2018~2019唐山市高三摸底理科数学试题及答案
唐山市2018-2019学年第一学期高三年级一模考试理科数学含答案
x y （10）已知双曲线 C： － 2＝1（b＞0），F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 交 C 的 16 b 左、右支分别于 A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝ A．4 B．8 C．16 D．32 （11）设函数 f (x)＝aex－2sin x，x∈[0，π]有且仅有一个零点，则实数 a 的值为 A． 2e4 C． 2e2
A
（20） （12 分） 为了保障全国第四次经济普查顺利进行， 国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北、 湖北， 从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基 层的普查小区． 在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致 入户登记不够顺利， 这为正式普查提供了宝贵的试点经验． 在某普查小区， 共有 50 家企事业单位， 150 家个体经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 100 50 150 个体经营户 140 60 200 合计 （1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （2）根据列联表判断是否有 90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的 类别有关” ； （3）以频率作为概率，某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普 查对象，入户登记顺利的对象数记为 X，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值． 附：K2＝ n(ad－bc)2 (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
π π π － 4 － π 2
B． 2e
D． 2e
（12） 一个封闭的棱长为 2 的正方体容器， 当水平放置时， 如图， 水面的高度正好为棱长的一半． 若 将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为 A．1 B． 2 2 3 C． 3 D． 3
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学文数学试卷及答案
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：ADBCDDACCB CB B 卷：ADBBD DACAB CB二．填空题：（13）2 （14） 1 2 （15）2 6 （16）(1，3)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ②①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即a n a n －1＝3（n ≥2）， …3分 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， …4分所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n ＝3n －1．…6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，…8分 ＝3－3n1－3－(n －1)·3n ＝(3－2n )·3n －32．…10分 所以，T n ＝(2n －3)·3n ＋34． …12分 18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品， 所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P ＝4×5＋6×510×10＝ 1 2．…5分 （2）X 可取0，1，2，3．…6分 P (X ＝0)＝C 04C 36C 310＝ 1 6；P (X ＝1)＝C 14C 26C 310＝ 1 2； P (X ＝2)＝C 24C 16C 310＝ 3 10； P (X ＝3)＝C 34C 06C 310＝ 1 30； …10分X 的分布列为∴随机变量X 的期望E (X )＝0× 1 6＋1× 1 2＋2× 3 10＋3× 1 30＝ 6 5． …12分19．解：（1）∵直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，∴BD ⊥CD ， 又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，∴CD ⊥PD ，又∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又因为BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ． …5分（2）以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，PA →＝(2，0，－2)，PB →＝(0，2，－2)，CB →＝(2，2，0)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由PB →·n ＝0，CB →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，－1，－1)． …9分cos PA →，n ＝PA →·n |PA →||n |＝63，∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为63．…12分 20．解：（1）由已知可得，y 1＝x 21，y 2＝x 22，所以y 1－y 2＝x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(x 1－x 2)，此时，直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2．…4分 （2）因为OB ⊥l ，所以k OB ＝－ 1k ，又因为k OB ＝y 2x 2＝x 22x 2＝x 2，所以，x 2＝－ 1k ，…6分 又由（1）可知，x 1＋x 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k ，从而有，x 1＝k －x 2＝k ＋ 1k ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2|k ＋ 2k |，|OB |＝x 22＋y 22＝x 22＋x 42＝1k 2＋1k 4＝1＋k 2k 2，…9分 因为|AB |＝3|OB |，所以1＋k 2|k ＋ 2 k |＝31＋k 2k 2，化简得，|k 3＋2k |＝3，解得，k ＝±1，所以，|AB |＝1＋k 2|k ＋ 2k |＝32．…12分 21．解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ 1x ，所以f (x )＝ 1 x － 1 x 2． …1分 设切点为(x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )与y ＝m 相切，得f(x 0)＝0， 解得x 0＝1，所以切点为（1，1）．…3分 所以m ＝1． …4分（2）依题意得f (1)≥ e a ，所以1≥ ea ，从而a ≥e ．…5分 因为f (x )＝x －ln ax 2ln a ，a ≥e ，所以当0＜x ＜ln a 时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f (x )＞0，f (x )单调递增，所以当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值log a (ln a )＋ 1ln a ．…7分 设g (x )＝eln x －x ，x ≥e ，则g (x )＝ e x －1＝e －xx ≤0，所以g (x )在[e ，＋∞)单调递减，从而g (x )≤g (e)＝0，所以eln x ≤x ．…10分 又a ≥e ，所以eln a ≤a ，从而 1 ln a ≥ ea ，当且仅当a ＝e 时等号成立．因为ln a ≥1，所以log a (ln a )≥0，即log a (ln a )＋ 1 ln a ≥ea ．综上，满足题设的a 的取值范围为[e ，＋∞)．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π4)－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0．所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6．…5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)| 因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π 4＜5π4，从而有－2＜22sin (α＋ π4)≤22．所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}．…5分 （2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 12，－2x ＋2， x ＞ 12，由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1，所以a 的取值范围是[1，＋∞）． …10分唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试文科数学参考答案一．选择题：A卷：ACDBD CBCDA ACB卷：ACDCD CBCDA AB二．填空题：（13）12（14）2 （15）1 （16）(3，2]三．解答题：17．解：（1）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），则a n＝a1＋(n－1)d．因为a2，a3，a5成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，化简得，a1d＝0，又因为d≠0，所以a1＝0，…3分又因为a4＝a1＋3d＝3，所以d＝1．所以a n＝n－1．…6分（2）b n＝n·2n－1，…7分T n＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①则2T n＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．②①－②得，－T n＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，…8分＝1－2n1－2－n·2n …10分＝(1－n)·2n－1．所以，T n＝(n－1)·2n＋1．…12分18．解：（1）-x甲＝110(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；-x乙＝110(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7；…4分（2）由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的产品为一等品的概率为25，二等品的概率为35，故采用甲工艺生产该零件每天取得的利润：w甲＝300×25×30＋300×35×20＝7200元；…7分应用乙工艺生产的产品为一等品、二等品的概率均为12，故采用乙工艺生产该零件每天取得的利润：w乙＝280×12×30＋280×12×20＝7000元．…10分因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天取得的利润更高．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB ⊥CD ，BD ∩PB ＝B ，∴CD ⊥平面PBD ，又因为PD 平面PBD ，∴PD ⊥CD ． …5分（2）∵AD ⊥BD ，∴PD ⊥BD ．又∵PD ⊥CD ，BD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥平面BCD ．…8分 在直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，所以PD ＝AD ＝2，PB ＝PC ＝BC ＝2．S △ABC ＝2，S △PBC ＝3，设A 点到平面PBC 的距离为d ，由V P -ABC ＝V A -PBC 得，1 3S △ABC ×PD ＝ 13S △PBC ×d ，∴d ＝S △ABC ×PD S △PBC ＝ 263．即A 点到平面PBC 的距离为 263．…12分 20．解：（1）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y 得，x 2－2kx －2m ＝0，＝4k 2＋8m ，x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ，…2分 因为AB 的中点在x ＝1上，所以x 1＋x 2＝2．即2k ＝2，所以k ＝1．…4分 （2）O 到直线l 的距离d ＝|m |2，|CD |＝212－m 22， …5分所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22·1＋2m ，…6分因为|AB |＝|CD |,所以22·1＋2m ＝212－m 22， 化简得m 2＋8m －20＝0， 所以m ＝－10或m ＝2． …10分 由⎩⎨⎧＞0，d ＜23得－ 12＜m ＜26．所以m ＝2，直线l 的方程为y ＝x ＋2．…12分 21．解：（1）f (x )＝2(ln x ＋1)．…1分 所以当x ∈(0， 1e )时，f (x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈( 1e ，＋∞)时，f (x )＞0，f (x )单调递增．所以x ＝ 1 e 时，f (x )取得最小值f ( 1 e )＝1－ 2e ．…5分 （2）x 2－x ＋ 1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x＝(x －1)(x － 1x －2ln x )，…7分 令g (x )＝x － 1 x －2ln x ，则g (x )＝1＋ 1 x 2－ 2 x ＝ (x －1)2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为g (1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g (x )＜0；当x ＞1时，g (x )＞0，…10分 所以(x －1)(x － 1x －2ln x )≥0，即f (x )≤x 2－x ＋ 1x ＋2ln x ．…12分 22．解：（1）由ρ2－22ρsin (θ＋ π 4)－4＝0得， ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0． 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0．曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6． …5分（2）将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4＜0．||OA |－|OB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin (α＋ π 4)|因为0≤α＜，所以 π 4≤α＋ π4＜5π4， 从而有－2＜22sin (α＋ π 4)≤22． 所以||OA |－|OB ||的取值范围是[0，22]．…10分 23．解：（1）由题意得|x ＋1|＞|2x －1|,所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0，解得0＜x ＜2，故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． …5分（2）由已知可得，a ≥f (x )－x 恒成立，设g (x )＝f (x )－x ，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＜－1，2x ，－1≤x ≤ 1 2，－2x ＋2， x ＞ 12， 由g (x )的单调性可知，x ＝ 12时，g (x )取得最大值1， 所以a 的取值范围是[1，＋∞）．…10分。
2019届河北省唐山市高三下学期第三次模拟数学(理)(A)试卷(word版)
唐山市2018-2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23{|}7100|M x x N x x x ==-+≤＞，，则M∪N=（ ） A. [)2,3 B. (]3,5 C. (]5-∞，D. [2,)+∞【答案】D2.已知复数z 满足()20192i z i +=，则z 在复平面上对应的点位（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C3.中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A. 7047B. 21141C. 7569D. 22707【答案】A4.已知sin 2αα+=，则tan α=（ ）A. B.C. 3-D.3【答案】D5.设函数()y f x =的定义域为I ，则“()f x 在I 上的最大值为M ”是“()x I f x M ∀∈≤，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A6.设双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为α，且c o s α=13，则C 的离心率为（ ）A.B.2C.2D. 2【答案】B7.函数()3tan f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A8.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ） A.1835B.35C.2235D.1115【答案】B9.将函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 4【答案】C10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C在第一象限的交点为P ，则直线1PF 的斜率为（ ）A.13B.12C.D.【答案】B11.在ABC △中，AB AC =，3BD DC =，2AD =，ABC △的面积为ADB =∠（ ） A. 30 B. 45C. 60D. 30或60【答案】C12.已知e 是自然对数的底数，不等式()()()2111110x x x e e e e ---⎡⎤++-+>⎢⎥⎣⎦的解集为（ ） A. ()()1,03,-⋃+∞ B. ()()1,00,3- C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),10,3-∞-【答案】A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算定积分0sin xxdx =⎰__________．【答案】214.已知向量(,3),(2,1)a m b m ==+，若2a b a ⋅=，则b 在a 方向上的投影为______． 【答案】15.在四面体ABCD 中，4,3,5AB BC CD AC ====且AB CD ⊥，当四面体ABCD 的体积最大时，其外接球的表面积为______ 【答案】34π16.已知点()P -，圆2216x y +=上两点,A B 满足2PB PA =，则AB =_____ 【答案】4三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S ，，成等差数列．（1）求n n a S ，； （2）证明：121112nS S S ++⋯+<． 【答案】(1) 1221n nn n a S -==-， (2)见证明【解析】 【分析】（1）由等差数列中项性质，结合数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式和求和公式；（2）求得2n ≥时，1111212n n n S -=<-，再由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）由1，n a ，n S 成等差数列，得12n n S a +=，① 特殊地，当n=1时，111112S a a +=+=，得1a =1． 当n≥2时，1112n n S a --+=，② ①-②得12n n a a -=，1nn a a -=2（n≥2），可知{n a }是首项为1，公比为2的等比数列． 则122121n nn n n a S a -==-=-，；（2）证明：当n=1时，不等式显然成立n≥2时，1111212n n n S -=<-， 则111211111111121221242212n n n n S S S ---++⋯+<++⋯+==-<-． 【点睛】本题考查数列的递推式和等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式和求和公式，考查不等式的证明，注意运用放缩法，考查运算能力，属于中档题．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4,,AC BC AB M N ===分别为1,AB CC 的中点（1）求证：CM ∥平面1B AN ；（2）若11A M B C ⊥，求平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值【答案】(1)见证明； 【解析】 【分析】（1）取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，可得四边形EMCN 为平行四边形，得到CM ∥NE ．再由直线与平面平行的判定可得CM ∥平面1B AN ；（2）由已知证明1A M ⊥平面1B MC ，以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M xyz -，求出平面1B AN 的一个法向量n ，由平面1B MC 的法向量1AM 与n 所成角的余弦值可得平面1B AN 与平面1B MC 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：取1AB 的中点E ，连接EM ，EN ，在△1ABB 中，E ，M 分别是1AB ，AB 的中点，则EM ∥1BB ，且112EM BB =， 又N 为1CC 的中点，1CC ∥1BB ， ∴NC ∥1BB ，112NC BB =， 从而有EM ∥NC 且EM=NC ，∴四边形EMCN 为平行四边形，则CM ∥NE ． 又∵CM ⊄平面1B AN ，NE ⊂平面1B AN ， ∴CM ∥平面1B AN ；（2）∵AC=BC ，M 为AB 的中点，∴CM ⊥AB ，直三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得1AA ⊥CM ， 又∵AB∩1AA =A ，∴CM ⊥平面1ABB 1A ，从而1A M CM ⊥ 又∵11A M B C ⊥，1B C CM C ⋂=，∴1A M ⊥平面1B MC ， 从而有11A M B M ⊥，∵4,AC BC AB AM MB ====，∴1AA AM ==．由（1）知EM ∥1BB ，∴EM ⊥平面ABC ．以M 为坐标原点，,,MB MC ME 为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系M-xyz ，则()((11,,A A B --，C （0，2，0），N （0，2． ∴()()(1123,0,23,43,0,23,23,2,A M AB AN=-==． 设平面1B AN 的法向量为n =（,,x y z ），则14302320n AB n AN y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x = ，则n =（1，0，-2）， 平面1B MC 的法向量为(1A M =-，∴111310cos ||A M nA M n A M n ⋅<>==⋅，， ∴平面1B AN 与平面1B MC ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X ，若]0[130X ∈，，每单提成3元，若()300600X ∈，，每单提成4元，若()600X ∈+∞，，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若]0[140Y ∈，，每单提成3元，若()400Y ∈+∞，，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计（1）设美团外卖配送员月工资为()f X ，饿了么外卖配送员月工资为()g Y ，当3006[00]X Y =∈，时，比较()f X 与()g Y 的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E （X ）和E （Y ） （ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2） （ⅰ）见解析（ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（1）由 X Y =∈（300，600]，得()()g X g Y =，由此通过作差能比较当3006[00]X Y =∈，时，()f X 与()g Y 的大小关系．（2）（ⅰ）求出送餐量x 的分布列和送餐量y 的分布列，由此能求出外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望()E x 和()E Y ．（ⅱ）()(()()()30480300600]30420400E X E x E Y E y ==∈==∈+∞（），，，，美团外卖配送员，估计月薪平均为()180043720E X +=元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元，由此求出小王应选择做饿了么外卖配送员．【详解】（1）因为(300600]X Y ，=∈，所以()()g X g Y =， 当X ∈（300，400]时，()()()()18004210033000f X g X X X X -=+-+=-＞，当X ∈（400，600]时，()()()()18004210043000f X g X X X -=+-+=-＜， 故当X ∈（300，400]时，()()f X g Y > 当X ∈（400，600]时，()()f X g Y <． （2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为送餐量y 的分布列为则112111()13141617182016155551515E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 212111()11131415161814156510630E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ⅱ）()30()480(300,600],()30()420(400,)E X E x E Y E y ==∈==∈+∞， 美团外卖配送员，估计月薪平均()180043720E X +=元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为()210043780E Y +=元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知抛物线2:2(0)x py p Γ=>的焦点为()0,1F ，过F 且斜率为1k 的直线1l 与Γ交于,A B 两点，斜率为()220k k ≠的直线2l 与Γ相切于点P ，且2l 与1l 不垂直，Q 为AB 的中点. （1）若1k =||AB ；（2）若直线PQ 过()0,2，求12k k【答案】（1）16AB =（2）12【解析】 【分析】（1）由已知求得抛物线Γ的方程，由直线1l 的斜率为1k ，且过F （0，1），得1l 的方程为11y k x =+，代入抛物线方程，利用抛物线的弦长公式列式代入1k16AB =；（2）设P （0x ，24x ），利用导数求得2k =02x ，则P （22k ，22k ），由（1）知1214x x k +=，且Q 为AB 的中点，得Q （12k ，2121k +），再由直线PQ 过（0，2），得()()1221120k k k k +-=，结合1l 与2l 不垂直，即可证得12k k =12． 【详解】（1）∵抛物线Γ：22x py =（p ＞0）的焦点为F （0，1）， ∴抛物线Γ的方程为24x y =．由直线1l 的斜率为1k ，且过F （0，1），得1l 的方程为11y k x =+，代入24x y =，化简得21440x k x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()21211211214242x x k y y k x x k +=+=++=+，，2121244AB y y k =+++=．∵1k16AB =；（2）设P （0x ，204x ），将Γ的方程24x y =化为y=24x ，求导得y′=2x ，∵斜率为2k 的直线2l 与Γ相切于点P ，∴2k =02x ，则P （22k ，22k ）， 由（1）知12x x + =41k ，且Q 为AB 的中点，易得Q （21k ，212k +1），∵直线PQ 过（0，2），∴22212122122k k k k --=， 整理得()()1221120k k k k +-=， ∵2l 与1l 不垂直，∴1210k k +≠， 则2k -21k =0，即12k k =12． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查推理运算能力，是中档题．21.已知函数21()ln 1,04f x x x x ax a =--+>，函数()()g x f x ='． （1）若ln 2a =，求()g x 的最大值； （2）证明：()f x 有且仅有一个零点． 【答案】（1）0；（2）见证明 【解析】 【分析】（1）()()112g x f x lnx x a ='=+--，()11222xg x x x-'=-=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（2）对a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论． 【详解】（1）()()112g x f x lnx x a ='=+--，()11222xg x x x-'=-=， 当x ∈（0，2）时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当x ∈（2，+∞）时，()'0g x <，()g x 单调递减；故当x =2时，()g x 的最大值为()2g =ln 2a -． 若ln 2a =，()g x 取得最大值()2g =0．（2）（ⅰ）若ln 2a =，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，()0f x '≤，且仅当x =2时，f′（x ）=0．此时f （x ）单调递减，且f （2）=0，故f （x ）只有一个零点0x =2．（ⅱ）若a ＞ln2，由（1）知，当x ∈（0，+∞）时，f′（x ）=g （x ）＜0，f （x ）单调递减．此时，f （2）=2（ln2-a ）＜0，注意到1x =14a ＜1， 易证1ln x x e≥-， 故f （1x ）=1x ln 1x -2114x +34＞113110442e e -+=->-， 故f （x ）仅存在一个零点0x ∈（1x ，2）．（ⅲ）若0＜a ＜ln2，则g （x ）的最大值g （2）=ln2-a ＞0，即'20f （）＞，注意到f′（1e ）=12e --a ＜0，'8830f ln a =--（）＜， 故存在2x ∈（1e，2），3x ∈（2，8），使得()()230f x f x '='=． 则当x ∈（0，2x ）时，()()0f x f x '＜，单调递减；当x ∈（2x ，3x ）时，()()0f x f x '＞，单调递增；当x ∈（3x ，+∞）时，()0f x '＜，f （x ）单调递减． 故f （x ）有极小值f （2x ），有极大值f （3x ）．由f′（2x ）=0得221ln 102x x a +--=，故f （2x ）=22112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞0，则f （3x ）＞0． 存在实数t ∈（4，16），使得1ln 4t t -=0，且当x ＞t 时，1ln 4x x -＜0， 记41=max ,x t a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则()444441ln 104f x x x x ax ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 故f （x ）仅存在一个零点0x ∈（3x ，4x ]．综上，f （x ）有且仅有一个零点．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴交于点A ，与直线4x =交于点B ，点P 为曲线C 上的动点，求PAB △的面积的最大值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程为：24x +23y =1，直线l 的直角坐标方程为：10x y --=．（2【解析】【分析】（1）根据22cos sin 1ϕϕ+=消去φ可得曲线C 的普通方程；根据cos sin x y ρθρθ==，可得直线l 直角坐标方程；（2）根据曲线C 的参数方程设出P 点坐标，再根据点到直线距离求出△PAB 的高的最大值，可得△PAB 的面积的最大值．【详解】（1）曲线C 的普通方程为：24x +23y =1， 直线l 的直角坐标方程为：10x y --=．（2）由题意知：A （1，0），B （4，3），所以|AB|=设点P （2cosφ），则点P 到AB 的距离为所以△PAB的面积()1||12S AB d ϕα=⋅⋅=+-≤，即△PAB 的面积S ． 【点睛】本题考查了参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、点到直线的距离、三角函数的性质，属中档题．23.实数,,a b c 满足2223a b c ++=，实数,x y 满足2221x y +=.（1）求||a b c ++的最大值；（2）判断：()2ax b c y ++=能否成立？并说明理由.【答案】（1）3 （2）见解析【解析】【分析】（1）由柯西不等式得：()()2222222(111)1119a b c a b c ⨯+⨯+⨯≤++⋅++=，所以3a b c ++≤，（2）由柯西不等式得：()()2222222()a b c x y y ax by cy ++⋅++≥++，得()||ax b c y ++≤， ()2ax b c y ++=不能成立得解【详解】（1）因为2223a b c ++= ，由柯西不等式得：()()2222222(111)1119a b c a b c ⨯+⨯+⨯≤++⋅++=，当且仅当1a b c ===时等号成立.所以()29a b c ++≤，所以3a b c ++≤，故a b c ++的最大值为3．（2）由柯西不等式得：()()2222222()a b c x y y ax by cy ++⋅++≥++，又22222321a b c x y ++=+=，．所以()||ax b c y ++，故()2ax b c y ++=不能成立．【点睛】本题考查了柯西不等式，准确计算是关键，属中档题．。
【唐山2019高三摸底考试】唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试数学(理)试题(含答案)
整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，
故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．…5分
（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，
设g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝
由g(x)的单调性可知，x＝ 时，g(x)取得最大值1，
所以a的取值范围是[1，＋∞）．…10分
ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．…5分
（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，
t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，
t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．
唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试
理科数学参考答案
一．选择题：
A卷：ADBCDDACCBCB
B卷：ADBBDDACABCB
二．填空题：
（13）2（14） （15）2 （16）(1， )
三．解答题：
17．解：
（1）由已知可得，2Sn＝3an－1，①
所以2Sn－1＝3an－1－1（n≥2），②
||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2 sin(α＋ )|
因为0≤α＜，所以 ≤α＋ ＜ ，
从而有－2＜2 sin(α＋ )≤2 ．
所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2 ]．…10分
23．解：
（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,
此时，直线l的斜率k＝ ＝2．…4分
（2）因为OB⊥l，所以kOB＝－ ，
又因为kOB＝ ＝ ＝x2，
2019年河北省唐山市高三下学期第三次模拟数学(理)(A)试题(解析版)
唐山市2018-2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23{|}7100|M x x N x x x ＞，，则M ∪N=（）A. 2,3B. 3,5C. 5，D.[2,)【答案】 D【解析】【分析】求出N 集合中不等式的解集确定出M 与N ，根据M 与N 的并集运算求出答案即可．【详解】已知27{|}100N x x x ，求解不等式27100x x ，得；25x ，即25|N x x ，所以M ∪N=32{|}|2|5x x x x x x ＞即|2M N x x 故选：D ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2.已知复数z 满足20192i z i ，则z 在复平面上对应的点位（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得答案．【详解】由20192i z i ，得201945043(2)12222(2)(2)55i i i i iz ii i i i i，∴z在复平面上对应的点的坐标为12,55，位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.中国古代数学名著《九章算术》卷“商功”篇章中有这样的问题：“今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？”（注：一丈等于十尺）.若此方锥的三视图如图所示（其中俯视图为正方形），则方锥的体积为（单位：立方尺）A. 7047B. 21141C. 7569D. 22707【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的底面边长为27尺，高为29尺，再由棱锥体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，。
唐山市2018-2019学年度高三年级摸底考试理数学理科数学(解析版)
k
或 sin x 0 ；由 cos 2x 0 ，得 2x k , k Z, x , k Z ，又 x [0, 2 ]，
2
24
3 5 7 x 或 或 或 ；
44 4 4
3 5 7 由 sin x 0 ，得 x 0或 或2 ， 0 2 7 ．
44 4 4
12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， AB AC ，则该三棱锥体积的最大值是
8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8
4 3 1 23 0 2
（1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率；
（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和
（）
16
A．
3
32
B．
3
64
C．
3
D．32
12．答案：B
1
a2 b2
解析：设
AB
a,
AC
b ，则 S△ABC
bc ， △ABC 2
所在外接圆的半径 r
2
，球心 O 到平面
ABC 的距离 d
R2 r2
a2 b2
9
，三棱锥体积最大时， h R d 3
a2 b2
9
，
4
4
1
1
a2 b2 a2 b2
15．已知直线 l : kx y k 2 0 与圆 C : x2 y2 2 y 7 0 相交于 A, B 两点，则 AB 的最小值为
．
15．答案： 2 6
解析：直线 l 的方程为 y 2 k(x 1) ，经过定点 P(1, 2) ，由已知的圆 C 的标准方程为 x2 ( y 1)2 8 ，
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学(理)扫描版
河北唐山2019高三9月摸底考试-数学（理）扫描版唐山市2018—2018学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ADCBD AABCC DB B 卷：CDABDADBCBAC 【二】填空题：〔13〕(－1，0)∪(0，2] 〔14〕17 〔15〕6〔16〕－272【三】解答题： 〔17〕解：〔Ⅰ〕a 1＝S 1＝27(81－1)＝2、…1分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝27(8n－1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －2、当n ＝1时上式也成立，因此a n ＝23n －2〔n ∈N *〕、 …6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，b n ＝log 223n －2＝3n －2， …7分因此 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)＝1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝1 3(1－13n ＋1)＝n3n ＋1、…12分〔18〕解：〔Ⅰ〕如图，以A 为原点，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系、 设AA 1＝a 〔a ＞0〕，依题意得B 1(32，－ 1 2，a )，A (0，0，0)，C (0，1，0)、B 1C →＝(－32， 32，－a )，A 1C 1→＝AC →＝(0，1，0)，由异面直线B 1C 与A 1C 1所成的角为60︒，知|cos 〈B 1C →，A 1C 1→〉|＝|B 1C →·A 1C 1→|___________|B 1C →||A 1C 1→|＝323＋a 2＝12，解得a ＝6、…4分因此三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V ＝1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324、 …6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，B 1C →＝(－32，32，－6)、设n ＝(x ，y ，z )为面ACB 1的法向量，那么n ·AC →＝0，n ·B 1C →＝0，那么⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，－32x ＋ 32y －6z ＝0．取z ＝1，得x ＝－22，因此n ＝(－22，0，1)、…9分又m ＝(0，0，1)为面ACB 的一个法向量，因此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝ 13、因此二面角B 1-AC -B 的余弦值为13、…12分〔19〕解：〔Ⅰ〕依题意，⎩⎨⎧0.5＋a ＋b ＝1，0.5＋2a ＋3b ＝1.7．解得a ＝0.3，b ＝0.2、 …4分〔Ⅱ〕Y 的所有可能取值为0，100，200，300，400，600、 P (Y ＝0)＝0.22＝0.04，P (Y ＝100)＝C 120.2×0.3＝0.12，P (Y ＝200)＝0.32＝0.09，P (Y ＝300)＝C 120.2×0.5＝0.2，P (Y ＝400)＝C 120.3×0.5＝0.3，P (Y ＝600)＝0.52＝0.25、 …8分 Y 的分布列为…10分E (Y )＝0×0.04＋100×0.12＋200×0.09＋300×0.2＋400×0.3＋600×0.25＝360〔元〕、…12分〔20〕解：〔Ⅰ〕依照题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2、化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6、 …4分 〔Ⅱ〕直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0、…6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝－4k2k 2＋3， ① x 1x 2＝－42k 2＋3、②AF →＝λFB →即(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝－λx 2、③由①②③，得1 2＋34k 2＝λ(λ－1)2＝1(λ－1λ)2、 (9)分因为2≤λ≤3，因此22≤λ－1λ≤233，从而 3 4≤1(λ－1λ)2≤2，解不等式3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 1 2≤k 2≤3、故k 的取值范围是[－3，－22]∪[22，3]、…12分〔21〕解：〔Ⅰ〕当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋C 、 f (0)＝d ，f '(0)＝C 、 …2分曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋D 、由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，消去y ，得x 3＝0，x ＝0、 因此曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点、 …5分〔Ⅱ〕由，切点为(1，1)、又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，因此⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15、从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15、…8分由⎩⎨⎧y ＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，12x ＋y －13＝0，消去y ，得x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝0、 因直线12x ＋y －13＝0与曲线y ＝f (x )只有一个公共点(1，1)， 那么方程x 3＋bx 2－(2b ＋3)x ＋b ＋2＝(x －1)[x 2＋(b ＋1)x －b －2] ＝(x －1)(x －1)(x ＋b ＋2) 故b ＝－3、 …10分因此f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)、 当x…12分〔22〕解：〔Ⅰ〕由及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝13AC · 2 3AC ，因此AC 2＝92AB 2、…3分 由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7、…5分〔Ⅱ〕设圆O 与BC 的交点为F ，圆O 的半径为r 、由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝13AC · 2 3AC ＝AB 2，…8分 即(7－2r )×7＝14，解得r ＝52、…10分〔23〕解：〔Ⅰ〕曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ＋3cos θ， 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ，那么曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0、 …3分曲线C 2的极坐标方程化为1 2ρsin θ＋32ρcos θ＝4，那么曲线C 2的的直角坐标方程为1 2y ＋32x ＝4，即3x ＋y －8＝0、…6分〔Ⅱ〕将曲线C 1的直角坐标方程化为(x －32)2＋(y － 1 2)2＝1，它表示以(32， 12)为圆心，以1为半径的圆、该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离d ＝|3×32＋ 12－8|2＝3，…8分 因此|AB |的最小值为2、…10分〔24〕解：〔Ⅰ〕f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：…3分当x＝12时，f(x)＝0、当x＜12时，f(x)＜0；当x＞12时，f(x)＞0、因此a＝0、…6分〔Ⅱ〕不等式f(x)＋4m＜m2，即f(x)＜m2－4m、因为f(x)的最小值为－3，因此问题等价于－3＜m2－4m、解得m＜1，或m＞3、故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)、…10分。
2019年5月16日河北省唐山市高2016级2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试唐山三模理科数学试题答案
唐山市2018—2019学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DCADA BABCB DA B 卷：BCADA BADCB DC 二．填空题：13．2 14．3 2 15．34π 16．4三．解答题： 17．解：（1）由1，a n ，S n 成等差数列得1＋S n ＝2a n ，① 特殊地，当n ＝1时，1＋S 1＝2a 1，得a 1＝1． 当n ≥2时，1＋S n －1＝2a n －1，②①－②得a n ＝2a n －1，a na n －1＝2(n ≥2)，可知{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．则a n ＝2n －1，S n ＝2a n －1＝2n －1． …6分（2）n ≥2时，1S n ＝12n －1＜12n －1，则1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜1＋12＋122＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1＜2． …12分 18．解：（1）取AB 1的中点E ，连接EM ，EN ，在△ABB 1中，E ，M 分别是AB 1，AB 的中点，则EM ∥BB 1，且EM ＝ 12BB 1，又N 为CC 1的中点，CC 1∥BB 1，所以NC ∥BB 1，NC ＝ 12BB 1，从而有EM ∥NC 且EM ＝NC ，所以四边形EMCN 为平行四边形，所以CM ∥NE ． 又因为CM ⊄平面B 1AN ，NE ⊂平面B 1AN ， 所以CM ∥平面B 1AN ． …5分 （2）因为AC ＝BC ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，由AA 1⊥平面ABC ，得AA 1⊥CM ， 又因为AB ∩AA 1＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1，从而A 1M ⊥CM ， 又因为A 1M ⊥B 1C ，B 1C ∩CM ＝C ，所以A 1M ⊥平面B 1MC ， 从而有A 1M ⊥B 1M ，因为AC ＝BC ＝4，AB ＝43，AM ＝MB ，所以AA 1＝AM ＝23． 由（1）知EM ∥BB 1，所以EM ⊥平面ABC ．以M 为坐标原点，MB →，MC →，ME →为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系M -xyz ，则A (－23，0，0)，A 1(－23，0，23)，B 1(23，0，23)，C (0，2，0)，N (0，2，3)．所以A 1M →＝(23，0，－23)，AB 1→＝(43，0，23)，AN →＝(23，2，3)．设平面B 1AN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，AN →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧43x ＋23z ＝0，23x ＋2y ＋3z ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，0，－2)，平面B 1MC 的法向量为A 1M →＝(23，0，－23)， cos 〈A 1M →，n 〉＝31010，所以平面B 1AN 与平面B 1MC 所成锐二面角的余弦值为31010． …12分19．解：（1）因为X ＝Y ∈(300，600]，所以g (X )＝g (Y )，当X ∈(300，400]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋3X )＝X －300＞0， 当X ∈(400，600]时，f (X )－g (X )＝(1800＋4X )－(2100＋4X )＝－300＜0， 故当X ∈(300，400]时，f (X )＞g (X )， 当X ∈(400，600]时，f (X )＜g (X )． …4分 （2）（ⅰ）送餐量x送餐量y 的分布列为则E (x )＝13×115＋14× 1 5＋16× 2 5＋17× 1 5＋18×115＋20×115＝16，E (y )＝11×215＋13× 1 6＋14× 2 5＋15×110＋16× 1 6＋18×130＝14． …10分（ⅱ）E (X )＝30E (x )＝480∈(300，600]，E (Y )＝30E (y )＝420∈(400，＋∞)， 美团外卖配送员，估计月薪平均为1800＋4E (X )＝3720元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2100＋4E (Y )＝3780元＞3720元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员． …12分 20．解：（1）因为抛物线Г：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F (0，1)， 所以抛物线Г的方程为x 2＝4y ．由直线l 1的斜率为k 1，且过F (0，1)，得l 1的方程为y ＝k 1x ＋1， 代入x 2＝4y 化简得x 2－4k 1x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋2＝4k 21＋2， |AB |＝y 1＋y 2＋2＝4k 21＋4． 因为k 1＝3，所以|AB |＝16． …5分（2）设P (x 0，x 204)，将Г的方程x 2＝4y 化为y ＝x 24，求导得y '＝x2，因为斜率为k 2的直线l 2与Г相切于点P ，所以k 2＝x 02，则P (2k 2，k 22)， 由（1）知x 1＋x 2＝4k 1，且Q 为AB 的中点，易得Q (2k 1，2k 21＋1)，因为直线PQ 过(0，2)，所以k 22－22k 2＝2k 21－12k 1， …10分整理得(k 1k 2＋1)(k 2－2k 1)＝0，因为l 2与l 1不垂直，所以k 1k 2＋1≠0，则k 2－2k 1＝0，即k 1k 2＝12． …12分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝ln x ＋1－12x －a ，g '(x )＝1x －12＝2－x2x，当x ∈(0，2)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减； 故当x ＝2时，g (x )的最大值为g (2)＝ln 2－a ． 若a ＝ln 2，g (x )取得最大值g (2)＝0． …4分 （2）（ⅰ）若a ＝ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )≤0，且仅当x ＝2时，f '(x )＝0． 此时f (x )单调递减，且f (2)＝0，故f (x )只有一个零点x 0＝2． …5分 （ⅱ）若a ＞ln 2，由（1）知，当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＝g (x )＜0，f (x )单调递减．此时，f (2)＝2(ln 2－a )＜0，注意到x 1＝14a ＜1，我们知道，(x ln x )'＝ln x ＋1，故x ln x ≥－1e，f (x 1)＝x 1ln x 1－14x 12＋34＞－1e －14＋34＝12－1e＞0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 1，2)． …8分 （ⅲ）若0＜a ＜ln 2，则g (x )的最大值g (2)＝ln 2－a ＞0，即f '(2)＞0，注意到f '(1e )＝－12e－a ＜0，f '(8)＝ln 8－3－a ＜0，故存在x 2∈(1e，2)，x 3∈(2，8)，使得f '(x 2)＝f '(x 3)＝0．则当x ∈(0，x 2)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(x 2，x 3)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(x 3，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 故f (x )有极小值f (x 2)，有极大值f (x 3)．由f '(x 2)＝0得ln x 2＋1－12x 2－a ＝0，故f (x 2)＝(12x 2－1)2＞0，则f (x 3)＞0．存在实数t ∈(4，16)，使得ln t －14t ＝0，且当x ＞t 时，ln x －14x ＜0，记x 4＝max{t ，1a }，则f (x 4)＝x 4(ln x 4－14x 4)－ax 4＋1≤0，故f (x )仅存在一个零点x 0∈(x 3，x 4]． 综上，f (x )有且仅有一个零点．（另见附注） …12分22．解：（1）曲线C 的普通方程为：x 24＋y 23＝1，直线l 的直角坐标方程为：x －y －1＝0． …4分（2）由题意知：A (1，0)，B (4，3)，所以|AB |＝32． 设点P (2cos φ，3sin φ)，则点P 到AB 的距离为 d ＝|2cos φ－3sin φ－1|2＝|7cos(φ＋α)－1|2，所以△P AB 的面积S ＝12·|AB |·d ＝32|7cos(φ＋α)－1|≤3(7＋1)2， 即△P AB 的面积S 的最大值为3(7＋1)2．…10分23．解：（1）∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)＝9.∴|a ＋b ＋c |≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1或a ＝b ＝c ＝－1时，取等号. 故|a ＋b ＋c |的最大值为3. …5分（2）不能成立.理由如下：由柯西不等式，得(ax ＋by ＋cy )2≤(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋y 2)＝3，当且仅当a x ＝b y ＝cy时取等号，故ax ＋(b ＋c )y ≤3，故ax ＋(b ＋c )y ＝2不能成立. …10分附注：21题（2）的一个解法解：因为f (x )＝x ln x －14x 2－ax ＋1 ， a ＞0，x ＞0有且仅有一个零点，所以a ＝ln x －14x ＋1x ，令h (x )＝ln x －14x ＋1x，h '(x )＝1x －14－1x 2＝－x 2＋4x －44x 2＝－(x －2)24x 2≤0，h (x )在(0，＋∞)单调递减，h (e 3)＝3－e 34＋1e3＜0，x →0，h (x )→＋∞， 因为a ＞0，所以y ＝a 与h (x )＝ln x －14x ＋1x有唯一的交点，所以f (x )有且仅有一个零点． （酌情扣1－2分）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
－
唐山市 2018—2019 学年度高三年级摸底考试
理科数学
注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x －5x－6＜0}，B＝{x|0≤x≤8}，则 A∩B＝ A．[0，6) B．[0，1) D．(－1，8] C．(0，6) i(1－2i) 2．设 z＝ ，则|z|＝ 2－i A． 5 41 C． 5
π 在极坐标系中，曲线 C 方程为 ρ2－2 2ρsin θ＋ －4＝0．以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半 4 x＝tБайду номын сангаасos α， （t 为参数，0≤α＜） ． 轴建立直角坐标系 xOy，直线 l： y＝tsin α （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 |OA|－|OB| 的取值范围．
a＝a×(－1) n＝n＋2 n＞19 是 输出 S 结束 否
B．2 D．1
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a3＋a11＝4，则 S13＝ A．13 B．26 C．39 D．52 4．随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，若 P(ξ＜2)＝0.2，P(2＜ξ＜6)＝0.6，则 μ＝ A．6 B．5 C．4 D．3 5．cos 105° －cos 15° ＝ 2 A． 2 6 C． 2 2 2 6 D．－ 2 B．－
1 1 正视图 1 侧视图
x2 y2 10．已知椭圆 C： 2＋ 2＝1（a＞b＞0）和双曲线 E：x2－y2＝1 有相同的焦点 F1，F2，且离心率之 a b 积为 1，P 为两曲线的一个交点，则△F1PF2 的形状为 A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不能确定
11．已知函数 f (x)＝sin x－sin 3x，x∈[0，2π]，则 f (x)的所有零点之和等于 A．5π C．7π B．6π D．8π
2
A．1 C．1 或 3
9．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是 1 1 1 1 A．求 1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值 3 5 7 21 1 1 1 1 B．求 1＋ ＋ ＋ ＋…＋ 的值 3 5 7 19 1 1 1 1 C．求 1－ ＋ － ＋…－ 的值 3 5 7 19 1 1 1 1 D．求 1－ ＋ － ＋…＋ 的值 3 5 7 21
俯视图
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x－2y≥－4， 13．已知 x，y 满足2x＋y≥2， 则 z＝2x－y 的最大值为____． 3x－y≤3，
14．在 ax2－
20． （12 分） 斜率为 k（k≠0）的直线 l 与抛物线 y＝x2 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O 为坐标原点． （1）当 x1＋x2＝2 时，求 k； （2）若 OB⊥l，且|AB|＝3|OB|，求|AB|．
6． 已知某几何体的三视图如图所示 （俯视图中曲线为四分之一圆弧） ， 则该几何体的表面积为 π π A．1－ B．3＋ 4 2 π C．2＋ D．4 4
12．已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在半径为 3 的球面上，AB⊥AC，则该三棱锥体积的最大值是 16 32 A． B． 3 3 64 C． D．32 3
18． （12 分） 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223，228]（单位：mm） 内的零件为一等品，其余为二等品．测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示： 甲 乙 8 7 21 8 9 8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8 4 3 1 23 0 2 （1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不 相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的 分布列和数学期望．
21． （12 分） 1 已知函数 f (x)＝logax＋ （a＞0，且 a≠1） ． x （1）当 a＝e 时，曲线 y＝f (x)与 y＝m 相切，求 m 的值； e （2）若 f (x)≥ ，求 a 的取值范围． a
（二）选考题：共 10 分．请考生在第(22)，(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 记分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
试卷类型：
A
7．设函数 f (x)＝x(ex＋e x)，则 f (x) A．是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，+∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，+∞)上是减函数 8．已知 e1，e2 是两个单位向量，λ∈R 时，|e1＋λe2|的最小值 为 3 ，则|e1＋e2|＝ 2 B． 3 D．2
(
25 的展开式中，x4 的系数为 5，则实数 a 的值为____． x
)
15．已知直线 l：kx－y－k＋2＝0 与圆 C：x2＋y2－2y－7＝0 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为 ____． 16．△ABC 的垂心 H 在其内部，∠A＝30° ，AH＝ 3，则 3BH＋CH 的取值范围是____． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第(22)、(23)题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17． （12 分） 3an－1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ ． 2 （1）求 an； （2）若 bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．