易拉罐设计问题

易拉罐的设计问题

一、模型的假设

1、除易拉罐的顶盖外，罐的其他部分厚度相同

2、忽略材料的接缝折边以及切削的损耗

3、易拉罐所装的饮品的体积一定

4、忽略制造中的工艺上的必须要求的折边长度

二、符号说明

V 表示易拉罐的用料体积

0V 表示易拉罐的罐内的容积

r 表示圆柱形的圆半径

S 易拉罐的表面积

λ表示易拉罐的上、下底面的单位面积的造价

θ表示易拉罐的侧面的价格

α表示易拉罐的上顶面与侧面厚度的比例系数

d 表示除顶盖外的其他部分材料的厚度

三、模型的建立及求解

要比较易拉罐的优劣，可以由其制作过程中所消耗的原材料的多少来判别，即最优易拉罐应具有最小的表面积。

如果，先不考虑材料的厚度及价格等因素，由圆柱的体积公式可得，2V r h π=，从而2V h r

π=，又易拉罐的表面积为2222S r r h ππ=+，将2V h r π=代入其中得222V S r r

π=+ 又由题知，体积V 为常数，即求当 r 为何值时，函数Ｓ取值最

小，由此目标函数为 min 222V S r r π=+

22V V S r r r π=++≥=

当且仅当22V r r π=，即r =时h=2r 。但是，在实际生活中，易拉罐却不是这样的。

我们以355ml 的可口可乐易拉罐为对象来测量，得到如下数据。

由数据可知，4h r ≈即易拉罐的高与直径的比约为2:1。这是由于喝饮料时要使劲拉使得顶盖要比其他部分厚。

考虑到用于上下底面与侧面所用材料的造价不同，故制造一个易拉罐的价格为222y r rh λπθπ=+，于是目标函数可化为

min 222y r rh λπθπ=+

()

223y r rh rh πλθθ=++≥当且仅当22r λ=rh θ，即2r h λθ=

时，易拉罐的价格最低，此时易拉

罐不再是等边圆柱了。 考虑易拉罐的顶盖厚度是其他部分的材料厚度的α倍，进而易拉罐的侧面用料体积为

22(())((1))V r d r h d ππα=+-++

圆柱形易拉罐顶盖用料的体积为2d r απ，底部用料体积为2d r π，所以易拉罐用料体积为

22322

222322(1)(1)2(1)2(1)(1)V rhd r d h d d d d d r rhd r d r d h d d ππαππααππππαπαππα=+++++++=+++++++

因为d 远小于r ，所以含23,d d 的项可忽略，因此

22(1)V rhd r d ππα=++

故可建立模型：min 22(1)V rhd r d ππα=++

s.t.2(,)0f r h r h V π=-=

由2(,)0f r h r h V π=-=，可得2

V h r π=

，则问题转化为求使V 最小。 则由0dV dr =可得 32222[(1)]((1))0dV V d d r r V dr r r

απαπ=+-=+-=

r =

2(1)V h r απ==+ 通过问题分析可有α=3，即4h r =,又因为，

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4[2(1)2]0V V d r πα''=++> 故此时取到极值，即易拉罐的设计如此用料最省，高与直径的比约为2:1。