【数学】2014-2015年浙江省金衢六校联考高一(上)数学期中试卷带答案
2014-2015学年浙江省衢州一中高一(上)数学期末试卷 及解析
2014-2015学年浙江省衢州一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）cos300°+sin210°的值为（）A．1 B．C．0 D．﹣12．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣13．（5.00分）已知A（6，﹣3），B（﹣3，5），若=2，则点C的坐标为（）A．（12，13）B．（﹣12，13）C．（﹣12，﹣13）D．（12，﹣13）4．（5.00分）若cosα＞0且tanα＜0，则角α的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5.00分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．6．（5.00分）要得到函数的图象，可以将函数y=3cos2x的图象（）A．沿x轴向右平移个单位B．沿x轴向左平移个单位C．沿x轴向右平移个单位D．沿x轴向左平移个单位7．（5.00分）已知为非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C． D．8．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=49．（5.00分）设为非零向量且相互不共线，下面四个命题：其中正确的是（）；；；．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）10．（5.00分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，1]D．[﹣1，﹣]二、填空题（每小题5分，共28分）11．（5.00分）sin43°cos13°﹣sin47°sin13°=．12．（5.00分）若α∈（，π）且cos（﹣α）=，则cosα=．13．（ 5.00分）已知=．14．（5.00分）若三点A（4，4），B（a，0），C（0，b），ab≠0，共线，则=．15．（5.00分）已知sin，则cos2θ=．16．（5.00分）在ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则•=．17．（ 5.00分）若向量，则．三、解答题18．（12.00分）已知，（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．19．（12.00分）设向量不共线，t∈R，；．20．（14.00分）设函数，（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求函数f（x）的值域．21．（14.00分）已知点，O 是坐标原点，（1）若，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足，求（m+3）2+n2的最大值．22．（13.00分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．2014-2015学年浙江省衢州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）cos300°+sin210°的值为（）A．1 B．C．0 D．﹣1【解答】解：cos300°+sin210°=cos（360°﹣60°）+sin（180°+30°）=cos60°﹣sin30°=﹣=0，故选：C．2．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A．1 B．C．﹣ D．﹣1【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），∴r=|OP|==﹣5m，则2sinα+cosα=2×+==﹣，故选：C．3．（5.00分）已知A（6，﹣3），B（﹣3，5），若=2，则点C的坐标为（）A．（12，13）B．（﹣12，13）C．（﹣12，﹣13）D．（12，﹣13）【解答】解：设C（x，y），∵=2，（x﹣6，y+3）=2（x+3，y﹣5），∴x﹣6=2（x+3），y+3=2（y﹣5），解得x=﹣12，y=13．∴C（﹣12，13）．故选：B．4．（5.00分）若cosα＞0且tanα＜0，则角α的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵cosα＞0∴角α终边位于第1或4象限．∵tanα＜0，∴角α终边位于第2或4象限．综上可知，角α终边位于第4象限．故选：A．5．（5.00分）同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线对称；③在上是增函数．”的一个函数为（）A．B．C．D．【解答】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除A．由于y=cos（﹣）的最小正周期为=4π，不满足①，故排除B．由于y=cos（2x+），在上，2x+∈[﹣，]，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C．对于y=sin（2x﹣）的最小正周期为=π；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x﹣∈[﹣，]，故y=sin（2x﹣）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D．6．（5.00分）要得到函数的图象，可以将函数y=3cos2x的图象（）A．沿x轴向右平移个单位B．沿x轴向左平移个单位C．沿x轴向右平移个单位D．沿x轴向左平移个单位【解答】解：将函数y=3cos2x的图象沿x轴向右平移个单位，可得y=3cos2（x﹣）=3cos（2x﹣）的图象，故选：C．7．（5.00分）已知为非零向量，满足，则与的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：设与的夹角为θ，θ∈[0，2π]，∵满足，∴﹣2=0，=2，∴==2•||•||•cosθ，∴cosθ=，∴θ=，故选：B．8．（5.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得A=4﹣2=2，B=2，•T==﹣=，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，故选：C．9．（5.00分）设为非零向量且相互不共线，下面四个命题：其中正确的是（）；；；．A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（2）（4）【解答】解：由于为非零向量且相互不共线，故有（1）（）•﹣（）•=λ﹣μ≠0，λ、μ均不为零，故（1）错误；（2）||﹣||＜|﹣|成立，故（2）正确；（3）（）•﹣（）•表示一个与共线的向量减去一个与共线的向量，它可能与垂直，故（3）错误；（4）（3+2）•（3﹣2）=9﹣4=9﹣4，故（4）正确，故选：D．10．（5.00分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）﹣|sinx﹣cosx|，则f（x）的值域是（）A．[﹣1，]B．[﹣1，1]C．[﹣，1]D．[﹣1，﹣]【解答】解：f（x）=（sinx+cosx）﹣|sinx﹣cosx|=，画图可得f（x）的值域是[﹣1，]，，故选：A．二、填空题（每小题5分，共28分）11．（5.00分）sin43°cos13°﹣sin47°sin13°=．【解答】解：sin43°cos13°﹣sin47°sin13°=sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故答案为：．12．（5.00分）若α∈（，π）且cos（﹣α）=，则cosα=﹣．【解答】解：∵α∈（，π）且cos（﹣α）=，∴可得：（cosα+sinα）=，解得：cosα+sinα=，∴cosα=﹣sinα＜0，sinα=﹣cosα＞0，又∵cos2α+sin2α=1，∴cos2α+（﹣cosα）2=1，整理可得：50cos2α﹣10cosα﹣24=0，∴解得：cosα=﹣，或（舍去）．故答案为：﹣．13．（ 5.00分）已知=﹣．【解答】解：由题意可得（+λ）•=+λ=（﹣9﹣10）+λ（﹣6﹣8）=0，求得λ=﹣，故答案为：﹣．14．（5.00分）若三点A（4，4），B（a，0），C（0，b），ab≠0，共线，则=．．【解答】解：∵三点A（4，4），B（a，0），C（0，b），ab≠0，共线，∴k AB=k AC，∴=，化为：（4﹣a）（4﹣b）=16，即=．故答案为：．15．（5.00分）已知sin，则cos2θ=．【解答】解：∵sin，∴1+sinθ=，∴sinθ=﹣，∴cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为．16．（5.00分）在ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则•=．【解答】解：选定基向量，，由图及题意得=﹣，=+=+，则•=（﹣）•（+）=+﹣==﹣．故答案为：．17．（ 5.00分）若向量，则[30°，150°]或[，] ．【解答】解：以、为邻边的平行四边形的面积为S=||×||sinθ=，∴si nθ=，又∵||=1，||≤1，∴sinθ≥，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[30°，150°]，故答案为：[30°，150°]，或[，]．三、解答题18．（12.00分）已知，（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．【解答】解：（1）==﹣cosα．（2）∵α是第三象限角，且，∴cosα=﹣=﹣，∴f（α）=﹣cosα=．19．（12.00分）设向量不共线，t∈R，；．【解答】解：（1）向量不共线，t∈R，=，=t，=（+），∴=﹣=t﹣，=﹣=﹣+；又A、B、C三点共线，则=λ，λ∈R，∴t﹣=λ（﹣+），∴，解得λ=﹣3，t=2；（2）||=||=1，且夹角＜，＞=120°，∴=﹣2t•+4t2=1﹣2tcos120°+4t2=4t2+t+1=4+，∴当t=﹣时，|﹣t|的值最小．20．（14.00分）设函数，（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵=cos2x+1+sin2x+=2sin（2x+）+，∴由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调增区间为：[kπ，kπ+]，k∈Z．（2）∵，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+∈[，]．21．（14.00分）已知点，O 是坐标原点，（1）若，求sin2θ的值；（2）若实数m，n满足，求（m+3）2+n2的最大值．【解答】解：（1）点，O 是坐标原点，∴﹣==（cosθ﹣1，sinθ﹣1）；又，∴+=2，∴2﹣2（cosθ+sinθ）+2=2，即sinθ+cosθ=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，化简得sin2θ=﹣；（2）∵=（cosθ，sinθ），=（1，1），=（1，﹣1），且实数m，n满足，∴m（1，1）+n（1，﹣1）=（cosθ，sinθ），即，解得m=，n=；∴（m﹣3）2+n2=m2+n2﹣6m+9，=﹣3（sinθ+cosθ）+10=﹣6sin（θ+）+10，∴当sin（θ+）=﹣1时，（m﹣3）2+n2取得最大值16．22．（13.00分）已知向量=（cos x，sin x），=（cos x，﹣sin x），且x∈[0，]．求：（Ⅰ）及；（Ⅱ）若f（x）=﹣2λ的最小值是﹣，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）=∵x∈[0，]，∴cosx＞0，∴=2cosx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx，设t=cosx，则∵，∴t∈[0，1]即y=f（x）=2t2﹣4λt﹣1=2（t﹣λ）2﹣1﹣2λ2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）①λ＜0时，当且仅当t=0时，y取最小值﹣1，这与已知矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当0≤λ≤1时，当且仅当t=λ时，y取得最小值﹣1﹣2λ2，由已知得，解得λ=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）③当λ＞1时，当且仅当t=1时，y取得最小值1﹣4λ．由已知得，解得λ=，这与λ＞1相矛盾．综上λ=为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）。
高一数学上学期期中联考试题及答案
浙江省温州市十校联合体-高一数学上学期期中联考试题新人教A版一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列集合与表示同一集合的是（▲）A．B.C.D.2．下列给出的四个图形中，是函数图象的有（▲）A．①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④3．若的定义域为A，的定义域为B，那么（▲）A． B. C. D.4．已知，则（▲）（为自然对数的底数）A． B. 1 C. D. 05．设函数若是奇函数，则的值是（▲）A． B. C. D.6．有四个幂函数：①②③④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（▲）A．① B. ② C. ③ D. ④7．设，，，则的大小关系是（▲）A． B. C. D.8．定义域为的偶函数的部分图象如图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（▲）A． B.C. D.9．函数的值域为，则实数的取值范围是（▲）A． B. C. D.10．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（▲） A． B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11．设，，若，则实数▲ . 12．函数的定义域是▲（用区间表示）.13．已知函数若，则的值为▲ .14．计算的结果是▲ .15．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是▲ .16．已知函数，若，则▲ . 17．已知若，则▲ .2013学年第一学期十校联合体期中联考高一数学答题卷座位号（完卷时间100分钟，总分120分，不得使用计算器．．．．．．．）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只11．____________ 12. 13.____________________14．____________ 15.______________ 16．______________ 17.____________________ 三、解答题(本大题共5小题，满分52分。
2015六校联考 浙江省六校2015届高三联考数学理试题 Word版含答案
浙江省六校2015届高三年级联考数学（理）试题本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟．参考公式：柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式V ＝13h 12()S S + 其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S ＝４πR ２ 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高 球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共40分） 一、选择题1．若全集U=R ，集合22{|20},{|1log (3),}A x x x B y y x x A =+-≤==+∈，则集合()U A C B =A ．{|20}x x -≤<B ．{|01}x x ≤≤C ．{|32}x x -<≤-D ．{|3}x x ≤- 2． 已知直线l ：y=kx 与圆O ：x ２+y ２=１相交于A ，B 两点，则“k=１”是“△OAB 的面积为12”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．△ＡＢＣ的内角Ａ、B 、C 的对边分别是a 、b 、c , 若则c=A ．B ．2CD ．14．设,,αβγ是三个不重合的平面，m,n 是两条不重合的直线，下列判断正确的是A ．若α⊥β，则β⊥γ ，则α∥γB ．若α⊥β，l ∥β，则l ⊥αC ．若则m ⊥α, n ⊥α, m ∥nD ．若m ∥α，n ∥α,则m ∥n5． 已知函数f (x)=Asin ()(0)36x A ππ+>在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是，则A 等于 A ．1 B ．2C ．4D ． 8 6． 已知向量是单位向量,a b ，若a ·b =0，且|||2|5c a c b -+-=，则|2|c a +的取值范围是A ．[1,3]B ．[] C ．D ．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1, F 2, P 为双曲线上任一点，且1PF ·2PF 最小值的取值范围是2231[,]42c c --，则该双曲线的离心率的取值范围为 A．( B．2⎤⎦ C．( D ．[)2,+∞8．已知2(),()|1|f x x g x x ==-，令11()(()),()(())n n f x g f x f x g f x +==，则方程2015()1f x =解的个数为 A ．2014 B ． 2015 C ． 2016D ．2017非选择题部分（共110分） 二、填空题9． 函数()sin cos f x x x =+的单调增区间为 ，已知3sin 5α=，且(0,)2πα∈，则()12f πα-= ． 10．设公差不为零的等差数列{a n }满足： a 1=3, a 4+5是a 2+5和a 8+5的等比中项，则a n = ,{a n }的前n 项和S n =_________．11．某空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则其体积是cm 3, 表面积是 ____ cm 2．12．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，点（x ，y ）对应的区域的面积__________，22x y xy+的取值范围为__________． 13．已知F 为抛物线C: y 2=2px(p >0)的焦点，过F 作斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，设||||FA FB >，则 ||||FA FB = . 14．若实数a 和b 满足2×4a －2a ·3b +2×9b =2a +3b +1，则2a +3b 的取值范围为__________________．15．已知正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题15分）如图，在△ABC 中，已知3B π=，AC=为BC 边上一点．（I ）若AD=2，S △DAC =DC 的长；（II ）若AB=AD ，试求△ADC 的周长的最大值．17．（本题15分）如图，在三棱锥A-BCD 中, AB ⊥平面BCD,BC ⊥CD,∠CBD=60°,BC=2． （I ）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（II ）若E 是BD 的中点,F 为线段AC 上的动点，EF 与平面ABC 所成的角记为θ，当tan θ的最大值为2，求二面角A-CD-B 的余弦值．18． （本题15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，该椭圆的A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13．（I ）求椭圆的方程； （II ）是否存在过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足△AOB 的面积为23，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本题15分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n *3()2n a n n N =-∈． （I ）求证{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（II ）证明：20．（本题14分）已知函数 f （x ）=x 2+4|x －a |（x ∈R ）．（I ）存在实数x 1、x 2∈ [－1,1]，使得f （x 1）=f （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （II ）对任意的x 1、x 2∈ [－1,1]，都有|f （x 1）－f （x 2）|k ≤成立，求实数k 的最小值．参考答案。
2014-2015年浙江省杭州市六校高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m 9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C110．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为cm3．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为．15．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：．16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为，此时函数的最小值为．三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．2014-2015学年浙江省杭州市六校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求．）1．（3分）已知a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．b+d＜a+c B．ac＞bd C．＞D．a﹣c＞b﹣d【解答】解：∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d．故选：A．2．（3分）下列四个命题中，其中正确的命题的是（）A．过三点确定一个平面B．矩形是平面图形C．四边相等的四边形是平面图形D．三条直线两两相交则确定一个平面【解答】解：A：由于过不共面的三点才能确定一个平面，故A不对；B：矩形是平行四边形，对边相互平行，能确定一个平面，故结论正确．C：空间四边形的四边可以相等，但不是平面图形，故C不正确．D：由于三条直线两两相交的情形中包括三线不共面且过一点的情形，这种情形中三线可确定三个平面，故D不正确．故选：B．3．（3分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由a1+a2+a12+a13=24得出a1+a2+a12+a13=a1+a13+a2+a12=2a7+2a7=4a7=24⇒a7=6．故选A．4．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选：D．5．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选：C．6．（3分）在△ABC中，若sin2C=sin2A+sin2B，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解答】解：在△ABC中，∵sin2C=sin2A+sin2B，∴由正弦定理得：c2=a2+b2，∴△ABC为直角三角形，故选：B．7．（3分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）A．平行B．相交成60°角C．异面成60°角D．异面且垂直【解答】解：如图，直线AB，CD异面．因为CE∥AB，所以∠DCE即为直线AB，CD所成的角，因为△CDE为等边三角形，故∠DCE=60°故选：C．8．（3分）设l，m，n表示三条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．如l∥m，m⊂α，则l∥αB．如l⊥m，l⊥n，n⊂α，则l⊥αC．如l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥βD．如l∥α，l∥β，α∩β=m，则l∥m【解答】解：∵l∥m，m⊂α，若l⊄α，l与α不平行，故A错误；∵若l⊥m，l⊥n，n⊂α，l与α的位置关系不确定，故B错误；∵l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α与β有可能平行，故C错误；∵l∥α，l∥β，α∩β=m，过l作平面γ，α∩γ=b，β∩γ=c，由l∥α，得l∥b，由l∥β，得l∥c，∴b∥c，∴b∥l，b∥m，∴l∥m，故D正确．故选：D．9．（3分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H．则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．直线AH和BB1所成角为45° D．AH的延长线经过点C1【解答】解：∵AB=AA1=AD，BA1=BD=A1D，∴三棱锥A﹣BA1D为正三棱锥，∴点H是△A1BD的垂心；故选项A正确；对于选项B：∵平面A1BD与平面B1CD1平行，∵AH⊥平面A1BD，∵平面A1BD⊥平面BC1D，∴AH垂直平面CB1D1，选项B正确；根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C1，∴选项D正确；对于选项C，∵AA1∥BB1，∴∠A1AH就是直线AH和BB1所成角，在直角三角形AHA1中，∵AA1=1，，∴，所以选项C错误，故选：C．10．（3分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，该数列公比q=±2．【解答】解：∵三个数﹣3，x，﹣12成等比数列，∴x2=36，∴x=±6，∴该数列公比q=±2．故答案为：±2．12．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其侧面积为．【解答】解：因为正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，所以正四棱锥的斜高为：=．所以正四棱锥的侧面积为：=8．故答案为：8．13．（4分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，这个球的体积为32πcm3．【解答】解：一个正方体的顶点都在球面上，它的对角线就是外接球的直径，它的棱长是4cm，所以球的直径为：4；球的半径为：2，球的体积为：=32π．故答案为：32π．14．（4分）设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为13．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）将三个代入得z的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1315．（4分）如图所示，E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点，沿SE，SF，EF将其折成一个几何体，使D1，D，D2重合，记作D．给出下列位置关系：①SD⊥面DEF；②SE⊥面DEF；③DF⊥SE；④EF⊥面SED，其中成立的有：①与③．【解答】解：由题意因为SD⊥DF，SD⊥DE，DE⊥DF，DE=DF显然①正确；②错误；③正确；④错误．故答案为：①与③16．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是8．【解答】解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，其底面面积为S=×4×4=8，高为3，则其体积为V=×3×8=8．故答案为：8．17．（4分）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=（a，b为正实数）．若1⊗k=3，则k的值为1，此时函数的最小值为3．【解答】解：依题意，1⊗k=+1+k=3，解得k=1此时，函数===1++≥1+2=3故答案为1，3三．简答题：（本大题共4题，第1、2、3题每题10分，第4题12分，共42分．）18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：AB⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1垂直于底面ABC，所以BB1⊥AB，又AB⊥BC，BB1∩BC=B，则有AB⊥平面B1BCC1；（2）证法一、取AB中点G，连接EG，FG，由于E、F分别为A1C1、BC的中点，所以FG∥AC，FG=AC，因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG，又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE；证法二、取AC中点H，连接FH和C1H，因为F，H分别是BC，AC的中点，所以HF∥AB，HF⊄平面ABE，AB⊂ABE，所以HF∥平面ABE，又由AE∥C1H，也可得到C1H∥平面ABE，又C1H∩HF=H，所以平面C1HF∥平面ABE，因为C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE．19．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===20．（10分）△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，S=5，求b的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：==，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=，则B=60°；（2）∵S=acsinB，a=4，S=5，∴c=5，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=16+25﹣2×4×5×=21，则b=．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（1）证明：BC上是否存在一点G使得平面EFG∥平面PAB（2）若二面角P﹣AD﹣B为60°，①证明：BE⊥PB；②求直线EF与平面PBC所成角的正切值．【解答】证明：（1）取BC的中点G，连结EG，FG，∵E，G分别是AD，BC的中点，∴EG∥AB，又EG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，…..（2分）又∵F，G分别是PC，BC的中点，∴FG∥PB，∵FG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB（2分），又FG∩EG=G，∴平面EFG∥平面PAB，G即为所求的点…..（5分）（2）①∵PA=PD，AB=BD，E为AD的中点，∴AD⊥PE，AD⊥BE，∴∠BEP即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，∴∠BEP=60°，…..（6分）∵AB=，AE=1，∴BE=1，∵PA=，AE=1，∴PE=2，∴PB=，∴PB2+BE2=PE2，∴BE⊥PB…（8分）②∵AD⊥BE，∴BE⊥BC，又BE⊥PB，BC∩PB=B，∴BE⊥平面PBC，连结BF，则∠BFE即为直线EF与平面PBC所成角，…..（10分）∵PB=，PA=，AB=，∴PB⊥AB，由BE⊥PB，PB⊥AB得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，PB=，BC=AD=2，∴PC=，∴BF=，又BE=1，∴….12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2014-2015学年浙江省杭州市六校高一上学期期中数学试卷和解析
2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．04．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点．14．（4分）函数y=的增区间为．15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是．16．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是．三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年浙江省杭州市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则集合A∩B=（）A．{3}B．{1，3}C．{1，2，4，5}D．{3，4，5}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴A∩B={3}．故选：A．2．（3分）下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A，y==x（x≠0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于B，y==x（x∈R），与y=x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于C，y==x（x≥0），与y=x（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，y==|x|（x∈R），与y=x（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数．故选：B．3．（3分）设函数f （x）=，则f[f（2）]的值为（）A．1 B．3 C．﹣3 D．0【解答】解：由题意得，函数f （x）=，则f（2）=2﹣3=﹣1，f（﹣1）=1﹣1=0，所以f[f（2）]=0，故选：D．4．（3分）函数的定义域是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤0}C．{x|x＞0}D．{x|x＜0}【解答】解：由题意2x﹣1≥0，即2x≥1=20故x≥0函数的定义域是{x|x≥0}故选：A．5．（3分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上是减函数的为（）A．B．y=x2 C．D．【解答】解：选项A，∵f（x）=，f（﹣x）==﹣f（x），∴y=是奇函数，不合条件；选项B，y=x2在（0，+∞）单调递增，不合条件；选项C，∵，f（﹣x）=，∴f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）上是减函数，符合条件；选项D，∵，f（﹣x）=（）﹣x=2x，∴不是偶函数，不符合条件．故选：C．6．（3分）函数f（x）=的值域是（）A．（0，2]B．[0，2） C．[0，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：∵0≤4﹣x2≤4，∴0≤≤2，即函数f（x）=的值域是[0，2]．故选：C．7．（3分）下列判断正确的是（）A．1.50.3＞0.80.3 B．1.52.5＞1.53C．0.83＜0.84D．【解答】解：A．∵1.50.3＞1＞0.80.3，∴正确；B．∵函数y=1.5x在R上单调递增，∴1.52.5＜1.53，因此不正确；C．∵函数y=0.8x在R上单调递减，∴0.83＞0.34，因此不正确；D．∵=，函数y=在R上单调递增，∴，因此不正确；故选：A．8．（3分）函数的图象是（）A． B．C．D．【解答】解：令f（x）==，其定义域为{x|x≠0}．∵f（﹣x）==﹣f（x），因此函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，C；当x＞0时，∵函数y=，y=﹣x为单调递减，故排除A．综上可知：正确答案为D．9．（3分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∝） B．（﹣∝，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2） D．（﹣∝，﹣2）∪（2，+∝）【解答】解：∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）=f（2）=0，作出函数f（x）的草图如图：∵f（x）是奇函数，∴不等式等价为，即或，则0＜x＜2或﹣2＜x＜0，故不等式＞0的解集是（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．10．（3分）若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，2） B． C．[1，2]D．[0，1]【解答】解：根据分段函数单调性的性质若函数为单调函数，则函数只能是单调递减函数，则满足，即，解得＜a＜2，故选：B．二．填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填写在答题卷中的横线上．）11．（4分）集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，则实数a=1．【解答】解：因为集合{2，﹣1}={2，a2﹣2a}，所以a2﹣2a=﹣1，解得a=1；故答案为：1．12．（4分）已知函数f（x）=3x+2，则f（x+1）=3x+5．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2，∴将上式中的“x”用“x+1”代入f（x+1）=3（x+1）+2=3x+5．故答案为：3x+5．13．（4分）已知a＞0且a≠1，则函数f（x）=a x+2+1的图象过定点（﹣2，2）．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，此时y=2，故答案为：（﹣2，2）．14．（4分）函数y=的增区间为[﹣5，﹣3] ．【解答】解：由﹣x2﹣6x﹣5≥0得x2+6x+5≤0，解得﹣5≤x≤﹣1，故函数的定义域为[﹣5，﹣1]，设t=﹣x2﹣6x﹣5，则y=为增函数，要求函数的增区间，根据复合函数单调性之间的关系即求t=﹣x2﹣6x﹣5，∵函数t=﹣x2﹣6x﹣5的对称轴为x=﹣3，∴函数t=﹣x2﹣6x﹣5的递增区间为[﹣5，﹣3]，故答案为：[﹣5，﹣3]15．（4分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1，则m的取值范围是1≤m≤2．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2x+2，∴对称轴x=1，∴f（0）=2，f（1）=1，∵f（x）=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为2，最小值为1∴即求解得：1≤m≤2故答案为：1≤m≤216．（4分）若方程+a=0有解，则实数a的取值范围是a＜0．【解答】解：由题意，a=﹣（）＜0，故答案为：a＜0．17．（4分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；③函数y=f（x）是偶函数；④函数y=f（x）在上是增函数．其中正确的命题的序号是①②③．【解答】解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，…画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③，故答案为：①②③三．解答题：（本大题有4小题，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18．（8分）计算：（1）；（2）；（3）已知x+x﹣1=3，求的值．【解答】解：（1）原式===5；（2）原式=（﹣2）2×（﹣2）4=26=64；（3）∵x+x﹣1=3，∴=x+x﹣1+2=5，x＞0，∴=．又x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=7，∴==．19．（10分）已知函数的定义域为集合Q，集合P={x|a+1≤x≤2a+1}．（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，P={x|a+1≤x≤2a+1}={x|4≤x≤7}，C R P={x|x＜4或x＞7}，要使函数有意义，则，即，解﹣2≤x≤5，∴函数的定义域Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（C R P）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}；（2）当P=∅时，即2a+1＜a+1，得a＜0，此时有P=∅⊆Q；当P≠∅时，由P⊆Q得：，解得0≤a≤2，综上有实数a的取值范围是（﹣∞，2]．20．（10分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．∵当x≤0时，f（x）=x2+2x，∴当x＞0时，﹣x＜0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2+（﹣x）]=﹣x2+2x，∴．（2）∵函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，∴g（x）=﹣x2+（2﹣2a）x+2，x∈[1，2]，当1﹣a≤1时，[g（x）]max=g（1）=3﹣2a；当1＜1﹣a≤2时，[g（x）]max=g（1﹣a）=a2﹣2a+3；当1﹣a＞2时，[g（x）]max=g（2）=2﹣4a．∴[g（x）]max=．21．（14分）已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）=m x（m＞0，m≠1）∵g（2）=4，∴m2=4，∴m=2，∴g（x）=2x．∴，∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴，∴．（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明．证明：由（1）可知：f（x）=，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则：f（x1）﹣f（x2）=（﹣+）﹣（﹣+）=，∵x1＜x2，∴2＞，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．（3）∵f（2t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0对于任意的t∈R恒成立，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）．∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）．∵函数f（x）是R上的减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，∴k＜3t2﹣2t=对于任意的t∈R恒成立，∴k＜﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∟ADC＝∟BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015年浙江省衢州市五校联考高三(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，则y=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）已知是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）4．（5分）数列{a n}为等差数列，若a2+a8=π，则tan（a3+a7）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=3，则x0的值为（）A．x0=0 B．x0=8 C．x0=8或x0=0 D．x0=6或x0=07．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα=（）A．1 B．﹣1 C．D．8．（5分）要得到函数的图象，可由函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列10．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知集合A={x∈N|x﹣3≤0}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则A∪B=．12．（4分）已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列五个关系式：①a＞b ＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a=b．其中可能成立的关系式是．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=，且=4，则△ABC的面积等于．14．（4分）等比数列{a n}中，S4=5S2，则=．15．（4分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足=+2，=2+m，∠BAC=，则实数m的值为．16．（4分）平面向量，，满足=（1，0），=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则•的最小值为．17．（4分）已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，则k 取值范围是．三、解答题：本大题共5题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2an，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知cos2A=﹣．（1）求sinA；（2）当c=2，2sinC=sinA时，求△ABC的面积．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．21．（15分）已知，=（sin2x，﹣1），f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．22．（15分）已知定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|．（1）解不等式f（x）≥x；（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．2014-2015学年浙江省衢州市五校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，则y=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：向量=（1，﹣2），=（﹣，y），若∥，所以﹣2×=y，解得y=1．故选：A．2．（5分）已知是实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵是实数，∴“”不一定有“”，∵“”不一定有“”∴根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的既不充分又不必要条件，故选：D．3．（5分）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．4．（5分）数列{a n}为等差数列，若a2+a8=π，则tan（a3+a7）的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由等差数列的性质得，a3+a7=a2+a8=π，所以tan（a3+a7）=tanπ=﹣，故选：D．5．（5分）sin600°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin600°=sin（2×360°﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f（x0）=3，则x0的值为（）A．x0=0 B．x0=8 C．x0=8或x0=0 D．x0=6或x0=0【解答】解：当x≤0时，3x+1≤31=3，当且仅当x=0取等号，因此x0=0满足f（0）=3．当x＞0时，令log2x=3，解得x=8，满足f（x0）=3．综上可得：x0=0或8．故选：C．7．（5分）已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），则tanα=（）A．1 B．﹣1 C．D．【解答】解：∵sinα﹣cosα=（sinα﹣cosα）=sin（）=，∴sin（）=1，∴=2kπ+（k∈Z），∴α=2kπ+（k∈Z），α∈（0，π），∴tanα=tan=﹣1，故选：B．8．（5分）要得到函数的图象，可由函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【解答】解：把函数y=cos2x的图象向右平移个长度单位，可得函数数y=cos2（x﹣）=cos（2x﹣）的图象，故选：D．9．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA，sinB，sinC 依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．10．（5分）若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（）A．B．C．D．【解答】解：由．由．∵．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知集合A={x∈N|x﹣3≤0}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则A∪B={﹣2，﹣1，0，1，2，3} ．【解答】解：∵A={x∈N|x﹣3≤0}={0，1，2，3}，B={x∈Z|x2+x﹣2≤0}={﹣2，﹣1，0，1}，则A∪B={﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故答案为：{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．12．（4分）已知实数a，b满足等式log2a=log3b，给出下列五个关系式：①a＞b ＞1；②b＞a＞1；③a＜b＜1；④b＜a＜1；⑤a=b．其中可能成立的关系式是②④⑤．【解答】解：实数a，b满足等式log2a=log3b，即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x 在x=b处的函数值相等，当a=b=1时，log2a=log3b=0，此时⑤成立做出直线y=1，由图象知，此时log2a=log3b=1，可得a=2，b=3，由此知②成立，①不成立作出直线y=﹣1，由图象知，此时log2a=log3b=﹣1，可得a=，b=，由此知④成立，③不成立综上知②④⑤故答案为：②④⑤．13．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=，且=4，则△ABC的面积等于2．【解答】解：∵A=，且=4，∴AB×AC×ccosA=4，得AB×AC=8因此，△ABC的面积S=AB×ACsinA=×8×=2；故答案为：2．14．（4分）等比数列{a n}中，S4=5S2，则=0或．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且S4=5S2，当q=1时，4a1=5×2a1，解得a1=0，舍去；当q≠1时，=5×，化简得，q4﹣5q2+4=0，解得q2=4或q2=1，当q2=4时，==；当q2=1时，==0，故答案为：0或．15．（4分）在平面直角坐标系中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A、B、C满足=+2，=2+m，∠BAC=，则实数m的值为﹣1．【解答】解：∵=（1，2），=（2，m），∠BAC=，∴=2+2m=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．16．（4分）平面向量，，满足=（1，0），=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则•的最小值为．【解答】解：由=（1，m），=（2，n），|﹣|=2，则=2，即有（m﹣n）2=3，只考虑mn＜0．不妨取n＞0，m＜0．则•=2+mn=2﹣（﹣m）n≥2﹣（）2=2﹣=．当且仅当﹣m=n=时，取得最小值．故答案为：．17．（4分）已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，3]内，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，则k 取值范围是（﹣，0）．【解答】解：∵偶函数f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴当x∈[﹣1，0]时图象与x∈[0，1]时关于y轴对称，故x∈[﹣1，0]时f（x）=﹣x，又∵f（x）是以2为周期的函数，∴将函数f（x）在[﹣1，1]上的图象向左和向右平移2的整数倍个单位，可得f （x）在R上的图象．∵直线l：y=kx+k+1经过定点（﹣1，1），斜率为k∴直线l的图象是经过定点（﹣1，1）的动直线．（如右图）在同一坐标系内作出y=f（x）和动直线l：y=kx+k+1，当它们有4个公共点时，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，∴直线l的活动范围应该介于两条虚线之间，而两条虚线的斜率k1=0，k2==﹣，故直线l的斜率k∈（﹣，0）故答案为：（﹣，0）三、解答题：本大题共5题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，a22=a4+8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2an，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，d＞0．由题意得（2+d）2=2+3d+8，d2+d﹣6=（d+3）（d﹣2）=0，得d=2．…（4分）故a n=a1+（n﹣1）•d=2+（n﹣1）•2=2n，得a n=2n．…（7分）（2）∵b n=22n=4n∴S n=b1+b2+…+b n==．…（14分）19．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，已知cos2A=﹣．（1）求sinA；（2）当c=2，2sinC=sinA时，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵cos2A=﹣，∴，化为sin2A=，∵A∈（0，π），∴sinA＞0．∴sinA=．（2）∵c=2，2sinC=sinA，由正弦定理可得a=2c=4．∴sinC=．∵a＞c，∴cosC＞0．∴=．由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴，化为，解得b=或2．∴△ABC的面积S==或．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为，f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=．…（6分）（2）问题等价于f（x）=x2+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．即a＞﹣（x+1）2+1在[1，+∞）上恒成立．令g（x）=﹣（x+1）2+1，则g（x）在[1，+∞）上递减，当x=1时，g（x）max=﹣3，所以a＞﹣3，即实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．…（6分）21．（15分）已知，=（sin2x，﹣1），f（x）=•．（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：f（x）=•=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分（1）令﹣得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数f（x）的单调增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分（2）x∈[，]时，≤2x﹣≤，∴≤2sin（2x﹣）≤2∴当x∈[，]时，函数f（x）的值域为[，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣15分22．（15分）已知定义域为R的奇函数f（x）=x|x+m|．（1）解不等式f（x）≥x；（2）对任意x1，x2∈[1，1+a]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤2，求实数a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x|x+m|是定义域为R的奇函数，∴m=0，∴f（x）=x|x|；（1）由x|x|≥x得，或；解得，x≥1或﹣1≤x≤0，故不等式的解集为{x|x≥1或﹣1≤x≤0}；（2）f（x）=，则f（x）在R上单调递增，∴f（x）在[1，1+a]上单调递增，∴f（1+a）﹣f（1）≤2，即（1+a）|1+a|﹣1≤2，又∵1+a＞1，∴0＜a＜﹣1．。
浙江省衢州第一中学2014-2015学年高一上学期期中考试
浙江衢州一中2014-2015学年度第一学期期中检测高一数学试题第I 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,1,2A =--，{}21,___________.B x x x AB =≥≤-=或则A ．{－1，1，2}B ．{－2，－1，2}C ．{}2,1,2-D ．{}2,1,1-- 2．函数2()(13)f x x x x =+-≤≤值域是________________。
A ．[]0,12B ．1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．2()2xf x x =-，则下列区间中，使函数()f x 有零点区间为__________A ．[]0,1B ．[]1,2C ．[]2,1--D ．[]1,0- 4．已知22231log 3log log 3,log 22a b c =+==，则,,a b c 大小关系为_________。
A ．b a c << B ．c a b << C ．a b c << D ．c b a <<5．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是_________ 。
A ．223y x x =-+ B ．1()3x y = C ．3y x = D ．13log y x =6．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=________。
A ．－2 B ．0 C ．1 D ．27．已知2()log f x x =，定义域为1,n m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（,m n 为正整数），值域为[0，2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有____________ 。
A ．1对B ．7对C ．8对D ．6对8．设函数21()2()1log ()2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为－1，则实数a 取值范围_______。
数学上学期期中试题-金衢六校2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题及答案
浙江省金衢六校2014学年第一学期期中联考试卷高 一 数学时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共50分．每小题有且只有一个答案正确．）1．设集合{123}A =，，，{3 4}B =，，则AB =A ．{3}B ．{124}，，C ．{1234}，，，D ．∅ 2．设集合P=｛0，1｝，那么集合P 的子集个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有 ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4． 如图中阴影部分表示的集合是A ．)(A CB U B ．)(BC A U C ．)(B A C UD ．)(B A C U5．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x= D ．||y x x =6．下列函数中，与函数y =x 相同的是 A ．y = (x )2B ．y = (33x )C ．y =2xD ．y =xx 27、设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝,B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝,则从A 到B 的对应法则f 不是映射的是A. f ：x →y ＝12xB. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x8．下列大小关系正确的是A ．30.440.43log 0.3<<B ．30.440.4log 0.33<< C ．30.44log 0.30.43<< D ．0.434log 0.330.4<<9.已知奇函数)(x f 当0>x 时，)1()(x x x f -=，则当0<x 时，)(x f 的表达式是 A ．)1(x x -- B ．)1(x x + C ．)1(x x +- D ．(1)x x - 10.已知函数2()log (1)a f x x x =+++1 (0,1a a >≠)，如果()3log 5f b =（0,1b b >≠），那么13log f b ⎛⎫⎪⎝⎭的值是A ．3B ．-3C ．5D ．2-二、填空题（每小题4分，共28分）11．集合{}33x x x Z -<<∈且用列举法可表示为 ； 12．函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为 ； 13.已知幂函数)(x f y =的图像过点（2，8），则)(x f = ； 14．已知()123f x x +=+,则()f x = ；15．如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间[1，2]上不单调．．．，那么实数a 的取值范围是 ；16．已知()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则a 的取值范围是 ；17．已知函数lg ,010()13,105x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc的取值范围是 . 三、解答题18.（本题满分14分）计算：（Ⅰ）13203211(2)0.2()427π--+-+ ；（Ⅱ）16log 3log 3log 6log )279(log 342223⨯+-+⨯ ．19.（本题满分14分）已知集合{}|26,A x x x =<-≥或{}|35B x x =-≤≤ （Ⅰ）求R C A ；A B ；（Ⅱ）若{}|C x x a =>，且BC B =，求a 的取值范围．20． （本题满分14分）已知函数112)(+-=x x x f ，]5,3[∈x , （Ⅰ）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明你的结论； （Ⅱ）求函数)(x f 的最大值和最小值．21.（本题满分15分）已知函数22(1)()(1)x x f x x x -+>⎧=⎨≤⎩.（Ⅰ）画出函数)(x f 的图象，并根据图象写出该函数的值域和单调区间；（Ⅱ）1()=4f x 若，求x 的值； （Ⅲ）1()4f x >若，写出x 的取值范围（本小题直接写出答案，不必写过程）.22.(本题满分15分）已知函数()()1+21xaf x a R =∈+.（Ⅰ）是否存在实数a 的值，使f (x )为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）若1=a ， (21)()22x x t f x +>-对x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围.浙江省金衢六校2014学年第一学期期中联考高一数学参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）ADCAD, BACBB 二、填空题（每小题4分，共28分）11．｛-2，-1，0,1,2｝ 12．[-1，3] 13. 3x 14．()21x x R +∈ (x 的范围不写也得满分)15．3<a <5 16． 0<a <2317．（10,15） 三、解答题18.（本题满分1 4分）计算：（Ⅰ）13203211(2)0.2()427π--+-+ ；解：原式=32212-33311(3)25--⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =3325132⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭ …………………………………6分 =3308=2438 ……………………………1分 （Ⅱ）16log 3log 3log 6log )279(log 342223⨯+-+⨯ ．.解：原式=()()2232322243log 33log 3+log 2log 3log 3log 4⎡⎤⨯+-+⨯⎢⎥⎣⎦=()()263243log 33log 2log 32log 4⎡⎤⨯++⨯⎣⎦=83log 312++ ………………6分=()38log 312++ =812++=11 ………………1分19.（本题满分14分）已知集合{}|26,A x x x =<-≥或{}|35B x x =-≤≤ （Ⅰ）求R C A ；AB ；（Ⅱ）若{}|C x x a =>，且BC B =，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）R C A {}|26x x =-≤<； …………………………4分A B {}|56x x x =≤≥或； …………………………………5分 （Ⅱ）∵B C B =，∴B ⊆C ，∴a <-3 ……………………5分20．（本题满分14分）已知函数112)(+-=x x x f ，]5,3[∈x , （Ⅰ） 判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明你的结论； （Ⅱ） 求函数)(x f 的最大值和最小值．解：（Ⅰ）任取12,[3,5]x x ∈且12x x < …………………………………2分1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++ ………………………………………2分 12123()(1)(1)x x x x -=++ ……………………………………2分1235x x ≤<≤ 12120,(1)(1)0x x x x ∴-<++> ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x < ……………………3分 ∴ ()f x 在[3,5]上为增函数. ……………………1分 （Ⅱ）∵()f x 在[3,5]上为增函数， ∴3()(5)2f x f ==最大 ………………………2分 5()(3)4f x f ==最小 ………………………2分21.（本题满分15分）已知函数22(1)()(1)x x f x x x -+>⎧=⎨≤⎩.（Ⅰ）画出函数)(x f 的图象，并根据图象写出该函数的值域和单调区间；（Ⅱ）1()=4f x 若，求x 的值； （Ⅲ）1()4f x >若，写出x 的取值范围（本小题直接写出答案，不必写过程）.解：（Ⅰ）画出函数的图象：…………………4分由图可知，函数的值域为R ，单调增区间：[0，1]，单调减区间：()-0∞，，()1+∞， . ………3分（Ⅱ）①当1x >时，由1()=4f x 得-x +2=14，∴x =74,满足1x >； ……2分 ②当1x ≤时，由1()=4f x 得2x =14，∴x =12或 x = -12，满足1x ≤； ……2分综上，x =74或 x = 12或 x = -12. ……1分（Ⅲ）1()4f x >若，（Ⅰ）（Ⅱ）可得x < -12或12<x <74…………3分22.(本题满分15分）已知函数()()1+21x af x a R =∈+.（Ⅰ）是否存在实数a 的值，使f (x )为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若1=a ， (21)()22x xt f x +>-对x R ∈恒成立，求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）若存在实数a 使函数为R 上的奇函数，则(0)0f =⇒a =2- …………1分 下面证明a =2-时2()121xf x =-+是奇函数 ()-1+2+22221-22()11=1()2112121212x x x x x x x xf x f x -⋅-=-=-==-+=-+++++对定义域R 上的每一个x 都成立，（Ⅱ）∴)(x f 为R 上的奇函数. …………4分 ∴存在实数2a =-，使函数)(x f 为奇函数. …………1分 另解：假设存在实数a ，使函数)(x f 为奇函数， …………1分()()f x f x -=-则对)(x f 定义域R 上的每一个x 都成立.∴112121x xa a-+=--++ ∴22121x xa a--=+++()221212x x x xa a -⋅=+++⋅21221x x x a a ⋅=+++ (12)12x xa +=+=a ，∴ 2a =- . …………4分 ∴存在实数2a =-，使函数)(x f 为奇函数. …………1分 11,()=121x a f x =++若则，1(21)()(21)12221x x xx f x ⎛⎫+=++=+ ⎪+⎝⎭因为，由(21)()22x xt f x +>-对x R ∈恒成立，得()2222x x t +>-，…………1分∵当x R ∈时，220x +>， …………1分∴()2242241222222xx x x xt +-->==-+++对x R ∈恒成立， 易知，关于x 的函数4122x-+在R 上为增函数， ∴x R ∈时，41122x -<+， …………6分 ∴1t ≥. …………1分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014-2015学年浙江省金衢六校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分．每小题有且只有一个答案正确．）1．（5分）集合A={1，2，3}，B={3，4}，则A∩B=（）A．{3}B．{1，2，4}C．{1，2，3，4}D．∅2．（5分）设集合P={0，1}，那么集合P的子集个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{﹣1}∈A；③∅⊆A；④{1，﹣1}⊆A．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|6．（5分）下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=7．（5分）设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x8．（5分）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.439．（5分）已知奇函数f（x）当x＞0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）的表达式是（）A．﹣x（1﹣x）B．x（1+x）C．﹣x（1+x）D．x（1﹣x）10．（5分）已知函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1），如果f（log3b）=5（b＞0，b≠1），那么f（log b）的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣2二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）集合{x|﹣3＜x＜3且x∈Z}用列举法可表示为．12．（4分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为．13．（4分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（x）=．14．（4分）已知f（x+1）=2x+3，则f（x）=．15．（4分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间[1，2]上不单调，那么实数a的取值范围是．16．（4分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a ﹣1），则a的取值范围是．17．（4分）已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是．三、解答题18．（14分）计算：（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．19．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或x≥6}，B={x|﹣3≤x≤5}（Ⅰ）求∁R A；A∪B；（Ⅱ）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[3，5]，（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．21．（15分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出该函数的值域和单调区间；（Ⅱ）若f（x）=，求x的值；（Ⅲ）若f（x）＞，写出x的取值范围（本小题直接写出答案，不必写过程）．22．（15分）已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若a=1，t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．2014-2015学年浙江省金衢六校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题有且只有一个答案正确．）1．（5分）集合A={1，2，3}，B={3，4}，则A∩B=（）A．{3}B．{1，2，4}C．{1，2，3，4}D．∅【解答】解：∵A={1，2，3}，B={3，4}，∴A∩B={3}．故选：A．2．（5分）设集合P={0，1}，那么集合P的子集个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：集合P={0，1}，则有22=4个子集：∅，{0}，{1}，{0，1}．故选：D．3．（5分）已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{﹣1}∈A；③∅⊆A；④{1，﹣1}⊆A．正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：因为A={x|x2﹣1=0}，∴A={﹣1，1}对于①1∈A显然正确；对于②{﹣1}∈A，是集合与集合之间的关系，显然用∈不对；对③∅⊆A，根据集合与集合之间的关系易知正确；对④{1，﹣1}⊆A．同上可知正确．故选：C．4．（5分）图中阴影部分表示的集合是（）A．B∩（∁U A）B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是B中去A那部分所得，即阴影部分的元素属于B且不属于A，即B∩（C U A）故选：A．5．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．6．（5分）下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：B．7．（5分）设集合A={x|0≤x≤6}，B={y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是（）A．f：x B．f：x C．f：x D．f：x【解答】解：A不是映射，按照对应法则f，集合A中的元素6，在后一个集合B 中没有元素与之对应，故不满足映射的定义．B、C、D是映射，因为按照对应法则f，集合A中的每一个元素，在后一个集合B中都有唯一的一个元素与之对应，故B、C、D满足映射的定义，故选：A．8．（5分）下列大小关系正确的是（）A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4C．log40.3＜0.43＜30.4D．log40.3＜30.4＜0.43【解答】解：∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0∴log40.3＜0.43＜30.4故选：C．9．（5分）已知奇函数f（x）当x＞0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）的表达式是（）A．﹣x（1﹣x）B．x（1+x）C．﹣x（1+x）D．x（1﹣x）【解答】解：∵奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x＞0时，f（x）=x（1﹣x），∴设x＜0，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x），（x＜0），故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=+1 （a＞0，a≠1），如果f（log3b）=5（b＞0，b≠1），那么f（log b）的值是（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣2【解答】解：∵f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=+1=+2=2，∴f（log 3b）+f（log b）=f（log3b）+f（﹣log3b）=2，∵f（log3b）=5∴f（log b）=﹣3故选：B．二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）集合{x|﹣3＜x＜3且x∈Z}用列举法可表示为{﹣2，﹣1，0，1，2} ．【解答】解：∵﹣3＜x＜3且x∈Z，∴x可取﹣2，﹣1，0，1，2．∴集合{x|﹣3＜x＜3且x∈Z}用列举法可表示为{x|﹣2，﹣1，0，1，2}．故答案为：{x|﹣2，﹣1，0，1，2}．12．（4分）函数y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，函数的对称轴x=2∈[0，3]，∴此函数在[0，3]上的最小值为：﹣1，最大值为：3，∴函数f（x）的值域是[﹣1，3]．13．（4分）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，8），则f（x）=x3．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，把点（2，8）代入函数的解析式可得2α=8，解得α=3，故函数的解析式为f（x）=x3，故答案为x3．14．（4分）已知f（x+1）=2x+3，则f（x）=2x+1（x∈R）．【解答】解：∵f（x+1）=2（x+1）+1，∴f（x）=2x+1，故答案为：2x+1．15．（4分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间[1，2]上不单调，那么实数a的取值范围是（3，5）．【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴为x=，由于f（x）在区间[1，2]上不单调，则1＜2，即3＜a＜5，故答案为：（3，5）．16．（4分）已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：17．（4分）已知函数f（x）=，若a，b，c均不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（10，15）．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣lga=lgb=﹣c+3∈（0，1）∴ab=1，c∈（10，15），∴abc=c∈（10，15）．故答案为：（10，15）．三、解答题18．（14分）计算：（I）（2）+0.2﹣2﹣π0+（）；（Ⅱ）log3（9×272）+log26﹣log23+log43×log316．【解答】解：（Ⅰ）====；（Ⅱ）====8（log33）+1+2=8+1+2=11．19．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或x≥6}，B={x|﹣3≤x≤5}（Ⅰ）求∁R A；A∪B；（Ⅱ）若C={x|x＞a}，且B∩C=B，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由集合A={x|x＜﹣2或x≥6}得，C R A={x|﹣2≤x＜6}又B={x|﹣3≤x≤5}，所以A∪B={x|x≤5或x≥6}；（Ⅱ）由B∩C=B得，B⊆C，又C={x|x＞a}，所以a＜﹣3，则a的取值范围是：a＜﹣3．20．（14分）已知函数f（x）=，x∈[3，5]，（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】证明：（1）设任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2∵3≤x1＜x2≤5∴x1﹣x2＜0，（x1+2）（x2+2）＞0∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在[3，5]上为增函数．解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上为增函数，则，．21．（15分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，并根据图象写出该函数的值域和单调区间；（Ⅱ）若f（x）=，求x的值；（Ⅲ）若f（x）＞，写出x的取值范围（本小题直接写出答案，不必写过程）．【解答】解：（Ⅰ）画出函数的图象：由图可知，函数的值域为R，单调增区间：[0，1]，单调减区间：（﹣∞，0），（1，+∞）．（Ⅱ）①当x＞1时，由得﹣x+2=，∴x=，满足x＞1；②当x≤1时，由得x2=，∴x=或x=﹣，满足x≤1；综上，x=或x=或x=﹣．（Ⅲ），由（Ⅰ）（Ⅱ）可得x＜﹣或＜x＜．22．（15分）已知函数f（x）=1+．（Ⅰ）是否存在实数a的值，使f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）若a=1，t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，求实数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若存在实数a使函数为R上的奇函数，则f（0）=0⇒⇒a=﹣2下面证明a=﹣2时是奇函数∵对定义域R上的每一个x都成立，∴f（x）为R上的奇函数．∴存在实数a=﹣2，使函数f（x）为奇函数．（Ⅱ），，由t（2x+1）f（x）＞2x﹣2对x∈R恒成立，得t（2x+2）＞2x﹣2，∵当x∈R时，2x+2＞0，∴对x∈R恒成立，∵x∈R时，∴2x+2＞2，∴，∴，∴t≥1．。