「精品」高一数学下学期第二次月考试题

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高一数学下学期第二次月考试题含解析试题_1

2021-2021学年高一数学下学期第二次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，那么A B =〔〕A. {}|0x x ≤B. {}|2x x ≥C. {}|12x x ≤<D.{}|02x x <<【答案】D 【解析】【分析】根据集合的并集的运算，准确运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，那么AB ={}|02x x <<.应选：D.【点睛】此题主要考察了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集概念及运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.(2)23,g x x +=+那么(3)g 的值是A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】【分析】令2=3x +，可得=1x ，将=1x 代入表达式23x +可求得函数值【详解】令2=3x +，得=1x ，那么(12)=(3)213=5g g +=⨯+ 答案选B【点睛】此题考察函数值的求法，根据对应关系解题相比照拟快捷，也可采用换元法令2t x =+，将函数表示成关于t 的表达式，再进展求值3.以下函数中，为偶函数的是〔〕 A. 1y x =+ B. 1y x=C. 4y x =D. 5y x =【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义，逐项准确断定，即可求解.【详解】由题意，函数1y x =+为非奇非偶函数，所以A 符合题意；函数()1f x x=，满足()11()f x f x x x -==-=--，所以函数1y x =为奇函数，所以B 不符合题意；函数()4f x x =，满足()44())(f x x x f x ==-=-，所以函数4y x =是偶函数，满足题意；函数()5f x x =，满足()55()()f x x x f x -=-=-=-，所以函数5y x =为奇函数，所以D不符合题意. 应选：C.【点睛】此题主要考察了函数奇偶性的断定，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和断定方法是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题.()0,∞+上是增函数的是〔〕A. 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 25y x =-+C. ln y x =D. 3y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性的定义，结合初等函数的单调性，逐项断定，即可求解.【详解】根据指数函数的性质，可得函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意；根据一次函数的性质，可得函数25y x =-+在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意；根据对数函数的性质，可得函数ln y x =在()0,∞+为单调递增函数，符合题意；根据反比例函数的性质，可得函数3y x=在()0,∞+为单调递减函数，不符合题意. 应选：C.【点睛】此题主要考察了函数的单调性的断定，其中解答中熟记初等函数的图象与性质是解答的关键，着重考察了推理与论证才能，属于根底题.()lg ,012,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，那么()10f 的值是〔〕A. -2B. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】由分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解.【详解】由题意，函数()lg ,012,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，可得()10lg101f ==.应选：B.【点睛】此题主要考察了分段函数的求值问题，其中解答中纯熟应用分段函数的解析式，结合分段条件，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 6.以下计算正确的选项是〔〕 A. ()239aa =B. 22log 6log 31-=C. 11220a a -⋅= D. ()()233log 42log 4-=-【答案】B【解析】【分析】根据指数幂的运算和对数的运算性质，逐项运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据实数指数幂的运算，可得()11236022,1a a a a a -=⋅==，所以A 、C 不正确；由对数的运算性质，可得632222log 6log 3log log 21-===，所以B 是正确的；对于D 中，根据对数的化简，可得()233log 42log 4-=，而()3log 4-是无意义的.应选：B.【点睛】此题主要考察了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.7.一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔〕A. 1B. 2C.13D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，利用锥体的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面为底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为11142223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯=. 应选：D.【点睛】此题考察了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图复原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.1x y a =+〔0a >且1a ≠〕图象一定过点〔〕A. ()0,1B. ()2,0C. ()1,0D. ()0,2【答案】D 【解析】【分析】令0x =，解得012y a =+=，即可得到函数1xy a =+恒过定点.【详解】根据指数函数的性质，令0x =，解得012y a =+=，即函数1xy a =+恒过定点()0,2.应选：D.【点睛】此题主要考察了指数函数的图象与性质，其中解答中熟记指数函数的图象与性质是解答此类问题的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.20.320.3,log 0.3,2a b c === 之间的大小关系是 ( )A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D.b ac <<【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2a b c ===所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b =<=，由指数函数的性质可知000.31,21a c <==，b ac ∴<<，应选D.【点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单调性及比拟大小问题，属于难题.解答比拟大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间〔一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ 〕；二是利用函数的单调性直接解答；数值比拟多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.函数f(x)＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间 A. (5,6) B. (3,4)C. (2,3)D. (1,2)【答案】B 【解析】试题分析：根据零点存在性定理，因为，所以函数零点在区间〔3，4〕内，应选择B 考点：零点存在性定理11.长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是〔〕 A. 25π B. 50π C. 125πD. 都不对【答案】B 【解析】【分析】根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2252R =，再由球的外表积公式，即可求解．【详解】设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得2R =2252R =，所以球的外表积为22544502S R πππ==⨯=球. 应选：B【点睛】此题主要考察了长方体的外接球的性质，以及球的外表积的计算，其中解答中纯熟应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．12.()f x 是定义在()-22，上的减函数，假设()()121f m f m ->-，那么实数m 的取值范围是〔〕A. ()0+∞，B. 302⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. ()-1,3D.1322⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域和单调性，得到不等式组2122212121m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()f x 是定义在()22-，上的减函数，又由()()121f m f m ->-，所以2122212121m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得302m <<，即实数m 的取值范围是3(0)2，，应选B.【点睛】此题主要考察了函数的单调性的应用，其中解答中利用函数的定义域和单调性得出不等式组是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕()y f x =的图象过点(，那么()9f =______．【答案】3 【解析】【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数()y f x =的解析式，再求()9f 的值.【详解】设()ay f x x ==，由于图象过点(,12,2aa ==， ()12y f x x ∴==，()12993f ∴==，故答案为3.【点睛】此题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考察对根底知识的掌握与应用，属于根底题.14.如图，一个程度放置的平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，它的底角为45°，两腰长均为1，那么这个平面图形的面积为．【答案】【解析】试题分析：由题可知：斜二测发画的直观图与直观图的区别在于，x 轴的长度一致，y 轴长度是其一半，此题在斜二测直观图是一个等腰三角形，可知，由,可知在直观图中其边长为2，故平面图形的面积为。

江西省新余市高一下学期第二次月考数学试题(解析版)

高一下学期第二次月考数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1. 设复数z 满足，则在复平面内对应的点在第几象限（） 1i 1i ()z -=+||i z -A. 一B. 二C. 三D. 四2. 设m ，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（） ,a βA. ，则 B. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥//,m ββα⊥m α⊥C. ，则D. ，则,ααβ⊥⊥m //m β,m m αβ⊥⊥//αβ3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）2a b = a b 2b a - a A.B.C.D.33a -32a - 12a - 3a4. 设，，)sin 56cos56a =︒-︒cos 40cos128cos 40cos38b =︒︒+︒︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）22cos 401c =︒-A. B. a b c >>b a c >>C.D.c a b >>a c b >>5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（）a b 1a a b =-=A. B.21a b -= 21a b -= C.D.,60a a b -=︒,60b a b -=︒6. 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，则该球的体积为（）A.B.C.D.32π336π7. 锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若，则sin A 的取()2c a a b =+值范围是（）A. B. C. D.1(21(28. 在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，若，，则面ABC A 2b a =2c =ABC A 积的最大值是（）A.B. 2C.D.4323二、多选题9. 下列命题正确的是（）A. 设是非零向量，则,a ba b a b ⋅= B. 若，是复数，则1z 2z 1212z z z z ⋅=⋅C. 设是非零向量，若，则,a b a b a b +=- 0a b ⋅= D. 设，是复数，若，则 1z 2z 1212z z z z +=-120z z ⋅=10. 若函数，则（）44()si n cos f x x x =+A. 函数的一条对称轴为 ()f x π4x =B. 函数的一个对称中心为 ()f x π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 函数的最小正周期为()f x π2D. 若函数，则的最大值为23()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()g x 11. 如图，的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且ABC A a b =，D 是外一点，，，则下列说法cos cos )2sin a C c A b B +=ABC A 1DC =3DA =正确的是（）A. 是等边三角形ABC AB. 若A ，B ，C ，D 四点共圆 AC =C. 四边形ABCD 3-D. 四边形ABCD 3+12. 如图，在矩形AEFC 中，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将AE =△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（）A. 三棱锥B. 直线PA 与直线BC 所成角的余弦-P ABCC. 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为13-P ABC第II 卷（非选择题）三、填空题13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______. 1x =+x 14. 如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 正方体所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于ABC A ,,A B C ,,a b c A BC D 点，且.若，则面积的最小值是______.4=AD (2)cos cos 0b c A a C ++=ABC A 16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则a b2a b == 32a b ⋅= c 233c a b ++= c r 的取值范围为________.四、解答题17. 已知锐角的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量，ABC A (sin ,cos )m C C =，且．(2sin cos ,sin )n A B B =-- m n ⊥ （1）求角C 的值；（2）若，求周长的取值范围．2a =ABC A 18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AD BC ∥，，，，为中点，过，，的平面截四AB AD ⊥4PA AD ==2BA BC ==M PA C D M 棱锥所得的截面为．P ABCD -α（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明αPB F α． 3PBFB=（2）求多面体的体积．ABCDMF 19. 如图，在中，D 是线段上的点，且，O 是线段的中点延长ABC A BC 2DC BD =AD交于E 点，设．BO AC BO AB AC λμ=+（1）求的值；λμ+（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．ABC A OE BC ⋅20. 如图，在直三棱柱中，，D 为的中点，为上一111ABC A B C -90ABC ∠=︒1CC E AB 点，且．2AE BE =（1）证明：∥平面；AD 1B CE （2）若，，求点到平面的距离．16AB AA ==3BC =D 1B CE21. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . ABC A sin cos B a b C =-（1）求；B （2）若，，求的面积的最大值. DC AD =2BD =ABC A22. 已知函数的最大值为1．())cos 2n s co x x f x a x =-+（1）求实数a 的值；（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来()f x π12的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的12()g x ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭解，求实数m 的取值范围．江西省新余市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1. 设复数z 满足，则在复平面内对应的点在第几象限（） 1i 1i ()z -=+||i z -A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法运算求得，进而判断其对应点所在象限.||i z -【详解】由，故在复平面内对应的点为()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+||i=1i z --()1,1-.所以z 在对应点在第四象限. 故选：D.2. 设m ，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（） ,a βA. ，则 B. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥//,m ββα⊥m α⊥C. ，则 D. ，则,ααβ⊥⊥m //m β,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D 作答.【详解】对于A ，在长方体中，平面为平面，分1111ABCD A B C D -ABCD α1111,A B B C 别为直线，,m n 显然满足，而，此时不成立，A 错误；,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，平面，平面分别为平面，1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ为直线，11A B m 显然满足，而，此时不成立，B 错误；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，平面，平面分别为平面，1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ为直线，1CC m 显然满足，而，此时不成立，C 错误； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：D3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）2a b = a b 2b a - a A.B.C.D.33a -32a - 12a - 3a【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.2b a - a【详解】在上的投影向量为，2b a - a |2|cos 2,||ab a b a a a --⋅， 2(2)2|2|cos 2,||||b a a a b ab a b a a a a -⋅⋅---==所以，在上的投影向量为.2b a - a 222222||cos120||32||||a b a a a a a a a a ⋅-︒-⋅=⋅=-故选：B4.设，，)sin 56cos56a =︒-︒cos 40cos128cos 40cos38b =︒︒+︒︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）22cos 401c =︒-A. B. a b c >>b a c >>C. D.c a b >>a c b >>【答案】B 【解析】【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.【详解】因为， )()sin 56cos56sin 5645sin11a ︒︒︒︒︒=-=-=cos50cos128cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos(4038)cos 78sin12b ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=+=-+=+==，，22cos 401cos80sin10c ︒︒︒=-==因为， sin12sin11sin10︒︒︒>>所以． b a c >>故选：B.5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（）a b 1a a b =-=A. B.21a b -= 21a b -= C.D.,60a a b -=︒,60b a b -=︒【答案】C 【解析】【分析】对两边同时平方可得，由模长的计算公式代入可判断A ，B ；由向1a b -=r r1b = 量夹角计算公式可判断C ，D .【详解】由可得：，1a a b =-= 2222cos 6011a b a b b b +-⋅︒=+-=可得：，，1b = 1cos 602a b a b ⋅=⋅⋅︒=对于A ，，故A 不正确；2a b -===对于B ，B 不正确； 2a b -===对于C ，，1a b -===，, ()1112cos ,112a a b a a b a a b-⋅--===⨯⋅- [],0,πa a b -∈ 故，故C 正确；,60a a b -=︒对于D ，，,()1112cos ,112b a b b a b b a b-⋅--===-⨯⋅-[],0,πb a b -∈ ，故D 不正确.,120b a b -=︒故选：C .6. 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，则该球的体积为（） A.B.C.D.32π336π【答案】A 【解析】【分析】设三棱台为，其中是下底面，是上底面，点，111ABC A B C -ABC A 111A B C △O 分别为，的中心，证明点就是几何体的外接球的球心，即得解.1O ABC A 111A B C △O 【详解】设三棱台为，其中是下底面，是上底面，点，111ABC A B C -ABC A 111AB C △O 分别为，的中心，1O ABC A 111A B C △则，，同理，1OO =2OA ==111O A =所以，同理.12OA ===112OB OC ==所以. 1112OA OB OB OA OB OC ======所以点就是几何体的外接球的球心. O 所以球半径，2R OA ==所以体积为． 34π32π33R =故选：A7. 锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若，则sin A 的取()2c a a b =+值范围是（）A. B. C. D.1(21(2【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.2C A =A 【详解】由，得，由余弦定理得，()2c a a b =+22c a ab =+2222cos c a b ab C =+-∴，即， 2222cos a ab a b ab C +=+-2cos b a a C =+由正弦定理得， sin 2sin cos sin A A C B +=∵，()πB A C =-+∴，sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A C B A C A C +==⋅+即.()sin sin A A C =-∵，∴，∴，22c a ab =+c a >0C A ->又为锐角三角形，∴， ABC A ππ0,022A C A <<<-<∴，解得，A C A =-2C A =又，，， π02A <<π0π32B A <=-<π022C A <=<∴， ππ64A <<∴.s n i 12A ⎛∈ ⎝故选：C.8. 在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，若，，则面ABC A 2b a =2c =ABC A 积的最大值是（）A. B. 2 C.D. 4323【答案】C【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故cos C sin C. ABC S =△【详解】由余弦定理可得， 222222224454cos 244a b c a a a C ab a a+-+--===所以. sin C =因为，，所以，即，解得. 2b a =2c =a b c b a c +>⎧⎨-<⎩322a a >⎧⎨<⎩2,23a ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以1sin 2ABC S ab C a ==△==当时，.2204,499a⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()max164343ABCS===△故选：C.二、多选题9. 下列命题正确的是（）A. 设是非零向量，则,a ba b a b⋅=B. 若，是复数，则1z2z1212z z z z⋅=⋅C. 设是非零向量，若，则,a ba b a b+=-a b⋅=D. 设，是复数，若，则1z2z1212z z z z+=-12z z⋅=【答案】BC【解析】【分析】根据向量数量积公式，判断AC；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.【详解】A.设是非零向量，则，只有当时，,a bcos,a b a b a b⋅=//a b，，其他情况不相等，故A错误；cos,1a b=a b a b⋅=B.设，，1i,,Rz a b a b∈=+2i,,Rz c d c d∈=+，()()()()12i iiz z ab c d ac bd ad bc=++=-++12zz==，=，所以，故B正确；12z z=1212z z z z=C.设是非零向量，若，两边平方后得，故C正确；,a ba b a b+=-a b⋅=D.设，，1i,,Rz a b a b∈=+2i,,Rz c d c d∈=+，，()()12i z z a c b d +=+++()()12i z z a c b d -=-+-，，12z z +=12z z -=若，则，1212z z z z +=-0ac bd +=又，不能推出，故D 错误.()()12i ac bd ad bc z z =-++120z z =故选：BC10. 若函数，则（）44()si n cos f x x x =+A. 函数的一条对称轴为 ()f x π4x =B. 函数的一个对称中心为 ()f x π,04⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数的最小正周期为 ()f x π2D. 若函数，则的最大值为2 3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，13()cos444f x x =+结合余弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】由题意得，. ()24422222113()sin cos sin cos sin cos 1sin cos 424422f x x x x x x x x x =+=+=-=+-A ：当时，，又， π4x =()1π31cos 44442f x ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭min 1()2f x =所以是函数的一条对称轴，故A 正确； π4x =()f x B ：由选项A 分析可知，所以点不是函数的对称点，故B 错误； π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x C ：由，知函数的最小正周期为，故C 正确； 2ππ42T ==()f x π2D ：，所以，故D 正确. 3()8()2cos 44g x f x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦max ()2g x =故选：ACD ．11. 如图，的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且ABC A a b =，D 是外一点，，，则下列说法cos cos )2sin a C c A b B +=ABC A 1DC =3DA =正确的是（）A. 是等边三角形ABC AB. 若A ，B ，C ，D 四点共圆 AC =C. 四边形ABCD 3-D. 四边形ABCD 3+【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是sin B a b =ABC A 等边三角形，从而判断A ；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B ；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD 的面2106cos AC α=-积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.，cos cos )2sin a C c A b B +=，cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=，因为， ()22sin A C B +=sin()sin 0A C B +=≠所以，又，且，所以． sin B =()0,πB ∈a b =π3B =所以是等边三角形，A 选项正确；ABC A在中，由余弦定理得，，则， ACD A1cos 3D ==-2π3D ≠即，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，B 选项错误；πB D +≠设，，由余弦定理得：ADC α∠=0πα<<， 222222cos 31231cos 106cos AC AD CD AD CD ααα=+-⋅=+-⨯⨯⨯=-所以四边形ABCD 面积，)3sin 106cos 2ADC ABC S S S αα=+=+-V V 即，1π3sin 3sin 23S ααα⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 0πα<<ππ2π333α-<-<所以当，即时，S，无最小值， ππ32α-=2π3α=3C 选项不正确，D选项正确；故选：AD.12. 如图，在矩形AEFC 中，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将AE =△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC，则（）A. 三棱锥B.直线PA 与直线BC 所成角的余弦-P ABCC. 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为13-P ABC 【答案】BD【解析】【分析】证明平面，再根据即可判断A ；先利用余弦定理求BP ⊥PAC P ABC B PAC V V --=出，将用表示，利用向量法求解即可判断B ；利用等体积法求出点cos APC ∠BC ,PC PB 到平面的距离，再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为即可判断A PBC d d PA C ；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判PAC △断D.【详解】由题意可得，,BP AP BP CP ⊥⊥又平面，,,,,AP CP P AP CP P AP CP ⋂==⊂PAC 所以平面，BP ⊥PAC 在中，，，PAC△PA PC ==AC=所以，故A 错误； 114232P ABC B PAC VV --==⨯⨯⨯=对于B ，在中，， PAC△1cos 3APC ∠==4BC ==cos ,PA BC PA BC PA BC ⋅===，==所以直线PA 与直线BC 所成角的，故B 正确；对于C ， 12PBC S PB PC =⋅=A 设点到平面的距离为，A PBC d 由，得，解得，B PAC A PBC V V --=13⨯=d =所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为C 错误； d PA ==由B 选项知，，则， 1cos 3APC ∠=sin APC ∠=所以的外接圆的半径， PAC △12sin AC r APC =⋅=∠设三棱锥外接球的半径为，-P ABC R 又因为平面，BP ⊥PAC则，所以， 22219111222R r PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭R =即三棱锥，故D 正确. -P ABC 故选：BD. 第II 卷（非选择题）三、填空题13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.1x =+x 【答案】2240x x -+=【解析】【分析】得到为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出的值，进而1x =,b c 求出答案.【详解】设实系数一元二次方程为20x bx c ++=∵是关于的实系数一元二次方程的一个根，1x =x 20x bx c ++=∴为方程的另外一个根，21x =-∴，， ()())21114c =⋅=-=()()112b -=+=∴，，4c =2b =-∴该方程可以是 2240x x -+=故答案为：2240x x -+=14. 如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 正方体所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -【答案】+【解析】【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周F AD 1B CFE 长.【详解】为中点，连接，F AD 1,,EF FC A D正方体中，，，则四边形为平行四边形，11//A B DC 11=A B DC 11A B CD 有，，11//A D B C 11A D B C =为中点，是的中点，则，得，F AD E 1AA 1//EF A D 1//EF B C 则平面截正方体所得的截面图形为梯形，1B CE 1111ABCD A B C D -1B CFE其中，，， 1B C ==EF ==1C E F B ===则梯形的周长为即所得的截面图形的周长是 1B CFE ++故答案为：+15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于ABC A ,,A B C ,,a b c A BC D 点，且.若，则面积的最小值是______.4=AD (2)cos cos 0b c A a C ++=ABC A【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本2π3A =不等式即得.【详解】∵，(2)cos cos 0b c A a C ++=∴，2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=即，()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=又，，()0,πB ∈sin 0B >∴，即，又， 2cos 10A +=1cos 2A =-()0,πA ∈∴， 2π3A =由题可知，，ABC ABD ACD S S S =+A A A 4=AD 所以，即， 12π1π1πsin 4sin 4sin 232323bc c b =⨯+⨯()4bc b c =+又，当且仅当取等号，()4bc b c =+≥64bc ≥b c =所以， 12π1sin 64232ABC S bc =≥⨯=A即面积的最小值是.ABC A故答案为：16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则a b 2a b == 32a b ⋅= c 233c a b ++= c r 的取值范围为________.【答案】3⎤+⎦【解析】【分析】将和看作两个向量，由向量减法的几何意义求解即可.23c a b ++ 23a b +【详解】设向量，，则，23m c a b =++ 23n a b =+ c m n =- 由已知，，233c a m b ++== 又∵，， 2a b == 32a b ⋅=∴ n === 由向量减法的几何意义，， m n m n m n -≤-≤+∴，33-33c -≤≤当且仅当与方向相同时，，与方向相反时，.m n 3c =- m n 3c =+∴的取值范围为.c r 3⎤+⎦故答案为：.3⎤+⎦四、解答题17. 已知锐角的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量，ABC A (sin ,cos )m C C =，且．(2sin cos ,sin )n A B B =-- m n ⊥ （1）求角C 的值；（2）若，求周长的取值范围．2a =ABC A 【答案】（1） π6C =（2）(32++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先,b c A ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围. b ∈b 【小问1详解】sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=，2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=（法一），，2sin (cos cos )0a C c B b C -+=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab +-=，∴，则，又为锐角三角形，故. 2sin 0a C a -=1sin 2C =ABC A π6C =（法二）则，， 2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=sin 0A ≠∴，且为锐角三角形，故. 1sin 2C =ABC A π6C =【小问2详解】，， 52sin πsin cos 6sin sin sin A a B A b A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭====sin 1sin sin a C c A A ==由于为锐角三角形，则，且，解得， ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5ππ062C A <=-<ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A （法一）周长 cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=+++=++，而，即， 22cos12222cos sin tan 222A A A A =++=++ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan2A ⎫∈⎪⎪⎭∴，故的周长l 的取值范围为．1tan 2A ∈ABCA (32++（法二）由上，由余弦定理得b ∈c ==，周长， 2l a b c b =++=++记，则在单调递增， ()2f bb =++()f b ∴的周长l 的取值范围为．ABC A (32++18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AD BC ∥，，，，为中点，过，，的平面截四AB AD ⊥4PA AD ==2BA BC ==M PA C D M 棱锥所得的截面为．P ABCD -α（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明αPB F α． 3PB FB=（2）求多面体的体积．ABCDMF 【答案】（1）答案见解析（2） 409【解析】【分析】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过DC AB E ⋂=ME PB F FC αM 作交于，通过证明，可得； MN AB ∥PB N MNF EBF ~A A 3PB FB=（2）由（1）可得，后由题目条件可得答案.ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-【小问1详解】延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.DC AB E ⋂=ME PB F FC MFCD α中，，由，则为中点，为中点． ADE V BC AD ∥12BC AD =C DE B AE 过作交于，则. M MN AB ∥PB N 112MN AB ==,.，即． MNF EBF ∴~A A 12FN MN BF BE ∴==2BF NF ∴=13BF BP =【小问2详解】 .ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-由题意及（1）可得，. AD AM ⊥142242,,AD AM AP AE AB =====则； 11111642433263E MAD ADM V S AE AD AM AE -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=A 又可得，点F 到平面BEC 距离为， 2,BE BC BE AB BC ⊥===143,PA PA =则. 11111182243392929E FBC F BEC BEC V V S PA BE BC PA --===⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅A 则． 409ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-=19. 如图，在中，D 是线段上的点，且，O 是线段的中点延长ABC A BC 2DC BD =AD 交于E 点，设．BO AC BO AB AC λμ=+（1）求的值；λμ+（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．ABC A OE BC ⋅ 【答案】（1） 12-（2） 56【解析】【分析】（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值；（2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，4AC AE = ,AB AC 表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量OE AC t AE = ,AB AC 为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值.BO OE t OE BC ⋅【小问1详解】因为O 为的中点，，AD 2DC BD = 12BO BA AO BA AD =+=+ 121233BA AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2136AB AC =-+ 又，故 BO AB AC λμ=+ 211,,362λμλμ=-=+=-【小问2详解】法一，设，因为O 为的中点，， AC t AE = AD 2DC BD =∴ 11111111()()22262636AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ==+=+=+-=+ 136t AB AE =+ ∵B ，O ，E 三点共线，所以，得 1136t +=4t =故 11111436312OE AE AO AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭因为为边长为2的正三角形ABC A 故 1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=（法二）设 AC t AE = 1111212233OE AE AO AC AD AC AB AC t t ⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭11136t AB AC ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭又由（1）知与为非零的共线向量. 21,36BO AB AC BO =-+ OE 与为非零的共线向量，所以，得 BO OE 111631263t --=-4t =∴ 11312OE AB AC =-+ 因为为边长为2的正三角形ABC A 故 1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅ . 221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=20. 如图，在直三棱柱中，，D 为的中点，为上一111ABC A B C -90ABC ∠=︒1CC E AB 点，且．2AE BE =（1）证明：∥平面；AD 1B CE（2）若，，求点到平面的距离．16AB AA ==3BC =D 1B CE 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；BD 1B C F EF EF AD ∥（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作D 1B CE B 1B CE B ，垂足为，连接，过作，垂足为，先证明平面BG CE ⊥G 1B G B 1BH B G ⊥H BH ⊥，即线段为点到平面的距离，再求出即得解.1B CE BH B 1B CE BH 【小问1详解】如图，连接交于点，连接，BD 1B C F EF 因为四边形为矩形，且为的中点，所以， 11BCC B D 1CC 12BB BF DF CD ==又因为，所以，所以， 2BE AE =2BF BE DF AE==EF AD ∥因为平面，平面，所以平面．EF ⊂1B CE AD ⊄1B CE //AD 1B CE 【小问2详解】由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，D 1B CE B 1B CE 过作，垂足为，连接，过作，垂足为，B BG CE ⊥G 1B G B 1BH B G ⊥H 因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC CE ⊂ABC 1BB CE ⊥又因为，平面，平面，1BG BB B = BG ⊂1BB G 1BB ⊂1BB G 所以平面，CE ⊥1BB G 因为平面，所以.BH ⊂1BB G CE BH ⊥又平面，，1,CE B G ⊂1B CE 1CE B G G = 所以平面，即线段为点到平面的距离．BH ⊥1B CE BH B 1B CE因为，，，所以， 90ABC ∠=︒234BE AB ==3BC =5CE ==由几何关系可知，BG CE BE BC ⋅=⋅所以，， 125BG =1B G ==由几何关系可知，11BH B G BG BB ⋅=⋅所以，故点到的． BH =D 1B CE21. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . ABC A sin cos B a b C =-（1）求；B （2）若，，求的面积的最大值.DC AD = 2BD =ABC A 【答案】（1） π6（2）8-【解析】【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角；B （2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范围，即可得到的面积ac ABC A 的最大值.【小问1详解】由题意，在，ABC A sin cos B a b C =-∵， sin sin sin a b c A B C==πA B C ++=,， sin sin sin cos C B A B C =-()sin sin sin cos C B B C B C =+-∴， )cos sin 0B B C -=∵，sin 0C ≠0πB <<，可得，解得：. cos 0B B -=tan B =π6B =【小问2详解】由题意及（1）得在中，，，， ABC A π6B =DC AD = 2BD =∴为边的中点，D AC 2244216BD =⨯= ∴,2BD BA BC =+u u u r u u r u u u r ∴，即()()()()222242BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+ ，22242cos 16BD BA BA BC B BC =++=设，，则， BA c = BC a = (2222π2cos 1626a c ac a c ac ++=++=≥+所以时，等号成立. 32ac ≤=-a c =∴，当且仅当时，等号成立， 11sin 824ABC S ac B ac ==≤-A a c =∴的面积的最大值为ABC A 8-22. 已知函数的最大值为1． ())cos 2n s co xx f x a x =-+（1）求实数a 的值；（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来()f x π12的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的12()g x ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0（2） 53m -<<--【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合函数的最大值即可求得答案； ()f x （2）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换规律，可得的解析式，将()g x ()2g x m -=在上有两个不同的解，转化为在上有两个不ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πsin(4323x m -=+ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭同的解，数形结合，结合正弦函数性质，即可求得答案.【小问1详解】函数 ())cos cos 2cos 221x x x x x a f x a =-+--+=, πsin(2)162x a --+=由于函数的最大值为1,故.()f x 211,0a a -+=∴=【小问2详解】由题意可得， π()2sin(2)16f x x =--故， πππsin(4)1sin(4)16623()2g x x x =---=--则在上有两个不同的解， ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭即相当于即在上有两个不同的解， ()2g x m =+πsin(4323x m -=+ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭此时， π2π5π4[,)333x -∈令，作出函数的图象，如图： π2π5π4,[,)333x t t -∈=()2sin h t t =结合图象可知. 2353m m -<+<∴-<<-。

陕西省咸阳市2022-2023学年高一下学期第二次月考试题数学含答案

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i- B.8iC.88i- D.88i+3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C.A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D .平面ABC 与平面BCD 不可能垂直7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.4BC C.14BC-D.4BC -8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC .当2π3θ=时，1F G = D.当π2θ=时，1F G= 11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B. C. D.1212.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.4954435482173793232887352056438426349164572455068877047447672176335025839212067615.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 是AC 与BD 的交点，=45ADC ∠︒，2,AD AC PO ==⊥平面,2,ABCD PO M =是PD 的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N ．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月考高一数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某市场监管局对所管辖的某超市在售的40种冷冻饮品中抽取了20种冷冻饮品，对其质量进行了抽检，则（）A.该市场监管局的调查方法是普查B.样本的个体是每种冷冻饮品的质量C.样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品D.样本容量是该超市的20种冷冻饮品数【答案】B 【解析】【分析】根据抽样方法、样本、总体、个体的概念可得答案.【详解】该市场监管局的调查方法是随机抽样，A 错误；样本的个体是每种冷冻饮品的质量，B 正确；样本的总体是超市在售的40种冷冻饮品的质量，C 错误；样本容量是20，D 错误，故选：B2.已知复数2i z =-，则()22z -=（）A.8i -B.8iC.88i- D.88i+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的运算，再结合共轭复数的意义求解作答.【详解】因2i z =-，有2i z =,则()()22222i 24i 48i=448i=8i z -=-=+--+--，所以()228i z -=-.故选：A3.已知复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则复数2iim +-在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据题意列式解出m ，再利用复数的运算求得2i 13i i 22m +=+-，结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】若复数()()2i z m m m m =-+∈R 为纯虚数，则20m m m ⎧-=⎨≠⎩，解得1m =，则()()()()2i 1i 2i 2i 13i 13i i 1i 1i 1i 222m +++++====+---+，故复数2i i m +-在复平面内对应的点为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.故选：A.4.高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg ，抽出的女生平均体重为50kg ，估计该班的平均体重是（）A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg【答案】C 【解析】【详解】根据分层抽样的定义建立比例关系，再求平均数即可．【解答】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70kg ，女生平均体重为50kg ，该班的平均体重是70750364kg 10⨯+⨯=，故选：C ．5.某科研所对实验室培育得到的A ，B 两种植株种子进行种植实验，记录了5次实验产量（千克/亩）的统计数据如下：A 种子4849505152B 种子4848494951则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A.A 种子；A 种子B.B 种子；B 种子C .A 种子；B 种子D.B 种子；A 种子【答案】C 【解析】【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案.【详解】()14849505152505A x =++++=，()()()()()22222214850495050505150525025A S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；()14848494951495B x =++++=，()()()()()222222148494849494949495149 1.25B S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦；A B x x >，22A B S S >，故A 的平均产量高，B 的产量比较稳定.故选：C6.在四面体ABCD 中，BCD △为正三角形，AB 与平面BCD 不垂直，则下列说法正确的是（）A.AB 与CD 可能垂直B.A 在平面BCD 内的射影可能是BC.AB 与CD 不可能垂直D.平面ABC 与平面BCD 不可能垂直【答案】A 【解析】【分析】A 选项只需满足AC AD =即可，B 选项与题干矛盾，C 选项与A 选项矛盾，D 选项只需满足AC ⊥平面BCD 即可.【详解】如图所示：取CD 的中点E ，连接AE ，BE假设AB CD ⊥，因为BCD 为等边三角形，所以BE CD ⊥，又因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，所以CD AE⊥又因为E 是CD 中点，所以AC AD =，只需满足AC AD =，即可做到AB CD ⊥，故A 正确C 错误；对于B ：若A 在平面BCD 内的射影为B ，则有AB ⊥平面BCD ，与题干矛盾，故B 错误；对于D ：过C 点可以做出一条直线，使得该直线垂直与平面BCD ，A 点只需在该直线上，即满足AC ⊥平面BCD 即可达到要求，故D 错误.故选：A7.已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A.14BC B.34BC C.14BC-D.34BC -【答案】A 【解析】【分析】首先根据已知条件可知AB AC ⊥，从而推得ABD △为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，则()()22AB ACAB AC +=- ，所以0AB AC ⋅= ，则AB AC ⊥，因为D 是BC 的中点，所以AD BD CD == ，又因为||||AD AB =，所以ABD △为等边三角形，故点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，则E 为BD 中点，所以向量BA 在向量BC上的投影向量为14BE BC = ．故选：A .8.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面α经过点B 、D ，平面β经过点A 、1D ，当平面αβ、分别截正方体所得截面面积最大时，平面αβ、所成的锐二面角大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C 【解析】【分析】设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，分π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和(0,]θγ∈两种情况讨论，证明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，从而可得出答案.【详解】平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，证明：设平面α与面BCD 所成的二面角为θ，二面角1C BD C --为γ，当π,2θγ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，记平面α截正方体所得截面为面BDEF ，111111,(0,1]1C E C F AB C D C B λλ==∈=，则()222211(12312(1)22EFBD S λλλλλ=+-+=-++，令()222()12(1)h λλλ=-++，因为2()4(1)0h λλλ'=+>，所以()11max max ()(1)2,2EFBD BDB D h h S S λ====当(0,]θγ∈时，显然平面α截正方体所得截面面积最大时，截面为面11,2C BD C BD S =，当0θ=时，平面α截正方体所得截面为,1ABCD ABCD S =，所以平面α截正方体所得截面面积最大时截面为面11BDB D ，同理平面β过1A D 、时，截正方体所得截面面积最大时截面为面11AD BC ，连接11,,BD AC B C ，面α与面β所成锐二面角为111B BD C --，因为1B C ⊥面11,AD BC AC ⊥面11BDB D ，所以1,AC B C 的所成角大小为二面角111B BD C --大小，因为160B CA =∠︒，所以面α与面β所成锐二面角大小为60︒.故选：C ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于说明平面α经过点B 、D 且截正方体所得截面面积最大时，平面α与面11BDB D 重合，考查了分类讨论思想和极限思想.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b【答案】ABC 【解析】【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC10.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为12,F F ，且121,F F F = 与2F的夹角为θ，下列结论中正确的是（）A.θ越小越省力，θ越大越费力B.θ的范围为[]0,πC.当2π3θ=时，1F G= D.当π2θ=时，1F G= 【答案】AC 【解析】【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解即可得.【详解】对A ：根据题意，得12G F F =+，所以2222121212cos 2(1cos )G F F F F F θθ=++⨯⨯=+，解得221G Fθ=+ ，因为()0,πθ∈时，cos y θ=单调递减，所以θ越小越省力，θ越大越费力，故A 正确；对B ：由题意知θ的取值范围是()0,π，故B 错误；对C ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当2π3θ=时，221F G = ，所以1F G =，故C 正确；对D ：因为2212(1cos )G Fθ=+ ，所以当π2θ=时，2212GF = ，所以1F =，故D 错误.故选：AC.11.已知ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，用斜二测画法画出它的直观图A B C ''' ，则B C ''的长可能是（）A. B.C.D.12【答案】AC 【解析】【分析】通过斜二测画法的定义可知BC 为x '轴时，B C ''=为最大值，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='为最小值，故B C ''的长度范围是，C 选项可以以AB 为x '轴进行求解出，从而求出正确结果.【详解】以BC 为x '轴，画出直观图，如图2，此时B C BC ===''A 正确，以BC 为y '轴，则此时12B C BC ='='，则B C ''的长度范围是，若以AB 或AC 为x 轴，画出直观图，如图1，以AB 为x '轴，则2,1A B A C ''''==，此时过点C '作C D '⊥x '于点D ，则45C A B '''∠=︒，则2A D C D '='=，22B D '=-，由勾股定理得：B C =''C 正确；故选：AC12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则下列说法正确的有（）A.1233BD BA BC=+ B.132BD BO ⋅=C.BP BC ⋅存在最大值D.x y +的最大值为19+【答案】ABCD 【解析】【分析】对于A 、B ，将,BD BO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C 、D ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对A ：因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以13OA OD DC AC ===，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对B ：()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，则2212212253333999BD BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭51132233922=++⨯⨯⨯=，故B 正确；对C 、D ：如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()11,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()13cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故D 正确.故选：ABCD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()(),2,1,1,1,3a m b c ===，且()2a b c -⊥ ，则实数m 的值为_______________．【答案】4-【解析】【分析】借助向量垂直，则数量积为0计算即可得.【详解】()221,3a b m -=-，由()2a b c -⊥ ，可得()20a b c -⋅= ，即有2190m -+=，解得4m =-.故答案为：4-.14.福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为______.49544354821737932328873520564384263491645724550688770474476721763350258392120676【答案】05【解析】【分析】根据给定的随机数表的读取规则，从第一行第6、7列开始，两个数字一组，从左向右读取，重复的或超出编号范围的跳过，即可.【详解】根据随机数表，排除超过33及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号05，故选出来的第3个红色球的编号为05.【点睛】本题主要考查了简单随机抽样中的随机数表法，属于容易题.15.在ABC 中，60,A BC BC == 边上的高为2，则满足条件的ABC 的个数为__________.【答案】2【解析】【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A 到BC 的距离的最大值，和BC 边上的高为2比较，即可确定答案.【详解】因为ABC 中，60,A BC == ，所以ABC 的外接圆半径为122sin 60R BC ︒=⨯=,即A 位于以2为半径的圆弧 BAC上，如图，当ABC 为正三角形时，此时顶点A 到BC 的距离的最大值为6032︒=>,如图当A 位于,E F 处时，此时,BE CF 为外接圆直径，则,EC BC FB BC ⊥⊥,则2EC FB ==，满足60,A BC BC ==边上的高为2，故满足条件的ABC 的个数为2个，故答案为：2【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.16.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯的容积3113R π，则其内壁表面积为_______________．【答案】28R π【解析】【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积.【详解】设圆柱的高为h ，内壁的表面积为S ，由题意可知：323211·33R R h R πππ+=，解得：3h R =.内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即222·28S R h R R πππ=+=.故答案为：28R π四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知12122,3m e e n e e =+=- ，其中12,e e是夹角为π3的单位向量．（1）求m；（2）求m 与n夹角的余弦值．【答案】（1（2）1114【解析】【分析】（1）代入向量模的数量积公式m =，即可求解；（2）代入向量夹角的数量积公式，即可求解.【小问1详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，m ∴== ．【小问2详解】12,e e 是夹角为π3的单位向量，n ∴== ()()2212121122π112366cos 132m n e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=+-=，11112cos ,14m n m n m n⋅∴==．18.某景点某天接待了1250名游客，老年625人，中青年500人，少年125人，该景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访．将统计结果按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，制成如下频率分布直方图：（1）求抽取的样本中，老年、中青年、少年的人数各是多少；（2）估计当天游客满意度分值的75%分位数．【答案】（1）50人，40人，10人（2）82.5【解析】【分析】（1）求出老年、中青年、少年的人数比例，从而求抽取样本中老年、中青年、少年的人数；（2）利用百分位数的定义进行求解即可得.【小问1详解】老年625人，中青年500人，少年125人，故老年、中青年、少年的人数比例为625:500:1255:4:1=，故抽取100人，样本中老年人数为510050541⨯=++人，中青年人数为410040541⨯=++人，少年人数为110010541⨯=++人；【小问2详解】设当天游客满意度分值的75%分位数为x ，因为()0.0100.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.0100.0250.0350.020100.90.75+++⨯=>，所以x 位于区间[)80,90内，则()800.0200.750.7x -⨯=-，解得：82.5x =，所以估计当天游客满意度分值的75%分位数为82.5.19.已知复数12i z a =+是方程()2500,x bx a b R ++=>∈的一个解.（1）求a 、b 的值；（2）若复数2z 满足2123i z z z -=-，求2z 的最小值.【答案】（1）1a =，4b =-；（2）2.【解析】【分析】（1）将2i x a =+代入方程250x bx ++=，利用复数的四则运算结合复数相等可得出关于a 、b 的方程，结合0a >可求得a 、b 的值；（2）设()2i ,z x y x y R =+∈，根据复数的模长公式结合已知条件可得出1y x =+，再利用复数的模长公式结合二次函数的基本性质可求得2z 的最小值.【详解】（1）依题意得，()()22i 2i 50a b a ++++=，即()()24254i 0a b a ab -++++=，所以24250400a b a ab a ⎧-++=⎪+=⎨⎪>⎩，解得1a =，4b =-；（2）由（1）可得12i z =+，设()2i ,z x y x y R =+∈，则21z z -=，23i z -=因为2123i z z z -=-=，整理得1y x=+.2z ==故当12x =时，2z 取得最小值2.20.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，csin )c A A =+．（1）求C ；（2）若3AB AC AC ⊥=，，角C 的平分线交AB 于点D ，点E 满足DE CD =，求sin AEB ∠．【答案】（1）π3C =（2）321sin 14AEB ∠=【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.【小问1详解】)sin sinB C A A=+，())sin sinA C C A A+=+，cos sin sinA C C A=．因为sin0A≠sinC C=，所以tan C=又0πC<<，所以π3C=．【小问2详解】如图所示，因为π,33ACB AC∠==，所以AB=又因为CD为ACB∠的平分线，所以AD CD DB===．因为DE CD=，所以在BDE中，DB DE==又π3BDE∠=，所以BDE为等边三角形，所以BE=在ADEV中，由余弦定理可得2222π2cos213AE AD DE AD DE=+-⨯⨯=，即AE=，在ADEV中，由正弦定理可得sin sinAB AEAEB ABE=∠∠，即3321πsin sin3AEB=∠，得sin14AEB∠=．21.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点，=45ADC∠︒，2,AD AC PO==⊥平面,2,ABCD PO M=是PD的中点．（1）证明：//PB 平面ACM ；（2）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）255．【解析】【分析】（1）借助线面平行的判定定理即可得；（2）找出直线AM 与平面ABCD 所成角，借助正切函数定义计算即可得.【小问1详解】连接OM ，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，O ∴为BD 的中点，又M 为PD 的中点，PB MO ∴∥，又PB ⊄平面,ACM MO ⊂平面,//ACM PB ∴平面ACM ；【小问2详解】取DO 的中点N ，连接,MN AN ，M 为PD 的中点，MN PO ∴∥，且112MN PO ==，由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，MAN ∴∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，45,2,45,90ADC AD AC ACD ADC CAD ∠=︒==∴∠=∠=︒∴∠=︒ ，在Rt DAO △中，12,12AD AO AC ===，DO ∴=122AN DO ==，在Rt ANM △中，25tan 5MN MAN AN ∠===，∴直线AM 与平面ABCD．22.如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，P 为DF 的中点，AN CF ⊥，垂足为N．（1）求证：AN ⊥平面CDF ；（2）求异面直线BF 与PC 所成角的正切值；（3）求三棱锥B CEF -的体积．【答案】（1）证明见解析（2）62（3）6【解析】【分析】（1）由AB AF ⊥，CD AF ⊥，可证得CD ⊥平面ACF ，得CD AN ⊥，又AN CF ⊥，即可证得结论；（2）设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，得BF PO ∥，则CPO ∠是异面直线BF 与PC 所成角，即可求解；（3）可证得AF ⊥平面ABCD ，则三棱锥B CEF -的体积：B CEF C BEF V V --=，计算即可．【小问1详解】四边形ABEF 为正方形，AB AF ∴⊥，四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，CD AC ∴⊥，AB CD ，CD AF ∴⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACF ，CD \^平面ACF ，AN ⊂ 平面AFC ，CD AN ∴⊥，AN CF ⊥ ，⋂=CF CD C ，,CF CD ⊂平面CDF ，AN ∴⊥平面CDF．【小问2详解】四边形ABCD 为平行四边形，=90ACD ∠︒，1AB =，2AD =，AC ∴===32AO CO ∴==，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AC =，=90ACD ∠︒，CD ⊂平面ABCD ，CD \^平面PAC ，PC ⊂ 平面PAC ，CD PC ∴⊥，P 为DF的中点，122AP CP FD ∴=====，设AC BD O = ，P 为DF 的中点，O 是BD 中点，BF PO ∴∥，CPO ∴∠是异面直线BF 与PC所成角，sin 552CO CPO PC ∠===，10cos 5CPO ∴∠=，6tan 2CPO ∠=，∴异面直线BF 与PC 所成角的正切值为62．【小问3详解】平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF AB ⊥，AF ⊂平面ABEF ，AF ∴⊥平面ABCD ，CA ==∴三棱锥B CEF -的体积：111113326B CEF C BEF BEF V V S CA --==⨯=⨯⨯⨯= ．。

高中_高一数学第二学期第二次月考试卷

高一数学第二学期第二次月考试卷本试题分Ⅰ卷〔选择题〕和Ⅱ卷两局部。

考试完毕后，将答题卡和Ⅱ卷答题纸上交。

本试卷共150分，考试时间为120分钟。

第一卷一、选择题〔每题5分，共65 分〕 1．)619sin(π-的值是 ( ) A.21 B. 21- C. 23 D. 23- 2．时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 ( )A.π34 B. π92C. π92-D. π34-3. 1sin 1cos 2αα+＝－，那么cos sin 1αα－的值是 ( )A ．12B ．12－ C ．2 D ．－24．sin163sin 223sin 253sin313+= ( )A ．12-B ．12C ．32-D ．325．假设,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<，那么 ( )A ．αβ<B ．αβ>C ．2παβ+< D ．2παβ+>6．与图中曲线对应的函数是 ( ) A. y =|sin x | B. y =sin|x | C. y = - sin|x | D.y = - |sin x |7. (1+tan25°)(1+tan200°)的值是( ) A . 2 B. -2 C. 1 D. -18.以下命题是真命题的是：①⇔b a //存在唯一的实数λ，使=aλb ；②⇔b a //存在不全为零的实数μλ，，使λ+aμ0 =b ；③a 与b 不共线⇔假设存在实数μλ，，使λ+aμ0 =b ，那么0==μλ；④a 与b 不共线⇔不存在实数μλ，使λ+aμ0 =b ．( )A ．①和③ B．②和③ C．①和② D． ③和④9．,7||,10==AC 那么 ||BC 的取值范围是 ( )A ．[3，17]B ．〔3，17〕C ．[3，10 ]D ．〔3，10〕10．函数f 〔x 〕=cos(3x+φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是〔〕 A. φ=π2 B . φ= kπ+π2 (k ∈Z)C. φ= kπ (k ∈Z)D. φ= 2kπ-π2(k ∈Z)11．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象〔〕 A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度12．把函数y =sin(2x +34π)的图象向右平移φ (φ>0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，那么φ的最小值是 ( ) A.65π B.125π C.32π D.6π 13．关于x 的方程012sin 2sin cos 22=++--a x x x 在区间02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围是 ( ) A ．(]11-，B ．()11-，C ．[)01，D ．[)10-，二、填空题〔每题5分，共25 分〕14．函数y=15 sin(3x-π3) ),0[+∞∈x 的周期是，振幅是，频率是，初相是_________． 15．1e ，2e 是两个不共线的向量，=AB 212e k e +，=CB 213e e +，=CD 212e e -且D B A ，，三点共线，那么实数k = 16．在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，那么CF BE BC AD AB ++++= ．17．假设tan θ=2，那么2sin 2θ－3sin θcos θ= 。

高一年级下学期第二次月考数学试题附答案

下学期第二次月考高一数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1．若F E O , , 是不共线的任意三点，则下列各式中成立的是（） A 、 OE OF EF += B 、 OE OF EF -= C 、 OE OF EF +-= D 、 OE OF EF --= 2．函数x y 2tan 5=是（） A 、周期为2π的奇函数 B 、周期为2π的偶函数 C 、周期为4π的奇函数 D 、周期为4π的偶函数 3.若α是ABC ∆的一个内角，且21=αSin 则α等于（） A 、︒30 B 、︒60 C 、︒30或︒150 D 、︒60或︒1504．如图所示，向量c OC b OB a OA === A 、B 、C 在一条直线上，且3CB AC -=，则（）A 、 2321 b a c +-=B 、 2 b a c +-=C 、 2123 b a c -=D 、 2 b a c +=5．21 , e e 是夹角为︒60的两个单位向量，则) 2 3( ) 2(2121e e e e +--等于（） A 、8- B 、29 C 、29- D 、8 6．若 ,3) 1()1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC λ= 则λ等于_______ A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 7.与向量)4, 3( =a 垂直的单位向量是（）A 、)53, 54( B 、)53, 54(-C 、()54 , 53-或)54, 53(- D 、)53, 54(-或)53, 54(- 8．已知)2, 1(A )3, 2(B )5, 2(-C ，则ABC ∆是（）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、任意三角形 9.函数)4tan()(π+=x x f 的单调递增区间为（） A 、z k k k ∈+-)2, 2(ππππB 、z k))1(, (∈+ππk k C 、z k k ∈+- )4k , 43(ππππ D 、z k k k ∈+-)43， 4(ππππ103=， a 在 b 方向上的投影是23，则 b a ⋅是（） A 、3 B 、29 C 、2 D 、21 11.若)4tan()(π+=x x f ，则（）A 、)1()1()(f f o f >->B 、)1()1()(->>f f o fC 、)1()0()1(->>f f fD 、)1()()1(f o f f >>-12．已知点)7, 1( )2, 6(21M M ，函数7-=mx y 的图象与线段1M 2M 的交点M 分有向线段21M M 的比为3：2，则m 的值为（） A 、23- B 、32- C 、41D 、4二、填空题：（每题5分，共20分） 13．=--+-)1arctan(23cos3)21(2arc arcSin ______________。

高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析（2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

高一数学下学期第二次月考试卷

第 1 页，共 4 页第 2 页，共 4 页学校：班级：_______________ 姓名：_______________ 考号：_______________----------------请---------------------不---------------------要---------------------在---------------------密---------------------封---------------------线---------------------内---------------------答---------------------题--------------高一第二学期第二次月考测试题（数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列3，7，11，…中，第5项为( )．A ．15B ．18C ．19D ．232．数列{a n }中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )．A ．公差为2的等差数列B ．公差为3的等差数列C ．首项为3的等比数列D ．首项为1的等比数列3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-45．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，则下列关系正确的是 A.222cos C a b c =+-B.222cos C a b c =-+C.222cos 2a b c C ab+-=D.222cos a b c C ab+-=6．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，如果10120S =，那么110a a +的值是 A.12B.24C.36D.487．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若2220a b c +-<，则△ABC 是A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D. 钝角三角形8.在△ABC 中，3,1,AB AC ==∠A ＝30︒，则△ABC 的面积等于A.32B.34C.3D.129．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )．A ．4B ．8C ．15D ．3110．等差数列{a n }中，已知a 1＝31，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )．A ．50B ．49C ．48D ．4711．△ABC 中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若8,60,75a B C =∠=︒∠=︒,则b 等于A.42B.43C.46D.32312.已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( )(A)100101 (B)99101(C)99100 (D)101100二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知x 是4和16的等差中项，则x ＝． 14．数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为______.15．数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+（*n ∈N ）,则它的通项公式是_______.16.一个等比数列前11项和为10，前33项和为60.则前22项和为．三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53．（8分） (1)求AC 的长； (2)求∠A 的大小．题号123456789101112答案第 3 页，共 4 页第 4 页，共 4 页----------------请---------------------不---------------------要---------------------在---------------------密---------------------封---------------------线---------------------内---------------------答---------------------题---------------------18、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？19．.根据下列条件，求相应的等差数列{a n }的有关未知数： d=2,n=15,a n=--10,求a 1及S n20.已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．如果a 4＝－12，a 8＝－4．（8分） (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及其相应的n 的值；。

高一数学下学期第二次月考试题

河北定州中学20１7-20１8学年第二学期高一第２次月考数学试卷一、单选题1。

记数列的前项和为,若存在实数,使得对任意的,都有,则称数列为“和有界数列”、下列命题正确的是( )A、若是等差数列,且首项,则是“和有界数列”B。

若是等差数列,且公差,则是“和有界数列"C、若是等比数列,且公比,则是“和有界数列”Ｄ、若是等比数列,且是“和有界数列”,则的公比2。

已知圆与直线相切于点,点同时从点出发,沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当运动到如图所示的点时,点也停止运动,连接(如图),则阴影部分面积的大小关系是( )A。

B、Ｃ、D、先,再,最后3、定义在上的函数满足,且当时,、若对任意的,不等式恒成立,则实数的最大值是( ) Ａ、 -1 Ｂ、 C。

D、4。

锐角中,为角所对的边,若,则的取值范围为( )Ａ、Ｂ、 C、Ｄ、5、在平面直角坐标系ｘOy中,P是椭圆上的一个动点,点A(1,1),B(0,—1),则|PA｜+|ＰB｜的最大值为( )A、 2 B。

3 C。

４ D。

56、椭圆的左右焦点分别为,为坐标原点,点在椭圆上,且,与关于原点对称,且,则椭圆离心率为( )A。

B。

C。

Ｄ。

７、已知的内角对的边分别为,,当内角最大时,的面积等于 ( )Ａ、Ｂ、 C。

Ｄ。

8、如图,正方体中,分别是的中点,是正方形的中心,则空间四边形在该正方体各面上的正投影不估计是( )A。

B。

C、 D、9。

在中,,在边上,且,则( )A。

B、 C、５ D、１０、点在圆上运动,则的取值范围是( )Ａ、 B。

C、 D。

1１。

假如圆上任意一点都能使成立,那么实数的取值范围是( )A、 B、 C、 D。

12。

已知定义域为的函数满足,当时,, 设在上的最大值为,且的前项和为,若对任意的正整数均成立,则的最小值是( )A、Ｂ。

Ｃ。

3 Ｄ、２二、填空题13。

数列满足,则_＿__＿、14、等差数列满足:,,且公差,若当且仅当时,数列前项和取得最大值,则的取值范围是__＿_＿_______。

高中高一数学下学期第二次月考试题(共8页)

民办(mín bàn)高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：1.本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟。

2.在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卷上。

3.请将答案正确填写上在答题卷上，写在其它地方无效。

4.本次考题主要范围：必修5等第I卷〔选择题 60分〕一、选择题1.数列，，2 ，，…，那么2 B.7 C.192.a，b均为正数，且a+b=1，那么+的最小值为〔〕B.25C.26B.26C.254.等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，那么a12 B.31 C.305.点M〔a，b〕在直线3x+4y=15上，那么 B.3 C.2﹣ax+b＜0的解集为〔1，2〕，那么不等式＜的解集为〔〕A.〔，+∞〕B.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕C.〔，+∞〕D.〔﹣∞，0〕∪〔，+∞〕7.在以下各函数(hánshù)中，最小值等于2的函数是〔〕A.y=x+B.y=cosx+〔0＜x＜〕C.y=D.y=中，，那么角〔〕A. B. 或者 C. D.9.设公比为〔〕的等比数列的前项和为，假设，，那么〔〕A. -2B. -1C.D.10.的内角的对边分别是，且，假设，那么的取值范围为〔〕A. B. C. D.11.设第一象限内的点满足约束条件假设目的函数的最大值为，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.∆为“和12.假设沿着三条中位线折起后可以拼接成一个三棱锥，那么称这样的ABC∆的三个内角分别为，，，那么以下条件不可以确定为“和谐三角形〞，设ABC谐三角形〞的是〔〕A. ；B.C. D.第II卷〔非选择题 90分〕二、填空题的内角(nèi jiǎo)所对的边分别为，假设，那么.ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为、、，且，那么_________.15.假设数列{}n a 中，，那么__________．16.假设实数满足,那么的最大值是_____三、解答题 17.在ABC ∆中，，，.〔1〕求的长；〔2〕求的值.18.等比数列{a n }满足记其前n 项和为〔1〕求数列{a n }的通项公式a n ；〔2〕假设19.数列的前n 项和为nS ，向量,满足条件.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设函数,数列{}n a 满足条件.①求数列的通项公式；②设数列的前n 项和为.20.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，，.〔1〕当时，求ABC ∆的面积(miàn jī)；〔2〕求ABC ∆周长的最大值. 21.数列{}n a 中，，，数列中，，其中；〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕假设n S 是数列{}n b 的前n 项和，求的值．{}n a 的前项和为n S ,，，是数列的前n 项和．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求n T ．〔3〕求满足的最大整数n 的值．参考答案1.13.15.17.〔1〕〔2〕【解析(jiě xī)】〔1〕由余弦定理知，,所以.〔2〕由正弦定理得,为锐角, 那么,.18. 【解析】〔1〕设等比数列{a n}的公比为q，因为那么，所以〔2〕，由19.〔1〕；〔2〕①；②.【解析(jiě xī)】〔1〕因为.当时,. 当a .时,, 满足上式, 所以2nn〔2〕①,,即,又是以1为首项,1公差的等差数列..②,两边同乘得,以上两式相减得.20.〔1〕或者；〔2〕6.【解析】〔1〕由条件得：，∴，∴.①时，，，∴，②时，，∴，，∴.∴233S =或者(huòzhě)3. 〔2〕设ABC ∆的外接圆半径为，∴由正弦定理得：，∴，∴周长.∵3A π=，∴，∴，∴，∴，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴∴，∴.21.〔1〕见解析〔2〕【解析】〔1〕根据等差数列定义，即证为常数，将用代人，结合条件112n na a +=-，可得〔2〕先根据等差数列前n 项和得，再利用裂项相消法求和试题解析：解:(1)数列中,,,数列中,,其中.,,═常数,数列是等差数列,首项为1,公差为1,(2) ,即{}n a22.〔1〕；〔2〕；〔3〕1.【解析(jiě xī)】〔1〕∵当2n ≥时，*1145,(2,)n n n S S S n n N +-+=≥∈且，∴，∴，∵，∴，∴数列{}n a 是以为首项，公比为4的等比数列． ∴．〔2〕由〔1〕得：，∴．〔3〕，令，解得：故满足条件的最大正整数n 的值是1．内容总结（1）民办高中2021-2021学年下学期第二次月考高一数学考前须知：本卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕，满分是150分，考试时间是是120分钟（2）②设数列的前项和为.20.在中，内角，，所对的边分别为，，，， .〔1〕当时，求的面积。

高一数学下册第二次月考试题.doc

高一数学第二次月考试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1.o 585sin 的值为(A) 2-(B)2(C)-2．下列区间中，使函数cos =y x 为增函数的是（）A ．[0,]πB ．3[,]22ππC ．[,]22ππ- D ．[,2]ππ3．化简式子cos82cos 22sin82sin 22+的值是（）A ．12B ．2C ．3D 4．同时具有性质：⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线3x π=对称；⑶ 在[,]63ππ-上是增函数的一个函数是 ( )A ．)62sin(π+=x yB ．)32cos(π+=x yC ．)62cos(π-=x yD ．)62sin(π-=x y5.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)6.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52 B.-52C.51D.-517.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23 B.23 C.21 D.±23 8.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β9.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin2 10 、把函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像上各点的横坐标变为原来的31，再把所得图像向右平移8π，则所得图像的周期和初相分别为（） A.3π，4π B. 3π，1213π C.3π，125π- D.3π，512π二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分10分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？16.(本小题满分12分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知：函数y=Asin(ωx+φ)+c(A>0, ω>0,φ< 2π)在同一周期中最高点坐标为（2，2），最低点的坐标为（8，—4），求函数解析式.高一数学第二次月考答案一．1——10 ADADC ABDBC (本大题共10小题，每小题5分，共50分)三．(本小题满分10分) 15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,。

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江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期第二次月考高一数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．若,1,k b -三个数成等差数列，则直线y kx b =+必定经过点。

2．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 .3. 12+与12-，两数的等比中项是。

4.设,x y 都是正数，且191x y+=,则x y +的最小值为________.5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩,,,则2z x y =-的最大值是．6.在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = 。

7. 点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式230x y +-<表示的平面区域内，则点P 的坐标是．8.若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为。

9. 在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。

10. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是。

11. 设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。

12. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=，且19a =，其前n 项之和为S n ，则满足不等式16125n S n --<的最小自然数n 是 .13.以下四个命题中, 正确命题的个数是 .①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面; ③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.14. 已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：(0,0),(4,0)A B C ． ⑴．求边CD 所在直线的方程；⑵．证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．16．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知7S =7，15S =75，n T 为数列{||nS n}的前n 项的和，求n T18.如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,DB=BC ,DB ⊥AC ,点M 是棱BB 1上一点. (1)求证:B 1D 1∥平面A 1BD ; (2)求证: MD ⊥AC ;19．已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ，且53=a ，366=S ．（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121，4354a a b b +=+)1(-≠a ，设数列}{n n b a ⋅的前n 项和为n T ，求n T ．20.设数列{}n a 满足：11a =，且当n N *∈时，3211(1)1n n n n a a a a +++-+=（Ⅰ）比较n a 与1n a +的大小，并证明你的结论；（Ⅱ）若2211(1)n n n na b a a +=-，其中*∈N n ，证明：10 2.nkk b=<<∑（注：121nkn k bb b b ==+++∑）江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期高一第二次月考试卷答案1. (1,2)-2. 钝角三角形3. 1±4. 16 5． 7 6. 0607. (3,3)- 8. 29.10.1122q -++<< 11. (][)+∞-∞-,11, 12. 7 13.1个 14. 53n -15．解：⑴. ,A B两点的斜率AB k =，//CD AB，∴CD AB k k ==，又因直线过点(4,0)C ，∴CD所在直线的方程为：04)y x -=-，即40x -=. ⑵. ,B C两点的斜率BC k =1AB BC k k ⋅=-，∴AB BC ⊥，平行四边形ABCD为矩形，可求|||2AB BC ==，故矩形ABCD的面积||||ABCD S AB BC =⋅=16．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得：sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =．由ABC ∆为锐角三角形，得6B π=．（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=，所以b =17．设数列{}n a 的公差为d ，则1172171510575a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得：121a d =-⎧⎨=⎩，所以(5)2n n n S -=；设52n n S n b n -==，则{}n b 是等差数列，设49'221n n b b b S n n -=+++= 。

令502n n b -=≥，解得：5n ≥，所以1234,,,b b b b 小于0，50b =，6n ≥时，0n b >；所以当5n ≤时，49||||||221n n b b b T n n -=+++= ；当6n ≥时，||||||||||6521n n b b b b b T ++++++=4409)''(')(2556521+-=-+-=++++++-=n n S S S b b b b b n n所以2295494064n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩18．.(1)证明由直四棱柱,得BB 1∥DD 1,又∵BB 1=DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD. 而BD ⊂平面A 1BD ,B 1D 1⊄平面A 1BD ,∴B 1D 1∥平面A 1BD. (2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴BB 1⊥AC.∵BD ⊥AC ,且BD ∩BB 1=B , ∴AC ⊥平面BB 1D. 而MD ⊂平面BB 1D , ∴MD ⊥AC. 19.（Ⅰ）由212+++=n n n a a a 得n n n n a a a a -=-+++112，则数列}{n a 是等差数列． ⎩⎨⎧=+=+∴.36156,5211d a d a ⇒⎩⎨⎧==.2,11d a 因此，12-=n a n ．（Ⅱ）设等比数列}{n b 的公比为q ，由⎩⎨⎧+=++=+)1()1(1)1(3311a a q q b aq b 得11=b ，a q =且0a ≠．则111--==n n n a qb b ，1)12(--=n n n a n b a ． 132)12(7531--+++++=n n a n a a a T ………………①当1≠a 时，nn a n a a a a aT )12(753432-+++++= …………② 由①-②得n n n a n aa a a T a )12(22221)1(132--+++++=-- n n a n aa )12(11)1(2-----=,所以，a a n a a T nn n --+---=1)12(1)1()1(22．当1=a 时，2n T n =．20.解：（Ⅰ）由于3211(1)1nnn n a a a a +++-+=，则321211n n n na a a a +++=+，∴2322122213()11240111n nnnn n n n n n na a a a a a a a a a a +-+++-+-=-==>+++，∴1n n a a +> （Ⅱ）由于2211(1)n n n n a b a a +=-，由（Ⅰ）1n n a a +>>0，则2211n n a a +<，22110n n a a +->，而1110n na a a +>>=>，则0nb >，∴1210.nk n k b b b b ==+++>∑又2221111122221111()()2()1(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a a a a a a a a +++++++++-+--=-==<∴112()n n n n n a a b a a ++-<，1112()n n n b a a +<-1122311111112[()()()]nk k n n b a a a a a a =+∴<-+-++-∑ ∴12111112()nk n k n b b b b a a =+=+++<-∑，而1n n a a +>，且11a =，故10n a +> ∴112nk k b a =<∑，因此12n k k b =<∑，从而10 2.nk k b =<<∑。