高二圆锥曲线知识点总结与例题

高二圆锥曲线知识点总

结与例题

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高二圆锥曲线知识点总结与例题分析

一、椭圆 1、椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。

椭圆的标准方程为：22

221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）

或122

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；

②在22221x y a b +=和22

221y x a b

+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的

位置，只要看2x 和2

y 的分母的大小。

例如椭圆

22

1x y m n

+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。

2、椭圆的性质 ①范围：

由标准方程22

221x y a b

+=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所

围成的矩形里；

②对称性：

椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③四个顶点：1(,0)A a - ，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b

线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，

2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e a

=叫椭圆的离心率。

3、点与椭圆的关系

点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：

（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔22

00

221x y a b

+>；

（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220

220b

y a x +＝1；

（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b

+<

二、双曲线

1、双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线12||||||2PF PF a -=。

注意： ① 式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时

为双曲线的一支；21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；

② 当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③ 当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形； ④ 两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。

注意：

要分清焦点的位置，由x 2

,y

2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上

2、双曲线的性质

①范围：

从标准方程122

22=-b

y a x ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

a x ±=的外侧。

②对称性：

坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③两个顶点：)0,()0,(2a A a A -

实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。

⑤

渐近线：x a =±，y b =±围成的矩形的两条对角线，称为双曲线的渐近线。

双曲线12222=-b y a x 渐近线为x a

b

y ±=。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b =； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相

垂直（3）离心率为2=e 。

3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：

)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

三、抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （

2p ,0），它的准线方程是2p

x -= ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，

py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

22(0)y px p =>

22(0)

y px p =->

22(0)x py p =>

22(0)

x py p =->

图形

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p

-

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

范围

0x ≥

0x ≤

0y ≥ 0y ≤

o F

x

y l o x

y

F l

x

y o

F l