等腰三角形的存在性PPT课件
第二十七课时 等腰三角形PPT精品文档23页
（2）由（1）知∠ECA=36°，充分利用等边对等角得∠ABC=∠ACB= =72°，则∠ECB=36°，∴∠BEC=72°=∠B，∴BC=CE=5，也可
以利用三角形一个外角等于与它不相邻两内角和，得 ∠CEB=∠A+∠ACE=72°，从而得到∠B=∠CEB=72°，所以BC=CE=5.
6.线段的垂直平分线
定义：经过线段的 中点 与这条线段 垂直 的直线叫做这条线段的垂直平分线.
注意：线段的垂直平分线的两个要点“垂直”和“平分”要同时存在.
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等 . 判定：与一条线段两个端点距离 相等 的点，在这条线段的垂直平分线上.
类型之一 等腰三角形的性质的运用 ［2019·预测题］如图27-4，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平
［预测变形２］［2019·株洲］如图27-6，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平 分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数； （2）若CE=5，求BC的长.
解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°.
（2）解法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°.∵∠ECD=36°， ∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°， ∴∠BEC=180°-∠B-∠BCE=72°=∠B，∴BC=EC=5.
分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（ A ）
A.13 B.14 C.15 D.16
【解析】等腰三角形的周长=两腰长+底边长，则等腰三角形一腰长=
《动点问题--“两定一动”中等腰三角形的存在性问题》课件
那个点.
如图：
y
B
A
C1
O
C2
C4 x
C3 C5
直角坐标系·动点：
2.如图，点A坐标为(1,1)， 点B坐标为(4,3)，
在坐标轴上取点C，使得△ABC是等腰三角形.
分析：本题与探究二、变式训练一例相比，扩大了点C的
满足范围，坐标轴上取满足条件的点分两类情况讨论，
②当C在y轴上时,设C(0,n),由A(1,1),B(4,3)
解得n=
，故C(0, )
∴AB2=9+4=13,AC2=n2-2n+2, BC2=n2-6n+25
综上所述,存在8个符合条件的点，即
∵△ABC是等腰三角形，故分三种情况讨论.
C(
±
,
)或(2,0)或(6,0)或(
,0)
③当AC=BC时，m2-4m+4=m2+16，解得，m=-3. ∴C(-3,0).
综上所述,C1(2-
,0),C2(2+
O
,0),C3(-2,0),C4(-3,0)符合条件.
A
x
二次函数·动点：
3.如图，己知二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴的一个交点为A(-1,0)，
与y轴交于点B.试问∶在抛物线的对称轴上是否存在点P.使得△PAB是
不变，解答问题.
23
综上所述，(2,0)或(6,0)或 ( 6 ,0)
或（1+ 2 3 ,0）
.
方法总结
几何法:
(1)“两圆-线”作出点;
(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点
第3讲等腰(直角)三角形存在性处理策略
第三讲等腰（直角）三角形的存在性问题处理策略一、两圆一线与两线一圆二、代数解法（SSS法）前提：三边的平方是常数或者是关于某个参数的二次式，根据边或直角分类三、几何解法（SAS法）1等腰三角形的存在性问题前提：三角形有一个不变的内角θ步骤：①用同一个参数表示该不变角相邻的两条边；②以腰为标准分三类列方程。
具体如下：情形一、当定角θ为顶角时，如图3-2-6，有a=b;情形二1等腰三角形的存在性问题、当定角θ为底角且b为腰时，如图3-2-7，有cosθ=a/2b；情形三、当定角θ为底角且a为腰时，如图3-2-8，有cosθ=b/2a.2直角三角形存在性问题法1:若直角三角形有一个不变的锐角θ,可狠抓不变角θ,利用其三角函数列式计法2:依托直角三角形,作“横平竖直”辅助线,造“一线三直角”,利用相似求解3等腰直角三角形存在性问题方法:一般构造“一线三直角”全等,即“K 字型”全等值得一提的是,以上问题,有时还可以结合导角、相似等转化手段进行求解例1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,点P是这个菱形内部或边上的一点,若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D(两点不重合)两点间的最短距离是_________。
变式1、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=12,点P是这个菱形外部的一点,若以点P、B、D为顶点的三角形是Z直角三角形，则P、C(两点不重合)两点间的最短距离是_________。
例2、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，求所有点C的坐标..变式1、已知点A(3,0),B(0,4),在坐标轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，求所有点C的坐标..例3、如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．以下是几何解法（一、）显性的不变角（二、例4已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0),C(8,0),D(8,8),抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．例5在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为直角三角形时，求BP的长变式：在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点（点P不与B、C重合），且∠ABD=∠B,若AB=10,BC=16,当△APD为等腰三角形时，求BP的长（二）隐形的不变角（三）例6、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由例7在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)与直线l ：y=x 34,点B 在x 轴正半上，且位于点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，交直线l 于点C,再过点C 作直线l 的垂线，交x 轴于点D 在BC 上取点E ，使BE=BA,连接OE,并延长，交CD 于点F,当△CEF 为等腰三角形时，求点C 的坐标..练习1、直线y=-x+4与x 轴交于点B,点C 在直线AB 上，在平面直角坐标系中求一点，使得以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形是菱形。
等腰三角形的性质定理及其证明课件
等腰三角形的性质定理及其证明课件一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第六册第四章“几何图形”的相关内容。
具体章节为第1节“等腰三角形的性质定理及其证明”。
本节课的主要内容包括：等腰三角形的定义、性质定理及其证明，以及等腰三角形的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义和性质定理，能够运用性质定理解决相关问题。
2. 培养学生观察、思考、交流、合作的能力，提高学生的几何思维水平。
3. 通过对等腰三角形的探究，培养学生对数学的兴趣和自信心。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质定理及其证明。
难点：理解并证明等腰三角形的性质定理。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件、几何模型。
学具：笔记本、尺子、三角板、剪刀。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角板、剪刀等，引导学生发现等腰三角形的特征。
3. 证明等腰三角形的性质定理：引导学生利用几何模型，通过剪切、拼接等方法，证明等腰三角形的性质定理。
4. 例题讲解：出示相关例题，如“已知一个等腰三角形，求其底角的度数”，让学生运用性质定理解决问题。
5. 随堂练习：出示一些关于等腰三角形的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
六、板书设计板书内容主要包括等腰三角形的定义、性质定理及其证明过程。
板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。
七、作业设计1. 作业题目：已知一个等腰三角形，求其底角的度数。
答案：底角的度数= (180° 顶角的度数) ÷ 2。
2. 作业题目：判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。
答案：判断三角形是否为等腰三角形，只需判断两腰是否相等。
如果两腰相等，则为等腰三角形。
八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课的教学内容较为抽象，学生可能在理解上存在一定困难。
教师应关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服困难。
拓展延伸：让学生观察生活中的等腰三角形物品，尝试解释其原理。
等腰三角形的性质完整课件
等腰三角形的性质完整课件一、教学内容本节课的教学内容来源于人教版小学数学五年级下册第117页至119页，主要讲述了等腰三角形的性质。
具体内容包括：1. 等腰三角形的定义；2. 等腰三角形的两底角相等；3. 等腰三角形的底边中线、高、角平分线合一；4. 等腰三角形的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义及其性质；2. 培养学生运用等腰三角形的性质解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质及应用；难点：等腰三角形底边中线、高、角平分线合一的证明。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件；学具：三角板、量角器、直尺、圆规、剪刀、彩笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角形桌椅、三角形黑板等，引导学生发现等腰三角形的特征。
2. 讲解等腰三角形的定义：等腰三角形是指有两边相等的三角形。
3. 证明等腰三角形两底角相等：通过实际操作，让学生用三角板、量角器等工具，测量等腰三角形两底角的度数，发现两底角相等。
4. 讲解等腰三角形底边中线、高、角平分线合一的性质：引导学生观察等腰三角形底边上的中线、高、角平分线，发现它们交于同一点。
5. 应用练习：让学生运用等腰三角形的性质解决实际问题，如计算等腰三角形的面积、判断一个三角形是否为等腰三角形等。
六、板书设计板书内容：等腰三角形的性质1. 等腰三角形的定义2. 等腰三角形两底角相等3. 等腰三角形底边中线、高、角平分线合一七、作业设计三角形1：底边为6cm，两腰分别为5cm、5cm；三角形2：底边为8cm，两腰分别为7cm、7cm；三角形3：底边为10cm，两腰分别为8cm、8cm。
答案：三角形1是等腰三角形，因为两腰相等；三角形2是等腰三角形，因为两腰相等；三角形3不是等腰三角形，因为两腰不相等。
2. 题目：已知一个等腰三角形的底边长为12cm，腰长为5cm，求该等腰三角形的面积。
等腰三角形的判定（课件ppt）
∵∠A=∠B =∠C ＝60° ，
∴△ABC 是等边三角形． B
C
新知讲解
练习2：已知：如图，CD平分∠ACB，AE//DC，AE交BC的 延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形.
证明： ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， ∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ ∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.
已知：在△ABC 中， ∠A =∠B =∠C =60°． 求证：△ABC是等边三角形．
证明： ∵∠C=∠B =60°，
A
∴AB =AC ，
同理可证： AB＝BC，AC＝BC，
∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
B
C
新知讲解
等边三角形的判定1
三个角都是60°的三角形是等边三角形.
A 几何语言：在△ABC中，
相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形.
证明: ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ ∠DBC= 1 ABC，∠ECB= 1 ACB
A
2
2
又∵ △ABC是等腰三角形，
E
D
∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB，
O
B
C
∴ △OBC是等腰三角形.
新知讲解
思考1：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？
等的三角形是等腰三角形吗？
现了什么！
如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么AB 与AC 相等.
新知讲解
《等腰三角形的性质》优秀课件
全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
2024/1/26
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对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
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与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
2024/1/26
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
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面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
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目录
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• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
冀教版八年级上册数学《等腰三角形》PPT(第1课时)
【跟踪训练】
根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不 是
（1） 不 一 定 是
（4）
是 （2）
是 （5）
是 （3）
是 （6）
例题讲解
例 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC
于点D，E .
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形，
A
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
质
底边上的中线、高和顶角 每一边上的中线、高和这一边
的平分线互相重合
所对的角的平分线互相重合
对称轴（1条）
对称轴（3条）
情景导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测 得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事 地点（不考虑风浪因素）？
A
B
C
D
（2）指出图中有几个等腰三角形？
△ABC, △ABD, △BCD.
B
C
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD, ∠ABC=∠BDC=2∠A, ∠C=∠BDC=2∠A. （4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的 式子表示出来.
7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中 线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD. 证明：∵AB=AC，AD是BC边上的 中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°， ∴∠CBE=∠CAD. 又∵∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD.
课堂小结
等腰三 角形的 性质
A
⌒
x
2x B
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几何图形中等腰三角形的存在性（一定两动） • 变式：如图，在△ABC中，∠ABC=120°，且AB=BC，将 △ABC绕点A按逆时针方向旋转α角 （30°<α<180° ）得到△ADE，连接BD，与AC相交于点F，当旋转角α为 多少度时，△BCF是等腰三角形.
三边两两相等
一次函数中等腰三角形的存在性 • 例4、如图，直线 与 x轴 、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点 ， 若使△ABP为等腰三角形，求点P的坐标 .
12年29平行 四边形的存 在性
成都近十年中考的存在性问题
14年28相似三 角形的存在性 15年28…… 期待中……
中考中等腰三角形的存在性
07德阳25 08卢湾25 10内江26
11重庆25
12嘉兴24
13泰安29
14上海24
13临沂21
……
中考填空选讲： 例1：如图，线段OD的一个端点O在直线OM上，∠DOM=30°,以OD为一边画
等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线OM上，这样的等腰三角形能画多少个?
请画出所有符合条件的三角形.
只找点不求解
Ｄ
30°
⌒
P2
Ｏ
P4
P3
P1
M
两定一动型
典例讲解:
变式1：如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使 得△ACP为等腰三角形，则满足条件的点P共有( ) 个
只找点不求解
• 变式1：已知：如图，线段AB的端点A在直线 上，AB 与直线l 的夹角为60°，请在直线 上另找一点C， 使△ABC是等腰三角形．这样的点有( ) 个
THANK
YOU
SUCCESS
2019/4/24
角上的中线，把△ADC沿AD 对折，点C落在点C′处，连接CC′，则图中共有( )个等腰三角形． A.3 B.4 C.5 D.6
A.
B.
25分题
• 如图，直线 与x轴、y轴 分别交于A，B两点，过点O作OC⊥AB于点C，点P是 线段OA上的动点，若使△PAC为等腰三角形，则点 P的坐标是( ) A. B. C. D.
C.
？分题
10分题
？分题
10分题
等腰三角形存在性问题
• 同学们，中考中的存在性问题类 型很多，等腰三角形的存在性问题考的也 远比我们本节课所学内容难得多，因为我 们还有很多知识点没学，综合解决问题的 能力太有限，我们所学只是皮毛，但我们 要养成建解题模式、形成处理问题的套路 ，这样才能把各知识点有效地连成各条有 特色的线，才能形成鲜明的知识面，最后 才能建成一个完整的体系。
等腰三角形的存在性
——成都七中万达数学组学校
兰盛芬
成都近十年中考的存在性问题
05年30等腰 直角三角形 存在性
06年29点的 存在性 07年28相似 三角形的存 在性
08年28梯形 的存在性
09年28直角 三角形的存 在性
10年29圆 的存在性
13年28等腰 三角形的存 在性
11年28定高 三角形的存 在性
THANK
YOU
SUCCESS
2019/4/24
可编辑
变式1：如图，直线y=x+3与y轴交于点A，与直线x=1 交于点B，点P是直线x=1上的动点， 若使△ABP为等 腰三角形，求点P的坐标.
一次函数中等腰三角形的存在性
• 变式2：如图，直线 与x轴、y 轴分别交于点A，B，点P是线段AB上的一动点 ， 若△OAP为等腰三角形，求点P的坐标.
抢题啦
小结：
1、存在性问题的处理套路是什么？
2、等腰三角形存在性（两定一动）问题如何 确定点的位置？ 3、等腰三角形存在性（两定一动）问题确定 点的位置后，根据什么求线段长或坐标？
4、坐标系中，等腰三角形存在性（两定一动） 问题根据“一线”找到的点，它的坐标求解 思路是什么？ 函数角度： 几何角度： 代数 5、等腰三角形存在性(一定两动）问题的处理 套路是什么？
• 变式2：如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别 AB=2 MN或直线PQ上找 在MN，PQ上，OA=1，OA=1 OB=2， ，在直线 一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有( )个．
动态类型:
1.两定一动类型 2.夹角固定，一定两动类型
背景类型:
1.格点背景
2. 几何图形背景 3.平面直角坐标系背景
网格中的等腰三角形存在性
• 变式三：如图，在正方形网格的格点（即最小正 方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角 形，且AB为其中一腰．这样的点C有( )个．
存在性问题的处理套路
• 存在性问题的处理套路是什么？ 1、理解题意，整合信息； 2、抓不变特征有序思考，设计方案； 3、根据方案作图，有序操作； 4、结果检验，总结。
几何图形中等腰三角形的存在性（一定两动） 例3：如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，已 知A（0，3），C（4，0），P为射线AB上一动点， 将直线OP绕点P逆时针旋转90°，交直线BC于点Q ，当△POQ为等腰三角形时，求点P的坐标.
（夹角固定，一定两动）
• 等腰三角形存在性（两动一定）问题的处理套路 是什么？ 三边两两相等
• 等腰三角形存在性（两定一动）问题根据什么确定点的位置？
利用两圆一线确定点的位置。
几何图形中等腰三角形的存在性（两定一动） 例2：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，点Q 是BC的中点，点P在AD边上运动，若△BPQ是腰长为 5的等腰三角形，求线段AP的长 .
等腰三角形存在性（两定一动）问题确定点的位置 后，求线段长的依据是什么？ 两腰相等或三线合一