图论及其应用PPT课件
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图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论及其应用(25)
u
N (u ) k 1
u
N (u)
12
设п 是G的k着色方案，因为 u N (u ) k 1 ，所以， 在п 下，至少有一种颜色u及其邻域均没有用到，设该色 为m,改变u的颜色为m,其余点的着色不变，这样得到G的k 着色方案п 1.显然，п 与п 1导出的G的顶点划分不同，这 与G是唯一可着色图矛盾。 (2) 若不然，则存在G的k着色方案п 和G的两个色组C1 与C2,使得H=G[C1∪C2]不连通。设H1与H2是H的两个分支。 因为G是唯一可着色图，所以，对任意点u和其邻域 N(u), 它们在п 下，必然用完了k种颜色，否则，由(1)的 证明，得到G是非唯一可着色图。 这样，H1与H2中同时含有C1和C2中的顶点。
由于 H 也是某偶图的补，所以只需要证明 (G) cl (G)
25
证明：在 G 的正常着色方案下，每个色组对应G的一 (G ) 应该是G的最小点覆盖中包含 个顶点或者K2。这样， 的点数和边数。由补充定理：它等于G中最大独立集包含 的顶点数，即等于 G 的团数。所以有：
10
(2) 对于G2来说，G2的任意3正常着色方案导出的顶点 划分均是｛｛v1｝, ｛v2，v4｝｛v3,v5｝｝，所以，G2是 唯一3可着色图；例如：
v1 v2 v3 G2 v5 v2 v3 G2 v1 v5 v2 v3 v1 v5
v4
v4
v4
G2
(3) 对于G3来说，G3不是唯一3可着色图；因为：
设Hi=G[Vi∪｛v｝], (1≦i≦r)。则Hi是k-1可正常点着色 的，现对每个Hi进行k-1正常点着色，且v都分配同一种颜色， 那么，将着色后的Hi合在一起，得到G的k-1正常点着色方 案，这与G是k色图矛盾。所以临界图没有割点。
第八章 图论8.4树及其应用.ppt
⑥ G中每一对结点之间有惟一一条基本通路。(n≥2)
2017/10/10 82-9
定理4.2.1 分析
直接证明这 6 个命题两两等价工作量太大，一 般采用循环论证的方法，即证明
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 然后利用传递行，得到结论。
2017/10/10
证明 TG = <VT, ET> 是 G = <V, E> 的生 分析 必要性：假设 必要性由树的定义即得，充分性利用构造性 成树，由定义 4.2.1 ， TG 是连通的，于是 G 也是连通的。 方法，具体找出一颗生成树即可
充分性：假设G = <V, E>是连通的。如果G中无回 路， G 本身就是生成树。如果 G 中存在回路 C1 ，可删除 C1中一条边得到图G1，它仍连通且与G有相同的结点集。 如果G1中无回路，G1就是生成树。如果G1仍存在回路C2， 可删除 C2 中一条边，如此继续，直到得到一个无回路 的连通图H为止。因此，H是G的生成树。
2017/10/10 82-22
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全图有几棵 生成树？4个顶点的无向完全图又有几棵生成树？n 个顶点的无向完全图又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
2017/10/10
82-23
定理4.2.3
一个图G = <V, E>存在生成树TG = <VT, ET>的充分 必要条件是G是连通的。
由定理4.2.1(4) 在结点给定的无向图中， 由定理4.2.1(5) 树是边数最多的无回路图 树是边数最少的连通图 由此可知，在无向图G = (n, m)中， 若m＜n-1，则G是不连通的 若m＞n-1，则G必含回路
图论及应用课件-欧拉图与中国邮路问题
解：
d
f
h
a
b
c
e
g
i
j
图G
例4 某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊， 结点e是入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物 馆。请找出从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最 后从g处离开的路线。
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、Fleury算法
该算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方 法。方法是尽可能避割边行走。
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从
v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。
要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。
要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如
v1
4 v2 2
v3
1
v7
2 9
v8
5 3
1
v4
1
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
图论及其应用(14)
引理1 对于1≦m<n/2的图Cm,n是非H图。 证明：取S=V(km),则ω (G-S)=m+1>|S|=m,所以， 由H图的性质知，G是非H图。
4、度极大非H图的特征
3
定理1 (Chvá tal,1972) 若G是n≧3的非H单图，则G度弱于某个Cm,n图。 证明： 设G是度序列为 (d1,d2,…,dn)的非H单图， 且d1≦d2≦…≦dn,n≧3。
5
(3) 如果n阶单图G度优于于所有的Cm,n图族，则 G是H图。
例如：
G
G的度序列是(2,3,3,4,4),优于C1,5的度序列 (1,3,3,3,4)和C2,5的度序列 (2,2,2,4,4)。所以可以断 定G是H图。 推论 设G是n阶单图。若n≧3且
n 1 E (G) 1 2
(1) 证明：若G是H连通图且n≧4,则
1 m (3n 1) 2
(2) 对于n≧4,构造一个H连通图G,使得：
1 m (3n 1) 2
证明： (1) 可以证明，δ
1 m (3 n 1) (G)≧3.于是有： 2
事实上,若存在v，有d(v)=2,设v1与v2分别是v的两个 邻接点，则由n≧4知，不存在v1为起点v2为终点的H 路，与条件矛盾。 13
由度序列判定法：存在m<n/2,使得dm≦m,且dn-m<n-m. 于是，G的度序列必弱于如下序列：
m n 2 m m
(m, m,..., m , n m 1, n m 1,..., n m 1, n 1, n 1,..., n 1
而上面序列正好是图Cm,n的度序列。
注： (1) 定理1刻画了非H单图的特征：Cm,n图族中 每个图都是某个n阶非H单图的极图。 4
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图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
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图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
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图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
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图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
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图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
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图论及其应用第一章
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图论及其应用第一章
Rห้องสมุดไป่ตู้msey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
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图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
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图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
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图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
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图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
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图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
-25-
图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
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图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
-4-
图论及其应用第一章 Hamilton问题
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
-7-
图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
值是个公开的难题。
-9-
图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
-10-
图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
-18-
图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
-8-
图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
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图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，
图论及其应用第一章
图论相关的交叉研究
代数图论 化学图论 随机图论 超图
拓扑图论 算法图论 极值图论
以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科， Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论 应用于泛函分析的研究，获得了1998年的 Fields奖。
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图论及其应用第一章
内容提要 图的基本概念 图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩 阵与邻接矩阵。路、圈与连通图；最短路问题。树及 其基本性质；最小生成树。 图的连通性 割点、割边和块；边连通与点连通；连通度； Whitney 定理；可靠通信网络的设计。 匹配问题 匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配。
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图论及其应用第一章
四色问题
四色问题是世界近代三大数 学难题之一。
四色问题的内容是：任何一张 地图只用四种颜色就能使具有共 同边界的国家着上不同的颜色。
它的提出来自英国。1852年， 毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思 里发现了一种有趣的现象：“看 来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都 被着上不同的颜色。”这个现象 能不能从数学上加以严格证明呢？
以为是造物主的杰作。但根据Ramsey 定理，只要随机 分布的星星数目足够多，就可以描绘出各种图形的轮廓。 • 1994年Statistical Science的一篇论文利用统计方法证 明：圣经隐藏了许多讯息，而这些讯息是有意安排的，绝 非文字排列偶然造成的。 1997 年Michael Drosnin的《 The Bible Code 》通过计算机扫读圣经中的304805个 字母，发现圣经密码当中传达的讯息除了拉宾被刺杀外， 还包括美国肯尼迪和林肯两位总统，以及印度总理甘地遇 刺的事件，日本神户、美国旧金山的大地震、世界末日与 广岛原子弹轰炸等，种种过去与未来发生的大事件。
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图论及其应用第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
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图论及其应用第一章
1.2 图的同构
由前已知，同一个图有不同形状的图示。反过来， 两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
u2
u3
可见 G1 和 G2 的顶点及边之间都一一对应，且连
接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这
样的两个图称为是同构的(isomorphic)。
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图论及其应用第一章
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图论及其应用第一章
Rห้องสมุดไป่ตู้msey理论的哲理意义
Ramsey理论的哲理意义 • 完全的无序是不可能的(Complete disorder is impossible)。任一足够大的结构中必定包含一个给定大 小的规则子结构。无序无意的行为产生了有规律的后果， 发人深思耐人寻味。 • 古人在满天的星斗中发现野兽和众神群集于天空的图形，
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图论及其应用第一章
第一章 图和子图
1.1 图和简单图 1.2 子图 1.3 图的同构 1.4 顶点的度 1.5 路、圈和连通 1.6 关联矩阵和邻接矩阵 1.7 应用： 最短路问题
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图论及其应用第一章
1.1 图和简单图
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图论及其应用第一章 图的定义 一个图 G 是指一个有序三元组 (V(G), E(G), G)， 其中V(G) 是非空的顶点集， E(G)是不与V(G)相交的边集，
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图论及其应用第一章
一些概念和术语： （1） 点与边的关联(incident) （2） 点与点的相邻(adjacent) （3） 边与边的相邻 （4）（自）环(loop)、连杆(link) （5）重边(parallel edge) （6）简单图(simple graph) （7）有限图(finite graph) （8）平凡图(trivial graph)和非平凡图 （9）空图(empty graph)和零图（null graph) （10）图的顶点数（图的阶order） 、边数(size)
使得对任意e = (u,v) ∈ E(G) ，都有(α (u),α (v)) ∈ E(H) 且β (e) = (α (u),α (v)) ，则称图G 与H 同构。记为G ≅ H。
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图论及其应用第一章
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学 会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两 人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大 家都认为四色猜想从此也就解决了。
1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的 精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。不久，泰勒的证明也被 人们否定了。后来，人们开始认识到，这个貌似容易的题目， 其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。
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图论及其应用第一章
例2
G = (V, E) ，其中 V (G ) { v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 ,v 5 }
E ( G ) { v 1 , v 2 ) ( v ( 2 , v 3 ) , ( v 3 , v 4 ) , ( v 3 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 1 , v 5 ) , ( v 5 , v 5 ) , }
是否能从任意一个顶点开 始，通过每条边恰好一次 再回到起点？
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图论及其应用第一章
中国邮递员问题
1962年中国数学家管梅谷提出图论中的“中国邮递员问 题”。 问题：一个邮递员从街区的某一点出发，经过街区每条街 道至少一次又回到原出发点，如何设计投递路线，使总路 程最短？
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图论及其应用第一章 Hamilton问题
从数学上看，同构的两个图，其顶点间可建立一 一对应，边之间也能建立一一对应，且若一图的两点 间有边，则在另一图中对应的两点间有对应的边。严 格的数学定义如下。
定义: 两个图G = (V (G), E(G)) 与H = (V (H), E(H)) ， 如果存在两个一一映射：
α :V (G) → V (H) ，β : E(G) → E(H) ，
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图论及其应用第一章
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是 按照肯普的想法在进行。后来美国数学家富兰克林于1939年 证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从 22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可 以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
e7
此时，V (G ) {v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 }
v2
E ( G ) { e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 ,e 7 }
e1
G 定义为
v1
e3
G ( e 1 ) v 1 v 2 ,G ( e 2 ) v 2 v 3
e4
G ( e 3 ) v 3 v 1 ,G ( e 4 ) v 1 v 4
图论及其应用
图论及其应用第一章
图论发展史
图论在现代科学技术中有着重要的理论价值和广泛的应用背 景，如：线性代数、密码学、物理化学、网络设计、计算 机科学、信息科学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生 产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算 法。
首先我们通过图的发展过程来了解一下图论所研究的内容。
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramsey数。确定其精确
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图论及其应用第一章
欧拉图与哈密尔顿图 欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问 题。 独立集、覆盖集与团 点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念。 图的着色问题 点着色；边着色；平面图；四色猜想。 网络流理论 有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割 定理；求最大流的标号算法；网络流理论的应用。
1976年6月，美国伊利诺大学哈肯与阿佩尔在两台不同 的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
然而，真正数学上的严格证明仍然没有得到！数学家仍 为此努力，并由此产生了多个不同的图论分支。
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图论及其应用第一章 Ramsey 问题
几个事实：
1. 任意的6个人中，总有3个人互相认识或有3个人互不认 识。
这便定义出一个图。
注：由于表示顶点的平 面点的位置的任意性， 同一个图可以画出形状 迥异的很多图示。 例2中图的另一个 图示：
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图论及其应用第一章 图的图示直观易懂，因此以后一般说到一个图，