高一数学必修1一元二次不等式及其解法

专题讲解:一元二次不等式及其解法知识点一:一元二次不等式的定义我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.知识点2:一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意:一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点3:一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系. 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是: （1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围. 表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:由上表可知:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点4:一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意:一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.知识点5:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例1. 解下列不等式:（1）03722>++x x ; （2）542--x x ≤0. 解:（1）∵02532472>=⨯⨯-=∆∴方程03722=++x x 的两个根为3,2121-=-=x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）∵()()03651442>=-⨯⨯--=∆∴方程0542=--x x 的两个根为1,521-==x x ∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x . 一元二次不等式的解法,可借助于因式分解. 另解:（1）()()0123>++x x∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或;（2）()()51-+x x ≤0∴原不等式的解集为{}51≤≤-x x .例2. 解下列不等式:（1）91242-+-x x ≥0; （2）053212>-+-x x . 解:（1）原不等式可化为91242+-x x ≤0 ∴()232-x ≤0∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=23x x ;（2）原不等式可化为01062<+-x x∵()04101462<-=⨯⨯--=∆∴方程01062=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为∅.例3. 解不等式:02322<-+-x x .解:原不等式可化为02322>+-x x ∵()0722432<-=⨯⨯--=∆∴方程02322=+-x x 无实数根 ∴原不等式的解集为R .习题1: 解下列不等式:（1）0652>--x x ; （2）672>+-x x ;（3）()()032<+-x x ; （4）()()x x x x ->+-412242.习题2. 不等式()02>-x x 的解集为【 】（A ）{}0>x x （B ）{}2<x x （C ）{}02<>x x x 或 （D ）{}20<<x x习题3. 已知集合{}{}06,028322>--=≤--=x x x N x x x M ,则=N M ____________. 含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式,一般情况下均需要进行分类讨论.根据讨论对象的不同,分为以下三种情形:一、二次项系数含有参数,对二次项系数的讨论 例4. 解不等式:()0122>+++x a ax .解:当0=a 时,原不等式为012>+x ,其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21x x ;当0≠a 时,()044222>+=-+=∆a a a解方程()0122=+++x a ax 得:aa a x a a a x 242,2422221+---=++--= ①当0>a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 24224222或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 24224222.例5. 解不等式:()00652≠>+-a a ax ax . 解:∵0≠a∴()0245222>=--=∆a a a解方程0652=+-a ax ax 得:3,221==x x 分为以下两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为{}23<>x x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为{}32<<x x .二、对判别式∆的符号的讨论 例6. 解不等式042>++ax x . 解:162-=∆a当0>∆,即4>a 或4-<a 时方程042=++ax x 的两根分别为21621-+-=a a x ,21622---=a a x ,显然21x x >,所以原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---<-+->21621622a a x a a x x 或;当0=∆,即4±=a 时原不等式可化为()022>+x 或()022>-x ,所以原不等式的解集为{}2-≠x x 或{}2≠x x ;当0<∆,即44<<-a 时方程042=++ax x 无实数根,所以原不等式的解集为R . 例7. 解不等式()14122+-+x x m ≥0()R m ∈. 解:∵2m ≥0 ∴012>+m()()222412144m m -=+--=∆当0>∆,即33<<-m 时,原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--≤+-+≥1321322222m m x m m x x 或; 当0=∆,即3±=m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21x x ; 当0<∆,即3>m 或3-<m 时,原不等式的解集为R . 三、对一元二次方程两根大小的讨论例8. 解不等式0112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x a a x ()0≠a .解:原不等式可化为:()01<⎪⎭⎫ ⎝⎛--a x a x当aa 1=,即1±=a 时,原不等式的解集为∅; 当aa 1>,()()()()011,011,012>-+>-+>-a a a a a a a a ,即101><<-a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1;当a a 1<,即101<<-<a a 或时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1. 例9. 解不等式()006522≠>+-a a ax x . 解:原不等式可化为:()()032>--a x a x 方程()()032=--a x a x 的解为a x a x 3,221== ∵0≠a ,∴21x x ≠.当a a 32>,即0<a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 32<>或; 当a a 32<,即0>a 时,原不等式的解集为{}a x a x x 23<>或. 例10. 解关于x 的不等式:()0112<---x a ax . 解:当0=a 时,原不等式为01<-x ,其解集为{}1<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为:()()011<-+x ax ,方程()()011=-+x ax 的根为1,121=-=x ax当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<<-11x a x ;当0<a 时,①若11=-a,即1-=a ,则原不等式的解集为{}1≠x x ; ②若11>-a ,即01<<-a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->11x a x x 或;③若11<-a ,即1-<a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>a x x x 11或.注意:一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 知识点:一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.例11. 已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为{}21<<x x ,解关于x 的不等式012>++ax bx 的解集.解:∵02<++b ax x 的解集为{}21<<x x∴2,121==x x 是方程02=++b ax x 的两个根由根与系数的关系定理可知:⎩⎨⎧⨯=+=-2121b a ,解之得:⎩⎨⎧=-=23b a代入不等式012>++ax bx 得:01322>+-x x ∴()()0112>--x x ,解之得:211<>x x 或 ∴012>++ax bx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>211x x x 或. 习题4. 已知方程022=++bx ax 的两根为21-和2. （1）求b a 、的值;（2）解不等式012>-+bx ax .例12. 若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或,求02>+-c bx ax 的解集.解:∵02<++c bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<212x x x 或∴0<a ,且2-和21-是方程02=++c bx ax 的两个根 由根与系数的关系定理可知:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=--=-212212ac a b ,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==125a c a b∵0<a∴02>+-c bx ax 可化为:02<+-acx a b x ∴01252<+-x x ,解之得:221<<x∴02>+-c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x .习题5. 已知关于x 的不等式02<++q px x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ,求关于x 的不等式012>++px qx 的解集.习题6. 若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x ,则=a _________,=b _________.习题7. 解下列不等式:（1）()x x -7≥12; （2）()122->x x .知识点: 一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a . 例13. 关于x 的不等式()1122+<+++x m mx x m 对∈x R 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:原不等式可化为:012<-++m mx mx 当0=m 时,01<-,符合题意; 当m 0≠时,则有:()⎩⎨⎧<--=∆<01402m m m m ,解之得:0<m 综上所述,实数m 的取值范围为{}0≤m m .注意:若二次项系数中含有参数,不要忽略对二次项系数的讨论. 重要结论:（1）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为R 的条件为:⎩⎨⎧<∆>00a ;（2）对于一元二次不等式c bx ax ++2≥0,它的解集为R 的条件为: ⎩⎨⎧≤∆>00a ;（3）对于一元二次不等式02>++c bx ax ,它的解集为∅的条件为:⎩⎨⎧≤∆<00a .习题8. 若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.习题9. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 【 】 （A ）[]4,4- （B ）()4,4-（C ）]([)∞+-∞-,44, （D ）()()+∞-∞-,44,习题10. 已知函数()422)(2+-+=x a x x f ,如果对一切∈x R 恒成立,求实数a 的取值范围.第11页 例14. 若函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 【 】 （A ）()+∞∞-, （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34 （D ⎢⎣⎡⎪⎭⎫34,0 分析:本题仍是与不等式有关的恒成立问题. 函数344)(2++-=x mx x x f 的定义域为R ,即分母0342≠++x mx 恒成立.此时,当0≠m 时,方程0342=++x mx 无实数根或二次函数342++=x mx y 的图象与x 轴无交点.不要忽略对m 的讨论.解:当0=m 时,函数344)(+-=x x x f ,其定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,4343, ,不符合题意; 当0≠m 时,则有01216<-=∆m ,解之得:34>m ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,34. 习题11. 已知函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 【 】（A ）](4,0 （B ）][1,0 （C ）[)∞+,4 （D ）[]4,0习题12. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则=a _________,=b _________. 习题13. 已知函数13122+++=kx x k kx y 的定义域为R ,则实数k 的值为_________. 习题14. 函数()()6131)(22+-+-=x a x a x f .（1）若)(x f 的定义域为[]1,2-,求实数a 的值;（2）若)(x f 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.。