甘肃省靖远县2018-2019学年高三数学试卷(文科)最后一次联考

绝密★启用前高三数学试卷（文科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.62i2i +=-（ ） A.144i 55-+ B.42i 5+C.22i +D.142i 5+2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{B x y ==，则A B =I （ ）A.{}1,2B.{}0,1,2C.{}2,1--D.{}2,1,0--3.已知函数()()22ln xxf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.4.已知等比数列{}n a 满足14a =，312450a a a a a =>，则公比q =（ ）D.25.已知抛物线C ：22x py =（0p >）的准线l 与圆M ：()()221216x y -+-=相切，则p =（ ）A.6B.8C.3D.46.31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >>7.已知函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，若函数()y f x =在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 8.“割圆术”是刘微最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据，如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ） 2.0946≈）A.3.1419B.3.1417C.3.1415D.3.14139.在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，E 是AD 中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u ur u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A.13B.13-C.76D.76-10.在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒11.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A.22143x y -= B.22134x y -= C.221169x y -= D.221916x y -= 12.已知正项数列{}n a 的前n项和为n S ，满足1n a =，则()516810024246810011111111111a a aa a S S S S S +++++-+-++-=-----L （ ） A.100101B.102101C.200201D.202201二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是______.14.某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为______. 15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为______. 16.设函数()1ln 2f x x a x =++，1,x a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()f x 的极小值不大于32a +，则a 的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求A 的大小； （2）若a =3B π=，求ABC ∆的面积.18.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD . （2）求点1C 到平面AEC 的距离. 19.（12分）某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分别五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意），其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）.（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y ≤≤的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率. 20.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 21.（12分） 已知函数()232f x ax x=+-. （1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围.（二）选考题：共10分、请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求22MP MQ +的值. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()2f x x =+.（1）求不等式()()24f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围.高三数学试卷参考答案（文科）1.C 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.()()()()62i 2i 62i 1010i22i 2i 2i 2i 5++++===+--+ 2.D 【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力 因为{}1,0,1,2A =-，{}0A x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I . 3.B 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力. 函数()f x 是偶函数，当()0,1x ∈时，()0f x <，故选B. 4.A 【解析】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想由123450a a a a a =>，可得44q =，q =5.D 【解析】本题考查抛物线与圆的几何性质，考查推理论证和运算求解能力.抛物线C ：22x py =的准线为2p x =-，因为准线l 与圆M ：()()221216x y -+-=相切，所以242p +=，则4p =.6.B 【解析】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.()31log 1,02∈-，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈，故p n m >>.7.B 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.22πωπ==，()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2223k x k ππππ≤+≤+，k ∈Z ，解得63k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.8.A 【解析】本题考查数学文化以及几何概型，考查运算求解能力. 设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为216222r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为2220.8269r π==，则 3.1419π=≈. 9.B 【解析】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 中点，所以1132λ+=，1132μ--=，解得12λ=，56μ=-，即13λμ+=- 10.C 【解析】本题考查计算异面直线所成角，考查空间想象能力和运算求解能力.由题可知O 是正方形ABCD 的中心，作N 为OC 的中点，所以OP MN ∥，则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角，因为OP ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD，易得BN =，MN =，BM =则异面直线OP 与BM 所成角为60︒.11.D 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力和化归与转化的思想由()21210F A A F F F +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，可知1222F F F A c ==，且217cos 25AF F ∠=- .在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=，所以53c e a ==，则:3:4a b =，所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=. 12.A 【解析】本题考查数列的递推关系以及数列的求和，考查运算求解和推理论证能力.当1n =时，11a =，解得11a =；当2n ≥时，()()22114141n nn n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，两式相减可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，221122n n n n a a a a --+=-，可得12n n a a --=，所以()12121n a n n =+-=-，()2214n na S n +==.212111111n n a n S n n n +==+---+，所以 ()516810024246810011111111111a a aa a S S S S S +++++-+-++------L 1111111110013355799101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 13.0【解析】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 由题可知，再画出可行域（图略）知当l ：0x y +=平移到过点()2,2-时，min 0z =. 14.$0.954y x =+【解析】本题考查线性回归方程，考查运算求解能力.设线性回归方程为$$y bx a =+$，因为52x =，518y =，由题意可得$$55128811.6b a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩$$，解得0.95b =$，$4a =，即$0.954y x =+.（答案写成0.954y x =+不扣分）15.8π【解析】本题考查圆柱体的外接球，考查空间想象能力和运算求解能力.设底面圆的半径为r ，则()224r =，1r =，该圆柱的外接球的半径R ==，球的表面积为248ππ=.16.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】本题考查导数与极值问题，考查化归与转化以及运算求解能力.由题可知10a a >>，则11a a >>.由()22111x f x x x x -'=-=，可知函数1x =是函数()f x 的极小值，所以()31212f a a =+≤+.解得312a <≤.17.解：（1）由题可知22b c a a ⎫+=⎪⎭，222b c a +-=，所以2cos bc A =，即cos 2A =， 4A π=.（2）()sin sin C A B =+=由正弦定理sin sin a bA B=，可得b =13sin 24ABC S ab C ∆==. 评分细则：（1）第二问利用正弦定理求出c =，再计算三角形面积ABC S ∆=，各得3分. 18.（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥面ABCD ，则1AA CD ⊥. 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥.又CD ED D =I ，所以AE ⊥平面ECD .（2）解：连接1CD ，点1C 到平面AEC 的距离即点1C 到平面1AD C 的距离.在1ACD ∆中，AC =1D A =1CD =，112ACD S ∆==又因为AD CD ⊥，1AD DD ⊥，1DD CD D =I ，所以AD ⊥平面1CDD C . 设点1C 到平面1AD C 的距离为h .因为1111C C D C C A A D V V --=，所以111133AD C C DC S h S AD ∆∆⋅=⋅，4242⨯=⨯，即3h =.评分细则：（1）第一问，未证明CD ⊥平面11AA D D ，扣2分；（2）第二问，点1C 到平面AEC 的距离可转化为点1C 到平面1AD C 的距离，按步骤酌情给分. 19.解：（1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f .从这6人中抽取2人有如下情况，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f .共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 评分细则：（1）平均数，方差直接写答案各得1分.20.（1）解：由题意可得2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=. （2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得()2224410x mx m -+-=， 则()()222163211620m m m ∆=--=->，且122x xm +=，()21221x x m =-，故()21212121211112242y y x m x m x x m x x m ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()212122121212111424OP CQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====， 即直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列. 评分细则：（1）第一问中，计算出a ，b ，c 各得1分；（2）第二问中，设2x y t =-+，联立列出关系式得1分，对()11,P x y ，()22,Q x y 写出韦达定理得2分. 21.解：（1）()2322f x x x =+-（0x ≠），()362f x x '=-， 令()0f x '=，解得x =当()),0x ∈-∞+∞U时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<.故函数()f x 在(),0-∞，)+∞上单调递增，()f x在（(上单调递减.（2）令()0f x =，可得32230ax x -+=，令()3223g x ax x =-+，且()030g =≠，本题等价于函数()g x 存在唯一的零点0x ，且00x >.当0a =时，()2230g x x =-+=，解得2x =±，函数()g x 有两个零点，不符合题意. 当0a ≠时，()()23434g x ax x x ax '=-=-，令()0f x '=，解得0x =或43x a=. 当0a >时，函数()g x 在(),0-∞，4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()g x 在40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 又()03g =，又x →-∞，()g x →-∞，所以函数()g x 存在负数零点，不符合题意.当0a <时，函数()g x 在4,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递减，()g x 在4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 又()03g =，故32444230333g a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得a <. 综上，a的取值范围为,9⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭. 评分细则：（1）第一问中，没考虑函数定义域0x ≠，扣2分；（2）第二问中，能够利用数形结合得出正确答案，并且严格证明不扣分22.解：（1）因为直线l：cos 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 10ρθρθ--=， 即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线C ：6cos 0ρθ-=，则曲线C 直角坐标方程为2260x y x +-=，即()2239x y -+=. （2）设直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t += 所以()22222121212218MP MQ t t t t t t +=+=+-=. 评分细则：（1）第一问中，直线l 的方程写出1y x =-，不扣分；（2）第二问中，利用平面几何求出点坐标和距离，答案正确，得满分，答案不正确按步骤酌情给分.23.解：（1）不等式()()24f x f x x +-<+可化为24x x x ++<+，当2x ≤-时，224x x --<+，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+，所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x <，所以02x <<.综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是()2,2-.（2）()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，又x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦评分细则：（1）第一问中，分类讨论不分先后顺序，每答对一个得1分，最终答案未写成解集形式，不扣分；（2）第二问中，不管用哪种方法，计算出()()f x a f x ++的最小值得2分，22a a ≥+采用分类讨论解不等式，答案正确，得满分，答案不正确按步骤酌情给分.。