空间向量数量积运算
空间向量的数量积运算-ppt课件
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积运算公式
空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。
含有x轴正半轴、y 轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy 面的上方，按逆时针方向确定。
在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。
基本定理
1、共线向量定理
两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。
2、共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
数学《空间向量的数量积运算》
向量在三维空间中的方向
总结词
向量方向对数量积运算结果具有重要影响。
详细描述
在三维空间中，两个向量的数量积不仅与它们的长度和夹角有关，还与它们之间的方向关系有关。如 果两个向量方向相同或相反，它们的数量积将有不同的结果。
04 空间向量数量积运算的应 用
在物理中的应用
力的合成与分解
通过空间向量的数量积运算，可以方便地计算出力的合成与分解 结果，从而解决力学问题。
对未来研究的展望
• 展望：随着数学和物理学的发展，空间向量的数量积运算将继续发挥重要的作用。未来研究可以进一步探讨数量积运算的 性质和规律，例如探索数量积与其他向量运算之间的关系、数量积运算的几何意义等。此外，随着科技的发展，新的应用 领域将不断涌现，需要进一步拓展空间向量数量积运算的应用范围，例如在人工智能、数据分析和图像处理等领域的应用。 同时，随着数学教育的发展，如何更好地教授空间向量的数量积运算，提高学生对这一概念的理解和应用能力，也是未来 研究的一个重要方向。
速度和加速度的计算
在运动学中，空间向量的数量积运算可以用于计算速度和加速度， 帮助我们理解物体运动规律。
电磁学中的场强计算
在电磁学中，通过空间向量的数量积运算可以计算出电场强度和磁 场强度，进一步研究电磁场性质。
在工程中的应用
结构分析
在土木工程和机械工程中，空间 向量的数量积运算可以用于结构
分析，如计算应力和应变等。
数学《空间向量的数量积运算》
contents
目录
• 引言 • 空间向量的数量积运算性质 • 空间向量数量积运算的几何意义 • 空间向量数量积运算的应用 • 总结与展望
01 引言
空间向量的数量积运算的定义
定义
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）2023.08【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅=；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；二、空间两个向量的夹角．1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a = ，OB b = ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积
空间向量的数量积空间向量的数量积，又称为内积或点积，是向量分析中的重要概念。
它表示了两个向量之间的相似程度，并且在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨空间向量的数量积的性质、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、定义和性质在三维空间中，设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示它们之间的夹角。
可以看出，数量积是一个标量，没有方向，只有大小。
数量积具有以下性质：1. A·B=B·A，即数量积的顺序不影响结果；2. A·A=|A|^2，即向量A与自身的数量积等于它的模长的平方；3. 若A·B=0，则A与B垂直。
二、计算方法根据定义，我们可以通过向量的坐标或分量来计算数量积。
设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则有A·B=x1x2+y1y2+z1z2。
三、几何意义空间向量的数量积在几何中有重要的意义。
首先，两个非零向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
通过计算数量积，我们可以判断两个向量之间的夹角大小，进而判断它们的相似程度。
此外，数量积还可以用来计算向量的投影。
设A为原点O到点P的向量，B为另一向量，其数量积A·B表示向量A在B方向上的投影长度。
这个概念在物理学中有广泛的应用，例如计算物体沿斜面下滑时的加速度分量等。
四、物理应用数量积在物理学中的应用非常广泛。
以力学为例，根据牛顿第二定律，物体受到的力可以表示为F=mA，其中F为力，m为物体的质量，A为物体的加速度。
如果我们知道物体的初速度v0和终速度v，可以计算出加速度A=(v-v0)/t，其中t为时间。
然而，如果我们只知道物体在运动过程中所受到的力F以及物体的速度v，我们也可以通过数量积计算出它们之间的夹角θ，进而得到加速度A=|F|cosθ/m。
此外，在电磁学中，数量积也有重要的应用。
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
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值．
[思路探索] 可先求向量OA与BC 的夹角，再根据异面直线的 夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
→
→
2. 空间向量数量积的定义
设已知空间两个非零向量 a,b ， 则
a b cos a ,b 叫做 a,b的数量积，记作 a · b,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b a b
B
B
b
O
a
A
复习：
4．平面向量的夹角：
b a O
B
A
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量 （ 1 ） a⊥ b a×b=0数量积为零是判 定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, a· b=|a|· |b|;当a与b 2 a a = a 或 a = a a 反向时, a· b=-|a|· |b|;特别地， 用于计算向量的模; （3）cosθ =
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，可以作OA=a，OB=b， 则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作: 〈 a， b〉
a b a
A B
b
O
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
（2）已知 a 2 2 , b
则a，b所成的夹角为_______. 135
2 ,ab 2 2
分析:根据两向量夹角公式
0 a,b π） a· b = a b cos a,b （
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且 相互不共线，则：
①(a· b)c-(c· a)b=0
导入新课
复习
如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移s,那么力F所作的功W = F S =| F || S | cosθ , 为了在数学中体现“功”的这样一个标 量,我们引入了“数量积”的概念.
F
θ
S
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a,b , 则 a b cosθ
叫做 a,b的数量积，记作 a · b, 即
即
a· b = a b cos a,b（ 0 a,b π）
（1）两个向量的数量积是数量，而不 是向量.
（2）规定:零向量与任意向量的数量积 等于零. （ 3） a 、 b 仍是 a 、 b 的模.
4.线面垂直的判定定理（必修2）：
若m、n是平面α内的两条相交直线， 且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α.
a b a b
用于计算向量的夹角.
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a· b = b· a
（2）对数乘的结合律: (λa)· b = λ( a· b ) = a· (λb )
（3）分配律: ( a + b )· c = a· c + b· c
数量积不满足结合律,即: ( a· b )· c a· ( b· c)
范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下， 两个向量的夹角就被唯一确定了，并且 〈 a， b〉 = 〈 b， a〉 . 如果〈a，b〉= π/2，则称a与b互 相垂直，并记作a⊥b .
题型一
【 例 1】
利用数量积求夹角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°， ∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦
[解析]
＝6 3； a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝3×4×cos30°
(a＋2b)· (a－b)＝a ＋a· b－2b ＝9＋6 3－32
＝6 3－23.
a ＝|a|2＝9
2
2
2
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
3 3a 2 | P1 P3 |= 3a，P1 P2 , P1 P3 = a· 3a· = 2 2
π | P P |= 2a P2 P1 P4 = ， 1 4 2 1 P1 P2 , P1 P4 = a· 2a· = a 2， 2
P1 P2 ,P1 P5 = 0， P1 P2 ,P1 P6 < 0
3)空间向量的数量积性质: 对于非零向量 a , b，有：
(1) cos a, b ab a b
（求角的依据）
(2) a b a b 0 （证明垂直的依据） (3) a a a
2
（求向量的长度的依据)
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) ( a) b (a b)(结合律) 2) a b b a (交换律） 3） a (b c) a b a c (分配律）
2）两个向量的数量积
已知空间两个向量a, b，则 a b cos a, b叫做向量a, b 记作： a b,即 a b a b cos a, b
的数量积，
注：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
③数量积的几何意义：
a的模| a |与 b在a上投影 | b | cos a, b 的乘积
思考:下列命题成立吗?
①若a b a c ,则b c
②若 a b k ,则 a b ③ (a b) c a (b c)
k
1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3， | b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝ __________， (a＋2b)· (a－b)＝__________.
∴ 数量积中最大的是 P1 P2 , P1 P3
课堂练习
1.填空
（1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2， |a - b|=3，则|a + b|=_________. 1 方法一:发现|a + b|2+|a –b |2=2(| a |2+| b |2) 带入求得. 有其他方法 吗？
方法二:由|a –b|2=| a |2 - 2a· b + | b |2 带入求得a· b=-2. ∴|a + b|2=| a |2+2a· b+| b |2 得 |a+b|=1 方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
l
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高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边 形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最 大的是______. A A. B. C. D.
P1 P2 · P1 P3
P1 P2 · P1 P4
P1 P2 · P1 P5 P1 P2 · P1 P6
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6， 设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
②|a|-|b|<|a-b|
③(b· c)a-(c· a)b不与c垂直 ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（ D ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④