人教版八年级上册等腰三角形中的常见辅助线
八年级数学轴对称 等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
∵AD＝AB＋CD，∴DC＝BF. ∵∠DEC＝∠FEB， ∴△DCE≌△FBE，∴BE＝CE.
(2)求证：AE⊥DE. 证明：由(1)知△DCE≌△FBE，AD＝AF， ∴DE＝EF，∴AE⊥DE.
(3)求证：AE平分∠DAB. 证明：∵DE＝EF，AD＝AF，∴AE平分∠DAB.
证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C.
∵∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝ ∠CAD＝45°，∴AD＝BD.
在△ BED 与△ AFD 中，
BE＝AF， ∠B＝∠DAF， BD＝AD，
∴△BED≌△AFD(SAS)，∴ED＝DF.
第十三章 轴对称
阶段核心方法 等腰三角形中作辅助线的八种常用
方法
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6 见习题△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的 中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求 证：(1)ED＝DF；
6．如图，在△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点，AD， CE交于点F，且AE＝EF.求证：AB＝CF. 证明：如图，延长AD至点G，使DG＝AD，连接 CG.∵BD＝CD，∠ADB＝∠GDC， ∴△ABD≌△GCD. ∴AB＝CG， ∠G＝∠EAF.
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA. 又∵∠EFA＝∠CFG， ∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF， ∴AB＝CF.
(2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E.P，Q在移动的过程 中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线 段？请说明理由．
八年级数学上册第12章三角形中常见辅助线的作法(人教版)
三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1 如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD 的取值范围．
提示：延长AD至A＇，使A＇D＝AD，连结BA＇．根据“SAS”易证△A＇BD≌△ACD，得AC＝A＇B．这样将AC转移到△A＇BA中，根据三角形三边关系定理可解．
2、引平行线构造全等三角形
例2 如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．
提示：此题辅助线作法较多，如：
①作DG∥AE交BC于G；
②作EH∥BA交BC的延长线于H；
再通过证三角形全等得DF＝EF．
3、作连线构造等腰三角形
例3 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．
求证：BD=DE=CE．
提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．
提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D ＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．
5、作三角形的中位线
例5 如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．则OE∥AB，OF∥CD，故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．。
等腰三角形中的常见辅助线
等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.（1）试说明：PD=QD（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，DG⊥BE于G，求证：BG=EG.方法5补形法构造等腰三角形5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.方法6 倍长中线法构造等腰三角形6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.方法8 截长补短法构造等腰三角形8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。
八年级数学上册【等腰三角形】4种常用辅助线添加方法,巩固加强!
八年级数学上册【等腰三角形】4种常用辅助线添加方法，巩固加强！等腰三角形，是初中数学里的一个重点，和等腰三角形有关的考试题型，各种变式题也特别多。
如何快速解决好等腰三角形问题，做到孰能生巧？今天老师总结了以下四种和等腰三角形题型有关的常见辅助线添加方法，共5道例题，有详细讲解。
方法一：做三线合一中的一线三线合一，是等腰三角形里最重要的性质定理之一。
所谓三线，就是等腰三角形中，顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线。
必然三线合一。
例题1，是三线合一的最基础的题型，D是BC的中点，那么连接AD，通过三线合一的性质，得出AD⊥BC.方法二：做平行线法这个一般是做一腰的平行线，得出两个角相等，从而得出三角形全等例题2中，这个题是非常常见的考试经典题型。
第①小题，得出三角形全等，得出PD=QD。
第②小题，过点P做PF∥AC，因为△PBF是等腰三角形，PE⊥BF，三线合一得出BE=EF。
又因为三角形全等，得出FD=CD。
所以，得出ED=BC的一半，即为定值。
方法三：截长补短法，或者叫截长取短法简单说，就是在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等。
或者，延长某一线段，使之等于某已知线段。
此解题方法常用，请大家细心钻研，平时多探索，勤学苦练。
例题3，就是一道延长某一线段，使之等于某已知线段，经典考试题型。
例题4，这就是一道在某一条线段上截取一条线段，和已知线段相等，通过等量转换，得出结论的经典考试题型。
方法四：加倍折半法，倍长中线法例题5，解析说过点B做BF∥AC，最后得出的还是线段相等。
其实，这个题还有一个更好的解题思路，就是倍长中线法先提示一下辅助线的添加方法。
因为CE是△ABC的中线，倍长中线CE。
延长CE至F，使EF=CE，连接BF。
倍长中线，必出三角形全等，最后得出，△DBC≌△FBC，所以DC=CF，所以CD=2CE。
看完这经典例题之后，不要认为自己就完全掌握了，这个时候要干什么？当然是在自己的练习题中找几道相似的题，加以运用强化一下！。
2等腰三角形中作辅助线的四种常用方法
方法 4 加倍折半法
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点D，且AB＋BD＝DC，
求∠C的度数．
解： 如图，在DC上截取DE，使DE＝BD，连接AE. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADE＝90°. ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)． ∴AB＝AE，∠B＝∠AEB. ∵AB＋BD＝CD，DE＝BD， ∴AB＋DE＝CD.
求证：BD＋DC＝AB．
证明： 如图，延长BD至点E，使BE＝AB， 连接CE，AE. ∵∠ABE＝60°，BE＝AB， ∴△ABE为等边三角形． ∴∠AEB＝60°，AB＝AE. 又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE. ∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC. ∴DC＝DE. ∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD， 即BD＋DC＝AB.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC. ∴AE＝EC. ∴∠EAC＝∠C. 设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x. ∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x. ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
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即180°－4x＋x＝120°. 解得x＝20°，则∠C＝20°.
返回
∴DE＝DF.
方法 2 作平行线法
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA 移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动， 点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
(1)求证：PD＝QD． (2)过点P作直线BC的垂线，垂足为E， P，Q在移动的过程中，线段BE，DE， CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
初中数学等腰三角形,7种常用辅助线的添加方法,技巧归纳专题
初中数学等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专
题
初中数学：等腰三角形，7种常用辅助线的添加方法，技巧归纳专题 -
八年级数学，等腰三角形和等边三角形是几何试题中最常见的考查要素之一。
时间过得真快，转眼又到周末。
这个周末，和大家一起分享，这套《技巧专题，等腰三角形，7种常用辅助线添加方法》，一起讲一些简单的技巧招式归纳在一起，助力练就解题神功。
前面有9个例子，有详细的分析步骤。
课后练习10个，暂时没有打和分析过程。
这些问题并不难。
你可以把它们打印下来，适当地研究一下。
方法一。
三线融合法。
三条线的组合是等腰三角形的一个非常重要的性质，也是一个非常基本的性质定理。
方法二。
用一条腰的平行线构成一个等腰三角形。
方法三，取长补短，构造等腰三角形。
截取互补，三角形解题技巧中很常见的一种添加辅助线的方法。
方法四。
在证明存在与底部相关的线段时，通常是与底部平行的直线。
这个例子不是一个好主意。
当然，用切掉长点的方法更容易互补。
方法五。
双倍长度中线法。
在三角题型中，当我们遇到中线时，要经常思考是否可以用中线翻倍的方法。
方法六。
以底边或腰为边做一个等边三角形，这样会有三角形的全等。
这种方法在解决某些求角问题时非常实用。
这个例子后面有一个类比，可以试试。
方法七，旋转。
说到等腰三角形，就必须提到旋转的方法。
换句话说，任何与旋转有关的东西都应该有一个等腰元素。
中考数学复习指导：解等腰三角形问题时常用的辅助线
解等腰三角形问题时常用的辅助线等腰三角形是平面几何中的一种重要图形，等腰三角形问题大多需要添加适当的辅助线．下面谈谈等腰三角形问题中的几种常用的辅助线.一、作底边上的中线或高或顶角的平分线例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E,F分别在AB.AC上，且AE＝CF．求证：△DEF是等腰直角三角形．分析由点D是等腰三角形底边BC的中点，容易联想作底边上的中线，利用等腰三角形的“三线合一”的性质证明．证明如图1，连接AD．∵AB＝AC，∠A＝900，∴∠B＝∠C＝45°．∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠A＝45°．∴∠EAD＝∠C，∠CAD＝∠C．∴AD＝CD．又AE＝CF，∴△AED≌△CFD，∴DE＝DF，∠1＝∠2．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，即∠EDF＝90°．∴△DEF是等腰直角三角形．二、作腰或底的平行线例2 如图2，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于点E，判断△ADE的形状，并证明你的结论．分析猜想△ADE是等边三角形．由∠CDE＋∠ADE＝∠ADC＝∠BAD＋∠B可得∠CDE＝∠BAD．要证DE＝AD，可先证DE所在的△DEC与AD所在的△ABD全等，而由已知可知，∠DCE＝120°，∠ADB<120°，显然两个三角形不全等，而且△ABD比△DEC大，所以可以尝试在大△ABD中截出一个三角形和△DEC全等．过点D作DG∥AC，则可达到目的．解△ADE是等边三角形．如图2，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠BGD＝∠BAC．∠BDG＝∠BCA．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC．∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴∠BCD＝∠BDG＝60°，∴BG＝BD．∴△ADE是等边三角形．三、作以底或腰为边的等边三角形例3如图3，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，点P为三角形内一点，且∠PCA＝∠PAB＝20°．求∠PBC的度数．分析由图中的40°＋20°＝60°，联想到等边三角形．于是以某一边为边作等边三角形．如图3，以等腰△CAP的底AP为边在点C一侧作等边△APD，连接CD，则AP＝AD＝PD．∠DAP＝∠DPA＝60°∴∠DAC=∠DPC＝180°－60°＝20°＝∠PAB．注：例3还有以下作等边三角形的方法．①以底BC为边在点A一侧作等边△BCD，连接AD；②以腰AC为边在点B－侧作等边△ACD，连接BD．以等腰三角形的底或腰为边作等边三角形是常用的辅助线，练习中的第3题也可以用这两种方法求解．四、将以腰为边的一个三角形绕顶角的顶点旋转例4如图4，在△ABC中，点P是△ABC内一点，且∠APB>∠APC．求证：PC>PB．分析要证PC>PB，自然想到证∠PBC>∠PCB．但是“∠APB>∠APC”这个条件用不上，所以将∠APB所在的△ABP绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合．证明设∠BAC＝n°．如图4，将△ABP绕点A逆时针旋转n°，得△ACQ，连接PQ．则。
-人教版八年级上册 等腰三角形 做辅助线构造等腰三角形 (45°角的用法)
【板块五】45°角的用法——构造等腰直角三角形方法技巧：（1）利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出三角形全等（旋转全等）.（2）利用45°角构造等腰直角三角形进而构造出K型全等（内K或外K）.（3）利用45°构造对称全等.（利用45°找八字型导角）.题型一利用45°角导角【例1】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO，C为AB上一点，D为OB上一点，OC＝CD，DE⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，求AB的长.题型二利用45°角作垂线构造等腰直角三角形【例2】如图，点D为Rt△ACB外一点，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ADC＝45°，求证：∠CDB＝45°题型三过45°角的顶点作一边的垂线构造对称型全等【例3】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点F在AB上，点F在AB上，AE⊥AB，∠ECF＝45°，求证：EF＝AE＋FB.题型四利用45°角作高构造K型全等【例4】如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（﹣4,3），AB交x轴于点D.（1）求点D的坐标；（2）点C在y轴上，∠CBA＝45°，求△ABC的面积.针对练习51.如图，在Rt△BAD中，AB＝BD，∠ABD＝90°，BC⊥AD。
垂足为点C，点E，F都在AB上，且∠ECF ＝45°，过点C作CT⊥CE交DB于点T.（1）求证：S四边形ECTB＝S△ACB；（2）若△ACB的面积为4，AE·FB＝2，求△ECF的面积.2.如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，BC平分∠ABO交AC于点C，点D、E分别在边OB、OA上，DE∥CB，∠ADE＝45°，求证：AB＝AE＋DB.3.如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，DA＝DE，∠ADE＝90°，求∠DBE的度数.4.如图，已知，△ABO是等腰直角三角形，OB＝OA，C，D在直线BO上，BC＝OD，ON⊥AD，垂足为点N，AB，NO的延长线交于点M，连接MC，求证：∠C＝∠D＝180°.5.已知在平面直角坐标系中，A（0，a），B（a，0）.（1）如图1，D为△AOB外一点，DM⊥x轴于点M，BD平分∠ABM，∠ADO＝45°，求证：AD＝OD；（2）如图2，点P为△AOB外一点，∠APO＝45°，PA＝6，PB＝2，求四边形AOBP的面积.。
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等腰三角形中做辅助线的八种常用方法几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化.例如：作“三线”中的一线或平行线证线段相等，利用截长补短证线段和差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系等，将不在同一个三角形的线段转移到同一个三角形（或两个全等三角形）中，然后运用等腰（或全等三角形）的性质来解决问题.
方法1 等腰三角形中有底边上的中点时常作底边上的中线
1.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF
方法2 等腰三角形中没有底边上的中点时常作底边上的高
2.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB ⊥AB.
方法3 等腰三角形中证与腰有关联的线段时常作腰的平行线或垂线
3.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
（1）试说明：PD=QD
（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.
方法4 等腰三角形证与底有关的线段时常作底的平行线
4.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，
DG⊥BE于G，求证：BG=EG.
方法5补形法构造等腰三角形
5.如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；
（3）AE平分∠BAD.
方法6 倍长中线法构造等腰三角形
6.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF
方法7 延长（或截长）法构造等腰三角形
7.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.
方法8 截长补短法构造等腰三角形
8.如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.。