厚积薄发-高考数学四十一讲---第二十讲：反证法与数学归纳法

第二十讲 反证法与数学归纳法一、引言反证法与数学归纳法是数学证明的基本方法．（一）知识框架：（二）考试大纲要求：1．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点；2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（三）考情分析：在高考中，一方面出现在小题中，以判断一些命题的真假、充要条件之间的关系为主；另一方面出现在大题当中，以证明的形式出现，可以是代数方面的，也可以是几何方面的，特别是代数推理题越来越受重视．数学归纳法常与数列、函数、不等式等知识相结合，是近几年高考考查的重点内容之一．二、考点梳理1．反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n )(*0N n ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设k n =0(n k ≥，)*N k ∈时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立．只要完成上面两个步骤，即可断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立． 上述的证明方法叫做数学归纳法．三、典型例题选讲考点一、反证法例1 已知)1,0(,,∈c b a ，求证：b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-中至少有一个不大于41． 证明：假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-都大于41，则641)1()1()1(>-⋅-⋅-a c c b b a ，即641)1()1()1(>-⋅-⋅-c c b b a a ．因为41)21()1(2=+-≤-a a a a ，同理41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三个不等式相乘可得641)1()1()1(≤-⋅-⋅-c c b b a a ，这与假设1(1)(1)(1)64a b b c c a -⋅-⋅->矛盾，所以原命题成立．归纳小结：凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）分清命题“p q ⇒”的条件和结论；（2）作出与命题结论q 相矛盾的假定q ⌝；（3）由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作假定q ⌝不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p q ⇒为真．第三步所说的矛盾结果通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、条件或临时假定矛盾以及自相矛盾等．考点二、数学归纳法例2 （2007上海）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，对于定义域内任意的k ，若(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题成立的是（ ） A ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立B ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立答案：选D.归纳小结：本题是对数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推的考查，解决此类问题，关键是归纳递推中要把假设用上，即寻找k n =和1+=k n 之间的关系．例3 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，n n y x +能被y x +整除”，第二步归纳假设应写成（ ）A ．假设)(12*N k k n ∈+=正确，再推32+=k n 正确B ．假设)(12*N k k n ∈-=正确，再推12+=k n 正确C ．假设)(*N k k n ∈=正确，再推1+=k n 正确D ．假设)(*N k k n ∈=正确，再推2+=k n 正确解：首先n 为正奇数，其次还要能取到最小的正奇数1，因此选B ．归纳小结：本题为数学归纳法解决整除问题，对于整除性问题关键是凑假设，用数学归纳法证明有关问题的难点在第二步，即当1+=k n 时为什么成立，对于具体的问题，要根据具体情况对k 进行取值．例4 平面上有n 个圆，其中任何两圆都相交，任何三个圆不相交于同一点，n 个圆把平面分成)(n f 个部分，则=+)1(n f ．（用)(n f 表示）解：平面内k 个圆把平面分成)(k f 个部分，第1+k 个圆与前k 个圆中的每一个圆有两个交点，又无三个圆相交于同一点，这k 2个交点把第1+k 个圆分成k 2条圆弧，每条圆弧把原来所在的区域一分为二，所以把平面分成的区域增加k 2个，即k k f k f 2)()1(+=+，所以n n f n f 2)()1(+=+．归纳小结：本题是用数学归纳法解决几何问题，解决此类问题关键是弄清由k n =到1+=k n 的图形变化．例5 (2009山东)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上．（1）求r 的值；（2）当2=b 时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈，证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++> 解：（1）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S 均在函数n y b r =+的上．所以n n S b r =+，当1n =时，11a S b r ==+，当2n ≥时，111(1)n n n n n n a s s b b b b ---=-=-=-，又因为{n a }为等比数列，所以1r =-，公比为b ，通项公式为1(1)n n a b b -=-．（2）当2b =时，11(1)2n n n a b b --=-=，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=， 则1212n n b n b n++=，所以1212111357212462n n b b b n b b b n ++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ．下面用数学归纳法证明不等式1212111357212462n n b b b n b b b n ++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅> 成立．①当1n =时，左边32=，右边=32>，所以不等式成立． ②假设当n k =时不等式成立，即1212111357212462k k b b b k b b b k++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅> 1n k =+时， 左边11212111113572123246222k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+2322k k +>=+==>， 所以当n k =+1时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立．归纳小结：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，已知n S 求n a 的基本方法，并运用数学归纳法证明与正整数有关的命题，以及放缩法证明不等式．用数学归纳法还可以解决数列中的归纳猜想问题，基本步骤是：观察、归纳、猜想、证明，一般要根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，猜想结论，再利用数学归纳法证明．猜想是证明的前提和对象，因此务必保持猜想的正确性，同时注意数学归纳法的书写步骤．例6 （2008全国Ⅰ）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（1）证明：函数()f x 在区间(01)，上是增函数； （2）证明：11n n a a +<<；（3）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥．证明：1k a b +>． 证明：（1）()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；（2）（用数学归纳法）当1n =时，101a <<，11ln 0a a <，211111()ln a f a a a a a ==->，由函数()f x 在区间(01)，上是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，上是增函数，∴21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤，那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得1()()(1)k k f a f a f +<<．而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立．由上面证明知对任意的正整数n ，不等式恒成立．（3）由()ln f x x x x =-,1()n n a f a +=可得1ln k k k k a b a b a a +-=--11ln ki i i a b a a ==--∑若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由（2）知：1k i a b a b +-<-≥0若对任意i k≤都有i a b >，则1ln k k k k a b a b a a +-=--11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()l n k i i a b a b==--∑11ln a b ka b >--11()0a b a b >---=，即1k a b +>成立．归纳小结：本题是用数学归纳法解决不等式问题，解决此类问题的重点在第二步，关键是要正确合理地运用归纳假设，选择恰当的不等式放缩法．四、本专题总结1．反正法和数学归纳法都是证明数学问题的重要方法，反证法适用于“正难则反” 的证明题，数学归纳法是一种只适用于与正整数n 有关的命题的证明方法．2．用数学归纳法证明命题时，需注意：（1）第一步是基础，首先要验证0n n =(0n ∈N *)时成立，注意0n 不一定为1；第二步是依据，在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k 到1k +的变化，两个步骤缺一不可，且书写必须规范；（2）常用数学归纳法解决下列问题：证明恒等式或不等式、数的整除问题、几何图形中的计算问题、以及求数列的通项与和，因此掌握数学归纳法的基本步骤与要求，结合数列、不等式、函数等知识，运用类比与猜想、抽象与概括，特殊与一般的思想方法来解决此类问题．。