四、随机变量的数字特征(答案)
四随机变量的数字特征-文档资料
考点与例题分析
考点一：数学期望和方差的计算 考点二：随机变量函数的数学期望与方差 考点三：协方差、相关系数，独立性与相关性
考点一：数学期望和方差的计算
1.对分布已知的情形，按定义求； 2.对由随机试验给出的随机变量，先求出分布， 再按定义计算； 3.利用期望、方差的性质以及常见分布的期望和 方差计算； 4.对较复杂的随机变量,将其分解为简单随机变量, 特别是分解为(0,1)分布的随机变量和进行计算.
例1 一台设备由三大部件构成,在设备运转中各
部件需要调试整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各 部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部
件数,试求X的E(X)和D(X).
（二）方差 1.定义 D(X)=E{[X-E(X)]2}
均方差或标准差：(X)D (X)
2.计算 (1) 离散型： D (X ) [x k E (X )2p ]k.
(2)连续型： D (X )k [xE (X )]2f(x)d x.
(3) 常用计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).
(5)(6) XY 1; (6)(7)XY 1 X与Y以概率1线性相关,即存在a,b
且a≠0,使 P (Y a X b ) 1 .
(8)
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
1 P (Ya X b ) 1 (a0 ), XY
（四）矩与混合矩
3.随机变量函数的数学期望
（1）X为随机变量，y=g(x)为实变量x的函数.
离散型：E (Y)E [g(X )] g(xk)p k;
连续型：E (Y ) E [g (X )] k g (x )f(x )d x .
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论与数理统计第三版课后习题答案
概率论与数理统计第三版课后习题答案概率论与数理统计是一门应用广泛的数学学科，它研究了随机事件的发生规律和数据的统计分析方法。
而《概率论与数理统计》第三版是一本经典的教材，它系统地介绍了概率论和数理统计的基本理论和方法。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面将为大家提供一些《概率论与数理统计》第三版课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
第一章概率论的基本概念1. 掷一颗骰子，问出现奇数的概率是多少？答：骰子一共有6个面，其中3个面是奇数（1、3、5），所以出现奇数的概率是3/6=1/2。
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，问抽到红心的概率是多少？答：一副扑克牌有52张牌，其中有13张红心牌，所以抽到红心的概率是13/52=1/4。
第二章随机变量及其分布1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=kx，其中0<x<1，求k的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于0<x<1，有∫f(x)dx=∫kxdx=1，解得k=2。
2. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=ce^(-x)，其中x>0，求c的值。
答：由概率密度函数的性质可知，对于x>0，有∫f(x)dx=∫ce^(-x)dx=1，解得c=1。
第三章多维随机变量及其分布1. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(2πσ1σ2√(1-ρ^2))e^(-(1/(2(1-ρ^2)))(x^2/σ1^2-2ρxy/(σ1σ2)+y^2/σ2^2))，其中-∞<x,y<∞，求常数σ1、σ2和相关系数ρ之间的关系。
答：由二维正态分布的性质可知，对于-∞<x,y<∞，有∫∫f(x,y)dxdy=1，解得σ1σ2√(1-ρ^2)=1。
2. 设随机变量(X,Y)服从二维均匀分布，其概率密度函数为f(x,y)=1/(b-a)(d-c)，其中a<x<b，c<y<d，求常数a、b、c、d之间的关系。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
《概率论与数理统计答案》第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ； （2） EX = 1.7 ； （3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分 布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α
(完整版)概率论第三章第四章习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布
n
解:(1)P{X n} P{X n,Y m}
m0
n e14 (7.14)m (6.86)nm
m0
m!(n m)!
e14 n
n! (7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e14 (7.14 6.86)n 14n e14 , n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
(3)P{Y m | X 20} C2m0 0.51m0.4920m , m 0,1,2, ,20.
P{Y m | X n} Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
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第三章 多维随机变量及其分布
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
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第四章 随机变量的数字特征
U 的密度函数为
nun1, x (0,1),
fU (u)
0,
其他.
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
E(U )
ufU (u)du
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e
1414n n!
Cnm
7.14 14
m
6.86 14
nm
Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
cxey ,0 x y ,
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概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数2．设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则1()9E X -= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ （C ）1- （D ）13．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ]（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233E ξ- 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则()E X = 0.52．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 93．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X += 116/154．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X解：X 的可能取值为3，4，53511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯=2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它，求()E X解：11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3．设随机变量2~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：22()22|||x y x x dx y y edy μσμμσ---∞∞--∞-∞--=⎰令22y yedy ∞-==4．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望。
（1） 21X Y e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X = 解：（1）2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() （2）2202()2xx E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+（3）2302()2x x E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321e e e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ]（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）362．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηληλ==（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 ()D X = 0.45 2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D X E X = 1/34．设正态分布Y 2(3)y--，则()D X = 1/2三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：21Y X =-的期望与方差；解：()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解：22|||x E X x ed x -+∞-∞=⎰222x d x-+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()x E X dx ∞-=⎰= 02442()x E X dx ∞-=⎰232x ∞--∞=-⎰2223x d x∞-=⎰= 33．设随机变量X 的分布密度为02()240axx f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量XY e =的期望与方差。
解：（1）2422()()E X x axdx x bx c dx ==⋅++⎰⎰323424022|||332a b c x x x =++856633a b c =++得8566233a b c ++= 3(13)4P X <<=得 353224a b c ++= ()1f x dx +∞-∞=⎰得 2621a b c ++=所以 解得11,, 1.44a b c ==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444xx x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4x D Y E Y E Y e f x dx e +∞-∞=-=--⎰ 222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则 [ B ] （A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。
解：X 的分布律为:X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375 Y 的分布律为:X 1- 0 1 P 0.375 0.25 0.375103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125*********E X Y =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XYE ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它，(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩，求()E XY解：3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯= 5．（1）设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y =σ=σ，证明当222X Ya σ=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
解：（1）22269W a X aXY Y =++ 2222226969()[]()()()E W E a X a X Y Y a E X a E X YE Y=++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+当3a =时，()E W 最小，最小值为108。