2019-2020学年唐山市高三摸底考试数学数学试题及答案A卷
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：第九章 第三讲 椭 圆 Word版含解析
析姓名，年级：时间：析第三讲 椭 圆1。
[2020湖南岳阳入学调研考试］已知定点M (1,0)和椭圆x 29+y 23=1上两个动点P ，Q 满足MP ⊥MQ ，则MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P 的横坐标为 （ )A 。
12B 。
1 C.32 D.522。
［2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C :x 2a 2+y2b 2=1（a 〉b >0)，F 1，F 2分别为其左、右焦点,｜F 1F 2｜=2√2，B 为短轴的一个端点,三角形BF 1O (O 为坐标原点）的面积为√7,则椭圆的长轴长为( ）A 。
4B 。
8C 。
1+√332D 。
1+√333。
［2020陕西省部分学校摸底检测]已知F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a 〉b >0）的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限的点,延长PF 2交椭圆于点Q ，若PF 1⊥PQ ,且|PF 1｜=|PQ |，则椭圆的离心率为( ）A.2—√2B.√3-√2C.√2-1D.√6−√34.［2020福建省三明市模拟］已知P 是椭圆x 225+y 29=1上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2面积为（ )A 。
3√3 B.2√3 C.√3 D.√335.［2019唐山市高三摸底考试］已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a 〉b >0)和双曲线E :x 2-y 2=1有相同的焦点F 1，F 2，且椭圆C 与双曲线E 的离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2为 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C 。
钝角三角形 D 。
不能确定6.［2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b12=1(a 1>b 1〉0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2>0,b 2>0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是曲线C 1与C 2的一个公共点,e 1，e 2分别是C 1和C 2的离心率,若PF 1⊥PF 2,则4e 12+e 22的最小值为 .7。
2019年9月河北省唐山市2019~2020学年度高2020届高2017级高三年级摸底考试理科数学试题参考答案
＝P (CA1)P (CB1)＋P (CA1)P (CB2)＋P (CA2)P (CB2)．
|FA|＋|FB|＝x421＋1＋x422＋1 ＝(x1＋x2)42－2x1x2＋2．
…4 分
当 k＝1 时，由①②得|FA|＋|FB|＝10
…5 分
( ) ( ) （2）由题意可知，→ FA ＝ x1，x421－1 ，→ FB ＝ x2，x422－1 ，→ FC ＝(－3，－3).
由→ → PPCB ··nn＝＝00，，得ya－x＋z＝y－0，z＝0，取 n＝(0，1，1)．
…7 分
y D
C
O
x
A
B
又因为 0＜A＜π，所以 sin A≠0，
直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，得
因此 b＝3ccos A．
（2）因为
tan A＝2，所以
cos A＝
5 5
P (C)＝280×1200＋280×230＋1210×230＝143070．
…12 分
|→ → FFAA ·||→ → FFCC |＝|→ → FFBB ·||→ → FFCC |，整理得 4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
解得
k＝－
3 2
，
所以，直线 l 的方程为 3x＋2y－4＝0．
…11 分 …12 分
∴PA∥平面 BED．
…4 分
（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 D－xyz，设 PD＝CD＝1，
z P
E
二．填空题： （13）0
三．解答题：
（14） 32
( ] （15）
9 8
，183
河北省唐山市2019—2020学年度高三年级第一次模拟考试数学(文科)参考答案
（2）设 A(2cosα，2＋2sin α)，0＜α＜2π，则 B(2，2＋2sin α)．
所以 S＝2(1－cosα)(1＋sin α)
＝2sinα－2cosα－2cosαsin α＋2
＝(sin α－cos α)2＋2(sin α－cos α)＋1
＝(sin α－cos α＋1)2
＝[
( ) ] 2sin
…10 分
高三文科数学参考答案第 4 页
1 a
＝1－a12．
由（1）得，
当
0＜a＜1
时，f
(a)＜0，f
(
1 a
)＜0，
所以
f
( x)仅在(
1 a
，＋∞)上有一个零点，
因此 0＜a＜1 时成立．
当 a＝1 时，f (1)＝0，所以 f (x)在 R 上仅有一个零点 1．
当 a＞1 时，f (a1)＞0，所以要满足题设须有 f (a)＞0，
当 a＞1 时，a＞1a，
Q M P x
…12 分 …2 分
高三文科数学参考答案第 2 页
所以 x＜a1或 x＞a 时，f '(x)＞0，
从而 f (x)在(－∞，1a)，(a，＋∞)上单调递增；
当1a＜x＜a 时，f '(x)＜0，
从而 f (x)在(1a，a)上单调递减．
( ) （2）f (a)＝－a4＋3a2－2＝(a2－1)(2－a2)；f
{ } 所以 f (x)＞1 的解集为 x|23＜x＜2 ．
（2）存在．
高三文科数学参考答案第 3 页
…8 分
…12 分 …4 分 …10 分 …4 分
若 a＞－1，则 f (x)＝x3－x＋a－a－3，3，x－＜a－≤ax，≤1， －x＋a＋1，x＞1．
高考数学之三角函数压轴小题的解法
教海探索摘要：纵观这几年的高考数学题目，经常在三角函数这块出一些比较难的压轴小题，这类题目深度考查三角函数的图象与性质，然而学生对于这类压轴小题的得分却很低，所以本文详细介绍这一类三角函数压轴小题的解法，旨在帮助学生攻克这类三角函数压轴小题。
关键词：三角函数；压轴小题；取值范围；整体换元本文中笔者将讲解这类压轴小题的具体考法以及“正面解法”，正面解法是指在小题里，特别是选择题里，不采用特值检验选项的方法，完全依据题目给的条件推出正确选项.在平时做练习题的时候，训练正面解法有助于提升我们的数学思维，加深对三角函数图象与性质的理解。
一、从单调性方面考查w 的取值范围这种题目会给出正余弦型函数在某区间上是单调递增或单调递减或者直接说是单调的，只要题目中提到正余弦型函数在某区间上是单调的，那这个单调区间的长度一定小于等于T2（T 是正余弦型函数的最小正周期），这时再结合最小正周期公式T =2πw，可以初步确定w 的一个大范围。
确定了w 的一个大范围，接下来我们用整体换元法来推出w 的具体范围：题目中给出了单调区间，等于给出了x 的范围，我们可以推出wx +φ的范围，这时我们将wx +φ视为一个整体，令t =wx +φ，此时正余弦型函数就变成了我们熟悉的正余弦函数。
这时我们一定要明白wx +φ的范围是由题目中给的单调区间推过来的，而正余弦函数的单调区间公式是一个总的单调区间。
所以wx +φ的范围一定是包含于（⊆）正余弦函数的单调区间公式，这时就可以解出w 的范围，再联立一开始利用单调区间的长度一定小于等于T2求得的w 的大范围，从而求出w的具体范围。
接下来以一道高考题为例：2012年高考新课标卷理科第9题：已知w >0，函数f (x )=sin(wx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求w 的取值范围。
解析：在(π2,π)上单调递减，可以得出π-π2≤T2，结合最小正周期公式T =2πw ，可以得出π2≤πw 。
2019-2020学年河北省唐山市高三9月摸底考试数学(理)试题
2019-2020学年河北省唐山市高三9月摸底考试数学(理)试题2019-2020学年河北省唐山市高三9月摸底考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）1.若集合A、B、C、D满足A∩B=C∩D，则D为（）。
A。
A∪B。
B。
A∩D。
C。
B∩D。
D。
A∪C2.设命题：p:∣x∣>1，q:x2>1，则下列命题的否定命题是（）。
A。
p∨q。
B。
p∧q。
C。
¬p∧¬q。
D。
¬p∨¬q3.已知∠A、∠B、∠C的内角和为180°，且∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c，则（）。
A。
ab>c。
C。
ac。
D。
a>b<c4.已知△ABC中，∠B=120°，AB=√3，BC=1，则AC=（）。
A。
1.B。
√3.C。
2.D。
2√35.已知函数f(x)=x3+3x2-3x-5，则f(-2)的值为（）。
A。
1.B。
-1.C。
0.D。
26.在平面直角坐标系中，直线2x-y+1=0与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则点P(1,2)关于直线AB的对称点为（）。
A。
(-1,0)。
B。
(-1,2)。
C。
(1,0)。
D。
(3,2)7.函数y=2x-3在直线x=k上的截距为5，则k的值为（）。
A。
-1.B。
1.C。
2.D。
38.已知两个单位向量的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是（）。
A。
(1/2,√3/2)。
B。
(-1/2,√3/2)。
C。
(1/2,-√3/2)。
D。
(-1/2,-√3/2)9.已知函数f(x)=x3-3x，则f(x)在x=1处的切线斜率为（）。
A。
2.B。
3.C。
1.D。
-310.已知函数f(x)=xlnx，在(1,∞)上单调递增，其图象关于直线y=x对称，则“f(x)在x=1处有极值”是“f'(x)在(0,1)上存在间断点”的（）。
A。
充要条件。
B。
必要不充分条件。
C。
河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义域为R 的偶函数()f x 满足任意x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-.若函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得()f x 的周期为2，当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，令()log (1)a g x x =+，则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，画出图像，数形结合，根据(2)(2)g f >，求得a 的取值范围. 【详解】()f x 是定义域为R 的偶函数，满足任意x ∈R ，(2)()(1)f x f x f +=-，令1,(1)(1)(1)x f f f =-=--，又(1)(1),(1))(2)(0,f f x f x f f -=∴+==，()f x ∴为周期为2的偶函数，当[2,3]x ∈时，22()212182(3)f x x x x =-+-=--，当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)x x f x f x x ∈+∈=+=--， 当2[1,0],[0,1],()()2(1)x x f x f x x ∈--∈=-=-+， 作出(),()f x g x 图像，如下图所示：函数()log (1)a y f x x =-+至少有三个零点， 则()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点，()0f x ≤Q ，若1a >，()f x 的图像和()g x 的图像只有1个交点，不合题意，所以01a <<，()f x 的图像和()g x 的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)g f >，即log (21)(2)2,log 32a a f +>=-∴>-，221133,,01,033a a a a ∴><<<∴<<Q . 故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到ab的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,33k k ∆=-==， 33a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b +=的焦距2222a b -=，22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=.故选:B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题. 3．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．4．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】解：()()()()2a i 1i 2a 12a 1i ++=-++Q 在复平面内所对应的点在虚轴上，2a 10∴-=，即1a 2=． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 5．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x =+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A=，所以阴影部分的面积是(21324ππ⨯⨯=. 故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.6．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （ ）A ．3B ．10C ．23D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，10=r b 故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题. 7．命题“(0,1),ln x x e x -∀∈>”的否定是（ ） A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤ B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，00ln x e x -≤．故选D ． 【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D.本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.9．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，得5c =，又和其中一条渐近线平行，得到2b a =，再求双曲线方程. 【详解】因为直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，所以()5,0F -，所以5c =， 又和其中一条渐近线平行， 所以2b a =，所以25a =，220b =，所以双曲线方程为221520x y -=.故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =U （ ） A ．()1,0- B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞【答案】D 【解析】 【分析】分别解出集合,A B 、然后求并集.解：{}{}111A x x x x =<=-<<，{}{}210xB x x x =<=<A B =U (),1-∞故选：D 【点睛】考查集合的并集运算，基础题.11．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【解析】()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.12．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥ 由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值。
河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析
河北省唐山市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.2．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min 2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】Q ()3sin 3cos 23sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭Q ，即2323sin 233x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴有且仅有232312-⨯=-满足条件；又12min2x x π-=，则22T T ππ=⇒=， 22T πω∴==，∴函数()23sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，223sin 363f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故B 错误； 对于C ，当76x π=时，77223sin 23sin 6333f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，由223sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.3．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)42323V cm ⨯⨯=，应选答案B ． 4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．21+ D ．221+【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122222PF AF c c ==⨯=，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.5．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.6．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论. 【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x Q '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =Q ,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x Q <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x <<, 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】是难题.7． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.8．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得34AO AF =，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值. 【详解】如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，2，FOB 中，222222636()()334OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=， 34AO AF =，=+u u u r u u u r u u u r AF AB BF ，AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r ，AF AC CF =+u u u r u u u r u u u r ，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=u u u r u u u r u u u r r ，则3AF AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此()14AO AB AC AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，因此14x y z ===，则34x y z ++=，故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 9．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222S ππ=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C.本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.10．函数()()23ln 1x f x x+=的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数()f x 为奇函数，可排除B 选项； 当x 0<时，()0f x ＜，可排除D 选项； 当x 1=时，()12f ln =，当x 3=时，ln10ln10(3),ln 22727f =>， 即()()1?3f f ＞，可排除C 选项， 故选：A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．11．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等【答案】B 【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论． 【详解】 对于甲，179888282939185.86x +++++=≈；对于乙，272748189969985.26x +++++=≈，故A 正确；甲的极差为937914-=，乙的极差为997227-=，故B 错误； 对于甲，方差2126S ≈.5，对于乙，方差22106.5S ≈，故C 正确； 甲得分的中位数为8288852+=，乙得分的中位数为8189852+=，故D 正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12．若()12nx -的二项展开式中2x 的系数是40，则正整数n 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】先化简()12n x -的二项展开式中第1r +项()112rrn r r n T C x -+=⋅⋅-，然后直接求解即可【详解】()12nx -的二项展开式中第1r +项()112r r n r r n T C x -+=⋅⋅-.令2r =，则()2232n T C x =⋅-，∴2440n C =，∴4n =-（舍）或5n =. 【点睛】本题考查二项展开式问题，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
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y
y
－1 O 1
x
A．
y
－1 O 1
x
பைடு நூலகம்
B．
y
2
－
－1 O 1
x
C．
－1 O 1
x
D．
5．右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个
四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为 A 和 M．在此图内任取一点，此点
取自 A 区域的概率记为 P(A)，取自 M 区域的概率记为 P(M)，则
7．若 sin 78°＝m，则 sin 6°＝
A．
m＋1 2
C．
m＋1 2
B．
1－m 2
D．
1－m 2
开始
输入 x
a＝x MOD 4 b＝x MOD 100 c＝x MOD 400
是 a＝0 且b≠0
否
c＝0
是
否①
输出“x 是平年” 输出“x 是闰年”
8．已知等差数列{an}的公差不为零，其前 n 项和为 Sn，
2．已知 p，q∈R，1＋i 是关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0 的一个根，则 p·q＝
A．－4
B．0
C．2
D．4
3．已知 a＝ln 3，b＝log310，c＝lg 3，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜b＜a
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
4．函数 f (x)＝x|2－x|1的图像大致为
若 S3，S9，S27 成等比数列，则SS93＝
结束
A．3
B．6
C．9
D．12
9．双曲线 C：ax22－y2＝1（a＞0）的右焦点为 F，点 P 为 C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点．若
|PO|＝|PF|，则 S△OPF 的最小值为
A．
1 4
B．
1 2
C．1
D．2
10．在(x＋y)(x－y)5 的展开式中，x3y3 的系数是
A．－10
B．0
C．10
D．20
11．直线 x－ 3y＋ 3＝0 经过椭圆ax22＋by22＝1（a＞b＞0）的左焦点 F ，交椭圆于 A，B 两点，交 y
轴于 C 点，若→ FC ＝2→ CA ，则该椭圆的离心率是
A． 3－1
B．
3 －1 2
C．2 2－2
D． 2－1
12．设函数 f (x)＝(ex－m－ax)(ln x－ax)，若存在实数 a 使得 f (x)＜0 恒成立，则 m 的取值范围是
20．（12 分）
A
B
已知 F 为抛物线 T：x2＝4y 的焦点，直线 l：y＝kx＋2 与 T 相交于 A，B 两点．
（1）若 k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
（2）点 C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线 l 的方程．
M
A．P(A)＞P(M) C．P(A)＝P(M) 关
B．P(A)＜P(M)
A
D．P(A)与 P(M)的大小关系与半径长度有
6．右图是判断输入的年份 x 是否是闰年的程序框图，若先后输入 x＝ 1 900，x＝2 400，则输出的结果分别是 （注：x MOD y 表示 x 除以 y 的余数） A．1 900 是闰年，2 400 是闰年 B．1 900 是闰年，2 400 是平年 C．1 900 是平年，2 400 是闰年 D．1 900 是平年，2 400 是平年
试卷类型：A
唐山市 2019~2020 学年度高三年级摸底考试 理科数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x|x－1＜0}，B＝{x|x2－2x＜0}，则 A∩B＝
A．{x|x＜0}
B．{x|x＜1}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|1＜x＜2}
A．(－∞，0] B．[0，2)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
高三理科数学 A 卷第 1 页
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 x，y 满足约束条件x2－x－y＋y＋21≥≤0，0，则 z＝3x－y 的最大值为____． x－2y＋2≤0，
14．已知 e1，e2 是夹角为 60的两个单位向量，a＝e1－e2，b＝e1－2e2，则 a·b＝___．
( ) 15．已知函数 f (x)＝sin
ωx＋
π 4
（ω＞0），若 f (x)在[0，2π]上恰有 3 个极值点，则 ω 的取值范围是
________．
16．在三棱锥 P−ABC 中，∠BAC＝60°，∠PBA＝∠PCA＝90°，PB＝PC＝ 3，点 P 到底面 ABC 的距离为 2，则三棱锥 P−ABC 的外接球的表面积为________．
的概率，求事件 C 发生的概率．
19．（12 分）
P
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底
面 ABCD，PD＝DC，点 E 是 PC 的中点．
（1）求证：PA∥平面 BDE；
（2）若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，求二面角 C−PB−D
的大小．
D
E C
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知△ABC
的面积为
S＝
1 6
b2tan
88450844072
092940
（1）通过茎叶图比较 A，B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得
出结论即可）；
（2）校方将会根据评分结果对参赛选手进行三向分流：
所得分数
低于 60 分 60 分到 79 分 不低于 80 分
分流方向
淘汰出局
复赛待选
直接晋级
记事件 C：“A 获得的分流等级高于 B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生
A．
（1）证明：b＝3ccos A；
（2）若 tan A＝2，a＝2 2，求 S．
18．（12 分）
某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对 A，B 两位选手，随机
调查了 20 个学生的评分，得到下面的茎叶图：
A 选手
B 选手
459
351
36631
524071955783677167