空间点、线、面之间的位置关系(学生版)
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
高中数学必修2点、直线、平面之间的位置关系(1)
1.空间中的平行关系1.集合的语言:点A 在直线l 上，记作: A ∈l ;点A 在平面α内，记作: A ∈α;直线在平面α内(即直线上每一个点都在平面α内)，记作l ⊂α ; 注意：点A 是元素，直线是集合，平面也是集合。
2.平面的三个公理:（1）公理一:如果一条直线上的两点在同一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平而内.符号语言表述:A ∈l ,B ∈l , A ∈α, B ∈α⇒l ⊂α ； （2）公理二:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面.符号语言表述: A,B,C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈a, B ∈a, C ∈（3）公理三:如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过这个点的公共直线，符号语言表述: A ∈α∩β⇒α∩β= a, A ∈a.3. 平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
【例1.【解析】（1）D;直线上有两点在一个平面内，则这条直线一定在平面内，公理1保证了A 正确;公理2保证了C 正确;如果两个平面有两个公共点，则它们的交线是过这两点的直线，公理3保证了B 正确;直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故D 错误.（2）①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一个平面;②正确，两条相交直线确定一个平面;③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面;④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形;⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线;⑥错误;若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确.【备选】 已知点A ，直线l ，平面α，① αα∉⇒⊄∈A l l A , ② αα∈⇒∈∈A l l ,A ③ αα∉⇒⊂∉A l l A , ④ αα⊄⇒∉∈l A l A , 以上说法表达正确的有______________【解析】④直线不在平面内，可以与平面有一个交点，故①错误； 直线是点集，故只能用l ⊂α，②错误；直线是平面的真子集，故不在直线上的点可以在平面内，③错误； 一条直线在一个平面内，则直线上任一点都在平面内，故④正确。
点直线平面之间的位置关系知识点总结
点、直线、平面之间的位置关系知识点总结立体几何知识点总结1.直线在平面内的判定1利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内;则这条直线在平面内.2若两个平面互相垂直;则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;即若α⊥β;A∈α;AB⊥β;则ABα.3过一点和一条已知直线垂直的所有直线;都在过此点而垂直于已知直线的平面内;即若A∈a;a⊥b;A∈α;b⊥α;则aα.4过平面外一点和该平面平行的直线;都在过此点而与该平面平行的平面内;即若Pα;P∈β;β∥α;P∈a;a∥α;则aβ.5如果一条直线与一个平面平行;那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内;即若a∥α;A∈α;A∈b;b∥a;则bα.2.存在性和唯一性定理1过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质1点在平面上的射影自一点向平面引垂线;垂足叫做这点在这个平面上的射影;点的射影还是点.2直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线;过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.3图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时;射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时;射影仍是一个图形.4射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长；ii相等的斜线段的射影相等;较长的斜线段的射影也较长；iii垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行;并且方向相同;则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行;则这两组直线所成的锐角或直角相等.异面直线所成的角1定义：a、b是两条异面直线;经过空间任意一点O;分别引直线a′∥a;b′∥b;则a′和b′所成的锐角或直角叫做异面直线a和b所成的角.2取值范围：0°＜θ≤90°.3求解方法①根据定义;通过平移;找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形;求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角1定义和平面所成的角有三种：i垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角;叫做这条直线和这个平面所成的角.ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面;则它们所成的角是直角.iii一条直线和平面平行;或在平面内;则它们所成的角是0°的角.2取值范围0°≤θ≤90°3求解方法①作出斜线在平面上的射影;找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形;求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角;是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角;亦可说;斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角1半平面直线把平面分成两个部分;每一部分都叫做半平面.2二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱;这两个平面叫做二面角的面;即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交;则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量;通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°3二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点;分别在两个面内作垂直于棱的射线;这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图;∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：i二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面;即AB⊥平面PCD.ii从二面角的平面角的一边上任意一点异于角的顶点作另一面的垂线;垂足必在平面角的另一边或其反向延长线上.iii二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直;即平面PCD⊥α;平面PCD⊥β.③找或作二面角的平面角的主要方法.i定义法ii垂面法iii三垂线法Ⅳ根据特殊图形的性质4求二面角大小的常见方法①先找或作出二面角的平面角θ;再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积;S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积;α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离1定义面外一点引一个平面的垂线;这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.2求点面距离常用的方法：1直接利用定义求①找到或作出表示距离的线段；②抓住线段所求距离所在三角形解之.2利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上;则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点;和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h;求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4转化法将点到平面的距离转化为平行直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离1定义一条直线和一个平面平行;这条直线上任意一点到平面的距离;叫做这条直线和平面的距离.2求线面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离;然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面;把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离1定义个平行平面同时垂直的直线;叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分;叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.2求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证或连或作某线段为距离;然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离;再转化为线线平行距离;最后转化为点线面距离;通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离1定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度;叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.2求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件;找出或作出两条异面直线的公垂线段;再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法。
高考数学专题突破学生版-空间中点线面的位置关系(考点讲析)
理
线垂直于另一个平面.
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ AB⊥MN
AB
⊥α
【典例 16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体 ABCD 中， ABC 是边长为 1 的正三角形，
8
ACD 是直角三角形， ABD CBD ， AB BD .
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ； (2)若点 E 为 BD 的中点，求点 B 到平面 ACE 的距离. 【典例 17】（2017 课标 1，文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量 a，b，则两异面直线所成角θ满足 cosθ＝ | a ·b | . | a || b |
热门考点 04 与线、面平行相关命题的判定
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
a α，b⊄α，a∥b a∥α
结论 a∥α
2. 面面平行的判定与性质
热门考点 03 异面直线所成的角
异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
②范围： (0, ] . 2
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
4
【典例 8】（2019·北京高考真题（文））已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
【新人教版】数学必修二第八章 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
【新人教版】数学必修二第八单元8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间平面与平面的位置关系.知识点一空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点三平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示思考平面平行有传递性吗？答案有若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(×)2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(×)一、两直线位置关系的判定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.反思感悟判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c 可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.二、直线与平面的位置关系例2(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.反思感悟在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案 B解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.三、平面与平面的位置关系例3在以下三个命题中，正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③答案 C解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D 中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.反思感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义a与β无公共点，故④正确.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(请选择最贴切的)()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，a与α内的直线均不相交.2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两个平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个答案 C4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作()A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个答案 C解析平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.1.知识清单：(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳：举反例、特例.3.常见误区：异面直线的判断.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案 A4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对答案 C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.5.(多选)以下四个命题中正确的有()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC解析对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b 相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.所以正确的是AC.6.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________. 答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.8.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析题图①中，GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，所以GH与MN异面；题图③中，连接GM，则GM∥HN，所以GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内答案 A解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.12.若平面α与β的公共点多于两个，则()A.α，β可能只有三个公共点B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C.α，β一定有无数个公共点D.以上均不正确答案 C解析若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.13.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱所在直线组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.14.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是____________.答案③解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行.15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中()A.AB∥CDB.AD∥EFC.CD∥GHD.AB∥GH答案 C解析把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面. 16.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
立体几何——点线面的位置关系
点线面的位置关系〔1〕四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号语言：A l,B l,且A ,B l .公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面②经过两条相交直线,有且只有一个平面_______________________③经过两条平行直线,有且只有一个平面_______________________它给出了确定一个平面的依据.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线〔两个平面的交线〕.符号语言：P ,且P I l,P 1.公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行符号语言：a//l,nb//l a//b 0〔2〕空间中直线与直线之间的位置关系1 .概念异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.两条异面直线a,b ,经过空间任意一点O作直线a //a,b //b ,我们把a与b所成的角〔或直角〕叫异面直线a, b所成的夹角.〔易知：夹角范围0 90 〕公理4:〔平行线的传递性〕平行与同一直线的两条直线互相平行.符号语言：a〃l,且b//l a//b 0定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补.〔注意：会画两个角互补的图形〕小,击〃心相交直线：同一平面内,有且只有一个公共点；u向宜线2 .位置关系：八’ 平行直线：同一平面内,没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点〔3〕空间中直线与平面之间的位置关系直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 有 三 种 直线在平面内〔l 〕有无数个公共点〔4〕空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种 两个平面平行〔// 〕没有公共点 两个平面相交〔I 1〕有一条公共直线考点1：点,线,面之间的位置关系例1.〔2021辽宁,4,5分〕m,n 表示两条不同直线,a 表示平面.以下说法正确 的是〔〕A.假设 m// a ,n // a ,那么 m/l nB.假设 a ,n ? a ,那么 nC.假设 a ,m±n, WJ n // aD.假设 mil a ,m±n,那么 n± a［答案］1.B［解析］1.A 选项m n 也可以相交或异面,C 选项也可以n? a ,D 选项也可以n // a 或n 与a 斜交.根据线面垂直的性质可知选 B.例2.〔2021山东青岛高三第一次模拟测试,5〕设"、"是两条不同的直线,空 ,是两个不同的平面,那么以下命题正确的选项是〔〕A.假设 口〃瓦口〃/那么 6"a B .假设 01 人口那么."C .假设 ,, 「那么D .假设・ . . ..那么［答案］2. D［解析］2.A 选项不正确,由于方匚口是可能的;直线在平面外直线与平面相交〔11 直线与平面平行〔1 / / 〕 A 有且只有一个公共点没有公共点B选项不正确,由于以‘产,""靠时,""尸,"仁/都是可能的;C选项不正确,由于我上方,口工户时,可能有m；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证实其是正确的.应选D例3. 〔2021广西桂林中学高三2月月考,4〕设小、"是两条不同的直线,以、川是两个不同的平面.以下命题中正确的选项是〔A〕'；：」-•・；〃一/…」「；二.一不〔C〕滂,£©［8―明〃,••曾 = .,・,A［答案］3. D［解析］3. 假设m上R MU E用工'、那么平面"与“垂直或相交或平行,故〔A〕错误；假设“1凤阳1 g//Q,那么直线用与〃相交或平行或异面,故〔B〕错误；假设口L凤仪1.二风雨工,;那么直线片与平面#垂直或相交或平行,故〔C〕错误; 假设那么直线、1M,故©正确.选D.例4. 〔2021周宁、政和一中第四次联考, 示不同的平面,给出以下四个命题：①假设州且EU•那么u〞；②假设州// f,且阳// c.贝〞// 口；③假设Hl…内T = M ",那么'//巾//E ；④假设m D 且打// #,那么f //7〕设L E,H表示不同的直线,小丹「表( )(B) " ’(D)睽C f其中正确命题的个数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 ［答案］4. B［解析］4. ①正确；②直线也或£上,错误；③错误,由于正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确.故真正确的选项是①④,共2个.2.空间几何平行关系转化关系:i I城线平行---------- "线面平行" ------------ "面面平行直线、平面平行的判定及其性质归纳总结证实线线平行的方法:11 (平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行.即公理4(2证实这条两条直线的方向量共线.③如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.即面面平行的性质.2 .证实直线和平面相互平行的方法(1证实直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证实这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证实这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直.3 .证实两平面平行的方法：(1)利用定义证实.利用反证法,假设两平面不平行,那么它们必相交,再导出矛盾.(2)判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,这个定理可简记为线面平行那么面面平行.用符号表示是：anb, aa , a// e , b// e , WJ a // e.(3)垂直于同一直线的两个平面平行.用符号表示是：a±a , a,B那么a// B.(4)平行于同一个平面的两个平面平行. 〃 ,// //4.两个平面平行的性质有五条：(1)两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线面平行〞.用符号表示是：a // B, aa ,那么a // B.(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,这个定理可简记为：〞面面平行,那么线线平行〞.用符号表示是：a//0, aP 丫=a, B C = =b,贝U a// bo(3) 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.这个定理可用于证线面垂直.用符号表示是：a // B , a, a ,那么a, B.(4)夹在两个平行平面间的平行线段相等口(5)过平面外一点只有一个平面与平面平行七3.空间几何垂直关系1 .线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角,两直线垂直；垂直于平行线中的一 条,必垂直于另一条.三垂线定理：在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂 直,那麽它也和这条斜线的射影垂直.注意：⑴三垂线指PA PQ AO 都垂直a 内的直线a 其实质是：斜线和平 面内一条直线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a 的位置,并注意两定理交替使 用.2 .线面垂直(1)定义：如果一条直线l 和一个平面a 相交,并且和平面a 内的任意一条直 线都垂直,我们就说直线l 和平面a 互相垂直,其中直线l 叫做平面的垂线,平面 a 叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l 与平面a 垂直记作：I ,ob a J /不(2)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.(3)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条 直线平行. 3 .面面垂直(1)两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. (2)两平面垂直的判定定理：(线面垂直 面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)两平面垂直的性质定理：(面面垂直 线面垂直)假设两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面PO 推理模式：PAI,OA ,a APa AOAOa考点2:证实线面之间的平行与垂直例1 .如图,四边形ABC时正方形,PD,平面ABCD/DPC=30 ,AF,PC于点F,FE // CD,交PD于点E.(1)证实:CFL平面ADF;［解析］1.⑴证实：V PDL平面ABCD/ PDL AD,又CDL AD,Pm CD=D,• ・ADL平面PCD/ ADL PC,又AF, PC,AFA AD=A,「• PC1平面ADF,即CF,平面ADF.例2. (2021江苏,16, 14分)如图,在四棱锥P-ABC时,平面PADL平面ABCD, AB=AD, / BAD=60 , E, F 分别是AP, AD的中点.求证：(I )直线EF//平面PCD;(R)平面BEFL平面PAD.J)［答案］(I )在△ PAD中,由于E, F分别为AP, AD的中点,所以EF// PD.又因为EF?平面PCD, PC?平面PCD,所以直线EF//平面PCD.(n)连结BD.由于AB=AD, /BAD=60 ,所以△ ABM正三角形.由于F是AD 的中点,所以BF±AD.由于平面PADL平面ABCD, BF?平面ABCD,平面PAD? 平面ABCD=AD所以BF,平面PAD.又由于BF?平面BEF,所以平面BEFL平面PAD.例3. (2021 江苏,16, 14 分)如图,在直三棱柱ABC-ABG中,E、F分别是AB、A i C的中点,点D在BC上,A iD± B i C.求证：(I ) EF // 平面ABC;(II)平面AFD1平面BBCC.［答案］3.( I )由于E、F分别是A i B、A i C的中点,所以EF// BC, EF?面ABC, BC ?面ABC.所以EF//平面ABC.(II)由于直三棱柱ABC-AB i C i,所以BBL面A i B i C i, BB iX A i D,又A i DLBC,所以A i DL面BBCC,又AD?面A i FD,所以平面AFDL平面BBCC.例4. (2021江苏,i6, i4 分)如图,在四面体ABCm,CB=CD, ADLBD,点E、F分别是AB BD的中点.求证:(I )直线EF//平面ACD;(n)平面EFd平面BCD.［答案］4.( I )在4ABD中,由于E、F分别是AB BD的中点,所以EF// AD.又AD?平面ACD, EF?平面ACD,所以直线EF//平面ACD.(H)在AABD^ ,由于ADL BD, EF // AD,所以EF, BD.在△BCDt ,由于CD=CB, F为BD的中点,所以CF± BD.由于EF?平面EFC, CF?平面EFC, EF与CF交于点F,所以BDL平面EFC.又由于BD?平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.例5. (2021北京海淀区高三三月模拟题,17,14分)在四棱锥P-/3m 中,产,！平面N夙力,匚是正三角形,金.与凡0的交点5/恰好是AC中点,又= ZCTH二120.,点A『在线段PB上,且(H)求证：AN"平面『DC;［答案］7.(1) 由于必出.是正三角形,■是JC'中点,所以m C',即8OLRC.又由于^ 平面HBCD , 80u平面月8CQ,所以以_LHD.又Rin」心=1,所以叨_L平面心C.又尸.仁平面尸〃’,所以皿_LPC.(H)在正三角形月中,3M =2V'3,在AJC.中,由于M为/C中点, DM±AC y所以才口二CD.又2OM = 120 ,所以NCMf = 60..1tan ZCDM = ♦"=々=出DM —二'所以由冈冈,得3 .所以a1九=31在等腰直角三角形尸/E中,2月"/lA",所以PB = 4五. 所以BMNPCA , BN 小)= BY : ,所以MN NPD .又“V之平面"DC , PD仁平面产比,所以W j平面热乂：.。
人教A高二数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系课件共36
2 3 D 2 3
G F C B
在Rt△EFG中，求得∠EGF = 45°，
所以 BC与EG所成的角为45°. (2)因为BF∥AE，
A
所以∠FBG（或其补角）为所求.
在Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°，
相交直线 空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的定义
异面直线
异面直线的画法 两异面直线所成的角 一作(找)二证三求
边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC， BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
C
D
【即时训练】
如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系：
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________
b a′ ？ O a b′ a′
θ
O
平 移
若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直. 异面直线a与b垂直也记作a⊥b. 异面直线所成的角θ 的取值范围： 0 o < 90 o
例2
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （ 3 ）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 解 : （1）由异面直线的定义可知， 与直线BA′成异面直线的有直线 B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.
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空间点、线、面之间的位置关系
达标练习(1)
1．以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2009年高考湖南卷)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6
4．(2010年合肥市高三质检)在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；
②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________(把符合要求的命题序号都填上)．
5．a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定平面的个数为__________ 个．
6.如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上
的点，且满足AE∶AB=AF∶AC=AG∶AD. 求证：△EFG∽△BCD.
达标练习(2)
1．给出下列命题：
①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a、b中的
一条相交；②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行．其中正确的命题为( )
A．① B．② C．③ D．①③
2．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么( ) A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
3．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线
是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
解析：选C.由题意，D∈l，l⊂β，∴D∈β. 又D∈AB，∴D∈平面ABC，
即D在平面ABC与平面β的交线上．又C∈平面ABC，C∈β，
∴点C在平面β与平面AB C的交线上．从而有平面ABC∩平面β＝CD.
4．下列命题中正确的有几个( )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；
②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③空间中不共面五个点一定能确定10个平面．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5. 已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、
B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点( )
A．成钝角三角形 B．成锐角三角形 C．成直角三角形 D．在一条直线上
6．正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是( )
A．线段C1F B．线段CF
C．线段CF和一点C1 D．线段C1F和一点C
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC
1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
8. 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线B D′的一个平面交AA′于E，
交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.
以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号)
9．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是
__________．
10.如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 上的点，请回答下列问题：
(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形？
(2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？
(3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？
11. 如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠
FAB ＝90°，BC ∥12AD ，BE ∥12
FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；
(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
12.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上)．
(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π2
]， 这样的直线有几条，应该如何作图？。