新苏科版第九章中心对称图形复习课件
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八年级数学下册第9章中心对称图形__平行四边形：矩形菱形正方形2菱形pptx课件新版苏科版
符号语言
菱形的四条边都 ∵四边形ABCD是菱形，
相等
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的两条对角 ∵四边形ABCD是菱形，
线互相垂直
∴ BD⊥AC
菱形既是轴对称图形(有两条对称轴)，又 是中心对称图形
知1－讲
(1)菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等，直 线平行、垂直以及进行相关的计算；
(2)菱形的性质与勾股定理联系，可得对角线长与边 长之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平 方和；
知2－练
C.∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ AC⊥BD，∴ ▱ABCD是菱形，故C不符合题意；D. 由 AB∥CD，AD=BC，不能判断出四边形ABCD是平行四边 形，进而不能得出四边形ABCD是菱形，故 D符合题意 .
答案：D
思路导引
知2－练
如图 9.4.2-2：
解：如图9.4.2-1 ②，连接AC． ∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°， ∴ AB=BC=CD=DA，∠D= ∠B=60°． ∴△ABC与△CDA为等边三角形． ∴ AB=AC，∠ACF= ∠BAC=60°．
知1－练
∵∠EAF=60°，∴∠BAE= ∠CAF．
∠BAE=∠CAF， 在△ABE和△ACF中，ቐ AB=AC，
知2－练
解题秘方：根据菱形的定义及其判定方法对各选项逐一 判断． 解：A. 由∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，易得四边形 ABCD是平行四边形，∵ AC⊥BD，∴ ▱ABCD是菱形 , 故 A不符合题意；B. ∵ AB∥CD，AB=CD，∴四边形 ABCD是平行四边形，∵ AB=BC，∴ ▱ABCD是菱形，故 B不符合题意；
知1－练
证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=CD=DA． 又∵ CE=CF，∴ BE=DF．
苏科版八年级下册数学课件：第9章中心对称图形复习
初中数学八年级上册 （苏科版）
中心对称图形（复习）
1.平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系:
矩形
平行四边形
一组邻边相等、 一个角是直角
正方形
菱形
2.平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质:
边
角
对角线
对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等
互相平分 中心对称图形
矩形
对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等
1.已知:如图,四边形ABDE、ACFG是正方 形，EC、BG交于点M. (1) 求证:BG=CE (2)试猜想BG与CE的关系.
E
A
G
D
M
F
B
例题讲授 2.已知:如图,E为正方形ABCD的边BC的中
点,AE平分∠BAF.
求证:AF=BC+CF.
D
FC
D
FC
G
G
E
E
A
B
A
B
例题讲授
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm， AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度 从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm 的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点 同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也 停止），在这段时间内，t为何值时，ABQP是 矩形？
4.平行四边形ABCD周长为16cm,AC、BD相 交于点O, OE⊥AC交AC于E,则△DCE的周 长是_8_c_m___
A
ED
O
B
C
5.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；
② AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD,这四个
条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行
四边形的选法有（ B ）种.
中心对称图形（复习）
1.平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系:
矩形
平行四边形
一组邻边相等、 一个角是直角
正方形
菱形
2.平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质:
边
角
对角线
对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等
互相平分 中心对称图形
矩形
对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等
1.已知:如图,四边形ABDE、ACFG是正方 形，EC、BG交于点M. (1) 求证:BG=CE (2)试猜想BG与CE的关系.
E
A
G
D
M
F
B
例题讲授 2.已知:如图,E为正方形ABCD的边BC的中
点,AE平分∠BAF.
求证:AF=BC+CF.
D
FC
D
FC
G
G
E
E
A
B
A
B
例题讲授
4．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm， AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度 从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm 的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点 同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也 停止），在这段时间内，t为何值时，ABQP是 矩形？
4.平行四边形ABCD周长为16cm,AC、BD相 交于点O, OE⊥AC交AC于E,则△DCE的周 长是_8_c_m___
A
ED
O
B
C
5.A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；
② AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD,这四个
条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行
四边形的选法有（ B ）种.
苏科版八下数学课件第9章 中心对称图形—平行四边形第4节《矩形、菱形、正方形(3)》参考课件(共13
对称性：菱形是中心对称图形,对角线的 交点是对称中心. 边：菱形的对边平行且相等． 角：菱形的对角相等．
对角线：菱形的对角线互相平分．
思考
一个平行四边形的活动木框，对角线是两根橡皮
筋．如果把DC沿CB方向平行移动，那么□ABCD的
边、内角、对角线都随着变化．
A
D
O
B
C
A
D
O
┓ 90°
B
C
当平移DC使BC=AB时： （1）平行四边形ABCD四条边的大小有什么关系？ （2）对角线AC、BD的位置有什么关系？
∵四边形ABCD是菱形.
∴∠AOB=90°，
AO=AC/2=1/2×24=12（菱形的对角线互
相垂直平分）
B
O
D
∴BO=√AB2-AO2 = √132-122 =5.
∴BD=2BO=10（菱形的对角线互相平分）.
C
BM=3BD=30. B、M之间的距离是30cm.
1.已知菱形的周长是12cm，那
么它的边长是__3_c_m__.
解:(1)当BC=AB时， 由平行四边形的性质，可知 AB=DC，AD=BC. 于是AB=BC=CD=DA.
(2)当BC=AB时， 由平行四边形对角线的性质， 可知AO=CO. 于是BD⊥AC
于是，我们得到如下定理： 菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
A
D
O
B
C
如图，在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， AC⊥BD．
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/5/ 22021/ 5/22021 /5/25/ 2/2021 2:57:58 PM
•
11、人总是珍惜为得到。2021/5/2202 1/5/220 21/5/2 May-21 2-May-21
对角线：菱形的对角线互相平分．
思考
一个平行四边形的活动木框，对角线是两根橡皮
筋．如果把DC沿CB方向平行移动，那么□ABCD的
边、内角、对角线都随着变化．
A
D
O
B
C
A
D
O
┓ 90°
B
C
当平移DC使BC=AB时： （1）平行四边形ABCD四条边的大小有什么关系？ （2）对角线AC、BD的位置有什么关系？
∵四边形ABCD是菱形.
∴∠AOB=90°，
AO=AC/2=1/2×24=12（菱形的对角线互
相垂直平分）
B
O
D
∴BO=√AB2-AO2 = √132-122 =5.
∴BD=2BO=10（菱形的对角线互相平分）.
C
BM=3BD=30. B、M之间的距离是30cm.
1.已知菱形的周长是12cm，那
么它的边长是__3_c_m__.
解:(1)当BC=AB时， 由平行四边形的性质，可知 AB=DC，AD=BC. 于是AB=BC=CD=DA.
(2)当BC=AB时， 由平行四边形对角线的性质， 可知AO=CO. 于是BD⊥AC
于是，我们得到如下定理： 菱形的四条边相等，对角线互相垂直.
A
D
O
B
C
如图，在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA， AC⊥BD．
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/5/ 22021/ 5/22021 /5/25/ 2/2021 2:57:58 PM
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11、人总是珍惜为得到。2021/5/2202 1/5/220 21/5/2 May-21 2-May-21
八年级数学下册第9章平行四边形：中心对称与中心对称图形pptx课件新版苏科版
2. 作图步骤 (1)连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心
连接；
知3－讲
(2)延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点 与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来， 即可得出关于对称中心对称的图形 .
知3－讲
特别提醒 作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心
2. 中心对称与轴对称的关系
知1－讲
中心对称
轴对称
有一个对称中心
有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转 180°
图形沿对称轴折叠
旋转后与另一个图形 折叠后与另一个图形
重合
重合
相同点
都是两个图形之间的关系，并且变换前、后 的两个图形全等
知1－讲
特别解读 1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180° . 2. 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形. 3. 中心对称的两个图形，只有一个对称中心 . 这个对称中
心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上 .
知1－练
例 1 [月考·扬州] 北京 2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩” 成为了互联网的“顶流”，它呆萌的形象受到了人 们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选 出能够和如图9.2-1所示的图片成中心对称的是( )
解题秘方：紧扣中心对称的定义求解．
知2－讲
2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，
则该中点为对称中心； 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点
就是对称中心 .
特别解读
知2－讲
1. 由性质可以得到如下结论：
(1)对称中心在一对对称点的连离相等 .
2. 全等的图形不一定成 中心对称，而成中心对称的两个图
连接；
知3－讲
(2)延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点 与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3)连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来， 即可得出关于对称中心对称的图形 .
知3－讲
特别提醒 作一个图形关于某点成中心对称的图形，要运用中心
2. 中心对称与轴对称的关系
知1－讲
中心对称
轴对称
有一个对称中心
有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转 180°
图形沿对称轴折叠
旋转后与另一个图形 折叠后与另一个图形
重合
重合
相同点
都是两个图形之间的关系，并且变换前、后 的两个图形全等
知1－讲
特别解读 1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180° . 2. 中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形. 3. 中心对称的两个图形，只有一个对称中心 . 这个对称中
心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上 .
知1－练
例 1 [月考·扬州] 北京 2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩” 成为了互联网的“顶流”，它呆萌的形象受到了人 们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选 出能够和如图9.2-1所示的图片成中心对称的是( )
解题秘方：紧扣中心对称的定义求解．
知2－讲
2. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，
则该中点为对称中心； 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点
就是对称中心 .
特别解读
知2－讲
1. 由性质可以得到如下结论：
(1)对称中心在一对对称点的连离相等 .
2. 全等的图形不一定成 中心对称，而成中心对称的两个图
苏科版数学八年级下册第9章中心对称图形——平行四边形 复习课课件(共17张PPT)
互相垂直平分且 中心对称图形
相等
轴对称图形
复习回顾 利用中心对称的性质，还研究了什么问题？
三角形的中位线
A
D
E
F
B
C
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
典例分析
例1 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，再将△ABC绕点C顺时针
旋转60°得到△FEC，连接DA、EF. （1）求证：四边形ADEF是平行四边形.
角的关系
拓展应用
例3 如图，四边形ABCD为正方形，△CEF为等腰直角三角形，连接AE、AF，
M是AE的中点，DM交AF于点N，求证：DN⊥AF.
1
线段平分 H
基本思路：
延长MN到H，使MH=DM 连接AH、HE、ED
可得□AHED
平行四边形
课堂小结
1.回顾本章所学内容，能从旋转的角度梳理几种平行四边形的关系，对
旋转 ——将线段、角进行转移
例2 如图，在正方形ABCD中，点P、Q分别在边AB、AD上，且CQ平分
∠DCP．
求突证破：口C：P=将BP线+D段Q．BP转移到直线DQ上
BP+DQ→EQ
证明：延长AD至点E，使得DE=BP，连结CE， ∵四边形ABCD正方形，
CP→CE
∴CB=CD，∠B=∠CDA=∠BCD=90°，
第9章 中心对称图形——平行四边形
复习课
学习目标
1.回顾本章所学内容，能从旋转的角度梳理几种平行四边形的 关系，对本章知识有全面、系统的认识； 2.进一步掌握分析、推理的思考方法，熟练掌握综合法的书写 格式； 3.经历图形运动变换的过程，积累解决问题的经验，进一步发 展空间观念.
【最新】苏科版八年级数学下册第九章《9.2 中心对称与中心对称图形》公开课课件.ppt
B' C' D
A
o
A'
C D' B
成中心对称的两个图形中，对应点的连线 经过对称中心，且被对称中心平分.
探索活动三 1．已知点A和O，你能画出点A关于点O的对称点吗？
A
o
探索活动三
2．已知线段AB和O点，你能画出线段AB 关于点O的对称线段吗？
A
o
B
探索活动三
3．已知△ABC和点O，你能画出△ABC 关于O成中心对称的图形吗？
初中数学 八年级(下册)
9.2 中心对称与中心对称图形
复习提问
1. 什么叫做图形的旋转？ 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形
运动称为图形的旋转. 2. 什么是旋转中心，旋转角？
所绕的定点就是旋转中心，一组对应点与旋转中 心连线所成的角.
3. 图形的旋转有哪些性质？
A
图形的旋转不改变图形的形状和大小.
B'
对应点到旋转中心的距离相等.
B
C
C'
O
两组对应点分别与旋转中心连线 A' 所成的角相等.
情境创设
“双鱼”剪纸作品是由两 个形状、大小完全相同的图案 组成的，这两个图案的位置有 怎样的特殊关系？怎样改变其 中一个图案的位置，可以使它 与另一个图案重合？
探索活动一
1．用透明纸覆盖在下图上，描出四边形ABCD . 2．用大头针钉在点O处，把四边形ABCD绕点O
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
苏科版八年级数学下册第九章中心对称图形复习课件 (共19张PPT)
例4：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC 于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。（1） 试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.
解： （1）在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=45 ° ∴AB=BE ∵∠OAE＝15° ∴ ∠BAO=60 ° ∵矩形ABCD中，OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴ AB=OB ∴OB=BE （2）∵ △OAB是等边三角形 ∴ ∠ABO=60 ° ∴ ∠OBC=30 ° ∵ OB=BE ∴ ∠BOE=75 ° A O B E C D
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(1)在正方形ABCD中， A D
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
例1：如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得 到△ A1B1C1 ，再△ A1B1C1把绕点C1顺时针旋转 90°，得到△ A2B2C2，请你画出△ A1B1C1和△ A2B2C 2（不要求写画法） A
B A1 B1
B2
C
A2
C1
例2： 如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．
第九章中心对称图形（一） 复习
复习回顾
图形的旋转
A
旋转1800
中心对称
A
B
成中心对称的两 个图形，对称点 连线都经过对称 A' 中心，并且被对 称中心平分
B'
苏科版八年级数学下册第九章《92中心对称与中心对称图形》公开课课件(共34张PPT)
且被对称中心平分
画一画：
1.试画出点 A关于点O 的对称点A’
A
O
A′
2.画出线段AB关于点O的中心对称线段A′B′
A
B′
O
B
A′
3.已知四边形ABCD和点O,画四边形A’B’ C’D’,使它与已知四边形关于点O对称。
D.
A’
B’
o
C
C’
.
B
.
A
D’
画法：1. 连结AO并延长到A’，使OA’=OA，得到点A的对称点
（ C）
2.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形 的个数是( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在一次游戏当中， 小明将图1的四张扑 图1 克牌中的一张旋转 180O后，得到图2， 小亮看完，很快知 道小明旋转了哪一 张扑克，你知道为 什么吗？
图2
轴对称 与中心对称定义、性质对比图：
C’
C
B A
概念
在平面内，一 个图形绕某个
B’
A’
点旋转180度，
O
如果旋转前后 C’
C
的图形互相重
合，那么称这 两个图形关于
B A
这点对称，也
这个点叫作对称中心
称这两个图形 成中心对称
2个图形中的对应点叫做对称点
B’
A’
思考: C’
成中心对称的2个 图形有什么性质?
O C
B A
对应点的连线都经过对称中心
C
B A
A’ B’
C’
解法一：
根据观察，B、B’应是对应点，连结BB’，用刻 尺找出BB’的中点O，则点O即为所求（如图）
C
A’
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第九章中心对称图形（一） 复习
一、本章知识结构
图形的旋转
中心对称与 中心对称图形
三角形旋 转方式二
中位线 三角形 中位线
三角形旋 转方式一
特殊的 四边形
矩形 菱形 正方形
中点四边形 平行四边形
复习回顾
图形的旋转
A
旋转1800
中心对称
A
B
成中心对称的两 个图形，对称点 连线都经过对称 A' 中心，并且被对 称中心平分
复习回顾
三角形旋转（二）
A
顺时针旋 转180°
D
E
F
B
C
三角形中位线性质 三角形的中位线平行 于第三边，并且等于 它的一半
复习回顾
要使得中点四边形是 菱形，原图形应满足 什么条件？矩形呢？
中点四边形
原图形 中点四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
菱形
1．矩形的两条对角线的夹角为600，较短的边长为12cm， 则对角线长为 24 cm. 2．菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线 长为 8 ，菱形的面积为 24 . 3．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O 的直线OM⊥AC．已知ΔCDM的周长是22㎝．则□ABCD 的周长是 44 ㎝． 4．如图，正方形ABCD绕点A旋转 后得到正方AB′C′D′ ① 旋转角是 45 度 2 . 1 ② 若AB=1，则C′ D=
理由如下： ∵ AD//BC，AB//DE，AF//DC ∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形. ∴AD=BE，AD=CF ∵四边形AEFD是平行四边形 (2) ∵四边形ABED和四边形AFCD都 ∴AD=EF 是平行四边形 ∴AD=BE=EF=FC ∴AB=DE，AF=DC ∴BC=3AD ∵AB=DC ∴DE=AF 又∵四边形AEFD是平行四边形 ∴四边形AEFD是矩形
∵ AG⊥BE ∴ ∠AGB=90 ° ∵∠AFO=∠BFG ∴ ∠OAF=∠OBE ∴ △AOF≌△BOE ∴ OE=OF
O
F
B
E
G
C
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(2)在正方形ABCD中，
解： 在□ ABCD中， AD//BC
O
A
E
D
∴∠ EAO=∠ OCF, ∠ AEO=∠OFC ∵AO=CO ∴Δ AOE≌Δ COF ∴OE=OF ∴四边形AFCE是平行四边形 ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形
B
F
C
例3：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，AF//DC，E， F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，试说明□AEFD是矩形． 解：(1)BC=3AD
A O B D
E
C
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(1)在正方形ABCD中， A D
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 ° ∵ AG⊥BE ∴ ∠FGB=90 °
A O G
D
∵∠OBE=∠GBF
∴ ∠AFO=∠BEO
B
C E
F
∴ △AOF≌△BOE
∴ OE=OF
B'
O
B
O
旋转前、后的图形全等， 对应点到旋转中心的距离 相等，每一对对应点与旋 转中心的连线所成的角彼 此相等
B'
A'
复习回顾
三角形旋转（一）
A
O
D
B
C
平行四边形
复习回顾
A O
D
B
C
矩形
复习回顾
A
B
O
D
C
菱形
复习回顾
A
D
O
B
C
正方形
平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质
边 角 对角相等 对角线 互相平分
B E F C
例4：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC 于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。 （1）试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.
解： （1）在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=45 ° ∴AB=BE ∵∠OAE＝15° ∴ ∠BAO=60 ° ∵矩形ABCD中，OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴ AB=OB ∴OB=BE （2）∵ △OAB是等边三角形 ∴ ∠ABO=60 ° ∴ ∠OBC=30 ° ∵ OB=BE ∴ ∠BOE=75 °
对称性
中心对称图形
平行四边形 对边平行且相等 矩形
菱形 正方形
轴对称与中 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 心对称图形 对边平行四条边 都相等 对角相等 互相垂直平分 轴对称与中 心对称图形
互相垂直平分且 对边平行四条边 轴对称与中 四个角都是直角 相等 都相等 心对称图形
平行四边形与矩形、菱形、正方形的判定
例1：如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得 到△ A1B1C1 ，再△ A1B1C1把绕点C1顺时针旋转 90°，得到△ A2B2C2，请你画出△ A1B1C1和△ A2B2C 2（不要求写画法） A
B
A1 B2
C
A2 C1
B1
例2： 如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD，BC分别交于点E，F． 试说明四边形AFCE是菱形．
判定一 判定二
2组对边相等 3个角是直角
判定三
判定 四
平行四边形 2组对边平行 矩形
菱形 正方形
一个角是直角的 平行四边形 一组邻边相等的平 行四边形
1组对边平行且相等 对角线相等
对角线相等的平行 四边形
对角线互相垂直的 平行四边形
四边相等
一组邻边相等的矩 一个角是直角的 形 菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
一、本章知识结构
图形的旋转
中心对称与 中心对称图形
三角形旋 转方式二
中位线 三角形 中位线
三角形旋 转方式一
特殊的 四边形
矩形 菱形 正方形
中点四边形 平行四边形
复习回顾
图形的旋转
A
旋转1800
中心对称
A
B
成中心对称的两 个图形，对称点 连线都经过对称 A' 中心，并且被对 称中心平分
复习回顾
三角形旋转（二）
A
顺时针旋 转180°
D
E
F
B
C
三角形中位线性质 三角形的中位线平行 于第三边，并且等于 它的一半
复习回顾
要使得中点四边形是 菱形，原图形应满足 什么条件？矩形呢？
中点四边形
原图形 中点四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
平行四边形
菱形
矩形
正方形
菱形
1．矩形的两条对角线的夹角为600，较短的边长为12cm， 则对角线长为 24 cm. 2．菱形的周长为20，一条对角线长为6，则另一条对角线 长为 8 ，菱形的面积为 24 . 3．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O 的直线OM⊥AC．已知ΔCDM的周长是22㎝．则□ABCD 的周长是 44 ㎝． 4．如图，正方形ABCD绕点A旋转 后得到正方AB′C′D′ ① 旋转角是 45 度 2 . 1 ② 若AB=1，则C′ D=
理由如下： ∵ AD//BC，AB//DE，AF//DC ∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形. ∴AD=BE，AD=CF ∵四边形AEFD是平行四边形 (2) ∵四边形ABED和四边形AFCD都 ∴AD=EF 是平行四边形 ∴AD=BE=EF=FC ∴AB=DE，AF=DC ∴BC=3AD ∵AB=DC ∴DE=AF 又∵四边形AEFD是平行四边形 ∴四边形AEFD是矩形
∵ AG⊥BE ∴ ∠AGB=90 ° ∵∠AFO=∠BFG ∴ ∠OAF=∠OBE ∴ △AOF≌△BOE ∴ OE=OF
O
F
B
E
G
C
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(2)在正方形ABCD中，
解： 在□ ABCD中， AD//BC
O
A
E
D
∴∠ EAO=∠ OCF, ∠ AEO=∠OFC ∵AO=CO ∴Δ AOE≌Δ COF ∴OE=OF ∴四边形AFCE是平行四边形 ∵EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形
B
F
C
例3：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB//DE，AF//DC，E， F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形． D A （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，试说明□AEFD是矩形． 解：(1)BC=3AD
A O B D
E
C
例5：如图，正方形ABCD，AC、BD相交于点O，点E在AC上， 连接BE，作AG⊥BE，垂足为G，且交直线BD于F。 （1）试说明：OE＝OF； （2）若点E在AC的延长线上，其余条件不变，（1）的结论还 成立吗？画出图形，并说明理由。 解：(1)在正方形ABCD中， A D
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 °
AO=BO,∠AOF= ∠BOE=90 ° ∵ AG⊥BE ∴ ∠FGB=90 °
A O G
D
∵∠OBE=∠GBF
∴ ∠AFO=∠BEO
B
C E
F
∴ △AOF≌△BOE
∴ OE=OF
B'
O
B
O
旋转前、后的图形全等， 对应点到旋转中心的距离 相等，每一对对应点与旋 转中心的连线所成的角彼 此相等
B'
A'
复习回顾
三角形旋转（一）
A
O
D
B
C
平行四边形
复习回顾
A O
D
B
C
矩形
复习回顾
A
B
O
D
C
菱形
复习回顾
A
D
O
B
C
正方形
平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质
边 角 对角相等 对角线 互相平分
B E F C
例4：如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC 于E，对角线AC、BD交于O，若∠OAE＝15°。 （1）试说明：OB＝BE；（2）求∠BOE的度数.
解： （1）在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴ ∠BAE=45 ° ∴AB=BE ∵∠OAE＝15° ∴ ∠BAO=60 ° ∵矩形ABCD中，OA=OB ∴△OAB是等边三角形 ∴ AB=OB ∴OB=BE （2）∵ △OAB是等边三角形 ∴ ∠ABO=60 ° ∴ ∠OBC=30 ° ∵ OB=BE ∴ ∠BOE=75 °
对称性
中心对称图形
平行四边形 对边平行且相等 矩形
菱形 正方形
轴对称与中 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 心对称图形 对边平行四条边 都相等 对角相等 互相垂直平分 轴对称与中 心对称图形
互相垂直平分且 对边平行四条边 轴对称与中 四个角都是直角 相等 都相等 心对称图形
平行四边形与矩形、菱形、正方形的判定
例1：如图，在10×10正方形网格中，每个小正方形 的边长均为1个单位．将△ABC向下平移4个单位，得 到△ A1B1C1 ，再△ A1B1C1把绕点C1顺时针旋转 90°，得到△ A2B2C2，请你画出△ A1B1C1和△ A2B2C 2（不要求写画法） A
B
A1 B2
C
A2 C1
B1
例2： 如图，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD，BC分别交于点E，F． 试说明四边形AFCE是菱形．
判定一 判定二
2组对边相等 3个角是直角
判定三
判定 四
平行四边形 2组对边平行 矩形
菱形 正方形
一个角是直角的 平行四边形 一组邻边相等的平 行四边形
1组对边平行且相等 对角线相等
对角线相等的平行 四边形
对角线互相垂直的 平行四边形
四边相等
一组邻边相等的矩 一个角是直角的 形 菱形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系