一元二次不等式解法ppt课件

Φ
Φ
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梳理口诀：当 a 0 时
若ax2+bx+c=0的根是 x1， x2 (x1<x2)
1.ax2+bx+c>0的解集是{x|x< x1或 x>x2};
口诀：大于取两边，大于大根或小于小根
2. ax2+bx+c<0的解集是{x|x1<x<x2 } 。
口诀：小于取中间，大于小根小于大根
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知识点三 一元二次不等式的解法
知识点二 “三个二次”的关系
思考
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不 等式x2－1>0之间的关系. 答案 x2－1>0←―y>―0 y＝x2－1―y＝―→0 x2－1＝0.
梳理 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
题型探究
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 解答
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12 ， 所以原不等式的解集为 xx≠12.
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体 求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次 方程的根的情况以及二次函数的图像.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集. 解答
∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－
1 2
，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 {x|x≤－12 或x≥2}.
命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0. 解答
不等式可化为x2－2x＋3<0. 因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解， 而y＝x2－2x＋3的图像开口向上， 所以原不等式的解集是∅.
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案 先化为x2－3x＋2>0. ∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2， ∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理
解一元二次方程的步骤 解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一 般可分为三步： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根) (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图） (3)由图象得出不等式的解集.（写解集）
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本 题关键之处.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解答
不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－ 33，x2＝1＋ 33，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
y=ax2+bx+c
y
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
没有实根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
R
ax2&#gt;0)的解集 {x|x1< x <x2 }
{x|1－
33<x<1＋
3 3 }.
命题角度3 含参数的二次不等式 例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解答
当 a＜0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＞0， ∵a＜0，∴1a＜1， ∴不等式的解集为{x|x＜1a或 x＞1}.
当 a＞0 时，不等式可化为(x－1a)(x－1)＜0. 当 0＜a＜1 时，1a＞1，不等式的解集为{x|1＜x＜1a}. 当 a＝1 时，不等式的解集为∅. 当 a＞1 时，1a＜1，不等式的解集为{x|1a＜x＜1}. 综上，当 a＜0 时，解集为{x|x＜1a或 x＞1}；
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[问题导学]
知识点一 一元二次不等式的概念
思考
我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元 素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？ 答案 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都 是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.
梳理
(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)， 叫作一元二次不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解. (3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.
第三章——
不等式
3.2 一元二次不等式解法
[学习目标]
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.（重点） 3.培养数形结合、分类讨论思想方法.（难点）
[预习导引] 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地，含有一个未知数，且未知数的 最高次数是2 的 整式不等式，叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_(_a_≠__0_) 或 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
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3.一元二次不等式的解集 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根x1、 x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集为{_x_|x_<_x_1_或__ x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}.
当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}； 当 0＜a＜1 时，解集为{x|1＜x＜1a}； 当 a＝1 时，解集为∅； 当 a＞1 时，解集为{x|1a＜x＜1}.
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2.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
△>0
△=0
△<0
y=ax2+bx+c
y
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
没有实根
ax2+bx+c>0