数值计算方法绪论
计算方法

计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法(又称数值计算方法,数值方法)定义:研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源:模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差:|e(x*)|=|x-x*|相对误差:e r=e(x*)/x*x*=±10m(a1×10-1+a2×10-2+…+an×10-n)n为有效数字|x-x*|≤(1/2)×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式,以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f(x)=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| (u=max{|a m-1|,…,|a1|,|a0|}v=1/|a0|max{1,||a m-1|,…,|a1|})2.1二分法解法步骤:第一步利用(b-a)/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤:第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式:x n+1= x n -f(x n)/f’(x n)解法步骤:第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法(雅可比迭代法)x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入<1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入<1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n(x)=f(n+1)(~)∏(x-x i)5.1拉格朗日插值法l k(x)=[(x-x0)…(x-x k-1)(x-x k+1)…(x-x n)]/[(x k-x0)…(x k-x k-1)(x k-x k+1)…(x k-x n)] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f(x)dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f(x)dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)(h/4)6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
第一章 数值计算方法 绪论.ppt

|
En
|
|
In
I
n
|
|
(1
nIn1 )
(1
nI
n1
)
|
n
|E n1|
n
!|
E0
|
初始的小扰动| E0 | 0.5108迅速积累,误差快速递增。
造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二: In 1 n In1
I 10
0.03059200
I 12
1
12
I 11
0.63289600
I 13
1
13
I 12
7.2276480
I 14
1
14
I 13
94.959424
I 15
1
15
I 14
1423.3914
What happened
?!
考察第n步的误差 En
(科学出版社,2001年)
• 提问:数值计算方法是做什么用的?
研究对象:数值问题——有限个输入数据(问题的自
变量、原始数据)与有限个输出数据(待求解数据)之 间函数关系的一个明确无歧义的描述。
如一阶微分方程初值问题
dy
2x
dx
y(0) 1
求函数解析表达式 y y(x)
求函数y y(x)在某些点
的
能够控制误差
设
计
便于编程实现:逻辑复杂度要小
数值计算方法--绪论

有:
* * ¶f ( x1* , x2 , ⋯, x n ) e( y ) » df ( x , x ,⋯, x ) = å × e ( xi* ) ¶xi i=1
�
�
Mathematic,
Maple Lindo
�
交互式数学系统:MathCAD,Calcwin
作业:书后练习 弄清楚几个基本概念
误差的来源及分类 绝对误差、相对误差与有效数字 概念及计算 数值运算中误差传播规律 数值运算中应注意的原则 (5个)
谢谢大家!
数值运算中误差传播规律
乘法运算中的误差传播:
数值运算中误差传播规律
除法运算中的误差传播:
数值运算中误差传播规律
加减乘除的绝对误差限:
数值运算中误差传播规律
加减乘除的相对绝对误差限:
数值运算中应注意的原则
� 选用数值稳定性好的算法 � 相近两数应避免相减 � 绝对值相对太小的数不宜作除数 � 要防止大数“吃掉”小数的危害 � 使用计算复杂性好的算法
数值计算方法
� 主讲:唐旭清
� Email:
txq5139@ txq5139@
� 教材:1)《数值计算方法
》, 北理工出版社 ,丁丽娟; 2) 《数值计算方法 》,江南大 学,蔡日增
�
用数学方法解决实际问题的过程:实际问题 →建立数学模型→确定数值计算方法 →编程 并计算近似解
绝对误差、相对误差与有效数字
�
�
若近似值 x 的绝对误差限不超过小数点后第n * n 位数字的半个单位,即 ε = 1 × 10 − 。则 x 称 精确到小数点后第n位。 2 * 若近似值 x 的绝对误差限不超过某一位数字的 * 半个单位,而从该位数字到 x (从左边起)的第 一个非零数字共有n位,则称 x * 具有n位有效 数字。
数值计算方法课后习题答案

第一章 绪论(12)1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε,相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字;0031.0*2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56*4=x 有5位有效数字;0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
(1)*4*2*1x x x ++; [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε;(2)*3*2*1x x x ;[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε;(3)*4*2/x x 。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析(p11页)4 试证:对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式:2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明:(1)(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭(2) 取初值00>x ,显然有0>k x ,对任意0≥k ,a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明:若k x 有n 位有效数字,则n k x -⨯≤-110218, 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解:此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理:(设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=,如果*x 具有l 位有效数字,则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ,其中1a 为*x 中第一个非零数)则7.21=x ,有两位有效数字,相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ,有两位有效数字,相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =,有两位有效数字,其相对误差限为:00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ,0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ,有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ,有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注:(1)两种方法均可得出相对误差限,但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论,故他对误差限的估计偏大,但计算略简单些;而第二种方法给出较好的误差限估计,但计算稍复杂。
数值计算方法-全套课件

数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法? 为什么学习数值计算方法? 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13:15~15:40
上机(助教负责)
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正,物体加速运动; 如果为负,物体减速运动;如果为0, 物体速度不变。
假定向下的力为正,
FD mg
FU cv
c为比例系数,称为阻力系数(drag
coefficient(kg/s))。参数c说明了下降物
FD
体的特征,如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确? 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢,很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
第一章 数值计算方法 绪论

er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 (有效数字/*Significant Digits*/ )
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源:
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性:方法的可行性
则数
靠 性
稳定性:初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
数值计算方法(精品)

《数值计算方法》科学出版社黄明游第一章绪论1.1数值计算方法研究的对象、任务与特点一、关于本课程的名称本课程及其相近课程的名称有:《计算方法》、《数值计算》、《数值计算方法》、《数值分析》、《计算数学》、《科学计算》、《科学与工程计算》,等等。
二、数值计算方法概述(一)数值计算方法属于计算数学的范畴,是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。
由于近几十年来计算机的迅速发展,数值计算方法的应用已经普遍深入到各个科学领域,很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算,新的、有效的数值计算方法不断出现。
现在,科学与工程中的数值计算已经成为各门自然科学和工程技术科学的一种重要手段,成为与实验和理论并列的一个不可缺少的环节。
所以数值计算方法既是一个基础性的,同时也是一个应用性的数学学科,与其它学科的联系十分紧密。
由于大量的问题要在计算机上求解,所以要对各种数值计算方法进行分析,其内容包括:误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存贮量和自适应性,这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、准确性、效率和使用的方便性等。
当代实际的科学与工程计算中,计算问题往往是复杂的和综合的。
但是有一些最基础、最常用的数值计算方法,它们成为通常大学数值计算方法课程的内容。
本书主要讨论这些方法及其分析,它们包括逼近问题(函数的插值和逼近,数值积分和微分),线性代数问题(方程组和特征值问题)和非线性方程及方程组的数值解法问题,以及常微分方程的数值解法等。
这些是数值计算方法最基础的内容,不仅可以直接应用于实际计算,同时也是其它数值计算问题所用到的方法及其分析的基础。
(二)数值计算方法(或称计算方法)是研究数学问题求数值解的算法和有关理论的一门学科,它的理论与方法随计算工具的发展而发展。
在古代,人类研究的数学问题几乎总与计算有关,而计算工具的简陋,使求解问题受到很大限制。
现代科学技术日新月异,尤其是计算机技术飞速发展,人类可以用计算机进行复杂的数值计算、数据处理(包括图形,图像,声音,文字),计算机不仅是现代计算工具,而且已成了我们工作环境的一部分。
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稳定性分析
对格式(B),则有
e n 1
1 en n
1 1 1 故 得 | en | | e N | (n N ) n1 n 2 N
计算稳定。
稳定性分析
一般来说,若一个计算格式满足如下误差关系式
| e后 | C | e初 | (C为常数)
则认为该计算格式数值稳定。 所以,人们通常以相容性和稳定性作 为对一个计算格式可行性的基本要求。
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
插值
拟合
绪论
y
I f ( x )dx
a b
o
a
b
x
数值积分
绪论:计算格式的相容性与稳定性
定义1.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成 某数学模型,则称该计算格式与此数学模型相容。 定义1.2 如果在用某一计算格式进行数值计算的 过程中,误差不会严重积累,从而保证解满足所要 求的精确度(简称精度),则称该计算格式数值稳 定(简称为稳定),反之则为不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。
0
1 1 e 1 ~ 格式(B),近 似 取 I N ( ) 2 N 1 N 1
格式(A) I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 0.6321 0.3680 0.2640 0.2080 0.1680 0.1600 0.0400 0.7200
格式(B) 0.6320 0.3680 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1269 0.1124
•非线性方程求根 •方程组求解 •插值与拟合
•数值微分与积分
•常微分方程数值解
绪论
f ( x)
f ( ) 0
B
x2
a11 x1 a12 x 2 c1 a x a x c 22 2 2 21 1
o a
A
b
x o
方程组求解
解
x1
非线性方程求根
绪论
y
y
27
26
o
x
25
绪论
什么是计算方法(数值分析)?
研究怎样通过计算机所能执行的基本运算,求得 各类问题数值解或近似解的学问。 加、减、乘、 除、逻辑运算
绪论
计算方法(又称为数值分析)的任务: 研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则 运算的计算模型,以便有效地借助于计算机迅速 求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为 计算格式。
计算方法
教 材 《数值计算方法引论》
李开宁 编
总 学 时 教师姓名
24学时
沙春林
绪论
计算方法的意义: 无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性 的情形 : (1)所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法
(2)所涉及数学模型的解法计算量大,只适用 于规模较小的情形 (3)基于离散数据建立数学模型时
绪论
计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: 面向计算机:将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算,以便在计算机 上求出问题的数值解。 遵循的相容性原则,满足控制误差积累的数值稳定性 要求,以及评价计算格式优劣的计算复杂性,为适应 大型计算机的计算,现今又提出了并行性要求。
0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124
稳定性分析
I n 1 nI n1 对格式(A): 由 ~ ~ I n 1 nI n 1
相减得
e n ne n1
故得
en n! e0
所以,计算不稳定。
1 (1 I n ) ( n N , N 1,) n
定积分的性质
性质1
I n 0 (n)
1 e 1 性质2 In I n 1 n1 n1 性质3 I 0 n 初始值的选取: 1 ~ x 1 1 根据 I 0 e dx 1 e 近似取得 I0 格式(A),
例1.1 试建立计算如下问题的稳定的计算格式
In
解 分部积分得
1
0
x n e x 1 dx
In x e
n
x 1 1 0
| n x
0
1
n 1
e
x 1
dx 1 nI n1
由此可建立如下两种计算格式
格式(A):I n
1 nI n1
(n 1,2,)
I n 1 格式(B):