高精度算法大全
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高精度算法大全
在一般的科学计算中,会经常算到小数点后几百位或者更多,当然也可能是几千亿几百亿的大数字.
一般这类数字我们统称为高精度数,高精度算法是用计算机对于超大数据
的一种模拟加,减,乘,除,乘方,阶乘,开放等运算.
譬如一个很大的数字N >= 10^ 100, 很显然这样的数字无法在计算机中
正常存储.
于是, 我们想到了办法,将这个数字拆开,拆成一位一位的或者是四位四
位的存储到一个数组中, 用一个数组去表示一个数字.这样这个数字就被称谓是高精度数.
对于高精度数,也要像平常数一样做加减乘除以及乘方的运算,于是就有了高精度算法:
由于计算机输入计算结果的精度通常受到计算机的限制,如:在双精度方式下,计算机最多只能输出16位有效数字,如果超过16位,则只能按浮点形式输出,另外,一般计算机实数表示的范围为1038,如果超过这个范围,计算机就无法表示了。但是我们可以通过一些简单的办法来解决这个问题。这就是我们要说的高精度计算机。
一、基本方法:在计算机上进行高精度计算,首先要处理好以下几个基本问题:
1、数据的接收与存储;
2、计算结果位数的确定;
3、进位处理和借位处理;
4、商和余数的求法;
下面我们逐一介绍一下这几个问题的解决方法。
1、数据的接收与存储:
要在计算机上进行高精度计算,首先就应该有精确的输入,即计算机要精确地接收和存储数据。通常:
①、当输入的数值在计算机允许的范围内时,可以用数值型变量来接收数据。
②、当输入的数据超过计算机允许显示的精度范围时,采用字符来接收数据。
③、分离各位数字。
接收数据子模块(字符型变量接收数据):
prucedure readdata(var in:array[1..100] of integer);
var ch:char;
i,k:integer;
begin
read(ch);k:=0;
while ch in['0'..'9'] do begin
inc(k);int[k]:=ord(ch)-48;
read(ch);
end;
end;
2、计算结果位数的确定
①、两数之和的位数最大为较大的数的位数加1。
②、乘积的位数最大为两个因子的位数之和。
③、阶乘:lgn!=lgn+lg(n-1)+lg(n-2)...................+lg3+lg2+lg1
=lnn/ln10+ln(n-1)/ln10+ln(n-2)/ln10+................+ln3/ln10+ln2/ln1 0+ln1/ln10
=trunc(1/ln10* (lnn+ln(n-1)+ln(n-2)+...........+ln3+ln2+ln1) )
乘方:lg(a ^b)=trunc(lg(a^b))+1
=trunc(b*lg a )+1
=trunc(b*ln a / ln10)+1
3、进位处理和借位处理
①、加法的进位处理
进行加法处理时,先设置一个加法进位标志 T,并将 T 的初值设为 0。当两数相加时,
从低位到高位,各位数字分别相加,如果相加后某个单元中的数大于 10,则将该单元中的数
减去10,并将进位标志 T 设为 1,当对下一单元进行相加时,还要再加上前一个单元的进位
标志 T。同时将 T 再次置为 0,不断重复,直到最高位为止。具体算法为:T:=0;
对变量 I 从 1 到 N,重复下列步骤:
C[i]:=A[i]+B[i]+T;T:=0;
IF C[i]>=10 THEN BEGIN
C[i]:=C[i]-10;T:=1;
END;
②、乘法的进位处理
Y:=A[i]*B[i]+C;C:=Y div 10;C[I+J-1]:=Y-C*10
③、减法的借位处理
IF A[i] A[I+1]:=A[I+1]-1;
A[i]:=A[i]+10
END IF
C[i]:=A[i]-B[i];
4、商和余数的求法
设A,B分别为不大于9位的整数,则:
C:=A DIV B为商的整数部分
X:=A MOD B为余数
二、算法与实例:
1、求任意位数的加法运算
【问题分析】:
①、数据的接收和存储
采用字符串输入的方式,设参与运算的两个数分别为A和B,利用字符串函数把字符串转
化为数值,将A、B中的每一位数字分别存储在A、B两个数组中,最低位在第一个单元中。(PA
SCAL语言中可以直接采用字符读取的方式来接收数据,而后通过ORD(x)-48的方式转化成数值
。)
②、确定和的位数
设LA为A的位数,LB为B的位数,则两数之和的位数最大为较大加数位数加1,即如果LA>
LB,则和的位数最大为LA+1。
③、进位处理
进行加法处理时,先设置一个加法进位标志 T,并将 T 的初值设为 0。当两数相加时,
从低位到高位,各位数字分别相加,如果相加后某个单元中的数大于 10,则将该单元中的数
减去10,并将进位标志 T 设为 1,当对下一单元进行相加时,还要再加上前一个单元的进位
标志 T。同时将 T 再次置为 0,不断重复,直到最高位为止。
程序清单:
program gjdjs;
const n=100;
type arrtype=array[1..n] of integer;
var
a,b:arrtype;
t,s,j,l:integer;
procedure readdata(var int:arrtype);
var
ch:char;
i,k:integer;
begin
writeln('Input a number:');
read(ch);k:=0;