3.2《一元二次不等式及其解法》课件
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高中数学 一元二次不等式及解法 PPT课件 图文
y<0
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b
x1=x2= 2 a
{x|x<x1,或 x>x2}
b {x|x≠ 2 a }
{x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
y>0
x O 没有实根
R Φ
函数 、方程、不等式的关系
a<0时如何求解呢？
自主练习
1．下列是关于x的一元二次不等式化为(x＋2a)(x－a)＜0 对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a， (1)当a＞－2a，即a＞0时，－2a＜x＜a， (2)当a＝－2a，即a = 0时，原不等式化为x^2＜0，无解, (3)当a＜－2a, 即a＜0时, a＜x＜－2a. 综上所述，原不等式的解集为： 当a＞0时，{x|－2a＜x＜a} 当a＝0时， ∅ 当a＜0时，{x|a＜x＜－2a}
A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 解析：不等式的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故
选C. 答案： C
课堂 讲 义
求解一元二次不等式
例一 求下列一元二次不等式的解集:
(1)－x2＋5x＜－6
解：原不等式可化为 x2－5x－6>0
集。
变式训练
求下列不等式的解集:
(1)－2x2＋3x＋2 ≤ 0；
{ x|x2或 x 2 }
y x1 O x2 x
变式训练
(2)4x2＋4x＋1>0
{x
|x
1} 2
y
O x1
x
变式训练
一元二次不等式及其解法课件人教新课标
反思与感悟
解析答案
∴α1，1β为方程 x2＋bcx＋ac＝0 的两根.
又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜α1， ∴不等式 x2＋bcx＋ac＞0 的解集为x|x＜1β或x＞α1，
即不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为x|x＜1β或x＞α1. 方法二 由题意知a＜0， ∴由 cx2＋bx＋a＜0，得acx2＋bax＋1＞0.
当－1＜a＜0 时，x＋1a(x－1)＞0，
∴x＞－1a或 x＜1；
反思与感悟
解析答案
当 a＜－1 时，－1a＜1， ∴x＞1 或 x＜－1a. 综上，
当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}； 当 a＞0 时，原不等式的解集是x|－1a＜x＜1； 当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；
当－1＜a＜0 时，原不等式的解集是x|x＜1或x＞－a1.
当 a＜－1 时，原不等式的解集是x|x＜－a1或x＞1.
反思与感悟
跟踪训练2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
解 原不等式可化为 (x－a)(x－a2)＞0 讨论a与a2的大小 (1)当a2＞a即a＞1或a＜0时， x＞a2或x＜a. (2)当a2＝a即a＝0或a＝1时， x≠a.
解析答案
(3)当a2＜a即0＜a＜1时， x＞a或x＜a2. 综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}， 当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}， 当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}.
“三个二次”关系的应用 例2已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β， 求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
{x|x＜x1或x＞x2}
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
3.2《一元二次不等式及其解法》PPT课件
2
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数
f ( x) x 5 x
方程
x 5x 0
2
不等式
x 5x 0
2
y
方程的解
不等式的解集
y>0 y>0
O
x1 0, x2 5
x x 0或x 5
x2 5 x 0
不等式的解集
x 0 x 5
5
y<0
总结
【典型例题】
例4. 解不等式：
2 x 2 5 x 6 x2 x6
1 2
1 2
二、简单的一元二次含参不等式
常见含参不等式题型： 1).讨论参数，解含参不等式； 2).已知含参不等式解集，求参数的范围。
• 常见可利用的入手知识点： 1、一元二次不等式的解集端点与相应方程根的关系 （结合韦达定理）。 2、一元二次不等式与对应函数的图象关系。
【解析】 2)≤0，
(1)原不等式等价于(x－1)(x＋1)(x－2)(x＋
如下图所示的阴影区域：
∴原不等式的解集是 x|－2≤x≤－1或1≤x≤2 .
(2)原不等式等价于(x＋1)2(x＋2)(x－3)≥0，如图所示的 阴影区域：
∴不等式的解集是 x|x≤－2或x≥3或x＝－1 .
-2<a<2
a 2, 2
对一切
x R恒成立
不等式的恒成立问题 含参数的不等式恒成立问题的一般处理思路是： • 1、带参函数分析：将不等式化为f(x)>0（或<0） 的形式，然后构造函数f(x)，求函数的最小值 （或最大值），再令fmin(x)>0（或fmax(x)<0）
人教高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
巩固练习
1、解下列一元二次不等式： （1） 3x2 7x + 2 0 ； （2） 6x2 x + 2 0 ；
答案:
1一.二元二次次函不数等，式一的元解法二次方程，一元二次不等式的关系
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
△<0 y
x O 没有实根
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
Φ
2.解一元二次不等式
1 x1 2 , x2 2.
所以,原不等式的解集是
-1
2
2
x
|
x
1 2
,或x
2.
注:开口向上,大于0
解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
8
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
解：不等式
的解集为： :x
1 x 2 注:开口向上,小于0
2
解集是大于小根且 小于大根(两边夹)
-1
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
一元二次不等式及其解法-完整版课件
第三章 3．2 一元二次不等式及其解法
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
第2课时 含参数一元二次不等式的解法
1 课前自主预 习
2 课堂典例探 究
3 课时作 业
课前自主预习
• 一辆汽车总重量为ω，时速为v(km/h)，设它从刹车到停车行走的距离
L与ω、v之间的关系式为L＝kv2ω(k是常数)．这辆汽车空车以50km/h行
驶时，从刹车到停车行进了10m，求该车载有等于自身重量的货物行 驶时，若要求司机在15m距离内停车，并且允许司机从得到刹车指令 到实施刹车的时间为1s，汽车允许的最大时速是多少？(结果精确到 1km/h)
• [辨析] 错解忽视了k＝0时，kx2－6kx＋(k＋8)≥0也成立，考虑问题
不全面导致错误．
[正解] 0≤k≤1 由题意 kx2－6kx＋(k＋8)≥0 恒成立．当 k＝0 时满足，当 k≠0 时△k＞＝036k2－4kk＋8≤0 ， ∴0＜k≤1，综上得 0≤k≤1.
一元二 含 二参 次数 不的 等一 式元—根 正据 确情 进况 行分类讨论 次不等式分式不等式的解法—转化成整式
由图知，①式的解为 x≤13，或 x≥2，或 x＝1.
由②式知 x≠13，且 x≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或 x>2，或 x＝1}．
[方法总结] 穿根法求高次不等式的解集： (1)求解过程概括为： 化正 ⇒ 求根 ⇒ 标根 ⇒ 穿根 ⇒ 写集 (注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值． (3)奇次(奇次根)穿透，偶次(偶次根)返回．
不等式32x－－x1≥1 的B．{x|x≤34或 x＞2}
C．{x|34≤x＜2}
• [答案] C
D．{x|x＜2}
[解析] 不等式32x－－x1≥1，化为：42x－－x3≥0， ∴34≤x＜2.
人教A版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法课件
(a > 0)的图象
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
0
y
x1 O x2 x
0
y
O x1 =x2 x
0
y
Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等 实根 x1 = x2
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
所以，当一次上网时间在5小时
y
以内（含恰好5小时）时，选择公 司A的费用小于或等于选择公司B
O 5x
的费用；超过5小时，选择公司B的
费用少.
不等式 ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)
的解集是什么？
完成下表：
Δ= b2 - 4ac
y = ax2 + bx + c
x
x
<
-2或x
>
1 3
.
【规律总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
（1）化成不等式的标准情势: ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象；
5.解下列不等式： (1)(1 - x)(1 + x)> 0;(2)1 - x - 4x2 > 0; 23
3.2一元二次不等式及其解法(共35张PPT)
31
1 1 x|－ <x< 【例 3】 已知 x2＋px＋q<0 的解集为 2 3， 求解不等式 qx2＋px＋1>0.
即x2－x－6<0， 解得－2<x<3.
所以不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．
23:16
32
5.a为何值时，不等式 (a 2 3a 2) x 2 (a 1) x 2 0 的解为一切实数？
不等式的解集即函数图象在x 轴下方或上方图象所对应x的范 围。
23:16 8
思考
对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时， y>0 ? 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 y -2 O 3 x
23:16
9
思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时， y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0 ?
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
23:16 11
利用二次函数图象能解一元二次不等式！
一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0) 一元二次函数
y
f (x)=ax 2 bx c(a 0)
0
0
{R x |xx x } 1 x 或 x x2 1 ax bx c 0的解
△<0 y
y=ax2+bx+c ( a> 0 ) 的图 x1 O 象
O 没有实根
x
ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x1<x2) ax2+bx+c>0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x<x1,或 x>x2} 集 ax2+bx+c<0 ( a > 0 ) 的 解 {x|x1< x <x2 } 集 23:16
一元二次不等式及其解法课件
3分钟
只含有____ 一 个未知数，并且未知数的最
高次数是 ____ 2 的不等式，称为一元二次 不等式．
2、函数 、方程、不等式之间的关系
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c 的图象 △>0 y x1 O
y>0
△=0
y
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
评
9分钟
1.评做题过程方法有无错误，步骤是否 规范 2.总结关键知识点与基本方法
考点一
一元二次不等式的解法
例1.（2012湖南卷）不等式
x2－5x+6 ≤ 0
不等式的解集为： ｛x| 2 ≤ x ≤3 ｝
图象为:
2
3
注:开口向上,小于0取中间;大于0取两边.
考点二
三个“二次”之间的关系
例2. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 {x|1＜x＜2}，则不等式cx2－bx＋a＜0 的解集为________．
要求：专注、投入、高效
议
9分钟
讨论例题的做法并总结以下知识点：
1. 解一元二次不等式的一般步骤 2. 含参数的一元二次不等式的解法 3.一元二次不等式恒成立问题的解决方法 4. 学案例1、变式1、例2、例3
展
8分钟
1.口头展示自测题关键知识点总结
2.书面展示例1、例2、例3、例4
要求：口头展示用语规范，声音响亮； 书面展示字迹工整，答题规范。
1.一元二次不等式的解法 2.三个“二次”间的关系 3.含参数的不等式的解法
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这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2. 一般地，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，
叫做一元二次不等式。
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二 次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。 一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时
x
2
{
x
2
16 0
x 4x 3 0
2
或
{
x
2
16 0
x2 4x 3 0
不等式恒成立的问题
例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
分析：令u= kx2-6kx+k+8，函数f (x) 的定义域为R 对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0 函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
分式不等式和高次不等式解法
例3、
变式、解下列不等式≤0⇔ ≥0. 2x＋3 2x＋3 3 ⇔{x|x≥4 或 x<－2}．
x－42x＋3≥0 ⇔ 2x＋3≠0
解： (1)因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 } 解:(2)由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0
（2）解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集
R Φ
Φ
求解一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图: 开始
将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0) △=b2－ac
自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常 密切的联系。
一元二次不等式的解法 我们来考察它与其所对的二次 2 y x 5x 的关系： 函数
（1）当 x （2）当 x （3）当
y
y>0,x轴 上方
0 或 x 5 时，y 0 0 或 x 5 时，y 0
O
●
x
● 5
0 x 5 时， y 0
y<0，x轴 下方
y=0，x 轴上
思考：
那么一元二次不等式 x 5 x 0 怎样去求解呢？
2
下结论：
结合图像知不等式 x 5 x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
推广：
2 那么对于一般的不等式 ax bx c 0
a<0 即 a－13a＋1>0
1 ，∴a<－3.
1 故 a 的取值范围为(－∞，－3).
1、三个二次的关系，注意结合图像；
2、解一元二次不等式的步骤；
3、解分式不等式和高次不等式的方法； 4、解含有参数的不等式对参数的讨论； 5、不等式中的恒成立问题
课后练习
课后习题
谢谢欣赏！
△≥0
x≠— b
____? 是 求方程ax2+bx+c=0的 两个根x1、x2
是 x1=x2? 否 原不等式的解集为 {x|______}(x1<x2)
否 方程ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式解集为R
2a
原不等式的解集为 {x|______}
结束
x< x1或x> x2
例1、（1）解不等式4x2-4x +1>0
x(35 x) x( x 1) (0.1) ∴网通公司的收取费用为1.7 x 20 2
如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则
x (35 x ) 1 .5 x 20
2 x 5x 0 整理得
这是什么？
考察下面含未知数x的不等式：
15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
3 ∴原不等式的解集为{x|x<－2或 x≥4}．
3x－1 变式 4、不等式 ≥1 的解集是( 2－x 3 A．{x|4≤x≤2} 3 C．{x|4≤x＜2}
C
)
3 B．{x|x≤4或 x＞2} D．{x|x＜2}
解:
3x－1 4x－3 不等式 ≥1，化为： ≥0， 2－x 2－x
3 ∴4≤x＜2.
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第三章
不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
本节主要讲解一元二次不等式的解法。利用网络公司的收费问题
引入新课，比较新颖。问题探究一利用三个二次的关系讲解一元二 次不等式解法。表格演示直观具体强调图像和求根的重要性和数形 结合的数学思想，利用2个例题和1个变式加以巩固，并总结解一元 二次不等式的步骤问题探究二借助一元二次不等式的解法研究分式
例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
解：∵ f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R， ∴k≥0 当k=0时，f(x)=lg8 满足条件. 当k>0时，∴只要△＜0 即△=(6k)2-4k(k+8) =32k2-32k＜ 0 ∴ 0＜ k ＜ 1 u
例 4、解不等式：(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.
解:设 y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)， 则 y＝0 的根分别是－2，－1,1,2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：
所以原不等式的解集是{x|－2≤x≤－1，或 1≤x≤2}．
16 变式、解不等式 2 0 x 4x 3 可化为不等式组
不等式和高次不等式的解法,用2个例题和2个变式加以巩固. 问题探
究三是不等式的恒成立问题，通过例5强调了借助图象和讨论参数两 个要点，并且例5是含参问题，需要对参数进行分类讨论，渗透分类 讨论的数学思想。恒成立问题也是高考的一个热点。
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，
O
x
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0≤k＜1．
变式、已知不等式 ax2＋(a－1)x＋a－1<0 对于所有的实数 x 都 成立，求 a 的取值范围．
解：若 a＝0，则原不等式为－x－1<0， 即 x>－1，不合题意．故 a≠0. 令 f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1，
∵原不等式对任意 x∈R 都成立． ∴二次函数 f(x)的图象在 x 轴的下方． ∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0.
变式、解不等式-2x2+3x+5＞0
解：整理，得 2x2-3x-5＜0 因为△= 9+40 = 49＞0 方程 2x2-3x-5=0 的解是x1=2.5，x2=-1
故原不等式的解集为{ x| -1＜x＜2.5}
解一元二次不等式的步骤： • 化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； • 考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； • 下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
或 ax2 bx c 0(a 0) 又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a
b {x|x≠ } 2a
△<0
y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17
小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网通所需 费用少？
分析：假设一次上网x小时，
则电信公司的收取费用为1.5x
根据题意知，网通收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，…… 1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项， ∵ 以-0.1为公差的等差数列
例2、求函数 f ( x )
2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2 )的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
2 x 2 x 3 ≥ 0 2 3 2 x x 0
(2 x 3)( x 1) ≥ 0 即 ( x 3)( x 1) 0
叫做一元二次不等式。
一元二次不等式f(x)>0，或f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使二 次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合。 一元二次方程f(x)=0 (a≠0)的解集，就是使二次函数f(x)为零时
x
2
{
x
2
16 0
x 4x 3 0
2
或
{
x
2
16 0
x2 4x 3 0
不等式恒成立的问题
例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
分析：令u= kx2-6kx+k+8，函数f (x) 的定义域为R 对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0 函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
分式不等式和高次不等式解法
例3、
变式、解下列不等式≤0⇔ ≥0. 2x＋3 2x＋3 3 ⇔{x|x≥4 或 x<－2}．
x－42x＋3≥0 ⇔ 2x＋3≠0
解： (1)因为△= 16 -16 =0 方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是 x1=x2=1/2 故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 } 解:(2)由于4x2-4x+1 =(2x-1)2≥0
（2）解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解：整理，得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0 方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根 所以原不等式的解集为ф
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
O 没有实根
x
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集
R Φ
Φ
求解一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图: 开始
将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0) △=b2－ac
自变量x的取值的集合。
因此二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间有非常 密切的联系。
一元二次不等式的解法 我们来考察它与其所对的二次 2 y x 5x 的关系： 函数
（1）当 x （2）当 x （3）当
y
y>0,x轴 上方
0 或 x 5 时，y 0 0 或 x 5 时，y 0
O
●
x
● 5
0 x 5 时， y 0
y<0，x轴 下方
y=0，x 轴上
思考：
那么一元二次不等式 x 5 x 0 怎样去求解呢？
2
下结论：
结合图像知不等式 x 5 x 0 的解集是 {x | 0 x 5} .
2
推广：
2 那么对于一般的不等式 ax bx c 0
a<0 即 a－13a＋1>0
1 ，∴a<－3.
1 故 a 的取值范围为(－∞，－3).
1、三个二次的关系，注意结合图像；
2、解一元二次不等式的步骤；
3、解分式不等式和高次不等式的方法； 4、解含有参数的不等式对参数的讨论； 5、不等式中的恒成立问题
课后练习
课后习题
谢谢欣赏！
△≥0
x≠— b
____? 是 求方程ax2+bx+c=0的 两个根x1、x2
是 x1=x2? 否 原不等式的解集为 {x|______}(x1<x2)
否 方程ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式解集为R
2a
原不等式的解集为 {x|______}
结束
x< x1或x> x2
例1、（1）解不等式4x2-4x +1>0
x(35 x) x( x 1) (0.1) ∴网通公司的收取费用为1.7 x 20 2
如果能够保证选择电信公司比选择网通公司所需费用少，则
x (35 x ) 1 .5 x 20
2 x 5x 0 整理得
这是什么？
考察下面含未知数x的不等式：
15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0.
3 ∴原不等式的解集为{x|x<－2或 x≥4}．
3x－1 变式 4、不等式 ≥1 的解集是( 2－x 3 A．{x|4≤x≤2} 3 C．{x|4≤x＜2}
C
)
3 B．{x|x≤4或 x＞2} D．{x|x＜2}
解:
3x－1 4x－3 不等式 ≥1，化为： ≥0， 2－x 2－x
3 ∴4≤x＜2.
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第三章
不等式
3.2 一元二次不等式及其解法
本节主要讲解一元二次不等式的解法。利用网络公司的收费问题
引入新课，比较新颖。问题探究一利用三个二次的关系讲解一元二 次不等式解法。表格演示直观具体强调图像和求根的重要性和数形 结合的数学思想，利用2个例题和1个变式加以巩固，并总结解一元 二次不等式的步骤问题探究二借助一元二次不等式的解法研究分式
例5、 函数 f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R，求k的取值范围．
解：∵ f (x)=lg(kx2-6kx+k+8)的定义域为R， ∴k≥0 当k=0时，f(x)=lg8 满足条件. 当k>0时，∴只要△＜0 即△=(6k)2-4k(k+8) =32k2-32k＜ 0 ∴ 0＜ k ＜ 1 u
例 4、解不等式：(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.
解:设 y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)， 则 y＝0 的根分别是－2，－1,1,2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：
所以原不等式的解集是{x|－2≤x≤－1，或 1≤x≤2}．
16 变式、解不等式 2 0 x 4x 3 可化为不等式组
不等式和高次不等式的解法,用2个例题和2个变式加以巩固. 问题探
究三是不等式的恒成立问题，通过例5强调了借助图象和讨论参数两 个要点，并且例5是含参问题，需要对参数进行分类讨论，渗透分类 讨论的数学思想。恒成立问题也是高考的一个热点。
两个网络服务公司（Internet Serice Provider）的资费标准： 电信：每小时收费1.5元 网通：用户上网的第一小时内收费1.7元，第二小时内收费1.6元，
O
x
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为0≤k＜1．
变式、已知不等式 ax2＋(a－1)x＋a－1<0 对于所有的实数 x 都 成立，求 a 的取值范围．
解：若 a＝0，则原不等式为－x－1<0， 即 x>－1，不合题意．故 a≠0. 令 f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1，
∵原不等式对任意 x∈R 都成立． ∴二次函数 f(x)的图象在 x 轴的下方． ∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0.
变式、解不等式-2x2+3x+5＞0
解：整理，得 2x2-3x-5＜0 因为△= 9+40 = 49＞0 方程 2x2-3x-5=0 的解是x1=2.5，x2=-1
故原不等式的解集为{ x| -1＜x＜2.5}
解一元二次不等式的步骤： • 化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）； • 考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根； • 下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式
或 ax2 bx c 0(a 0) 又怎样去寻求解集呢？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 △>0
△=0
y x2 x x O x1 有两相等实根 b x1=x2= 2a
b {x|x≠ } 2a
△<0
y
y x1 O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
以后每小时减少0.1元.（若用户一次上网时间超过17小时，按17
小时计算） <不妨设该同学一次上网不超过17小时> 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信比选择网通所需 费用少？
分析：假设一次上网x小时，
则电信公司的收取费用为1.5x
根据题意知，网通收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，…… 1.7，1.6，1.5，1.4，…… 是以1.7为首项， ∵ 以-0.1为公差的等差数列
例2、求函数 f ( x )
2 x 2 x 3 log 3 (3 2 x x 2 )的定义域。
解：由函数f(x)的解析式有意义得
2 x 2 x 3 ≥ 0 2 3 2 x x 0
(2 x 3)( x 1) ≥ 0 即 ( x 3)( x 1) 0