2017年天津市滨海新区高一下学期数学期末考试试卷
化为：
，
①
时，不等式的解集为 ，舍去．
②
时，不等式的解集
，
因为集合 中恰好有 个整数，
所以
，
则实数 的取值范围是
．
③
时，不等式的解集
，
因为集合 中恰好有 个整数，
所以
，
则实数 的取值范围是 ．
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综上可得：实数 的取值范围是
．
第三部分
15. （1） 因为
中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边．
他们的成绩数据绘制如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取
名同学的试卷进行分析，则从成绩在
内的学生中抽取的人数为
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A.
B.
C.
6.已知等比数列
中，
；等差数列 中，
A.
B.
C.
7. 已知
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
的面积为
D. ，则
D. ，
，
所以由正弦定理可得
．
因为 ，
所以
，再根据
，
所以
．
（2） 因为
，
所以
，
所以
，
，
所以
16. （1） 由题意， ， 所满足的数学关系式为 画出可行域如图：
（2） 设每月的销售收入为 千元，则
．
联立
解得
．
化目标函数
为
．
由图可知，当直线
过点 时，直线在 轴上的截距最大， 有最大值为 ．
所以每月生产甲、乙两种产品分别为
A. 8.已知
B. ， ，且
C.
D.
，则
最小值为
A.
B.
C.
D.
，则
二、填空题（共 6 小题；共 30 分）
9.不等式
的解集是
．
10.容量为 的样本数据，分组后的频数如表：
分组
频数
则样本数据落在区间
的频率为
．
11. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的 ．
12.从 ， ， ， ， 五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为 的概率是
（3）在条件（Ⅱ）下对任意正整数 ，不等式 值范围．
恒成立，求实数 的取
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答案
第一部分
1. D 2. B 【解析】
，，
，
，
，
，
，
，不满足继续循环条件，
输出Leabharlann ．3. C 【解析】如图，在边长为 的正方形内有图形 ，则正方形的面积为 ，
现向正方形内撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ， ，则图形
．
13.设数列
的前 项和
，那么此数列的通项公式
．
14. 已知关于 的不等式
的解集为 ，若集合 中恰好有 个整数，则实数
的取值范围是
．
三、解答题（共 4 小题；共 52 分）
15.在
中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边．已知
（1）求 的值； （2）求
的值．
，，
．
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16. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品甲的销售收入为 千元，每件产品乙的销售收入为
千元．这两种产品都需要在 A，B 两种不同的设备上加工，按工艺规定，一件产品甲和一件产品
乙在各设备上需要加工的工时如表所示：
设备
产品
甲
乙
已知 A，B 两种设备每月有效使用台时数分别为
，
分别用 ， 表示计算每月生产甲、乙产品的件数．
（一台设备工作一小时称为一台时），
（1）用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
，解得
．
，
数列 的前 项和
，
所以
，
相减可得：
，
可得：
．
（3） 在条件（Ⅱ）下对任意正整数 ，不等式
．
为奇数时，
恒成立，由
为减函数，则
得
，
为偶数时，
恒成立，由
为增函数，则
因为对任意正整数 ，不等式
恒成立，
所以
，
所以实数 的取值范围是
．
，化为： ，可
，可得 ，
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2017 年天津市滨海新区高一下学期数学期末考试试卷
一、选择题（共 8 小题；共 40 分）
1. 若
且 ，则下列不等式中一定成立的是
A.
B.
C.
D.
2. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在边长为 的正方形内有图形 ，现向正方形内撒豆子，若撒在图形 内和正方形内的豆 子数分别为 ， ，则图形 面积的估计值为
乙数据从小到大排列，位于中间的数是
，所以中位数是
．
根据题意得：
所以
则
．
12.
【解析】从 ， ， ， ， 五个数字中任意取出两个不同的数做加法，
基本事件总数
，
其和为 包含的基本事件有： ， ，共有 个，
所以其和为 的概率是
．
13.
【解析】由题意知：当
时，
，
当
时，
所以利用
得：
．
14. 【解析】关于 的不等式
件、 件时，可使每月的收入最大，最大收入为
17. （1） 设数列 的公差为 ，令
，得
，
所以
令
，得
，
所以
由
得
万元．
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解得
，，
所以
．经检验，符合题意．
（2） 由（1）知 所以
， ，
所以
，
两式相减，得
所以
18. （1） 因为 所以 所以数列 所以
（2）
．
， ，
是等比数列，首项为 ，公比为 ，
A.
B.
C.
D.
4. 某单位为了了解办公楼用电量 （度）与气温 电量与当天平均气温，并制作了对照表：
之间的关系，随机统计了四个工作日的用
由表中数据得到线性回归方程
气温 用电量 度
，当气温为
时，预测用电量约为
A. 度
B. 度
C. 度
D. 度
5. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于 分与 分之间，将
面积的估计值为：
．
4. C 【解析】由表中数据计算
，
，
代入线性回归方程
中，
计算
，
所以回归方程为
；
当
时，
，
即气温为
时预测用电量约为 度．
5. A
【解析】根据频率分布直方图知，成绩在
内的频率为
，
所以从中抽取的人数为
．
6. B 【解析】等比数列 的公比设为 ，
由
，可得
，
即有
．
等差数列 中，
，
则
．
7. D 【解析】因为
，
所以由余弦定理可得，
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
．
8. D 【解析】 ， ，且
，
则
当且仅当
时取等号．
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第二部分
9. 10. 【解析】由容量为 样本数据落在区间
的样本数据，分组后的频数表得：
的频数为
，
所以样本数据落在区间
的频率为
．
11.
【解析】甲平均数是：
，
乙平均数是：
，
甲数据从小到大排列，位于中间的两个数的平均数是 ，所以中位数是 ．
（2）问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使每月的收入最大?并求出此最大收入．
17. 已知数列 是首项为正数的等差数列，数列
的前 项和为 ，
（1）求数列 （2）设
的通项公式； ，求数列
的前 项和 ．
18. 已知数列 的首项
，且
（1）证明数列
是等比数列，并求数列
． 的通项公式；
（2）设
，求数列 的前 项和 ；
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷(含答案)
天津市滨海新区2023-2024学年高一下学期期末检测数学学科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题纸上．答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷选择题（60分）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内．1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A ．B ．0C ．1D ．22．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形确定一个平面C ．三角形确定一个平面D ．一条直线和一个点确定一个平面3．某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：35，36，37，38，40，41，51，51，52，54，56，59，则该组数据的极差为（ ）A ．53B ．52C ．51D ．244．在中，若，则（ ）A ．B ．C ．10D ．5．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，用表示结果，记事件为“所得点数之和小于4”，则事件的概率为（ ）A．B ．C ．D ．6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为4，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7．从装有2个红球、1个黑球的袋中任取2个球，若事件为“所取的2个球中恰有1个黑球”，则与事件对立的事件是（ ）A ．所取的2个球中至多有一个是黑球B ．所取的2个球中恰有1个黑球1个红球C ．所取的2个球都是红球D ．所取的2个球中至少有一个红球8．某校组织“交通安全”知识测试，随机调查1000名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）()21i z m m =++-i m =2-ABC △π4,5,6AB BC B ===AB BC ⋅= --(),x y A A 11219536512π3π22π35π6A A [)[)[]50,60,60,70,,90,100A ．图中B ．估计样本数据的第80百分位数为93分C ．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这1000名学生成绩的平均数为80.5分D ．测试成绩低于80分的人数为450人9．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．已知平面向量，则下列说法不正确的是（ ）A ．与共线的单位向量的坐标为或B ．在方向上的投影向量为C ．与垂直的单位向量的坐标为或D ．若向量与向量垂直，则11．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形12．《九章算术·商功》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”．所谓“堑堵”就是两底面为直角三角形的直棱柱，如图所示的几何体是一个“堑堵”，是的中点，过三点的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，给出下列四个结论：①过三点的平面截该“堑堵”的截面是三角形②该三棱台的表面积为0.001x =,αβ,m n ,m m αβ∥∥αβ∥,m n αα⊥∥m n ⊥,m αβα⊥∥m β⊥,m n n α⊥⊥m α∥()()2,1,4,3a b =-=-b 43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭43,55⎫⎛- ⎪⎝⎭b a 115a- a ⎛ ⎝a b λ+ a b + 37λ=ABC △,,A B C ,,a b c cos cos b aA B c--=ABC △12,4,AB BC AA M ===11A C ,,B C M ,,B C M 172+③二面角④三棱锥的外接球的表面积为其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．若复数（是虚数单位），则___________．14．一支羽毛球队有男运动员64人，女运动员56人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为30的样本，如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取的人数为___________．15．已知一组样本数据：3，4，4，4，6，6，7，8，8，则该组样本数据的众数为___________，中位数为___________．16．已知一组数据的平均数是3.6，方差是2，则新数据的平均数是___________，方差是___________．17．如图，用斜二测画法画水平放置的的直观图得，其中的面积为，则其直观图中边上的高的长度为___________．18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，底面，为的中点，为底面的中心．（ⅰ）三棱锥的体积为___________；（ⅱ）直线与所成的角为___________．19．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居1M BC C --M ABC -81π413i1iz +=+i z =12,,,n x x x 122,2,,2n x x x +++ AOB △()45A O B x O y ''''''∠=︒△AOB △2O B '='O B ''A C ''P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA E =PA O ABCD A EBD -OE CD中，其中白圈为阳数，黑点为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为___________．20．在中，，并且满足．（ⅰ）角___________；（ⅱ）若点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），则线段的长度为___________．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．（本小题满分12分）已知向量满足．（Ⅰ）求向量的数量积；（Ⅱ）求向星夹角的余弦值；（Ⅲ）求的值．22．（本小题满分12分）甲、乙两名同学进行某项体能测试，甲同学通过的概率为，乙同学通过的概率为，并且在测试过程中甲、乙两同学互不影响，求下列事件的概率；（Ⅰ）甲、乙两同学都能通过；（Ⅱ）甲、乙两同学恰有一人通过；（Ⅲ）甲、乙两同学中至少有一人通过．23．（本小题满分13分）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点．ABC △5,3AB AC ==25CB AB ⋅=A =DBC D ,B C AD P 12AP =43PA mPB m PC ⎫⎛=+- ⎪⎝⎭mCD ,a b ()()2,1,1,3a b ==-,a b a b ⋅,a bθ2a b +2334111ABC A B C -E AC（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）若为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正切值．24．（本小题满分13分）已知的三个内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的面积是，求；（Ⅲ）若为边上一点，且满足，，试求的最大值．滨海新区2023-2024学年度第二学期期末检测卷高一年级数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112ACDAABCDBCDA 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．1314．16 15．4，616．5.6，2 17．2 18 19．20．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．1AB ∥1BC E 1BC E ⊥11ACC A M 1A A 114AM AA =BM 1BC E ABC △,,A B C ,,a b c 222b ac bc =-+A ABC △2c b =a D AC cos cos AB BD BA BD AB A BD CDB λ⎫⎛⎪ +=+⎪ ∠⎝⎭a =BD CD +π3725π221．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又（Ⅲ）22．解：设“甲通过”，“乙通过”，则“甲没通过”，“乙没通过”．由于两人测试的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，．（Ⅰ）“两人都通过”，由事件的独立性定义，得所以两人都通过的概率为（Ⅱ）“恰好有一人通过”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得所以甲、乙两人中恰好有一人通过的概率为（Ⅲ）事件“至少有一人通过”，且与两两互斥所以所以两人中至少有一人通过的概率为23解：（Ⅰ）连接交于点，连接．()21131a b ⋅=⨯+⨯-=-a === cos ab a b θ⋅==== ()()()22,121,34,5a b +=+-=-2a b ∴+==A =B =A =B =A B A B AB A B ()()()()2311,,,3434A P A PB B P P ====AB =()()()231342P AB P A P B ==⨯=12AB AB = AB AB ()()()()()()()A A P AB B P AB P B P A P P B A B P =+=+ 211311534346412=⨯+⨯=+=512AB AB AB = ,AB AB AB ()()()()()()151121212P AB AB AB P AB P AB P AB P AB P AB AB =++=+=+= 11121B C 1BC G EG在中，为的中点，为的中点．是的中位线，平面平面平面（Ⅱ）在正三棱柱中，平面平面，在等边中，为的中点，又是平面内的两条相交直线．平面，又平面，平面平面（Ⅲ）连接，和都是直角三角形，且，，，由（Ⅱ）得，平面平面，平面平面，又平面，1AB C △G 1B C E AC EG ∴1AB C △1EG AB ∴∥EG ∈ 11,BC E AB ⊄1BC E1AB ∴∥1BC E111ABC A B C -1CC ⊥ ,ABC EB ⊂ABC 1CC EB∴⊥ABC △E AC AC EB ∴⊥AC EB∴⊥1CC AC 、11ACC A EB ∴⊥11ACC A EB ⊥1BC E ∴1BC E ⊥11ACC A EM AEM △1CC E △12CC AECE AM==11,AEM CC E CC E AEM ∴∠=∠△∽△111ππ,22CC E CEC CEC AEM ∠+∠=∴∠+∠= 1ME C E ∴⊥1BC E ⊥11ACC A 1BC E 111ACC A C E =ME ∈11ACC A平面为直线与平面所成的角．在中，所以直线与平面24．解：（Ⅰ）由余弦定理得，（Ⅱ）由面积公式得，又（Ⅲ）取的中点，则，又为等边三角形ME ∴⊥1BC EEBM ∴△BM 1BC E Rt BME △BE ME ==tan ME EBM BE ∴==△BM 1BCE222cos 2b c a A bc +-=2221cos 222b c a bc A bc bc +-===()π0,,3AA π∈∴=ABC △1sin 2ABC S bc A =△11πsin sin 4223ABC S bc A bc bc ====∴=△222,2,8c b b c =∴== 2226a b c bc a =+-=∴=AD E 2BA BD BE +=()2cos cos AB AC BD AC BA BD AC BE AC AB A BD CDB λ⎫⎛⋅⋅⎪ ∴+⋅=⋅=+⎪ ∠⎝⎭()AC AC λ=-=,BE AC BA BD∴⊥=π,3A ABD =∴ △在中，由余弦定理得，又由基本不等式得，当且仅当时，等号成立的最大值为4．2π3BDC ∴∠=BCD △2222cos a BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅∠2222()12a BD CD BD CD BD CD BD CD =++⋅=+-⋅=222()3()12244BD CD BD CD BD CD BD CD +++⎫⎛⋅≤=≤ ⎪⎝⎭BD CD =4BD CD ∴+≤BD CD ∴+。
天津市五区县2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（）A．5，150 B．15，450 C．450，15 D．15，1502．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A．60 B．61 C．62 D．634．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．95．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．1566．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.967．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4] 10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取人．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（ ） A ．5，150 B ．15，450 C ．450，15 D ．15，150 【考点】最大公因数；最小公倍数．【分析】利用辗转相除法即可求出两数的最大公约数，进而即可得出其最小公倍数． 【解答】解：①∵150=45×3+15，45=15×3，∴45和150的最大公约数是15； ②∵45=15×3，150=15×10，∴45和150的最小公倍数是15×3×10=450． 综上可知：45和150的最大公约数和最小公倍数分别是15，450． 故选B ．2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=．故选C ．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S 的值是（ ）A ．60B ．61C ．62D ．63【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，执行循环体，n=2，S=7不满足条件S≥33，执行循环体，n=3，S=15不满足条件S≥33，执行循环体，n=4，S=31不满足条件S≥33，执行循环体，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故选：D．4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z=x+2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+2y可得y=则为直线y=在y轴上的截距，截距越小，z越小做直线L：x+2y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（1，1），此时z=3故选B5．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．156【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=﹣2.35x+147.77，要求我们预报当某天气温﹣2℃时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数，只要代入x的值，做出y即可．【解答】解：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程=﹣2.35x+147.77．∴某天气温为2℃时，即x=2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=﹣2.35×2+147.77≈143故选：B．6．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0.03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96故选D．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为 [（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，故选D．8．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4]【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m，其对称轴方程为x=由已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，故有即解得﹣5＜m≤﹣4m的取值范围是（﹣5，﹣4]故应选A．10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由已知可得：a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，相交可得：nd﹣a2n+1=﹣12，即a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，代入解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，∴nd﹣a2n+1=﹣12，∴﹣a1﹣nd=﹣12，∴a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，∴n+1=11，解得n=10．故选：B二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，∴要求的概率是P=，故答案为：．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取96人．【考点】分层抽样方法．【分析】根据一般员工所占的比例为80%，用样本容量乘以此比例的值，由此求得结果．【解答】解：由题意知：一般员工占的比例为80%，样本容量为200，∴一般员工应抽取的人数为120×80%=96，故答案是：96．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为（﹣1，﹣）．【考点】函数的值．【分析】函数f（x）=ax+2a+1在x∈[﹣1，1]内是单调函数，从而f（﹣1）f（1）＜0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的函数值有正有负，∴，或，解得﹣1＜a＜﹣，∴实数a的取值范围是（﹣1，﹣）．故答案为：（﹣1，﹣）．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是9．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA的值，再由sinB以及a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，即A=30°，∴由正弦定理=得：b==6，则S△ABC=absinC=9．故答案为：9．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图（2）==5，==50，yi=1390，=145，=7，=15，∴线性回归方程为=7x+15．（3）当x=9时，=78．即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）先根据余弦函数的二倍角公式化简求出cosA的值，再由三角形内角的范围可求出角A的值．（2）先由余弦定理求出bc的值，再代入三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）由2，得1+cosA+cosA=0，即cosA=﹣，∵A为△ABC的内角，∴A=，（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA∴a2=（b+c）2﹣bc即12=42﹣bc∴bc=4∴．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）先设出等差数列{a n}的公差为d，然后由等差数列的通项公式及题意列出方程，求出首项a1和公差d，进而求出数列{a n}的通项公式；（2）将（1）中所求的{a n}的通项公式代入，即可求出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法求出其前n项和S n即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由a n=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{a n}的通项公式为，（2）因为，所以．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②然后②﹣①得a n+1=3a n，求出数列{a n}是公比为3的等比数列，进一步求出首项，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，求出b n=3n，再求出T n，然后由基本不等式即可求出f（n）的最大值．【解答】解：（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②②﹣①得a n+1=3a n，∴数列{a n}是公比为3的等比数列．由3a1﹣2S1﹣1=0，得a1=1，∴；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，∴b n==3n．．=．当且仅当，即n=4时，等号成立．∴f（n）的最大值为．2018年8月2日。
2022-2023学年天津市滨海新区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市滨海新区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1．化简AC →−AB →+CB →=（ ） A ．2CB →B ．2BC →C ．2AB →D ．0→2．若一组数据为35，42，42，66，72，79，85，86，88，则这组数据的极差为（ ） A ．72B ．66C ．53D ．423．在复平面内，复数z 对应的点Z 如图所示，则复数z =（ ）A ．2+iB ．2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i4．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本．在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p 1，某个体第一次被抽中的概率为p 2；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p 3，则（ ） A ．p 2＜p 1＜p 3 B ．p 1＝p 2＝p 3C ．p 2＜p 1＝p 3D ．p 1，p 2，p 3之间没有关系5．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：记甲、乙两台机床在这10天中生产次品数的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为S 甲2，S 乙2则下列说法正确的是（ ）A ．x 甲＞x 乙，S 甲2＞S 乙2B ．x 甲＞x 乙，S 甲2＜S 乙2C ．x 甲＜x 乙，S 甲2＞S 乙2D ．x 甲＜x 乙，S 甲2＜S 乙26．已知向量a →=(3，−1)，b →=(m ，1)．若向量a →−b →与b →平行，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．1C ．1或2D ．27．已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为（ ）A ．8π3B ．8√3π3C ．8πD ．8√3π8．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β B ．若α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，则m ⊥β C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m9．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“足球社”“篮球社”两个社团的选拔，该同学能否成功进入这两个社团是相互独立．假设该同学能够进入“足球社”“篮球社”两个社团的概率分别为a ，b ，该同学只进入一个社团的概率为15，且两个社团都进不了的概率为310，则ab ＝（ ）A ．15B ．12C ．23D ．3210．过△ABC 所在平面α外一点P 作PD ⊥α，垂足为D ，连接P A ，PB ，PC ．若P A ＝PB ＝PC ，则点D 是△ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心11．在△ABC 中，b cos2A +b ＝2c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为1，高为4的正四棱柱构成，给出下列四个结论：①该“十字贯穿体”的表面积是36−2√2 ②该“十字贯穿体”的体积是8−2√23③一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 ④二面角M ﹣DE ﹣B 的正弦值为√1010其中正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．13．i是虚数单位，则|3−4i|=．1+2i14．某射击运动员在一次射击测试中10次射击成绩（单位：环）如下：4，4，5，7，7，8，9，9，9，10，则这组数据的第60百分位数为．15．如图，若斜边长为√2的等腰直角三角形A′B′C′（B′与O′重合）是水平放置的△ABC的斜二测直观图，则△ABC的周长为．16．若复数（m2﹣3m）+（m2﹣5m+6）i是纯虚数，则m＝．17．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率．18．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中n（Ω）＝20，n（A）＝10，n（B）＝6，n（A ∪B）＝12，则P（A∪B）＝；P（AB）＝．19．如图1，平行四边形ABCD由六个边长为2的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得如图2所示的六面体．（ⅰ）若将这个六面体放入球中，则该球体积的最小值为；（ⅱ）若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为 ．20．如图，梯形ABCD 中，BC →=2AD →，AE →+BE →=0→，BA →⋅BC →=0，BD →⋅BA →=BD →⋅AD →=4，（ⅰ）向量CE →在向量AB →上的投影向量为 （用AB →表示）；（ⅱ）设M ，N 分别为线段CD ，AD 上的动点，且CM →=λCD →，AN →=14λAD →，则EM →⋅EN →的最小值为 ．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|=2． （1）若a →与b →的夹角为π6，求|a →+b →|；（2）若a →+b →与a →垂直，求a →与b →的夹角．22．（12分）共享单车是指由企业在校园、公共站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中x 的值；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数；（3）若在满意度评分值为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人赠送共享单车优惠券，求抽取的2人中来自不同组的概率．23．（13分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝CC 1＝1，E 为AA 1的中点，F 为BC 1的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）求证：CF ⊥平面ABC 1；（3）求直线A 1C 1与平面ABC 1所成的角．24．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＝sin B +sin （C ﹣B ）． （1）求角C 的值；（2）若a ＞b ，且△ABC 的面积S =√36c 2．（i ）求证：c =√3b ；（ii ）已知点E 在AB 上，且满足CA →+12CB →=λCE →，延长CE 到D ，使得CD →=2CE →，连接AD ，BD ，求cos ∠ADB ．2022-2023学年天津市滨海新区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内． 1．化简AC →−AB →+CB →=（ ） A ．2CB →B ．2BC →C ．2AB →D ．0→解：AC →−AB →+CB →=BC →+CB →=0→． 故选：D ．2．若一组数据为35，42，42，66，72，79，85，86，88，则这组数据的极差为（ ） A ．72B ．66C ．53D ．42解：这组数据的极差为88﹣35＝53． 故选：C ．3．在复平面内，复数z 对应的点Z 如图所示，则复数z =（ ）A ．2+iB ．2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i解：由图可知，点Z 对应的复数z ＝2+i ，则z =2−i ， 故选：B ．4．从一个容量为100的总体中抽取容量为10的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本．在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p 1，某个体第一次被抽中的概率为p 2；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p 3，则（ ） A ．p 2＜p 1＜p 3 B ．p 1＝p 2＝p 3C ．p 2＜p 1＝p 3D ．p 1，p 2，p 3之间没有关系解：由抽样调查的原理可知，简单随机抽样，分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3． 故选：B ．5．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：记甲、乙两台机床在这10天中生产次品数的平均数分别为x 甲，x 乙，方差分别为S 甲2，S 乙2则下列说法正确的是（ ）A ．x 甲＞x 乙，S 甲2＞S 乙2B ．x 甲＞x 乙，S 甲2＜S 乙2C ．x 甲＜x 乙，S 甲2＞S 乙2D ．x 甲＜x 乙，S 甲2＜S 乙2解：x 甲=110(2+3+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.2，S 甲2=110[2×(0−1.2)2+5×(1−1.2)2+2×(2−1.2)2+(3−1.2)2]=0.76，x 乙=110(0+1+0+2+2+0+3+1+2+4)=1.5，S 乙2=110[3×(0−1.5)2+2×(1−1.5)2+3×(2−1.5)2+(3−1.5)2+(4−1.5)2]=1.65， ∴x 甲＜x 乙，S 甲2＜S 乙2．故选：D ．6．已知向量a →=(3，−1)，b →=(m ，1)．若向量a →−b →与b →平行，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．1C ．1或2D ．2解：依题意，a →−b →=(3−m ，−2)，因为向量a →−b →与b →平行，所以3﹣m ＝﹣2m ，得m ＝﹣3． 故选：A ．7．已知一个圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为（ ） A ．8π3B ．8√3π3C ．8πD ．8√3π解：设圆锥的高为h ，母线长为l ， 则π×2×l ＝2×π×22，l ＝4， 所以ℎ=√42−22=2√3，所以圆锥的体积为13×π×22×2√3=8√3π3． 故选：B ．8．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥β B ．若α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，则m ⊥β C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m解：若l ∥α，α∥β，可能有l ⊂β，故A 错误；若α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，可能有m ⊂β，故B 错误； 若l ∥α，m ⊂α，l ，m 可能异面，故C 错误；若l ⊥α，m ⊥α，由线面垂直的性质，可得l ∥m ，故D 正确． 故选：D ．9．高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“足球社”“篮球社”两个社团的选拔，该同学能否成功进入这两个社团是相互独立．假设该同学能够进入“足球社”“篮球社”两个社团的概率分别为a ，b ，该同学只进入一个社团的概率为15，且两个社团都进不了的概率为310，则ab ＝（ ）A ．15B ．12C ．23D ．32解：依题意，{a(1−b)+(1−a)b =15(1−a)(1−b)=310，即{a +b −2ab =15a +b −ab =710，两式相减得ab =12．故选：B ．10．过△ABC 所在平面α外一点P 作PD ⊥α，垂足为D ，连接P A ，PB ，PC ．若P A ＝PB ＝PC ，则点D 是△ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心解：∵过△ABC 所在平面α外一点P ，作PD ⊥α，垂足为D ， 连接P A ，PB ，PC ．P A ＝PB ＝PC ， ∴DA ＝DB ＝DC ， ∴点D 是△ABC 的外心． 故选：D ．11．在△ABC 中，b cos2A +b ＝2c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解：∵b cos2A +b ＝2c cos A ，∴sin B （cos 2A ﹣sin 2A ）+sin B ＝2sin C cos A ， sin B cos 2A ﹣sin B sin 2A +sin B ＝2sin （A +B ）cos A ，sin B cos 2A ﹣sin B sin 2A +sin B ＝2（sin A cos B +cos A sin B ）cos A ， sin B cos 2A ﹣sin B sin 2A +sin B ＝2sin A cos B cos A +2cos 2A sin B ， ﹣sin B sin 2A +sin B ＝2sin A cos B cos A +cos 2A sin B ， sin B ＝2sin A cos B cos A +cos 2A sin B +sin B sin 2A ， sin B ＝2sin A cos B cos A +（cos 2A +sin 2A ）sin B ，sin A cos B cos A ＝0，由于sin A ＞0， ∴cos B ＝0或cos A ＝0，即B =π2或A =π2， ∴△ABC 的形状为直角三角形． 故选：C ．12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为1，高为4的正四棱柱构成，给出下列四个结论：①该“十字贯穿体”的表面积是36−2√2 ②该“十字贯穿体”的体积是8−2√23③一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 ④二面角M ﹣DE ﹣B 的正弦值为√1010 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：如图，是一个正四棱柱的某个侧面ABFH 与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE ，DE ，则在矩形ABFH 中，可知CD ＝PM =√2，G 为CD 中点，连接GE ，由对称性知，E 为HF 中点，G 为AB 中点， GE ＝BF ＝1，CG ＝GD =CD 2=√22，CE ＝DE =√62， ∴CE 2+DE 2≠CD 2，∴CE ，DE 不垂直，故③错误； BD ＝2−√22，EF ＝2，该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个梯形BDEF 全等的梯形组成，则表面积S ＝4×1+16×2+2−√222×1=36﹣4√2，故①错误；如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST ，取CS 的中点I ，则多面体CDGEST 可以分成8个全等的三棱锥C ﹣GEI ， 则S △GEI =12×1×1=12，且CI ⊥平面GEI ，CI =√22， 则V C ﹣GEI =13×12×√22=√212， 该“十字贯穿体”的体积为V ＝2×4﹣8V C ﹣GEI ＝8−2√23，故②正确； 过点F 作FW ⊥DE 于W ，连接WN ，∵梯形BDEF 与梯形MDEN 全等，∴NW ⊥DE ，则二面角M ﹣DE ﹣B 的平面角为∠NWF ，∵S △DEF =12DE ×WF =12EF ⋅BF ，∴12×√62×WF =12×2×1，解得WF =2√63，WN =2√63，∵NF =√EN 2+EF 2=√4+4=2√2，∴cos ∠NWF =WN 2+WF 2−NF 22WN⋅WF =−12，∵0＜∠NWF ＜π，∴∠NWF =2π3，∴sin ∠NWF =√32，故④错误． 综上，正确结论个数是1． 故选：B ．二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13．i 是虚数单位，则|3−4i1+2i |= √5 ． 解：|3−4i1+2i |=|(3−4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)|=|−5−10i5|=|−1−2i|=√(−1)2+(−2)2=√5． 故答案为：√5．14．某射击运动员在一次射击测试中10次射击成绩（单位：环）如下：4，4，5，7，7，8，9，9，9，10，则这组数据的第60百分位数为 8.5 ． 解：因为10×0.6＝6，且这组数据从小到大的第6与第7位数分别为8、9， 所以第60百分位数为8+92=8.5．故答案为：8.5．15．如图，若斜边长为√2的等腰直角三角形A ′B ′C ′（B ′与O ′重合）是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，则△ABC 的周长为 4+2√2 ．解：因为等腰直角三角形A ′B ′C ′的斜边长为√2， 所以直角边长为1，所以△ABC 的周长为1+2√2+√12+(2√2)2=1+2√2+3=4+2√2． 故答案为：4+2√2．16．若复数（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i 是纯虚数，则m ＝ 0 ． 解：∵复数（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i 是纯虚数， ∴m 2﹣3m ＝0且m 2﹣5m +6≠0， ∴m ＝0，m ＝3且m ≠2，m ≠3， ∴m ＝0． 故答案为：0．17．用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1，2，3，4．重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面的次数（如下表）．如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率 0.22 ．解：标记3的面落在桌面上的频率为22100=0.22，故其概率的估计值为0.22．故答案为：0.22．18．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝20，n （A ）＝10，n （B ）＝6，n （A ∪B ）＝12，则P （A ∪B ）＝35；P （AB ）＝15．解：P(A ∪B)=n(A∪B)n(Ω)=1220=35， P(AB)=n(AB)n(Ω)=n(A)+n(B)−n(A∪B)n(Ω)=10+6−1220=15，故答案为：35；1519．如图1，平行四边形ABCD 由六个边长为2的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得如图2所示的六面体．（ⅰ）若将这个六面体放入球中，则该球体积的最小值为 64√6π27； （ⅱ）若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为32π27．解：（i ）若将这个六面体放入球中，当球心位于六面体中间面三角形的外心，半径为外心到顶点的距离时该球体积的最小，根据几何关系可得此时球的半径为√22−(2×√33)2=2√63，所以球的体积为43π×(2√63)3=64√6π27； （ii ）将该六面体中有一球，当球与六面体六个面都相切时，该球表面积最大， 根据体积恒等可得此时球的半径为2√63×2×16=2√69， 所以球的体积为4π×(2√69)2=32π27． 故答案为：64√6π27；32π27．20．如图，梯形ABCD 中，BC →=2AD →，AE →+BE →=0→，BA →⋅BC →=0，BD →⋅BA →=BD →⋅AD →=4，（ⅰ）向量CE →在向量AB →上的投影向量为 −12AB → （用AB →表示）；（ⅱ）设M ，N 分别为线段CD ，AD 上的动点，且CM →=λCD →，AN →=14λAD →，则EM →⋅EN →的最小值为 2 ．解：（i ）∵BA →⋅BC →=0， ∴梯形ABCD 为直角梯形，∵AE →+BE →=0→，∴E 为AB 的中点，∴向量CE →在向量AB →上的投影向量为|CE →|cos(π−∠CBE)⋅AB→|AB →|=−|CE →|cos∠CBE ⋅AB→|AB →|=−|BE →|⋅AB→|AB →|=−12|AB →|⋅AB →|AB →|=−12AB →；（ii ）∵BD →⋅BA →=(BA →+AD →)⋅BA →=BA →2+AD →⋅BA →=BA →2=4，∴BA ＝2， 同理可得，AD ＝2，BC ＝4，以B 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则E （0，1），A （0，2），D （2，2），C （4，0），EM →=EB →+BC →+CM →=（0，﹣1）+（4，0）+λ（﹣2，2）＝（4﹣2λ，﹣1+2λ）， EN →=EA →+AN →=(0，1)+14λ(2，0)=(12λ，1)， ∴EM →⋅EN →=(4−2λ)⋅12λ+(−1+2λ)=2λ+2λ−2， 由0≤λ≤1且0＜14λ≤1， ∴14≤λ≤1，令f(λ)=2λ+2λ−2，则由对勾函数的单调性知， 当λ∈[14，1]时，f （λ）单调递减， ∴当λ＝1时，f （λ）有最小值2． 故答案为：（i ）−12AB →；（ii ）2．三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（12分）已知向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|=2． （1）若a →与b →的夹角为π6，求|a →+b →|；（2）若a →+b →与a →垂直，求a →与b →的夹角．解：（1）∵a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos〈a →，b →〉=√3×2×√32=3，∴|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√3+2×3+4=√13；（2）∵a →+b →与a →垂直， ∴(a →+b →)⋅a →=0，∴a →2+a →⋅b →=a →2+|a →|⋅|b →|⋅cos〈a →，b →〉=3+√3×2×cos〈a →，b →〉=0， ∴cos〈a →，b →〉=32√3=−√32，∵〈a →，b →〉∈[0，π]， ∴〈a →，b →〉=5π6． 22．（12分）共享单车是指由企业在校园、公共站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），⋯，[90，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中x 的值；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的众数及中位数；（3）若在满意度评分值为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人赠送共享单车优惠券，求抽取的2人中来自不同组的概率．解：（1）由题意可知，10×（0.012+x +0.040+0.016+0.004）＝1， 解得x ＝0.028； （2）众数为70+802=75，因为0.12+0.28＝0.4＜0.5，0.12+0.28+0.4＝0.8＞0.5， 所以中位数落在区间[70，80）内，设中位数为x ， 则0.4+（x ﹣70）×0.040＝0.5， 解得x ＝72.5；（3）[80，90），[90，100]两组的频率之比为4：1，所以[80，90）组抽取4人，记为A，B，C，D，[90，100）组抽取1人，记为a，从这5人中任意抽取2人，所有基本事件为（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（B，C），（B，D），（B，a），（C，D），（C，a），（D，a），共10个，其中抽取的2人中来自不同组的基本事件有：（A，a），（B，a），（C，a），（D，a），共4个，所以所求概率P=410=25．23．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝CC1＝1，E为AA1的中点，F为BC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：CF⊥平面ABC1；（3）求直线A1C1与平面ABC1所成的角．解：（1）证明：取BC的中点G，连接GF，AG．∵在△BCC1中，F为BC1的中点，G为BC的中点，∴FG是△BCC1的中位线，∴FG∥CC1，FG=12CC1，又∵E为AA1的中点，∴AE∥CC1，AE=12CC1，∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，又AG⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC．（2）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BB1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，又BB1，BC是平面BCC1B1内的两条相交直线，∴AB⊥平面BCC1B1，又CF ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥CF ，又∵在Rt △BCC 1中，BC ＝CC 1，F 为BC 1的中点，∴CF ⊥BC 1， 又BC 1，AB 是平面ABC 1内的两条相交直线， ∴CF ⊥平面ABC 1．（3）由（2）得，AF 是AC 在平面ABC 1内的射影， ∴∠CAF 为直线AC 与平面ABC 1所成的角．又∵AC ∥A 1C 1，∴∠CAF 即为直线A 1C 1与平面ABC 1所成的角． 在Rt △BCC 1中，∵BC ＝CC 1＝1，∴CF =√22， 又∵AC =√2，∴sin ∠CAF =12， ∵∠CAF ∈[0，π2]，∴∠CAF =π6， 所以直线A 1C 1与平面ABC 1所成的角为π6．24．（13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＝sin B +sin （C ﹣B ）． （1）求角C 的值；（2）若a ＞b ，且△ABC 的面积S =√36c 2．（i ）求证：c =√3b ；（ii ）已知点E 在AB 上，且满足CA →+12CB →=λCE →，延长CE 到D ，使得CD →=2CE →，连接AD ，BD ，求cos ∠ADB ．解：（1）在△ABC 中，因为A +B +C ＝π，所以sin A ＝sin （B +C ）， 所以sin （B +C ）＝sin B +sin （C ﹣B ），sin B cos C +cos B sin C ＝sin B +sin C cos B ﹣sin B cos C ， 所以2sin B cos C ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），sin B ≠0， 所以cosC =12，因为C ∈（0，π），所以C =π3．（2）（i ）证明：由三角形面积公式S =12absinC 得，12ab ×√32=√36c 2，所以ab =23c 2， 由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C 得，32ab =a 2+b 2−ab ， 所以（2a ﹣b ）（a ﹣2b ）＝0，因为a ＞b ，所以a ＝2b ，所以c =√3b ； （ii ）由（i ）得，b 2+c 2＝4b 2＝a 2， 所以∠CAB =π2，取BC 的中点G ，所以CG →=12CB →，则CA →+12CB →=CA →+CG →=λCE →， 设CA →+CG →=CH →，则H 再CE 上， 因为a ＝2b ，所以|CA →|=|CG →|， 平行四边形ACGH 是菱形， 所以CH 即CE 为C 的角平分线，设AE ＝1，因为CE 为角C 的平分线，所以∠ACE =π6， 所以在Rt △ACE 中，CE =2，AC =√3， 因为CD →=2CE →，所以DE ＝2，在Rt △ABC 中，∠ACB =π3，AC =√3，所以AB ＝3， 因为AE ＝1，所以BE ＝2，又因为∠AEC =π3，所以△BDE 为等边三角形， 所以BD ＝2．在△ABD 中，AB =3，BD =2，∠ABD =π3，由余弦定理得，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos∠ABD =9+4−2×3×2×12=7， 所以AD =√7，根据余弦定理得，cos ∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD =7+4−92×√7×2=√714，所以cos ∠ADB =√714．。
2016-2017学年天津市部分区高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
天津市部分区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B 车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样 D．简单随机抽样分层抽样2．（4分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（4分）给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A． B． C． D．8．（4分）若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．（4分）从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）把二进制数110101（2）转化为十进制数为 ．12．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是 ．13．（4分）已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 6=5，S 4=12a 4，则公差d 的值为 ．14．（4分）在[﹣5，5]上随机的取一个数a ，则事件“不等式x 2+ax +a ≥0对任意实数x 恒成立”发生的概率为 ．15．（4分）已知a ＞0，b ＞0，且是3a 与3b 的等比中项，若+≥2m 2+3m 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N 及a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2a sin B=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．【参考答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】①个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多可简单随机抽样法．故选B．2．D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m==88，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣m=89﹣88=1．故选D．3．C【解析】在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选C．4．B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为a，b，∵从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得a=4，b=2，∴取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率：p==．故选B．5．C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，解得A（1，），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+=．即目标函数z=2x+y的最大值为．故选C．6．A【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos30∘，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3﹣2a××=a2+3﹣3a，∴a2﹣3a+2=0，解得a=1或a=2，故选A．7．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1++ +…的值，由于：S=1+++…==．故选B．8．D【解析】对于A：若a=0，b=﹣1，则不满足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣2，则不满足，对于C：若a=﹣2，b=﹣1，则不满足，对于D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同除以cd得到＜．故选D.9．A【解析】根据已知数据，计算=×（160+165+170+175+180）=170，=×（63+66+70+72+74）=69，回归系数=﹣=69﹣0.56×170=﹣26.2，∴y与x的线性回归方程为=0.56x﹣26.2；把x=172代入线性回归方程中，计算=0.56×172﹣26.2=70.12，∴估计该男生的体重为70.12kg．故选A．10．C【解析】∵数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），∴a2=3a1+1，∴a1+3a1+1=5，解得a1=1，a2=4，a3=3S2+1=3（1+4）+1=16，a4=3S3+1=3（1+4+16）+1=64，a5=3S4+1=3（1+4+16+64）+1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341．故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．53【解析】110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53故答案为53．12．9【解析】模拟程序的运行，可得a=1，b=9满足条件a＜b，执行循环体，a=5，b=7满足条件a＜b，执行循环体，a=9，b=5不满足条件a＜b，退出循环，输出a的值为9．故答案为9．13．【解析】∵{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a6=5，S4=12a4，∴，解得，d=．∴公差d的值为．故答案为．14．【解析】由已知不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立，所以△=a2﹣4a≤0，解答0≤a≤4，，所以在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为：；故答案为．15．[﹣3，]【解析】a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=（）2，即有a+b=1，+=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当b=2a=时，取得等号，即最小值为9．由+≥2m2+3m恒成立，可得2m2+3m≤9，解得﹣3≤m≤．故答案为[﹣3，]．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得N=200，a=80，b=0.4，c=0.2．（Ⅱ）由频率分布表得[25，27.5）频率为0.2，∴d==0.08．（Ⅲ）由频率分布表知产品的质量不少于25千克的频率为0.2+0.1=0.3，∴从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于25千克的概率p=1﹣0.3=0.7．17．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，若b=2a sin B，可得sin B=2sin A sin B，∴由sin B≠0，可得sin A=，∵A为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵A=60°．a=，△ABC的面积为=bc sin A=bc，∴bc=6，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣18，∴解得：b+c=5，∴△ABC的周长l=a+b+c=+5．18．解：（Ⅰ）∵高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．∴A班有学生：=32人，B班有学生：=40人，C班有学生：=48人．（Ⅱ）（i）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析，基本事件总数有15个，分别为：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，{}，{C3，C5}，{C3，C6}，{C4，C5}，{C4，C6}，{C5，C6}．（ii）A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，则事件A包含的基本事件个数为8，分别为：{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，∴事件A发生的概率p=．19．解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），∴a1=S1==5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[]=3n+2，当n=1时，上式成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n+2．∵数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得q=2．∴数列{b n}的通项公式b n=4×2n﹣1=2n+1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（3n+2）•2n+1=（6n+4）•2n，∴数列{c n}的前n项和：T n=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n，①2T n=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1=20+6×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1，∴T n=（6n﹣2）×2n+1+4．20．解：（Ⅰ）当a=时，不等式f（x）＜3，即为x2+x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，解得﹣＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，即有x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜x+在0＜x＜2恒成立，由y=x+的导数为y′=﹣，可得函数y在（0，）递减，（，2）递增，则y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（x）﹣a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；当a＞0时，＞﹣a，解集为{x|x＞或x＜﹣a}；当a＜0时，＜﹣a，解集为{x|x＜或x＞﹣a}．。
天津市滨海新区大港油田实验中学2017-2018学年高一数学下学期第一次阶段性考试试题
天津市滨海新区大港油田实验中学2017-2018学年高一数学下学期第一次阶段性考试试题一、选择题： (每题5分)1.．已知△ABC 的三边,,a b c 满足，则△ABC 的内角C 为（ ） A.B.C.D.2．下列叙述中错误的是 ( ) A.若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B.若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α⊂。
C.若直线ab A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； D.三点,,A B C 确定一个平面；3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )4．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为l 的正方形，侧棱PA=1，，则它的五个面中，互相垂直的面共有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 5．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 ( ) A.43πB.4πC.2πD. 323π 6．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余棱长都为1，则二面角A-CD-B 的平面角的余弦值为 ( )A ． B. C ． D ．7. 已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是 ()A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形8.给出下列说法：①直线l 平行平面α内的无数条直线，则α//l . ②若直线a 在平面α外，则α//a . ③若直线b a //，α⊂b ，则α//a .④若直线b a //，α⊂b ，则直线a 平行于平面α内的无数条直线. ⑤若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//. ⑥若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥. 其中说法正确的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题：（每题5分）9.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为l 的等腰梯形， 则该平面图形的面积等于_________．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则的最大值是__________.11.一个多面体的三视图如图，则此多面体的全面积为__________________.11题 12题 13题 12. 如图所示：若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________。
天津市滨海新区高一数学下学期第一次月考试题
2016——2017年度第二学期第一次月检测高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一．选择题（每题4分，共32分）1、数列95,74,53,32,1的一个通项公式是（ ） A 、=21n n a n + B 、=21n n a n - C 、=23n n a n - D 、=23n na n +2、已知数列{}n a 的首项11a =，且()1212n n a a n -=+≥，则5a 为（ ）A ．7B ．15C ．30D ．31 3、数列{}n a 中，a 1=－6，且a n +1 =a n + 3，则这个数列的第30项为（ ） A ．81 B ．1125 C ．87 D ．99 4、在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ）A ．B ．3．5、公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．86、数列112+，124+，138+，1416+，……的前n 项和为（ ） A.11222n n n +-- B.11222n n n --- C.1(1)122n n n ++- D.1(1)1122n n n -++-7、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．98、在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，22a c ac bc -=+，6a =，则sin sin b cB C+=+（ ）A ．12B ．．．6第II 卷（非选择题）二、填空题（本题每题4分，共24分）9、在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102=+-x x 的两根，则=++201410082a a a 10、在△ABC 中，若a ∶b ∶c=7∶8∶13，则∠C =_____________。
2017年天津市部分区高一下学期数学期末考试试卷
2017年天津市部分区高一下学期数学期末考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①，某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A. 分层抽样系统抽样B. 分层抽样简单随机抽样C. 系统抽样简单随机抽样D. 简单随机抽样分层抽样2. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n−m的值是( )A. −2B. −1C. 0D. 13. 给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是25，都是黑球的概率是115，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是( )A. 715B. 815C. 35D. 14155. 若x，y满足约束条件{x−y+1≥0,x−2y≤0,x+2y−2≤0,则z=2x+y的最大值为( )A. −5B. 1C. 52D. 36. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=√3，∠B=30∘，则a的值为( )A. 1或2B. 1C. 2D. √37. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. 511256B. 255128C. 12764D. 63328. 若a,b,c,d∈R，则下列结论正确的是( )A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a<b<0，则1a <1bD. 若a>b>0，c<d<0，则ad<bc9. 从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得回归方程y^=0.56x+a^，据此模型可估计身高为172cm的高一男生的体重为( )A. 70.12kgB. 70.29kgC. 70.55kgD. 71.05kg10. 设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1(n∈N∗)，则S5等于( )A. 85B. 255C. 341D. 1023二、填空题（共5小题；共25分）11. 把二进制数110101(2)转化为十进制数为．12. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值是．13. 已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a6=5，S4=12a4，则公差d的值为．14. 在[−5,5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为．15. 已知a>0，b>0，且√3是3a与3b的等比中项，若1a +4b≥2m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题；共65分）16. 为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：分组频数频率[17.5,20)100.05[20,225)500.25[22.5,25)a b[25,27.5)40c[27.5,30]200.10合计N1（1）求出表中N及a，b，c的值；（2）求频率分布直方图中d的值；（3）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，△ABC的面积为3√32，求△ABC的周长．18. 某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（1）求A，B，C三个班各有学生多少人；（2）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（ⅰ）列出所有可能抽取的结果；（ⅱ）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19. 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=32n2+72n(n∈N∗)，数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3−3，b2+2成等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a n⋅b n(n∈N∗)，求数列{c n}的前n项和T n．20. 已知函数f(x)=32x2+ax+1(a∈R)．（1）当a=12时，求不等式f(x)<3的解集；（2）当0<x<2时，不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求关于x的不等式f(x)−12a2−1>0的解集．答案第一部分 1. B 【解析】①个体有明显差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多，可用简单随机抽样法．2. D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m =17(78+88+84+86+92+93+95)=88，乙组学生成绩的中位数：n =89，n −m =89−88=1． 3. C 【解析】在①中，某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确． 4. B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为 a ，b ，因为从中取出 2 个球．两个球都是红球的概率是 25，都是黑球的概率是 115， 所以 {C a2C a+b 2=25,C b 2C a+b 2=115,解得 a =4，b =2，所以取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率：P =C 41C 21C 62=815．5. C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由 z =2x +y 得 y =−2x +z ，平移直线 y =−2x +z ，由图象可知当直线 y =−2x +z 经过点 A 时，直线 y =−2x +z 的截距最大，此时 z 最大． 由 {x −2y =0,x +2y −2=0,解得 A (1,12)，代入目标函数 z =2x +y 得 z =2×1+12=52．即目标函数 z =2x +y 的最大值为 52． 6. A【解析】由余弦定理可得 b 2=a 2+c 2−2accos30∘，因为 b =1，c =√3，B =30∘， 所以 1=a 2+3−2a ×√3×√32=a 2+3−3a ，所以 a 2−3a +2=0，解得 a =1 或 a =2．7. B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S =1+12+122+⋯+127的值，由于：S =1+12+122+⋯+127=1−127×121−12=255128．8. D【解析】对于A ：若 a =0，b =−1，则不满足，对于B ：若 a =1，b =−1，c =0，d =−2，则不满足， 对于C ：若 a =−2，b =−1，则不满足，对于D ：若 a >b >0，c <d <0，则 ac <bd ，两边同除以 cd 得到 ad<bc ．9. A【解析】根据已知数据，计算 x =15×(160+165+170+175+180)=170，y =15×(63+66+70+72+74)=69，a ^=69−0.56×170=−26.2，所以 y 与 x 的线性回归方程为 y ^=0.56x −26.2；把 x =172 代入线性回归方程中，计算 y ^=0.56×172−26.2=70.12， 所以估计该男生的体重为 70.12 kg ． 10. C【解析】因为数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1+a 2=5，a n+1=3S n +1(n ∈N ∗)， 所以 a 2=3a 1+1， 所以 a 1+3a 1+1=5，解得 a 1=1，a 2=4，a 3=3S 2+1=3×(1+4)+1=16， a 4=3S 3+1=3×(1+4+16)+1=64， a 5=3S 4+1=3×(1+4+16+64)+1=256， 所以 S 5=1+4+16+64+256=341． 第二部分 11. 53【解析】110101(2)=1+1×22+1×24+1×25=53． 12. 9【解析】模拟程序的运行，可得 a =1，b =9 满足条件 a <b ，执行循环体，a =5，b =7 满足条件 a <b ，执行循环体，a =9，b =5 不满足条件 a <b ，退出循环，输出 a 的值为 9． 13. 4【解析】因为 {a n } 是等差数列，S n 为其前 n 项和，a 6=5，S 4=12a 4，所以 {a 1+5d =5,4a 1+4×32d =12(a 1+3d ),解得 a 1=−15，d =4， 所以公差 d 的值为 4． 14. 25【解析】由已知不等式 x 2+ax +a ≥0 对任意实数 x 恒成立，所以 Δ=a 2−4a ≤0，解答 0≤a ≤4，所以在 [−5,5] 上随机的取一个数 a ，则事件“不等式 x 2+ax +a ≥0 对任意实数 x 恒成立”发生的概率为：4−05−(−5)=25．15. [−3,32]【解析】a >0，b >0，且 √3 是 3a 与 3b 的等比中项， 可得 3a ⋅3b =(√3)2， 即有 a +b =1，1a +4b =(a +b )(1a +4b )=1+4+ba +4a b≥5+2√ba ⋅4a b=5+4=9,当且仅当 b =2a =23 时，取得等号，即最小值为 9． 由 1a +4b ≥2m 2+3m 恒成立，可得 2m 2+3m ≤9， 解得 −3≤m ≤32． 第三部分16. （1） 由频率分布表得：{0.0510=c 40=ba ,0.05+0.25+b +c +0.1=1,N =10+50+a +40+20,解得 N =200，a =80，b =0.4，c =0.2． （2） 由频率分布表得 [25,27.5) 频率为 0.2， 所以 d =0.22.5=0.08．（3） 由频率分布表知产品的质量不少于 25 千克的频率为 0.2+0.1=0.3，所以从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于 25 千克的概率为 P =1−0.3=0.7． 17. （1） 在 △ABC 中，若 √3b =2asinB ， 由正弦定理可得 √3sinB =2sinAsinB ， 所以由 sinB ≠0，可得 sinA =√32， 因为 A 为锐角，所以 A =60∘．（2） 因为 A =60∘，a =√7，△ABC 的面积为 3√32=12bcsinA =√34bc ，所以 bc =6，所以由余弦定理可得：7=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc =(b +c )2−18，所以解得：b +c =5，所以 △ABC 的周长 C =a +b +c =√7+5．18. （1） 因为高一年级的A ，B ，C 三个班共有学生 120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取 4，5，6 名学生进行调查．所以A 班有学生：44+5+6×120=32 人，B 班有学生：54+5+6×120=40 人，C 班有学生：64+5+6×120=48 人．（2） （i ）记从C 班抽取学生的编号依次为 C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6， 现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据分析，基本事件总数有 15 个，分别为：{C 1,C 2}，{C 1,C 3}，{C 1,C 4}，{C 1,C 5}，{C 1,C 6}，{C 2,C 3}，{C 2,C 4}，{C 2,C 5}，{C 2,C 6}，{C 3,C 4}，{C 3,C 5}，{C 3,C 6}，{C 4,C 5}，{C 4,C 6}，{C 5,C 6}．（ii ）A 为事件“编号为 C 1 和 C 2 的 2 名学生中恰有一人被抽到”，则事件 A 包含的基本事件个数为 8，分别为：{C 1,C 3}，{C 1,C 4}，{C 1,C 5}，{C 1,C 6}，{C 2,C 3}，{C 2,C 4}，{C 2,C 5}，{C 2,C 6}， 所以事件 A 发生的概率 P =815．19. （1） 因为数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n =32n 2+72n (n ∈N ∗)， 所以 a 1=S 1=32+72=5，当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=(32n 2+72n)−[32(n −1)2+72(n −1)]=3n +2.当 n =1 时，上式成立，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =3n +2．因为数列 {b n } 是首项为 4 的正项等比数列，且 2b 2，b 3−3，b 2+2 成等差数列， 所以 {2×(4q 2−3)=2×(4q )+4q +2,q >0, 解得 q =2．所以数列 {b n } 的通项公式 b n =4×2n−1=2n+1． （2） 因为 c n =a n ⋅b n=(3n +2)⋅2n+1=(6n +4)⋅2n .所以数列 {c n } 的前 n 项和为：T n =10×2+16×22+22×23+⋯+(6n +4)×2n , ⋯⋯① 2T n =10×22+16×23+22×24+⋯+(6n +4)×2n+1, ⋯⋯② ①−②，得：−T n =20+6(22+23+⋯+2n )−(6n +4)×2n+1=20+6×4(1−2n−1)1−2−(6n +4)×2n+1=−4−(6n −2)×2n+1.所以 T n =(6n −2)×2n+1+4． 20. （1） 当 a =12 时，不等式 f (x )<3，即为 32x 2+12x +1<3，即 3x 2+x −4<0， 解得 −43<x <1，则原不等式的解集为 (−43,1)．（2） 当 0<x <2 时，不等式 f (x )>0 恒成立，即有32x2+ax+1>0在0<x<2上恒成立，即为−a<32x+1x在0<x<2上恒成立，由y=32x+1x的导数为yʹ=32−1x2，令yʹ=0且0<x<2，则x=√63，令yʹ<0，则0<x<√63，可得函数y在(0,√63)上递减，令yʹ>0，则√63<x<2，则函数y(√63,2)上递增，当x=√63时y有最小值，则y=32x+1x的最小值为2√32=√6，即有−a<√6，解得a>−√6；则实数a的取值范围是(−√6,+∞)．（3）f(x)−12a2−1>0，即为3x2+2ax−a2>0，即(x+a)(3x−a)>0，当a=0时，即为x2>0，解集为{x∣ x≠0}；当a>0时，a3>−a，解集为{x∣ x>a3或x<−a}；当a<0时，a3<−a，解集为{x∣ x<a3或x>−a}．。
2017年天津市滨海新区高一下学期数学期末考试试卷
2017年天津市滨海新区高一下学期数学期末考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.2. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.3. 如图，在边长为的正方形内有图形，现向正方形内撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，，则图形面积的估计值为A. B. C. D.4. 某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温用电量度由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量约为A. 度B. 度C. 度D. 度5. 某校对高一年级学生的数学成绩进行统计，全年级同学的成绩全部介于分与分之间，将他们的成绩数据绘制如图所示的频率分布直方图．现从全体学生中，采用分层抽样的方法抽取名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生中抽取的人数为A. B. C. D.6. 已知等比数列中，；等差数列中，，则A. B. C. D.7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为A. B. C. D.8. 已知，，且，则最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 不等式的解集是．10. 容量为的样本数据，分组后的频数如表：分组频数则样本数据落在区间的频率为．11. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的．12. 从，，，，五个数字中任意取出两个不同的数做加法，其和为的概率是．13. 设数列的前项和，那么此数列的通项公式．14. 已知关于的不等式的解集为，若集合中恰好有个整数，则实数的取值范围是．三、解答题（共4小题；共52分）15. 在中，，，分别为角，，所对的边．已知，，．（1）求的值；（2）求的值．16. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品甲的销售收入为千元，每件产品乙的销售收入为千元．这两种产品都需要在A，B两种不同的设备上加工，按工艺规定，一件产品甲和一件产品乙在各设备上需要加工的工时如表所示：设备产品甲乙已知A，B两种设备每月有效使用台时数分别为，（一台设备工作一小时称为一台时），分别用，表示计算每月生产甲、乙产品的件数．（1）用，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使每月的收入最大?并求出此最大收入．17. 已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 已知数列的首项，且．（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）在条件（Ⅱ）下对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第一部分1. D2. B 【解析】，，，，，，，，不满足继续循环条件，输出．3. C 【解析】如图，在边长为的正方形内有图形，则正方形的面积为，现向正方形内撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，，则图形面积的估计值为：．4. C 【解析】由表中数据计算，，代入线性回归方程中，计算，所以回归方程为；当时，，即气温为时预测用电量约为度．5. A【解析】根据频率分布直方图知，成绩在内的频率为，所以从中抽取的人数为．6. B 【解析】等比数列的公比设为，由，可得，即有．等差数列中，，则．7. D 【解析】因为，所以由余弦定理可得，，因为，所以，因为，所以．8. D 【解析】，，且，则当且仅当时取等号．第二部分9.10.【解析】由容量为的样本数据，分组后的频数表得：样本数据落在区间的频数为，所以样本数据落在区间的频率为．11.【解析】甲平均数是：，乙平均数是：，甲数据从小到大排列，位于中间的两个数的平均数是，所以中位数是．乙数据从小到大排列，位于中间的数是，所以中位数是．根据题意得：所以则．12.【解析】从，，，，五个数字中任意取出两个不同的数做加法，基本事件总数，其和为包含的基本事件有：，，共有个，所以其和为的概率是．13.【解析】由题意知：当时，，当时，所以利用得：．14.【解析】关于的不等式化为：，①时，不等式的解集为，舍去．②时，不等式的解集，因为集合中恰好有个整数，所以，则实数的取值范围是．③时，不等式的解集，因为集合中恰好有个整数，所以，则实数的取值范围是．综上可得：实数的取值范围是．第三部分15. （1）因为中，，，分别为角，，所对的边．，所以由正弦定理可得．因为，所以，再根据，所以．（2）因为，所以，所以，，所以16. （1）由题意，，所满足的数学关系式为画出可行域如图：（2）设每月的销售收入为千元，则．联立解得．化目标函数为．由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，有最大值为．所以每月生产甲、乙两种产品分别为件、件时，可使每月的收入最大，最大收入为万元．17. （1）设数列的公差为，令，得，所以令，得，所以由得解得，，所以．经检验，符合题意．（2）由（1）知，所以，所以，两式相减，得所以．18. （1）因为，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为，所以，解得．（2），数列的前项和，所以，相减可得：，可得：．（3）在条件（Ⅱ）下对任意正整数，不等式，化为：．为奇数时，恒成立，由为减函数，则，可得，为偶数时，恒成立，由为增函数，则，可得，因为对任意正整数，不等式恒成立，所以，所以实数的取值范围是．。
天津市滨海新区大港油田实验中学高一数学下学期第一次阶段性考试试题
天津市滨海新区大港油田实验中学2017-2018学年高一数学下学期第一次阶段性考试试题一、选择题： (每题5分)1.．已知△ABC 的三边,,a b c 满足，则△ABC 的内角C 为（ ） A.B.C.D.2．下列叙述中错误的是 ( ) A.若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B.若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α⊂。
C.若直线ab A =，则直线a 与b 能够确定一个平面； D.三点,,A B C 确定一个平面；3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )4．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为l 的正方形，侧棱PA=1，，则它的五个面中，互相垂直的面共有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 5．已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 ( ) A.43πB.4πC.2πD. 323π 6．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余棱长都为1，则二面角A-CD-B 的平面角的余弦值为 ( )A ． B. C ． D ．7. 已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是 ()A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形8.给出下列说法：①直线l 平行平面α内的无数条直线，则α//l . ②若直线a 在平面α外，则α//a . ③若直线b a //，α⊂b ，则α//a .④若直线b a //，α⊂b ，则直线a 平行于平面α内的无数条直线. ⑤若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//. ⑥若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥. 其中说法正确的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5二、填空题：（每题5分）9.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为l 的等腰梯形， 则该平面图形的面积等于_________．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则的最大值是__________.11.一个多面体的三视图如图，则此多面体的全面积为__________________.11题 12题 13题 12. 如图所示：若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________。
2016-2017学年天津市部分区高一数学下期末试卷
2016-2017 学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题1、某工厂 A ， B， C 三个车间共生产2000 个机器部件，此中 A 车间生产800 个， B 车间生产 600 个， C 车间生产600 个，要从中抽取一个容量为50 的样本，记这项检查为①：某学校高中一年级15 名男篮运动员，要从中选出 3 人参加会谈会，记这项检查为②，则达成①、②这两项检查宜采纳的抽样方法挨次是（）A 、分层抽样系统抽样B、分层抽样简单随机抽样C、系统抽样简单随机抽样D、简单随机抽样分层抽样2、以下图的茎叶图记录了甲、乙两组各7 名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的均匀数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣ m 的值是（）A、﹣ 2B、﹣ 1C、 0D、 13、给出以下三对事件：①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”；②甲、乙两人各射击 1 次，“起码有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有 2 个红球和 2 和黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．此中属于互斥事件的个数为（）A 、 0B、 1C、 2D、 34、口袋中装有一些大小同样的红球和黑球，从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率是（）A 、B、C、D、5、若 x， y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、﹣ 5B、 1C、D、 36、在△ ABC 中， a，b， c 分别是三个内角A， B， C 的对边， b=1， c=，∠ B=30°，则a 的值为（）A、1或2B、 1C、 2D、7、阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出S 的值为（）A、B、C、D、8、若 a， b，c， d∈ R，则以下结论正确的选项是（）A 、若 a＞ b，则 a2＞ b2B、若 a＞ b，c＞ d，则 ac＞ bdC、若 a＜ b＜0，则＜D、若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜0，则＜9、从某高中随机选用 5 名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：身高 x（ cm） 160 165 170 175 180体重y（ kg）63 66 70 72 74依据如表可得回归方程=0.56x+ ，据此模型可预告身高为172cm 的高一男生的体重为（）A 、B、C、D、10、设数列 {a n} 的前 n 项和为 S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈ N*），则S5等于（）A、85B、 255C、 341D、 1023二、填空题11、把二进制数110101（2）转变为十进制数为________．12、阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出 a 的值是________．13、已知 {a n} 是等差数列， S n为其前 n 项和，若 a6=5，S4=12a4，则公差d的值为________．14、在 [﹣ 5， 5]上随机的取一个数a，则事件“不等式 x2+ax+a ≥0对随意实数x 恒成立”发生的概率为 ________．15、已知 a＞0， b＞ 0，且a与 3b的等比中项，若+2恒成立，则实数是 3 ≥2m+3mm 的取值范围是 ________．三、解答题16、为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理获得的数据作出了频次散布表和频次散布直方图如图：分组频数频次[17.5 ，20） 10[20，225） 50，25） a b[25，） 40 c，30] 20共计N 1（Ⅰ）求出表中N 及 a， b， c 的值；（Ⅱ）求频次散布直方图中 d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试预计这件产品的质量少于25 千克的概率．17、在锐角△ ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A ，B，C 的对边，若 2asinB=b．（Ⅰ）求 A ；（Ⅱ）若a=，△ ABC的面积为，求△ ABC的周长．18、某校高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，为检查他们的体育锻炼状况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5， 6 名学生进行检查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从 C 班抽取学生的编号挨次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据剖析．（i ）列出全部可能抽取的结果；（ii ）设 A 为事件“编号为 C1和 C2的 2 名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．2 *），数列 {b n} 是首项为 4 的正项19、已知数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n= n + n（ n∈ N等比数列，且 2b2 ， b3﹣ 3， b2+2 成等差数列．（Ⅰ）求数列 {a n} ， {b n} 的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n?b n（ n∈ N*），求数列 {c n} 的前 n 项和 T n．20、已知函数 f （ x） =x2+ax+1 （a∈ R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（ x）＜ 3 的解集；（Ⅱ）当0＜ x＜ 2 时，不等式f（x）＞ 0 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅲ）求对于x 的不等式 f （ x）﹣a2﹣ 1＞0 的解集．答案分析部分一、 <b > 选择题 </b>1、【答案】 B【考点】分层抽样方法，系统抽样方法【分析】【解答】解：①个体有了显然了差别，因此采纳分层抽样法，②个体没有差别且总数不多可简单随机抽样法．应选 B．【剖析】从整体的个体有无差别和总数能否比许多下手选择抽样方法．2、【答案】 D【考点】茎叶图【分析】【解答】解：由茎叶图，得：甲组学生成绩的均匀数：m= =88 ，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣ m=89 ﹣ 88=1．应选： D．【剖析】由茎叶图，先求出甲组学生成绩的均匀数m，再求出乙组学生成绩的中位数n，由此能求出n﹣ m 的值．3、【答案】 C【考点】互斥事件与对峙事件【分析】【解答】解：在①中，某人射击 1 次，“射中7 环”与“射中8 环”不可以同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击 1 次，“起码有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有 2 个红球和 2 和黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不可以同时发生，是互斥事件，故③正确．应选： C．【剖析】利用互斥事件的定义直接求解．4、【答案】 B【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】【解答】解：设口袋中装有一些大小同样的红球和黑球的个数分别为a， b，∵从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得 a=4，b=2 ，∴拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率：p==．应选： B．【剖析】设口袋中装有一些大小同样的红球和黑球的个数分别为a， b，由从中拿出 2 个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，列出方程组，求出a， b，由此能求出拿出的 2 个球中恰巧一个红球一个黑球的概率．5、【答案】 C【考点】简单线性规划【分析】【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分），由z=2x+y得y=﹣ 2x+z ，平移直线y=﹣ 2x+z ，由图象可知当直线y=﹣ 2x+z 经过点 A 时，直线 y= ﹣ 2x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，解得 A （1，），代入目标函数z=2x+y 得 z=2×1+=．即目标函数z=2x+y 的最大值为．应选： C．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．6、【答案】 A【考点】正弦定理【分析】【解答】解：由余弦定理可得b2=a2+c 2﹣2accos30°，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3 ﹣ 2a××=a2+3﹣ 3a，∴a2﹣3a+2=0 ，解得 a=1 或 a=2，应选： A．【剖析】利用余弦定理成立方程即可求出 a 的值．7、【答案】 B【考点】程序框图【分析】【解答】解：模拟程序的运转，可得程序框图的功能是利用循环构造计算并输出变量S=1+++的值，因为：S=1+++==．应选： B．【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量S=1+ ++的值，利用等比数列的乞降公式可得答案．8、【答案】 D【考点】不等关系与不等式【分析】【解答】解：对于A：若 a=0， b=﹣ 1，则不知足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣ 2，则不知足，对于 C：若 a=﹣ 2， b=﹣ 1，则不知足，对于 D ：若 a＞ b＞0， c＜ d＜ 0，则 ac＜bd，两边同除以cd 获得＜．应选： D【剖析】举反例判断 A ， B， C，依据不等式的性质判断 D9、【答案】 A【考点】线性回归方程【分析】【解答】解：依据已知数据，计算= ×（ 160+165+170+175+180 ） =170 ，=×（ 63+66+70+72+74 ） =69，回归系数=﹣=69 ﹣0.56 ×170=﹣，∴y 与x 的线性回归方程为=0.56x ﹣；把 x=172 代入线性回归方程中，计算 =0.56 ×172﹣ 26.2=70.12 ，∴预计该男生的体重为70.12kg ．应选： A ．【剖析】依据已知数据计算、，求出回归系数，写出回归方程，把x=172 代入线性回归方程计算的值即可．10、【答案】 C【考点】数列递推式【分析】【解答】解：∵数列{a n} 的前n 项和为S n ， a1+a2=5， a n+1=3S n+1（ n∈N *），∴a2=3a1+1 ，∴ a1+3a1+1=5 ，解得a1=1， a2=4， a3=3S2 +1=3（ 1+4） +1=16 ，a4=3S3+1=3 （ 1+4+16 ） +1=64，a5=3S4+1=3 （ 1+4+16+64 ） +1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341 ．应选： C．【剖析】推导出 a1=1，a2=4，由此利用递推公式挨次求出a3，a4，a5，从而能求出S5的值．二、 <b > 填空题 </b>11、【答案】 53【考点】整除的定义【分析】【解答】解： 110101（2） =1+1 ×22 +1×24+1×25=53故答案为：53．【剖析】二进制变换为十进制方法：按权相加法，马上二进制每位上的数乘以权（即该数位上的 1 表示 2 的多少次方），而后相加之和即是十进制数，据此解答即可．12、【答案】 9【考点】程序框图【分析】【解答】解：模拟程序的运转，可得a=1， b=9知足条件 a＜b，履行循环体， a=5， b=7知足条件 a＜b，履行循环体， a=9， b=5不知足条件 a＜ b，退出循环，输出 a 的值为 9．故答案为： 9．【剖析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．13、【答案】【考点】等差数列的前n 项和【分析】【解答】解：∵ {a n} 是等差数列， S n为其前 n 项和， a6=5， S4=12a4 ，∴，解得， d= ．∴公差 d 的值为．故答案为：．【剖析】利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组，由此能求出公差 d 的值．14、【答案】【考点】几何概型【分析】【解答】解：由已知不等式x2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立，因此△ =a2﹣ 4a≤0，解答 0≤a≤4，，因此在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x 2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立 ”发生的概率为： ；故答案为：．【剖析】第一求出使不等式 x 2+ax+a ≥0对随意实数 x 恒成立的 a 的范围，利用区间长度比求概率．15、【答案】 [ ﹣ 3， ]【考点】 函数恒成立问题【分析】【解答】解： a ＞ 0 ，b ＞ 0，且 是3a 与 3b 的等比中项， 可得 3a ?3b =（）2，即有 a+b=1，+ =（ a+b ）（ + ） =1+4++ ≥ 5+2=5+4=9 ，当且仅当 b=2a=时，获得等号，即最小值为9．22由 + ≥2m +3m 恒成立，可得 2m+3m ≤9，解得﹣ 3≤m ≤ ．故答案为： [﹣ 3，] ．【剖析】 运用等比中项的定义，可得 a+b=1， + =（ a+b ）（ + ）=1+4+ + ，运用基本不等式可得最小值 9，再由不等式恒成立可得 2m 2+3m ≤9，解不等式可得 m 的范围．三、 <b > 解答题 </b>16、【答案】 解：（Ⅰ）由频次散布表得： ，解得 N=200 ， a=80，， c=0.2 ．（Ⅱ）由频次散布表得[25，）频次为，∴d==0.08 ．（Ⅲ）由频次散布表知产品的质量许多于25 千克的频次为 0.2+0.1=0.3 ，∴从该产品中随机抽取一件，预计这件产品的质量少于25 千克的概率p=1﹣．【考点】频次散布表，频次散布直方图【分析】【剖析】（Ⅰ）依据频次 =，由频次散布表能求出表中N 及 a， b， c 的值．（Ⅱ）由频次散布表得[25 ，）频次为，由此能求出频次散布图中的 d 的值．（Ⅲ）由频次散布表知产品的质量许多于25 千克的频次为，从该产品中随机抽取一件，由此能预计这件产品的质量少于25 千克的概率．17、【答案】解：（Ⅰ）∵解：在△ ABC 中，若b=2asinB ，可得sinB=2sinAsinB ，∴由 sinB ≠0，可得 sinA=，∵A 为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵ A=60°． a=，△ ABC的面积为=bcsinA=bc，∴b c=6 ，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣ bc=（ b+c）2﹣ 3bc=（ b+c）2﹣ 18，∴解得： b+c=5，∴△ ABC 的周长 l=a+b+c=+5．【考点】正弦定理【分析】【剖析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinB=2sinAsinB ，联合 sinB ≠0，可求sinA=，联合 A 为锐角，可求 A 的值．（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求bc=6，从而利用余弦定理可求b+c=5 ，即可得解△ABC 的周长．18、【答案】解：（Ⅰ）∵高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4， 5， 6 名学生进行检查．∴A 班有学生：=32 人，B 班有学生：=40 人，C 班有学生：（Ⅱ）（ i ）记从=48 人．C 班抽取学生的编号挨次为C1 ， C2 ， C3 ， C4 ， C5 ， C6 ，现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据剖析，基本领件总数有15 个，分别为：{C 1 ， C2} ，{C 1 ， C3} ，{C 1 ， C4}， {C 1 ， C5} ，{C 1 ， C6} ，{C 2 ， C3}，{C 2 ， C4} ，{C 2 ， C5}，{C 2 ， C6} ，{ }，{C3 ， C5}，{C 3 ， C6} ，{C 4 ， C5} ，{C 4 ， C6}，{C5，C6}．（i i ） A 为事件“编号为 C1和 C2的 2 名学生中恰有一人被抽到”，则事件 A 包括的基本领件个数为 8，分别为：{C1， C3}，{C1 ， C4} ，{C 1， C5}， {C 1， C6} ，{C 2 ， C3}，{C 2， C4}，{C2， C5}，{C2 ， C6}，∴事件 A 发生的概率 p= ．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率【分析】【剖析】（Ⅰ）由高一年级的 A ，B ， C 三个班共有学生120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取 4 ，5， 6 名学生进行检查，能求出 A ，B ， C 三个班各有学生多少人．（Ⅱ）（i）利用列举法能求出全部可能抽取的结果．（ii）A “ C1 和C2为事件编号为的 2 名学生中恰有一人被抽到”，利用列举法求失事件 A 包括的基本领件个数，由此能求出事件 A 发生的概率．19、【答案】解：（Ⅰ）∵数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n=2 *），∴ a1=S1= n + n（ n∈N=5，当 n≥2时， a n=S n﹣ S n﹣1=（）﹣[] =3n+2，当 n=1 时，上式成立，∴数列{an}的通项公式为a n=3n+2．∵数列 {b n} 是首项为 4 的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得 q=2 ．∴数列 {b n} 的通项公式n﹣1 n+1．b n=4×2 =2（Ⅱ）∵ c n=a n?b n=（ 3n+2 ）?2n+1=（ 6n+4） ?2n ，∴数列 {c n} 的前 n 项和：2×2 3 nT n=10 ×2+16 ×2 +22 + +（6n+4）×2 ，①2T n=10 ×22+16 ×23 +22 ×23+ +（ 6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6 （22 +23+ +2n）﹣（ 6n+4）×2n+1=20+6 ×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（ 6n﹣ 2）×2n+1，∴T n=（ 6n﹣ 2）×2n+1+4．【考点】数列的乞降，数列递推式【分析】【剖析】（Ⅰ）由数列 {a n} 的前 n 项和 S n知足 S n=n2+n（ n∈ N *），获得 a1=S1=5 ，当 n≥2时， a n=S n﹣ S n﹣1=3n+2 ，由此能求出数列{a n} 的通项公式；由数列{b n} 是首项为 4 的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，利用等比数列通项公式、等差数列性质列出方程，求出公比，由此能求出数列{b n} 的通项公式．（Ⅱ）由 c n=a n?b n=（ 3n+2）?2n+1= （6n+4 ） ?2n ，利用错位相减法能求出数列{c n} 的前 n 项和．20、【答案】解：（Ⅰ）当 a= 时，不等式f（ x）＜ 3，即为2 2 x + x+1 ＜ 3，即 3x +x﹣4＜ 0，解得﹣＜x＜ 1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜ x＜ 2 时，不等式f（x）＞ 0 恒成立，即有x 2+ax+1 ＞ 0在 0＜ x＜ 2 恒成立，即为﹣ a＜x+ 在 0＜ x＜ 2 恒成立，由 y= x+ 的导数为 y′= ﹣，可得函数y 在（ 0，）递减，（，2）递加，则 y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（ x）﹣a2﹣ 1＞ 0，即为 3x2+2ax ﹣ a2＞0，即（ x+a）（ 3x﹣ a）＞ 0，当 a=0 时，即为 x2＞ 0，解集为 {x|x ≠0}；当 a＞ 0 时，＞﹣ a，解集为{x|x ＞或 x＜﹣ a} ；当 a＜ 0 时，＜﹣ a，解集为{x|x ＜或 x＞﹣ a} ．【考点】函数恒成立问题，一元二次不等式的解法【分析】【剖析】（Ⅰ）化简为二次不等式的一般式，解不等式即可获得所求解集；（Ⅱ）由题意可得x2+ax+1 ＞0 在 0＜ x＜ 2 恒成立，即为﹣a＜x+ 在 0＜ x＜2 恒成立，求出y= x+ 的导数，单一区间，可得最小值，即可获得 a 的范围；（Ⅲ）f（ x）﹣a2﹣1＞0，即为 3x2+2ax ﹣ a2＞ 0，即（ x+a）（ 3x﹣ a）＞ 0，对 a 议论， a=0，a＞ 0， a＜0，由二次不等式的解法，即可获得所求解集．。