算法分析第六章 基本算法的设计的策略 动态规划
算法设计与分析中的动态规划
算法设计与分析中的动态规划动态规划是一种常用的算法设计与分析方法，它在解决各种实际问题时具有广泛的应用。
动态规划的基本思想是将问题划分为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
本文将介绍动态规划的基本概念、应用场景以及算法的设计与分析方法。
一、动态规划的基本概念动态规划有三个基本要素，即最优子结构、边界条件和状态转移方程。
最优子结构是指原问题的最优解可以通过求解子问题的最优解得到。
边界条件是指最小的子问题的解，也就是动态规划中的初始条件。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，通过状态转移方程可以将原问题的解与子问题的解联系起来。
二、动态规划的应用场景动态规划广泛应用于各个领域，比如图论、字符串处理、计算几何等。
在图论中，动态规划可以用来求解最短路径问题；在字符串处理中，动态规划可以用来求解最长公共子序列问题；在计算几何中，动态规划可以用来求解最大矩形面积问题。
除此之外，动态规划还可以用来解决一些组合优化问题，比如背包问题和旅行商问题。
三、动态规划的算法设计与分析方法动态规划的算法设计与分析方法通常包括以下几个步骤：定义状态、确定状态转移方程、初始化边界条件、计算状态值以及求解最优解。
在定义状态时，需要明确状态变量的含义，以及状态之间的关系。
确定状态转移方程是动态规划的核心步骤，需要根据实际问题来构造合适的状态转移方程。
初始化边界条件是指求解最小子问题的解，通常需要根据实际问题来确定。
计算状态值是指利用状态转移方程来逐步求解子问题的最优解。
最后，通过求解最优解来得到原问题的解。
四、动态规划的实例分析以背包问题为例，说明动态规划的实际应用。
假设有一个背包，它的容量为C。
现有n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。
要求选取若干个物品放入背包中，使得背包所装物品的总价值最大。
这个问题可以通过动态规划来求解，具体步骤如下：1. 定义状态：dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所得到的最大价值。
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
算法设计与分析讲义动态规划
动态规划算法的设计思路和技巧
设计思路
动态规划算法的设计思路是将原问题分解为子问题，通过对子问题的求解，得到 原问题的最优解。在设计和实现动态规划算法时，需要确定状态转移方程和边界 条件，并选择合适的状态变量和决策变量。
技巧
动态规划算法的技巧包括利用记忆化搜索、优化状态转移方程、预处理和缓存等 技巧来提高算法的效率和性能。此外，还应注意避免出现冗余计算和空间复杂度 过高的情况。
出最优的动态规划算法。
如何避免和解决动态规划中的状态重叠问题
避免状态重叠
在建立状态转移方程时，要注意避免状态重叠问题，即确保每 个状态只被计算一次，减少冗余计算。
使用记忆化搜索
通过使用记忆化搜索，将已经计算过的子问题的解存储起来， 避免重复计算，提高算法效率。
使用滚动数组
通过使用滚动数组，将子问题的解存储起来，避免重复计算， 提高算法效率，同时减少空间复杂度。
边界条件
边界条件是指问题在某个或某些边界状态下的最 优解。
通过设定合适的边界条件，可以限定搜索范围， 减少计算量。
在求解最优化问题时，通常从边界条件开始逐步 向内扩展，直到找到问题的最优解。
递归树
递归树是描述问题所有可能状 态的树形结构。
在动态规划算法中，通过构建 递归树，可以系统地枚举所有 可能的状态，并找到最优解所
背包问题算法及实现
总结词
背包问题是一类典型的动态规划问题，通 过将问题划分为多个子问题，并利用子问 题的解来构建原问题的解。
详细描述
背包问题是一类典型的优化问题，它涉及 到多个约束条件和多个选择方案。背包问 题可以通过动态规划算法求解，将问题划 分为多个子问题，并利用子问题的解来构 建原问题的解。常见的背包问题包括0/1背 包问题和分数背包问题等。
算法设计与分析中的动态规划
算法设计与分析中的动态规划动态规划是一种常用的算法设计与分析技术，通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
它的核心思想是将原问题分解为更小的子问题，并通过递推关系式将子问题的解整合为原问题的解。
在算法设计与分析领域，动态规划广泛应用于优化问题、最短路径问题、序列比对问题等。
一、动态规划的基本特征动态规划算法的正确性基于两个重要的特征：重叠子问题和最优子结构。
1. 重叠子问题重叠子问题是指在求解原问题时，子问题之间存在相互重叠的情况。
也就是说，子问题之间不是独立的，它们具有一定的重复性。
动态规划算法利用这个特征，通过保存已经求解过的子问题的解，避免重复计算，提高算法的效率。
2. 最优子结构最优子结构是指问题的最优解可以通过子问题的最优解推导得到。
也就是说，原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解进行构造。
这个特征是动态规划算法能够求解最优化问题的关键。
二、动态规划的基本步骤1. 确定状态动态规划算法需要明确问题的状态，即问题需要用哪些参数来描述。
状态一般与原问题和子问题的解相关。
2. 定义状态转移方程状态转移方程描述原问题与子问题之间的关系。
通过递推关系式，将原问题分解为更小的子问题，并将子问题的解整合为原问题的解。
3. 初始化根据问题的实际需求，对初始状态进行设定，并计算出初始状态的值。
这一步骤是递推关系式的起点。
4. 递推计算根据状态转移方程，通过递推关系式计算出子问题的解，并将子问题的解整合为原问题的解。
这一步骤通常采用迭代的方式进行。
5. 求解目标问题通过递推计算得到原问题的解，即为最优解或者问题的答案。
三、动态规划的应用动态规划算法在实际问题中具有广泛的应用。
下面以两个经典问题为例，介绍动态规划在实际中的应用。
1. 背包问题背包问题是一种经典的优化问题，主要包括0/1背包问题和完全背包问题。
其核心思想是在限定的背包容量下，选择一些具有最大价值的物品放入背包中。
2. 最长公共子序列问题最长公共子序列问题是指给定两个序列，求解它们的最长公共子序列的长度。
最新计算机算法设计与分析6第六章动态规划ppt课件
COST(6)7
P(1)1; P(k)12; for j2 to 4 do P(j)D(P(j1)) ;
COST(5)15 COST(4)18 COST(3)9
COST(2)7
D(11)12 D(10)12 D(9)12
D(8)10 D(7)10 D(6)10 D(5)8 D(4)8 D(3)6 D(2)7
COST 1 2
16 7
3 9
45 18 15
6 7
7 5
8 7
9 10 11 12 4 2 50
D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 7 6 8 8 10 10 10 12 12 12
P1 2 3 4 5
1 2 7 10 12
COST(1)16 D(1)2
24
算法6.1 时间复杂度和空间复杂度
D(2, 4)8 D(3, 8)10
D(2, 5)8
最小成本的路径为：127 10 12
21
为了算法描述的简单，对结点进行编号，从V1开始 s 编为1 号，然后V2中的结点依次编为2,3,4,5号，按此规则编下去， 有了编号可以将COST, D中表示段数的第一个下标i省略掉。
➢ 多段图的向前处理算法
OPT {rk, jkk, jk } rkk
1jkpk
于是相应于S0的最优决策序列为：r1,,rk1, rk ,k
13
多段图的递推分析
向前处理法(forward approach) 从最后阶段开始，以逐步向前递推的方式，列出求 解前一阶段决策值的递推关系式，即根据xi1, , xn 的那些最优决策序列来列出求取xi决策值的,6)min{c(6,9)COST(4,9) ,
c(6,10)COST(4,10)}
算法分析与设计技巧：动态规划
算法分析与设计技巧：动态规划汇报人：日期:•引言•动态规划的基本原理•动态规划的经典问题与应用目录•动态规划的优化技巧与策略•动态规划的扩展与进阶•总结与展望引言01动态规划是一种求解最优化问题的算法思想，它通过将问题拆分为若干个子问题，并对子问题进行逐一求解，最终得到原问题的解。
定义动态规划对于解决重叠子问题和最优子结构的问题具有高效性，可以避免重复计算，提高算法效率。
同时，动态规划也是很多实际问题的基础，如资源分配、最短路径、背包问题等。
重要性动态规划的定义与重要性动态规划与其他算法的关系动态规划与分治法类似，都是通过将原问题拆分为子问题来求解。
但是，动态规划适用于子问题之间存在重叠的情况，而分治法适用于子问题相互独立的情况。
与贪心算法的关系贪心算法也是一种求解最优化问题的算法，但是贪心算法在每一步选择时都选择当前状态下的最优解，而不考虑全局最优。
动态规划则通过保存子问题的解，以达到全局最优。
以上只是动态规划的一部分应用领域，实际上动态规划的应用非常广泛，几乎涉及到计算机科学和工程领域的各个方面。
序列比对问题：在生物信息学中，用于比对两个或多个序列，找出它们之间的最优匹配。
背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内，如何选择物品才能使得物品的总价值最大。
资源分配问题：在有限的资源下，如何分配资源以达到最大效益。
最短路径问题：在图中寻找从起点到终点的最短路径。
动态规划的应用领域动态规划的基本原02理最优子结构是指问题的最优解可以由其子问题的最优解组合得到。
定义重要性例子最优子结构是动态规划的基础，只有当一个问题具有最优子结构性质时，才能用动态规划来解决。
例如，在背包问题中，问题的最优解就是由每个物品是否装入背包的子问题的最优解组合而来。
030201最优子结构边界条件是指子问题的最小情况，即子问题不能再继续分解时的解。
定义边界条件是动态规划的起点，它确定了递推的基础情况，使得状态转移方程得以进行。
算法分析与设计课程设计动态规划
算法分析与设计课程设计动态规划一、课程目标知识目标：1. 理解动态规划的基本概念、原理和应用场景；2. 学会运用动态规划方法解决实际问题，如背包问题、最长公共子序列等；3. 掌握动态规划与其他算法（如贪心、分治等）的区别和联系；4. 了解动态规划在实际应用中的优化方法及策略。
技能目标：1. 能够运用动态规划思想分析和解决具体问题，提高编程实现能力；2. 培养逻辑思维能力和问题解决能力，通过案例分析和实践，掌握动态规划的核心技巧；3. 学会运用数学知识对动态规划问题进行建模和求解。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对算法分析与设计的学习兴趣，激发学习动力；2. 培养学生的团队合作精神，学会与他人共同解决问题；3. 增强学生对我国在计算机科学领域取得成就的自豪感，培养创新意识和爱国情怀。
课程性质：本课程属于算法分析与设计领域，旨在帮助学生掌握动态规划的基本原理和方法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的编程基础和算法知识，具有一定的逻辑思维能力和数学基础。
教学要求：注重理论与实践相结合，通过案例分析、实践操作和课后练习，使学生能够熟练掌握动态规划方法，并应用于实际问题解决。
同时，关注学生个体差异，因材施教，提高教学质量。
二、教学内容1. 动态规划基本概念：包括动态规划的定义、特点和应用场景，以及与分治、贪心算法的对比分析。
教材章节：第3章 动态规划基础2. 动态规划核心要素：状态、状态转移方程、边界条件和最优子结构。
教材章节：第3章 动态规划基础3. 典型动态规划问题：a. 背包问题：0-1背包、完全背包、多重背包等；b. 最长公共子序列、最长公共子串；c. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd算法。
教材章节：第4章 动态规划典型问题4. 动态规划优化方法：记忆化搜索、自底向上与自顶向下、状态压缩等。
教材章节：第5章 动态规划优化方法5. 实际应用案例分析：介绍动态规划在计算机科学、运筹学等领域的应用案例，提高学生实际应用能力。
算法设计与分析讲义动态规划
动态规划xx年xx月xx日CATALOGUE目录•动态规划算法简介•动态规划的基本原理•常见动态规划问题分析•动态规划算法优化•动态规划在实际应用中的实例•总结与展望01动态规划算法简介动态规划是一种通过将问题分解为相互重叠的子问题来解决问题的方法动态规划适合用于最优化决策序列，具有重叠子问题和最优子结构两个特征1 2 3动态规划的核心思想是记忆已经求解过的子问题的解，避免了重复计算动态规划通常用于最优化问题，可以得出全局最优解动态规划通常是基于自底向上的思路进行实现动态规划的应用场景最短路径问题如Floyd算法、Dijkstra算法等资源分配问题如背包问题、装箱问题、货郎担问题等序列比对问题如Smith-Waterman算法、Genetic Code算法等控制领域如最优控制、预测控制等计算机视觉领域如光流计算、立体视觉匹配等02动态规划的基本原理03自底向上的设计方法可以节省存储空间，减少重复计算，提高算法效率。
动态规划的自底向上设计方法01动态规划的自底向上设计方法是一种通过将问题分解为子问题，并从简单子问题求解逐步设计复杂问题的策略。
02在自底向上的设计过程中，首先解决基本子问题，并利用这些解来解决更大规模的问题，逐步构建出原问题的最优解。
动态规划的递推关系式是算法的核心，它通过将问题分解为子问题，将问题的解表示为子问题的解的组合。
递推关系式通常是一个数学公式，它根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
在递推关系式中，每个子问题的解都会被存储起来，以便后续使用。
动态规划的递推关系式动态规划的边界条件在动态规划中，每个子问题都有一个起始点和终止点，这些点就是边界条件。
边界条件确定了问题的起始状态和终止状态，使得算法可以正确地求解问题。
动态规划的边界条件是算法中非常重要的一个概念，它规定了问题的边界情况。
03常见动态规划问题分析Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法、Bellman-Ford 算法总结词最短路径问题是在图中找到从起点到终点的最短路径，有多种算法实现，如Dijkstra算法、Floyd-Warshall 算法和Bellman-Ford算法等。
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动态规则法： 加法： 2mn＋（m＋n－2） 比较： mn 即穷举法是n的指数级，而动态规则是平方级。
8
§4.3动态规则的基本概念
9
§4.4典型应用 —最优二叉查找树 (1)
例：最优二叉查找树 简化的情形：只考虑找到的情形；
i 12345
keys C1
C2
C3
C4
C5
p i 0.3 0.05 0.08 0.45 0.12
用归纳法可证明
当 x1x2 xn ＝ a n时fn(， a)na
5
例4.2.2.最短距离（1）
求O到T的最短距离(只沿正向前进)。 解：O到T的最短路径，也是该路径上点到T的最短路径
3
3 4
d d
R S
2 3
6
例4.2.2.最短距离（2）
dN 1dR 3
dPmin2{dR,5dS}min4,8{}4
12
最优二叉查找树 (4)
计算含有三个点的情形：
c13 m 13 mc i1n 0 c{ 2,3 c11 c3,3 c12 c4} 3 0.4 3 m0 i.1 n,0 8 { .3,0 8 .4 }0.61
根：1 c24 m 24 mc i2n 1 c{ 3,4 c22 c4,4 c23 c5} 4
➢ 优点：对许多问题，比线性规划或非线性规划更有效。 ➢ 弱点：
（1）得出函数方程后，尚无统一处理方法； （2）维数屏蔽:变量个数（维数）太大时无法解决。 ➢ 模型分类
时间参量 离散：离散决策过程 连续：连续决策过程
确定随机 确定性决策过程
随机性决策过程
3
§4.2 确定连续性问题 （1）
例4.2.1．在 的极大值。
x 1 x 2 x n a 的约束下，或 zx 1x2 xn
fn(y)fm 01(xyay)(xxm 0xayfxnx1(yx))
对应递推关系
f1(a)m 0xaax a
f2 ( a ) m 0 x a (x a f1 x ( a x ) ) m 0 x a (x a a x x )
A D D
B E
d O m 2 id A n ,1 d { B } m 1 ,1 i} 2 n 1{1 OB
故O到T的最短距离为11，路径为
O→B→D/E→H→K→N→R→T 一般地，从（0，0）到（m，n）最短距离：穷举法
加法： (m n1) m n n (nm n!1 m )!n (m )! 比较： (n m)!1
2
3
4
5
1
0．3
0．4
2
0．05
3
0．08
4
0．45
5
0．12
11
最优二叉查找树 (3)
计算过程：
c12m 12micn 10 {c22 ,c11c32 } 0.3 5mi0n .0{,5 0.3}0.4
根：1 对应于：
2
1
1
2
同样可得
c23 0.18 根：3
c34 0.61 根：4
c45 0.69 根：4
令 y x ax
d y1 1 axx0 ax0 dx2x 2ax 2x(ax)
4
§4.2 确定连续性问题 （2）
故
f2(a)
a 2
a 2
2a
f3 ( a ) m 0 x a (x a f2 ( a x x ) ) m 0 x a (x a2 ( x a x ) )
得x=a/3， f3(a) 3a
算法分析第六章 基本算法的设计的策略 动态规划
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IV.动态规划
2
§4.1引言
➢ 50年代 1951年，R.Bellman 等人提出 多阶段决策问题; 1957年， 出版“动态规划”。
根：4
14
得到的最优查找树如下
4
1
0.5 8 m0 i.6 n,0 1 .{ 5 ,0.1}8 0.76
根：4 c35 m 35 mc i3n 2 c{ 4,5 c33 c5,5 c34 c6} 5
0.6 5 m0 i.6 n,0 9 { .2,0.6}1 0.85
根：4
13
最优二叉查找树 (5)
四个点：
c 1 4m 1 4mc 1 i 0 n c2{ ,4 c 1 1c 3,4 c 1 2c4,4 c 1 3c 5} 4 0 .8 8 m0 .i7n ,0 6 .9 {,0 .1 8,0 .5 6} 1 1 .49
dI min3{dM}13
F J G J HK I M
dCmin2{dF,2dG}mi1n{,09}9 dDmin4{dG,2dH}mi1n,{18}8
CG D H
dEmi1n{dH,2dI}min7,1{}57
E H
7
例4.2.2.最短距离（3）
d dB A m m3 2 ii n nd dC D { { ,,2 3 d dD E} } m m1 1 iin n ,,1 1 0 2} } { { 0 0 1 10 0
根：4
c 2 5m 2 5mc 2 i 1 n c 3,{ 5 c 2 2c 4,5 c 2 3c 5,5 c 2 4c 6} 5 0 .7 m0 .8 in ,0 .5 7{ ,0 .4 3 ,0 .7} 6 1 .00
根：4 最后：
c 15 m 15 mc1 i0 n c2 { ,5 c 11 c3,5 c 12 c4,5 c13 c5,5 c 14 c6} 5 1 .0 0 m0 i n 1 .0{ ,0 0 .3 0 .8,0 5 .4 0 .6,0 9 .6 1 0 .1,1 .2 4 9 0 .0 } 1 .73
Ck
LR L
R
10
最优二叉查找树 (2)
j
mij
pt
t i
0.3 0.35 0.43 0.88 1.00
0.05 0.13 0.58 0.70
m
0.08 0.53 0.65
0.45 0.57
0.12
计算矩阵 （由查找树的特点可知） cijm ijm k { c iikn 1ck 1j}
1
dQmin3{dS}336
N R P R Q S
dK
dJ min3{dN}6 min2{dN,4dP}min5{,8}5
dL min2{dP,4dQ}min6{,10}6
dM min4{dQ}10
J N K N L P M Q
dF min2{dJ}8
ddG H
min1{dJ ,3dK}min7{,8}7 min1{dK,1dL}min6{,7}6