河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底数学试题
2021届河北唐山市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析
2021届河北唐山市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1．若复数满足，则的实部为（）A. 3B.C. 4D.【答案】D【解析】。
故实部为，选D。
2．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】。
故选C。
点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合。
2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解。
3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。
3．若函数，则（）A. 1B. 4C. 0D.【答案】A【解析】。
故选A。
4．甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲乙等四人在微信中每人抢到一个红包金额为三个一元，一个五元，基本事件总数为，甲乙的红包金额不相等包含的基本事件有：甲乙的红包金额分别为。
所以甲乙的红包金额不相等的概率为。
故选C。
5．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】该几何体的为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积为。
故选A。
点睛：由三视图求解几何体体积的解题策略(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解．6．设等差数列的前项和为，若，，则（）A. 1B. 0C.D. 4【答案】B【解析】由已知及可得，故选B．7．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果（）A. 4B.C.D.【答案】C【解析】。
河北省2021-2021年高三上学期一调考试(文)数学试题及答案
高三年级一调考试 数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}1|||2,|01A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则()U C A B =（ ）A ．[]2,1-B ．()2，+∞C ．(]1,2D ．()-，-2∞2.当0,0x y >>时，“2x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C ．对任意x R ∈，使得sin x x >D ．对任意x R ∈，使得sin x x ≥4.同时具有性质“①最小周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的一个函数是（ ） A ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭5.函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）6.已知函数()()223,1log ,1a x a x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．[)1,2-C ．(],1-∞-D ．{}1- 7.已知平面向量a 与b 的夹角为3π，且||1,2|23|b a b =+=，则||a =（ ） A ．1 B ．3C ．2 D ．38.已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ） A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．59.函数()()2log 2a f x ax =-在()0,1上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．112，⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．()1,2C ．(]1,2D ．112，⎛⎫ ⎪⎝⎭10.设a R ∈，函数()xxf x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 11.设函数()y f x =的图象与2x ay +=的图象关于直线y x =-对称，且()()241f f -+-=，则a =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．412.已知函数()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．114，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，3,30,60a A B ︒︒===，则ABC ∆的面积S =.14.设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则AD mAB nAC =+，则m 和n 的值分别为. 15.已知()()1:1,:102p x q x a x a ≤≤--->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是. 16.已知函数()()()()3212f x x a x a a x a R =+--+∈在区间()2,2-上不单调，则a 的取值范围是.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分) 已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2xg x k =-.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A B A =，求实数k 的取值范围.18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14cos cos B C B C -+=. (1)求A ；(2)若7a =ABC ∆的面积23b c +. 19.(本小题满分12分)已知向量()()cos sin ,2sin ,cos sin ,cos a x x x b x x x =+=-.令()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值. 20.(本小题满分12分) 已知函数()(),2ln mf x mxg x x x=-=. (1)当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有无实根； (2)若(]1,x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点坐标为()()121,0,1,0F F -，且短轴一顶点B 满足122BF BF ⋅=. （1）求椭圆的方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ,则1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 22.(本小题满分12分)已知函数()()21ln 2x f x x -=-.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）证明：当1x >时，()1f x x <-；（3）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()1f x k x >-.2015-2021学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（文科答案）1-5 BADCB 6-10 BCDCD 11.C 12.B13.93 14.14,33m n =-= 15.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16.118,,422⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17.解：（1）依题意得：()211m -=，解得0m =或2m =当2m =时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴0m =. ………………………………………………………………4分解：（Ⅰ）由()2cos 14cos cos B C B C -+=，得()2cos cos sin sin 14cos cos B C B C B C ++=，即()2cos cos sin sin 1B C B C -=，亦即()2cos 1B C +=，∴()1cos 2B C +=.∵0,3B C B C ππ<+<∴+=,∵A B C π++=,∴23A π=.……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得23A π=.由3S =12sin23,823bc bc π=∴=.① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得(2222272cos 3b c bc π=+-，即2228b c bc ++=.∴()228b c bc +-=.②,将①代入②，得()2828b c +-=，∴6b c +=.………………12分19.解：()()()cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x=-+cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.…………………………5分（1）由最小正周期公式得：22T ππ==.…………………………………………6分 （2）3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则372,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令3242x ππ+=，则58=x π，…………8分从而()f x 在5,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在53,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，即当58x π=时，函数()f x 取得最小值2…………12分20.解：（1）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x =-=--，()()222112'10x h x x xx-=+-=≥.……1分∴()h x 在()0,+∞上为增函数.……………………………………5分又()10h =，所以()()f x g x =在()1,+∞上无实根.…………………………6分(2)2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立， 又210x ->，则当(]1,x e ∈时，222ln 1x x x m x +<-恒成立，…………………………8分 令()222ln 1x x xG x x +<-，只需m 小于()G x 的最小值，()()()222ln ln 2'1x x x G x x-++<-，……10分∵1x e <≤，∴ln 0x >.∴当(]1,x e ∈时()'0G x <，∴()G x 在(]1,e 上单调递减，∴()G x 在(]1,e 的最小值为()241e G e e =-.则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭.…………………………12分 21.解：（Ⅰ）由题，设椭圆方程()222210x y a b a b +=>>，不妨设()0,B b ，则21212BF BF b ⋅=-=，∴223,4b a ==，故椭圆方程为22143x y +=.…………………………………………4分（Ⅱ）设()()1122,,,M x y N x y ，不妨设120,0y y ><，设1F MN ∆的内切圆半径为R ，则1F MN ∆的周长为8，面积1212121|F F ||y y ||y y |2=S =--，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690+m y my +-=，则212121|y y |AMN =m S ∆+-=8分 令21t m =+1t ≥，则2212112121313AMN m t S t t t∆+==++，令()13f t t t =+，则()21'3f t t =-，当1t ≥时，()'0f t ≥，()f t 在[)1,+∞上单调递增，故有()()1214,34AMN f t f S ∆≥=≤=，即当1,0t m ==时，1234AMN S ∆≤=，34,4AMN max S R R ∆=∴=，这时所求内切圆面积的最大值为916π. 故直线:1l x =，AMN ∆内切圆面积的最大值为916π.…………………………12分.22.解：（Ⅰ）()()211'1,0,x x f x x x x x -++=-+=∈+∞，由()'0f x >得2010x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得150x +<<故()f x 的单调递增区间是150，⎛+ ⎝⎭.…………………………3分 （Ⅱ）令()()()()1,0,F x f x x x =--∈+∞.则有()21'x F x x-=.当()1,x ∈+∞时，()'0F x <，所以()F x 在[)1，+∞上单调递减.故当1x >时，()()10F x F <=，即当1x >时，()1f x x <-.…………………………………………6分.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意.当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意.当1k <时，令()()()()1,0,G x f x k x x =--∈+∞，则有()()2111'1x k x G x x k x x-+-+=-+-=，由()'0G x =得()2110x k x -+-+=，解得()()22121141140,1k k k k x x ---+-+-+=<=>当()21,x x ∈时，()'0G x >，故()G x 在[)21,x 内单调递增.从而当()21,x x ∈时，()()10G x G >=，即()()1f x k x >-.综上，k 的取值范围是(),1-∞.…………………………………………12分.。
河北省唐山市区县2021届高三数学上学期第一次段考试题 文(含解析)
河北省唐山市区县2021届高三数学上学期第一次段考试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选：C ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 4,0x R x x ∀∈+< B. 4,0x R x x ∀∈+≤ C. 4000,0x R x x ∃∈+≥ D. 4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D 【解析】 【分析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.【详解】命题的否定为：x R ∃∈，40x x +<，故选D.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.3.设0.52a =，0.5log 0.6b =，4tan 5c π=，则（ ） A. a b c << B. c b a << C. b c a << D. c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质得1a >，由对数函数的性质得()0,1b ∈，根据正切函数的性质得0c <，即可求解，得到答案．【详解】由指数函数的性质，可得0.521a =>，由对数函数的性质可得()0.5log 0.60,1b =∈， 根据正切函数的性质，可得4tan05c π=<，所以c b a <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.若cos （πθ4-）=12，则sin2θ=（ ）A. 12-B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，化简得2sin 2cos[2()]2cos ()144ππθθθ=-=--，即可求解.【详解】因为1cos()42πθ-=， 又由2211sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()124422πππθθθθ=-=-=--=⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中利用三角函数的诱导公式和余弦函数的倍角公式，准确化简运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.设,m n 是两条直线， a ， β表示两个平面，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分充分不必要条件的判定发放进行判断即可.【详解】如果m α⊂， //a β，那么由n β⊥则可得到n α⊥ 即可得到m n ⊥；反之 由m n ⊥，m α⊂， //a β，不能得到n β⊥，故，如果m α⊂， //a β，那么“n β⊥”是“m n ⊥”的 充分不必要条件.故选A.【点睛】本题考查分充分不必要条件的判定，属基础题.6.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是 A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再求()1f ，2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭利用排除法可得解.【详解】由题意得，()211cos cos 1e 1e x x xe f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()()1cos 1exxe f x x ----=⋅-+ ()1cos 1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=<⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。
2022届河北省唐山市高三上学期开学摸底数学试题解析
.设 . ，此方程组无解，所以在棱 上不存在点P，使得 平面 .D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到 ，代入圆台的体积公式，即得解
【详解】
如图所示，不妨设圆台的轴截面为 ，过 分别作 于
由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此
由圆台的体积公式，
其中，
故答案为：
14. 若函数 为偶函数，则 ___________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函数的性质列方程求a.
【详解】∵函数 为偶函数，
∴ ，即
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为：1.
15. 不过原点的直线l与曲线 相切于 ，相交于点 ，则 ___________.公式：
2. 已知 虚数单位，若 ，则 （）
A. B. C. 10D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件求出复数的一般形式，结合复数模的求解公式从而可选出正确答案.
【详解】解： ，则 ，
故选:A.
3. 设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析得到 即得解.
【详解】由题得 ，
所以不同的分法有 种，
故选：B.
6. 已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设终边所在的直线方程为 ，由已知条件可求出 ，从而可求出角的余弦值.
河北省唐山市玉田县第一中学2021届高三数学上学期第一次摸底考试试题.doc
河北省唐山市玉田县第一中学2021届高三数学上学期第一次摸底考试试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2－x－6<0}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝A.{x|－2<x<3}B.{x|0<x<3}C.{x|－3<x<2}D.{x|0<x<2}2.若复数z满足z(1＋i)＝2，则|z|＝A.1－iB.2C.1＋iD.23.特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策。
某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名。
按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有A.24B.14C.12D.84.居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果。
通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度。
如右图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是A.居民消费价格指数变化幅度相对不大B.食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大C.食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数D.食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致5.右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中A.直线AB 与直线CD 平行B.直线AB 与直线CD 相交C.直线AB 与直线CD 异面垂直D.直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°6.已知f(x)＝2x －(12)x ，若f(m)＋f(n)>0，则 A.m ＋n>0 B.m ＋n<0 C.m －n>0 D.m －n<07.已知a ，b 都是单位向量，满足|a ＋2b|＝|a －2b|，则cos<a ，a ＋2b>＝ A.55255 C.12 D.32 8.已知f(x)＝|sinx|cosx ，则A.f(x)的值域为[－1，1]B.f(x)在[0，2π]上单调 C.π为f(x)的周期 D.(2π，0)为f(x)图像的对称中心 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省唐山市2021届高三数学上学期摸底考试试题 文(含解析)
河北省唐山市2021届高三数学上学期摸底考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{0,1,2,3}A =，{}220B x x x =-<，则A B =( )A. {0,1,2}B. {0,1}C. {}3D. {}1【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合{}220B x x x =-<，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}22002B x x x x x =-<=<<， 又{0,1,2,3}A =， 所以{}1A B ⋂=. 故选D【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念，即可得出结果.2.已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（）A. 4-B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5152,150a S =-=，则公差d =( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据题中条件，由15150=S 求出8a ，进而可得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，5152,150a S =-=，所以15815150==S a ，即810a =， 因此85312=-=d a a ，所以4d =. 故选C【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记等差数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.4.已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.双曲线22C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =，则∆=OPF S ( ) A.14B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由||||PO PF =，求出P 点坐标，进而可求出三角形面积.【详解】因为双曲线方程为22C:2x y -=， 所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形， 所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ， 所以112∆=⋅=OPF p S OF y . 故选C【点睛】本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.7.已知sin 2410απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin α=( ) A. 1225-B.1225C. 2425-D.2425【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得到1sin cos225αα-=，再两边同时平方，根据同角三角函数基本关系，即可得出结果.【详解】因为2sin 2410απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以222sin cos 22αα-=， 因此1sincos225αα-=， 所以2sin co 5s 2122αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即151sin 2α-=， 所以24sin 25α= 故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.8.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A. ()()P A P M >B. ()()P A P M <C. ()()P A P M =D. ()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】 利用圆面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ，阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-， 阴影部分M 的面积为：22221211122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）A. 1900是闰年，2400是闰年B. 1900是闰年，2400是平年C. 1900是平年，2400是闰年D. 1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】 【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，19001000b MOD == 1900400c MOD == 3输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 24001000b MOD == 24004000c MOD == 输出2400是润年， 故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.将函数()2f x sin x =的图像上所有点向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，则下列说法正确的是( ) A. ()g x 的最小正周期为2πB. ,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心 C. 34x π=是()g x 的一条对称轴 D. ()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()g x 的解析式，根据余弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】因为将函数()2f x sin x =的图像上所有点向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，所以()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ，所以()g x 的最小正周期为22T ππ==，A 错； 由2,2ππ=+∈x k k Z 得,42ππ=+∈k x k Z ， 因此()g x 的对称中心为,0,42ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭k k Z ，B 正确； 由2,π=∈x k k Z 得,2k x k Z π=∈，因此()g x 的对称轴为,2k x k Z π=∈，C 错； 由222,πππ-+≤≤∈k x k k Z 得,2πππ-+≤≤∈k x k k Z ，所以()g x 的单调递增区间为,,2πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ，D 错. 故选B【点睛】本题主要考查判断平移后的函数性质，熟记余弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.11.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n S a =+则数列{}n S ( ) A. 有最大项也有最小项 B. 有最大项无最小项 C. 无最大项有最小项 D. 无最大项也无最小项【答案】A 【解析】 【分析】先由32n n S a =+，得到1132--=+n n a S ，两式作差，得到数列{}n a 是以12-为公比的等比数列；求出n S ，分别讨论n 为奇数和n 为偶数两种情况，即可得出结果. 【详解】因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，32n n S a =+， 所以1132--=+n n a S ，两式作差，得13-=-n n n a a a ，设112n n a a -=-， 数列{}n a 是以12-为公比的等比数列；又1132=+S a ，所以11a =，,所以11112221211133233212-⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭==-⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+n n n nS ， 当n 为奇数时，11211211332332--⎛⎫⎛⎫=+⋅-=+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n n n S 单调递减，有最大值112111332-⎛⎫=+⋅≤= ⎪⎝⎭n n S S ；且121123323-⎛⎫=+⋅>⎪⎝⎭n n S ； 当n 为偶数时，11211211332332--⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n n n S 单调递增，有最小值1221113322-⎛⎫=-⋅≥= ⎪⎝⎭n n S S ；且121123323-⎛⎫=-⋅<⎪⎝⎭n n S ； 因此，数列{}n S 有最大值1；有最小值12. 故选A【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和的最值问题，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12.已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R的球面上，且AB BC ==2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ） A.50081πB.1009πC.259πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可知AB BC ⊥，从而求得1ABC S ∆=；根据棱锥体积公式可知，若三棱锥体积最大,则可得点D 到平面ABC 的最大距离3DO '=，在Rt OAO '∆中利用勾股定理构造关于球的半径的方程，解方程求得半径R ，代入球的表面积公式可求得结果.【详解】AB BC ==2AC =222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥112ABC S AB BC ∆∴=⋅= 如下图所示：若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d =即：3DO '=设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()22213R R =+-，解得：53R =∴球的表面积：210049S R ππ==故选B【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过体积的最值确定顶点到底面的距离，根据外接球的性质可确定球心的大致位置，通过勾股定理构造关于半径的方程求得外接球半径.二、填空题。
河北省唐山市高三上学期第一次摸底考试数学(理)试题+扫描版含答案 - 副本精编版
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CB B 卷：ADBBD DACABCB二．填空题： （13）2（14）12（15）2 6 （16）(1，3)三．解答题： 17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a na n －1＝3（n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1)·3n＝(3－2n )·3n －32． …10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率 P ＝4×5＋6×510×10＝12． …5分（2）X 可取0，1，2，3． …6分P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝16； P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝12；P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝310； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝130； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65． …12分 19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥CD ，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ， ∴CD ⊥平面PBD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ， ∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ， ∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)．…9分cos 〈PA →，n 〉＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63． …12分20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分（2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－1k ，…6分又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋2k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3， 解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋1x ，所以f '(x )＝1x －1x 2．…1分设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f '(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）． …3分 所以m ＝1． …4分 （2）依题意得f (1)≥ea ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分因为f '(x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋1ln a ．…7分设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ， 则g '(x )＝ex －1＝e －x x ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减， 从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而1ln a ≥ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0， 即log a (ln a )＋1ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)． …12分22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得， t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π4)|因为0≤α＜π，所以π4≤α＋π4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]． …10分23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2， 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
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河北省唐山市2019届高三数学上学期第一次摸底考试试题理（扫描版)唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCD DACCB CBB 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 (14）错误! （15）2错误! （16）(1，错误!）三．解答题:17．解:（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ①所以2S n －1＝3a n －1－1 (n ≥2), ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1,化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即错误!＝3(n ≥2）， …3分在①中，令n ＝1可得,a 1＝1， …4分所以数列｛a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1． …6分（2)b n ＝（n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1, ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1）·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－（n －1）·3n ， …8分＝3－3n 1－3－(n －1）·3n＝错误!． …10分所以，T n ＝错误!． …12分18．解：（1）由茎叶图可知,甲当天生产了10个零件，其中4个一等品,6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品,5个二等品，所以,抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝错误!＝错误!． …5分（2）X 可取0,1，2，3． …6分P （X ＝0)＝错误!＝错误!; P （X ＝1）＝错误!＝错误!；P （X ＝2）＝错误!＝错误!； P （X ＝3)＝错误!＝错误!； …10分 X 的分布列为∴随机变量X 的期望E 错误!错误!错误!×错误!＝错误!． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中, AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点, ∴BD ⊥CD ,又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD , ∴CD ⊥PD ， 又∵AD ⊥BD ，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．…5分（2）以D为坐标原点,DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系D－xyz，则A（错误!,0，0)，B(0，错误!，0）,C(－错误!，0，0)，P(0，0，错误!）,错误!＝(错误!,0，－错误!)，错误!＝（0，错误!，－错误!)，错误!＝(错误!，错误!，0)设平面PBC的法向量n＝(x，y,z），由错误!·n＝0,错误!·n＝0得错误!取n＝（1,－1，－1）．…9分cos错误!,n＝错误!＝错误!,∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为63．…12分20．解：（1）由已知可得，y1＝x错误!，y2＝x错误!，所以y1－y2＝x错误!－x错误!＝(x1＋x2)（x1－x2）＝2（x1－x2)，此时，直线l的斜率k＝错误!＝2．…4分（2）因为OB⊥l,所以k OB＝－错误!,又因为k OB＝错误!＝错误!＝x2，所以，x2＝－错误!, …6分又由（1）可知，x1＋x2＝错误!＝k,从而有,x1＝k－x2＝k＋错误!，所以|AB|＝错误!｜x1－x2|＝错误!|k＋错误!|，｜OB|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，…9分因为|AB|＝3|OB|，所以错误!｜k＋错误!|＝错误!，化简得,｜k3＋2k|＝3，解得，k＝±1，所以，|AB｜＝错误!|k＋错误!|＝3错误!．…12分21．解:(1）当a＝e时,f（x）＝ln x＋错误!,所以f（x)＝错误!－错误!．…1分设切点为(x0，f(x0）)，曲线y＝f（x)与y＝m相切,得f（x0)＝0，解得x0＝1，所以切点为(1，1）．…3分所以m＝1．…4分（2）依题意得f（1)≥错误!，所以1≥错误!，从而a≥e．…5分因为f(x)＝错误!，a≥e,所以当0＜x＜ln a时，f(x)＜0，f（x）单调递减；当x＞ln a时，f（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝ln a时，f（x)取得最小值log a(ln a)＋错误!．…7分设g(x）＝eln x－x，x≥e,则g(x）＝错误!－1＝错误!≤0，所以g(x）在[e，＋∞)单调递减,从而g（x)≤g(e)＝0，所以eln x≤x．…10分又a≥e，所以eln a≤a，从而错误!≥错误!,当且仅当a＝e时等号成立．因为ln a≥1，所以log a(ln a）≥0，即log a（ln a）＋1ln a≥ea．综上，满足题设的a的取值范围为［e,＋∞）．…12分22．解：（1）由ρ2－2错误!ρsin(θ＋错误!)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1）2＝6．…5分（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2（sinα＋cosα）t－4＝0,t1＋t2＝2(sinα＋cosα），t1t2＝－4＜0．｜｜OA|－｜OB｜｜＝|｜t1｜－｜t2｜|＝｜t1＋t2｜＝｜2（sinα＋cosα)｜＝｜2错误! sin(α＋错误!）｜因为0≤α＜,所以错误!≤α＋错误!＜错误!，从而有－2＜2错误!sin（α＋错误!）≤2错误!．所以｜|OA｜－|OB｜｜的取值范围是[0,2，2]．…10分23．解：（1）由题意得｜x＋1|＞｜2x－1|,所以｜x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为｛x｜0＜x＜2}．…5分（2）由已知可得，a≥f（x）－x恒成立，设g（x）＝f（x)－x，则g（x）＝错误!由g(x)的单调性可知，x＝错误!时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞)．…10分。
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河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底数学试
题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．
C．D．
2. 若复数z满足，则（）
A．B．C．D．2
3. 特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（）
A．24 B．14 C．12 D．8
4. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是（）
A．居民消费价格指数变化幅度相对不大
B．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大
C．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数
D．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致5. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）
A．直线与直线平行B．直线与直线相交
C．直线与直线异面垂直D．直线与直线异面且所成的角为60°
6. 已知，若，则（）A．B．C．D．
7. 已知，都是单位向量，满足，则
（）
A．B．C．D．
8. 已知，则（）
A．的值域为
B．在上单调
C．为的周期
D．为图像的对称中心
二、多选题
9. 设，，则（）
A．B．C．D．
10. 若的展开式中的系数是，则（）
B．所有项系数之和为1
A．
C．二项式系数之和为D．常数项为
11. 已知双曲线的一条渐近线，设，是C 的左右焦点，点P在l上，且，O为坐标原点，则（）A．C的虚轴长为B．
C．D．的面积为
12. 已知.（）
A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线D．若，则
三、填空题
13. 已知x，y满足约束条件，则的最小值为_______.
14. 已知等差数列的公差不为零，若，，成等比数列，则
______.
15. F是抛物线的焦点，P是C上且位于第一象限内的点，点P在C 的准线上的射影为Q，且，则外接圆的方程为_____.
16. 已知四棱台中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，则该四棱台的外接球的表面积为____________.
四、解答题
17. 在中，角的对边分别为，.有以下3个条件：
①；②；③.请在以上3个条件中选择一个，求面积的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在数列中，，，.
（1）证明为等比数列；
（2）求.
19. 在四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，E是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）直线与平面所成角为45°，求二面角的余弦值.
20. 田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.
（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：
（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；
（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.
21. 已知椭圆的离心率为，直线交于
，两点；当时，.
（1）求E的方程；
（2）设A在直线上的射影为D，证明：直线过定点，并求定点坐标.
22. 已知，函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若，证明，.（提示：）。