x 2，x +y ，0}，若A =B ，则x 2017+y 2018=______． 16．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为__． 17．已知集合A={x|x 2-3x ＜0，x ∈N *}，则用列举法表示集合A= ______ ．18．不等式31x x a-≥+的解集为M ，若2M -∉，则实数a 的取值范围为________． 19．已知a ∈R ，不等式31x x a -≥+的解集为P ，且-2∈P ，则a 的取值范围是______． 20．设集合{,,1}A x xy xy =-，其中x ∈Z ，y ∈Z 且0y ≠. 若0A ∈，则用列举法表示集合A =________21．如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，那么a 的值是___________． 22．下列关系正确的有__________.Q ；②{}0∅n ；③(){}{}22,4|,y y x x R ⊆=∈；④{}00∈. 23．集合{}2340A x ax x =--=的子集只有两个，则a 值为____________.24．若集合{}2210,A x ax x a R =++=∈至多有一个元素，则a 的取值范围是___________．25．已知集合{}21,1,3A a a a =+--，若1A ∈，则实数a 的值为______．26．若集合A =2{|310}x ax x -+=中只含有一个元素，则a 值为__________；若A 的真子集个数是3个，则a 的范围是 __________。
1.1.1集合的含义与表示
例2、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
a∈R}只有一个元素，求a的值与这个元素. 解：（1）当a＝0时，x＝－1.
（2）当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. 综上所述：a＝1时，这个元素为－2. a＝0时，这个元素为－1.
练习、已知集合A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，
1. 定 义
一般地, 把研究对象统称为
元素. 把一些元素组成的总体叫
做集合（又简称集）.
2.
集合的表示
一般用花括号”{ }（表示全体）” 表示集合 也常用大写的拉丁字母A、B、C…表 示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
3.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属 于集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属 于集合A，记作aA.
1.1.1集合的含义与表示
观察下列对象:
（1） 1-20以内所有的素数；
（2）到直线l的距离等于定长d 的所有 的点；
（3）满足x－3＞2 的实数；
（4）宣汉中学2013年9月入学的所有的高一 学生； （5）抛物线y=x2上的点； 观察上面各对
（6）所有的正方形.
象，这6个实例 的共同特征是 什么?
问题2：我们看这样一个集合： { x |x2＋x＋1＝0}，它有什么特征？ 显然这个集合没有元素.我们把这样的集合 叫做空集，记作.
⑶空 集：不含任何元素的集合.记作 ．
2、按元素性质分为： 数集和点集
例1、设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D ＝ { ( x , y ) | y ＝ x 2－ 1 } 它们表示含义相同吗? 解：集合A表示由一个等式(或方程或函数)组成的集
集合的含义与表示(1)
小结：
1.集合的概念 2.集合中元素的性质 3.集合与元素的表示 4.几个重要的数集 5.集合与元素的关系
4.集合与元素的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于
（belong to）集合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属 于(not belong to)集合A，记作aA.
注:∈，是表示元素与集合关系的专用符号，若不是元素
与集合关系则不能使用。
4.几个重要的数集:
➢ N：自然数集(含0) ➢ N*(N+) 正整数集(不含0) ➢ Z：整数集 ➢ Q：有理数集 ➢ R：实数集
0.5___Q, 0.5___R,
2 ___N; 2 ___Z; 2 ___Q;
2 ___R;
3、若-3∈{m-1，3m，m2+1}，求实数m
解: -3∈{m-1，3m，m2+1} m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3 m=-2,或m=-1,（m2+1=-3无实数解，舍去）
代入检验符合集合元素的互异性 所以实数m=-2或-1
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
D. ②③⑤⑥⑦⑧
下列指定的对象，能构成一个集合的是 ①很小的数 ②不超过 30的非负实数 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 ④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生 ⑥所有无理数 ⑦大于2的整数 ⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
答:(1) 集合的元素是:4、6、8、10 （2）集合的元素是1、-1 （3）集合的元素是1、3、5、15
2、用符号 或填空：
1___N, 1___Z,
1.1.1集合的含义与表示(1)
这两个集合是相等的.
(3)整数集,记作Z;
6,集合的表示方法
(1)列举法:把集合的元素一一列举出来,并且用花 括号"｛｝"括起来表示集合的方法. 例:我们可以把"方程(x+1)(x-2)=0的所有实数根" 组成的集合表示为｛-1,2｝.
例1，用列举法表示下列集合： (1)方程(x2－1)(x2＋2x－8)＝0的解集为________． (2)方程|x－1|＝3的解集为________． (3)绝对值小于3的整数的集合为________．
构成的集合怎么表示？
福建宏翔高级中学
知识引入
其实在初中，大家也接触过“集合”一词。 那么，请大家回忆一下在初中有哪些地方接触过 “集合”一词呢？
观察下列实例：
（1） 1～20以内的所有质数； 2,3,5,7,9,11,13,17,19
（2）绝对值小于3的整数； （3）满足x－3＞2 的实数；
-2,-1,0,1,2
x>5
(2)若a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作 a∈ / A。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称 4,集合的三个特征
(1)确定性：它的元素必须是确定的。 (2)互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性：集合中的元素无顺序,可以任意排列, 调换. 5,数学中常用的数集及其记法 (1)自然数集,记作N; (2)正整数集,记作N*或N+; (4)有理数集,记作Q; (5)实数集,记作R;
（4）我国古代四大发明; 造纸术,印刷术,指南针,火药 （5）宏翔高中高一（10）班的所有同学； （6）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
知识新知
1,集合的含义：一般地,我们把研究的对象统称为 元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集). 2,表示方法：集合通常用{}或大写的拉丁字母 A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表 示。 3,元素与集合关系： (1)若a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A。
高中数学 1.1.1 集合的含义和表示 第1课时同步练习 湘教版必修1-湘教版高一必修1数学试题
高中数学 1.1.1 集合的含义和表示 第1课时同步练习 湘教版必修11．下列集合中有限集的个数是( )．①不超过π的正整数构成的集合；②平方后等于自身的数构成的集合；③高一(2)班中体重在55 kg 以上的同学构成的集合；④所有小于2的整数构成的集合．A ． 1B ．2C ．3D ．42．下列说法正确的个数是( )．①集合N 中最小的数是1；②－a 不属于N ＋，则a ∈N ＋；③所有小的正数构成一个集合；④方程x 2－4x ＋4＝0的解的集合中有且只有两个元素．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列选项正确的是( )．A ．x －5∈N ＋B ．π∉RC ．1∉QD ．5∈Z4．已知集合S 中含有三个元素且为△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．由a 2,2－a,4组成一个集合M ，M 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )．A ．1B ．－2C ．6D ．26．若集合M 中只有2个元素，它们是1和a 2－3，则a 的取值X 围是__________．7．关于集合有下列说法：①大于6的所有整数构成一个集合；②参加2010年亚运会的著名运动员构成一个集合；③平面上到原点O 的距离等于1的点构成一个集合；④若a ∈N ，则－a ∉N ；⑤若x ＝2，则x ∉Q .其中正确说法的序号是__________．8．由方程x 2－3x ＋2＝0的解和方程x 2－4x ＋4＝0的解构成的集合中一共有__________个元素．9．若所有形如3a (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6-+是不是集合A 中的元素．10．数集M 满足条件：若a ∈M ，则11a a +-∈M (a ≠±1，且a ≠0)，已知3∈M ，试把由此确定的M 的元素求出来．参考答案1. 答案：C解析：④为无限集，①②③为有限集．2. 答案：A解析：集合N 中最小的数应为0，所以①错；12a =时，－a ∉N ＋，且a ∉N ＋，故②错；“小的正数”不确定，不能构成集合，③错；方程x 2－4x ＋4＝0只有一个解x ＝2，它构成的集合中只有一个元素，故④错．3. 答案：D解析：x 的值不确定，故x －5的值不一定是正整数，故A 错；应有π∈R,1∈Q ，故B ，C 均错．4. 答案：D解析：S 中含有三个元素，应互不相等，即三角形的三条边互不相等，故该三角形一定不是等腰三角形．5. 答案：C解析：将各个值代入检验，只有a ＝6使得集合M 中元素满足互异性．6. 答案：a ≠2且a ≠－2解析：由集合元素的互异性知a 2－3≠1，a 2≠4，所以a ≠2且a ≠－2.7. 答案：①③⑤解析：“著名运动员”的性质不确定，不能构成集合，故②不正确；当a ＝0时，a ∈N ，且－a ∈N ，故④错误．8. 答案：2解析：方程x 2－3x ＋2＝0的解是1和2，方程x 2－4x ＋4＝0的解是2，它们构成的集合中仅含有2个元素．9. 解：由于6-+2)×2，且－2∈Z,2∈Z ，所以6-+A 中的元素，即6-+A ．1＝3×13＋×1，但由于13∉Z，不是集合A∉A．10.解：∵a＝3∈M，∴1132113aa++==---∈M.∴121123-=-+∈M.∴11131213-=+∈M.∴1123112+=-∈M.∴M中的元素有：3，－2，13-，12.。
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
1.1.1集合的含义与表示精选必考题6
1.1.1集合的含义与表示精选必考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列表述中正确的是（ ）A ．{}0=∅B ．{(1,2)}{1,2}=C ．{}∅=∅D ．0N ∈ 3．下列各组两个集合A 和B 表示同一集合的是A ．{}{}π, 3.14159AB ==B ．{}(){}2,3,2,3A B ==C ．{}{π,π,1,A B ==D ．{}{}|11,,1A x x x B =-<≤∈=N4．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个元素，则实数k 的值是（ ） A ．±2或-1 B ．-2或-1 C ．2或-1 D ．-2 5．已知集合2{|210,,}A x ax x a x =++=∈∈R R 只有一个元素，则a 的值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．—1 6．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（ ）①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③ 7．若24{2,}x x ∈+，则实数x 的值为（ ）.A ．2-B ．2C ．2或2-D ．2或4 8．若集合A =}{1x ax ≥是包含-2的无限集，则a 的取值范围是（ ） A ．12a >- B ．12a ≥- C ．12a <- D ．12a ≤- 9．下列选项能组成集合的是（ ）A ．兴趣广泛的同学B ．个子较高的男生C ．英文26个字母D ．非常大的数10．设a ，b R ∈，集合{}1,,A a b a =+，0,,b B b a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-11．下列几组对象可以构成集合的是（ ）A ．充分接近π的实数全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的学生D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人12．以下五个关系：{}{},,a b b a ⊆，{}0∅∈，0∈∅，{}{}0∅⊆，{}0∅Ü，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 13．方程组23,y x y x =⎧⎨=⎩的解集为（ ） A ．{}0,3B ．{}3,9C ．()(){}0,0,1,3D ．()(){}0,0,3,914．若{}21,a a ∈，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1D ．±1 15．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N为（ ）． A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5 16．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20182019a b +的值为（ ）． A ．2- B ．1 C ．1- D ．217．已知集合{}|31,M x x m m Z ==+∈，{}|32,N y y n n Z ==+∈，若0x M ∈，0y N ∈，则00x y 与集合M ，N 的关系是（ ）A ．00x y M ∈但00x y N ∉B ．00x y N ∈但00x y M ∉C ．00x y M ∉且00x y N ∉D ．00x y M ∈且00x y N ∈18．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．619．下列对象能构成集合的是（ ）A ．高一年级全体较胖的学生B ．30,45,cos 60,1sin sin o o oC ．全体很大的自然数D ．平面内到ABC ∆ 三个顶点距离相等的所有点20．若集合{}2|440,A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为 ( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．1k <二、填空题．若集合a －4}为空集，则实数a 的取值范围是________．22．已知集合{|A x x Z =∈且32Z x ⎫∈⎬-⎭，则集合A 中的元素个数为________． 23．用符号“∈”或“∉”填空：（1）若集合P 的实数构成，则P ;（2）若集合Q 由可表示为n 2+1(*n ∈N )的实数构成，则5____ Q .24．点P(1，3)和集合A ＝{(x ，y)|y ＝x ＋2}之间的关系是________.25．集合A ＝{x|x ∈N 且42x-∈Z}，用列举法可表示为A ＝________. 26．一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 27．用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x ∈N ，y ∈N *}为________.28．下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)| 31x y x y +=⎧⎨-=⎩}，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个.29．设集合{1,2,3,4}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，使得A 中最大的数不大于B 中最小的数，则可组成不同的子集对(,)A B __________个．30．用列举法表示集合10|,1M m m m +⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭N Z __________． 31．已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={(x,y)|x ∈A,y ∈A,x −y ∈A}，则集合B 中所含元素的个数为_________________．32．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．33．已知集合M={3，m+1}，4∈M ，则实数m 的值为______．34．若集合{}{,,,}1,2,3,4,a b c d =且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(,,,)a b c d __________,符合条件的全部有序数组(,,,)a b c d 的个数是_________.35．若集合{}2|40,?A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______． 36．若实数a 满足:{}21,4,a a ∈,则实数a 的取值集合为_____. . 37．集合{|y y ∈N =8,,1}1x x x ∈≠-N 用列举法可表示为__________. 38．若集合{={，则 ， ．39．由m －1,3m ，m 2－1组成的3个元素集合中含有－1，则m 的值是________. 40．已知A={2,3,a 2+2a-3},B={|a+3|,2},若5∈A ,且5∉B ,则a 的值为_____.三、解答题41．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11a a +-∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素． 42．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素构成的，且－3∈A ，求实数a 的值. 43．设A 是实数集,满足若a ∈A ,则11-a∈A ,a ≠1,且1∉A ． (1)若2∈A ,则集合A 中至少还有几个元素?求出这几个元素.(2)集合A 中能否只含有一个元素?请说明理由.(3)若a ∈A ,证明:1-1a∈A ． 44．已知a,b ∈R,集合A 中含有三个元素1,a+b,a,集合B 中含有三个元素0,b a ,b,且集合A 与集合B 相等,求a,b 的值.45．已知集合A 中含有两个元素2a+1和3a-1,若-1∈A ,试求实数a 的值.46．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集？(1)方程(x ＋1) 223x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (x 2－2)(x 2＋1)＝0的有理根组成的集合A ； (2)被3除余1的自然数组成的集合；(3)坐标平面内，不在第一，三象限的点的集合；(4)自然数的平方组成的集合．47．已知集合{x|x 2＋ax ＋b ＝0}＝{2，3}，求a ，b 的值.48．．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负质数的集合；(2)大于10的所有自然数的集合．49．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}.(1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．50．已知集合{|24}A x x =≤<， {|3782}B x x x =-≥-，求A∩B ，A ∪B ， ()()R R C A C B ⋂.参考答案1．D2．D3．C4．A5．C6．C7．A8．D9．C10．A11．D12．B13．D14．B15．B16．B17．B18．D19．D20．C21．{a|a≤4}22．423．∉. ∈.24．P∈A25．{0，1，3，4，6}26．127．{(0，3)，(1，2)，(2，1)}28．229．4930．{}0,1,4,9.31．1032．{(x ，y )|0≤x ≤2且0≤y ≤1}33．334．(3,2,1,4) 635．436．{}1,2,2,0--37．{}1,2,4,838．，39．13-40．-441．2，－3，－12 . 42．32- 43．（1）至少还有两个元素-1和12.（2）不能（3）见解析 44．1,1a b =-=45．a=-1或a=0.46．(1)21,3A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ 有限集(2) {x |x ＝3k ＋1，k ∈N}无限集(3) {(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R}．无限集(4) {x |x ＝n 2，n ∈N}．无限集47．－5 648．（1）{}2,3,5,7 ；（2）{}10x x x ∈N ，49．（1）当0a ＝ 时，2A=3⎧⎫⎨⎬⎩⎭，当9a=8时，4A=3⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）9a=8 50．{|34}A B x x ⋂=≤<，{|2}A B x x ⋃=≥，()(){|2}R R C A C B x x ⋂=<。
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第一章 集 合1.1.1 集合的含义与表示一、选择题1．下列各组对象①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}， N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}， Q ＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( )A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ∉M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0}B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R }C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R }D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 二、填空题7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______．9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或∉填空：①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②21______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．13．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+321x z z y y x 的解集为______．14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 15．用描述法表示下列各集合：①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________． ③}75,64,53,42,31{______________________________________________________．16．已知集合A ＝{－2，－1，0，1}，集合B ＝{x ｜x ＝｜y ｜，y ∈A }，则B ＝______． 三、解答题17．集合A ＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．18．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的值．19．实数集A 满足条件：1∉A ，若a ∈A ，则A a∈-11． (1)若2∈A ，求A ；(2)集合A 能否为单元素集？若能，求出A ；若不能，说明理由； (3)求证：A a∈-11．20．已知集合A ＝{x ｜ax 2－3x ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R ①若A 是空集，求a 的范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值；③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．21．用列举法把下列集合表示出来： ①A =};99|{N N ∈-∈xx ②B =};|99{N N ∈∈-x x③C ＝{y ｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }；④D ＝{(x ，y )｜y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N }； ⑤E ＝⋅∈∈=+=*},,5,|{N N q p q p x qpx22．已知集合A ＝{p ｜x 2＋2(p －1)x ＋1＝0，x ∈R }，求集合B ＝{y ｜y ＝2x －1，x ∈A }．集合与集合的表示方法参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．D 5．A6．C 解析：在选项A 中，M ＝φ，P ＝{0}，是不同的集合；在选项B 中，有M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1≥1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1≥1，y ∈R }，是不同的集合，在选项C 中，y ＝t 2＋1≥1，t ＝(y －1)2＋1≥1，则M ＝{y ｜y ≥1}，P ＝{t ｜t ≥1}，它们都是由不小于1的全体实数组成的数集，只是用不同的字母代表元素，因此，M 和P 是同一个集合，在选项D 中，M 是由…，0，2，4，6，8，10，…组成的集合，P 是由…，2，6，10，14，…组成的集合，因此，M 和P 是两个不同的集合．答案：C ．二、填空题7．2 8．x ≠3且x ≠0且x ≠－1根据构成集合的元素的互异性，x 满足⎪⎩⎪⎨⎧=/-=/-=/.2,32,322x x x x x x解之得x ≠3且x ≠0且x ≠－1．9．2或4 10．①∈，∈，∈，∉，∈．②∈，∉，∈，∉． 11．m ＝3，n ＝2．12．31=a ，91=b ．解析：由题意知，方程x 2＋(a －1)x ＋b ＝0只有等根x ＝a ，则∆＝(a －1)2－4b ＝0①，将x ＝a 代入原方程得a 2＋(a －1)a ＋b ＝0②，由①、②解得91，31==b a .13．{(1，0，2)} 14．Q ＝{0，2，3，4，6，8，12}15．①{x ｜x ＝2n ，n ∈N *且n ≤6}，②{x ｜2≤x ≤4，x ∈N }，或{x ｜(x －2)(x －3)(x －4)＝0} ③}6,2|{*<∈+=n n n nx x 且N 16．B ＝{0，1，2}解析：∵y ∈A ，∴y ＝－2，－1，0，1，∵x ＝｜y ｜，∴x ＝2，1，0，∴B ＝{0，1，2}三、解答题17．解：有4个元素，它们分别是：(1)底边为1，顶角为40°的等腰三角形；(2)底边为1，底角为40°的等腰三角形； (3)腰长为1，顶角为40°的等腰三角形；(4)腰长为1，底角为40°的等腰三角形．18．解：∵5 ∈A ，且5∉B ．∴⎩⎨⎧=/+=-+,53，5322a a a 即⎩⎨⎧=/=-=.2,24a a a 或∴a ＝－419．证明：(1)若2∈A ，由于2≠1，则A ∈-211，即－1∈A ． ∵－1∈A ，－1≠1∴A ∈--)1(11，即A ∈21．∵,121，21=/∈A ∴A ∈-2111，即2∈A ． 由以上可知，若2∈A ，则A 中还有另外两个数－1和21∴}2,21,1{-=A ． (2)不妨设A 是单元素的实数集．则有,11aa -=即a 2－a ＋1＝0． ∵∆＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0，∴方程a 2－a ＋1＝0没有实数根． ∴A 不是单元素的实数集．(3)∵若a ∈A ，则A a∈-11∴A a∈--1111，即A a ∈-11． 20．解：①∵A 是空集∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实数根∴⎩⎨⎧<-=∆=/,089,0a a 解得⋅>89a②∵A 中只有一个元素，∴方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根．当a ＝0时，方程化为－3x ＋2＝0，只有一个实数根32=x ； 当a ≠0时，令∆＝9－8a ＝0，得89=a ，这时一元二次方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数根，即A 中只有一个元素．由以上可知a ＝0，或89=a 时，A 中只有一个元素． ③若A 中至多只有一个元素，则包括两种情形，A 中有且仅有一个元素，A 是空集，由①、②的结果可得a ＝0，或89≥a ． 21．解：①由9－x ＞0可知，取x ＝0，1，2，3，4，5，6，7，8验证，则x ＝0，6，8时199=-x，3，9也是自然数，∴A ＝{0，6，8}②由①知，B ＝{1，3，9}．③∵y ＝－x 2＋6≤6，而x ∈N ，y ∈N ， ∴x ＝0，1，2时，y ＝6，5，2符合题意． ∴C ＝{2，5，6}．④点(x ，y )满足条件y ＝－x 2＋6，x ∈N ，y ∈N ，则有⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2,5,1,6,0y x y x y x ∴D ＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． ⑤由p ＋q ＝5，p ∈N ，q ∈N *得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,4,2,3,3,2,4,1,5,0q p q p q p q p q p 又∵q px =，∴}4,23,32,41,0{=E22．解：由已知，∆＝4(p －1)2－4≥0，得P ≥2，或P ≤0，∴A ＝{p ｜p ≥2，或p ≤0}，∵x ∈A ，∴x ≥2，或x ≤0．∴2x －1≥3，或2x －1 ≤－1，∴B ＝{y ｜y ≤－1，或y ≥3}．。