双曲线的定义及应用
高二 双曲线(定义、性质及其应用)
圆锥曲线——双曲线（定义、性质及其应用）重要知识点讲解1. 双曲线第一定义； 标准方程；2. 双曲线相关概念（顶点，焦点，实轴，虚轴，离心率，通径，渐近线）3.重要结论：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线；共渐近线的双曲线；共轭的双曲线；等轴双曲线. 知识点一：求（双曲线）轨迹方程1. 已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为2.点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，求P 点的轨迹方程；知识点二：双曲线相关概念应用 1. 双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为___________2. 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，求△PF 1F 2的面积。
3．若双曲线11622=-mx y 的离心率2=e ，则=m .4．双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为5. 已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； 6．与椭圆2214x y +=共焦点且过点()2,1P 的双曲线方程是 7. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为 ；知识点三：重要结论的应用1. 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．2. 求过点)2,2(-且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程3. 求焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程。
知识点四：双曲线综合应用 1. 已知21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积2. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程.3.已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左，右焦点,点()y x P ,是双曲线右支上的一个动点,且1PF 的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为x y 34=. 求双曲线的方程;4.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为). （Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围。
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线
高中数学知识点总结双曲函数与双曲线高中数学知识点总结：双曲函数与双曲线介绍在高中数学中，我们学习了许多重要的数学知识点，其中之一就是双曲函数与双曲线。
本文将为您总结双曲函数与双曲线的定义、性质和应用，帮助您更好地理解和掌握这一知识点。
一、双曲函数的定义及性质双曲函数是以指数和的形式表达的函数，通常用sinh(x)和cosh(x)来表示。
其中，sinh(x)为双曲正弦函数，cosh(x)为双曲余弦函数。
1. 双曲正弦函数（sinh(x)）：双曲正弦函数是一个奇函数，其定义为：sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。
它的图像与指数函数类似，呈现出对称轴为y轴的特点。
2. 双曲余弦函数（cosh(x)）：双曲余弦函数是一个偶函数，其定义为：cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2。
它的图像也与指数函数类似，但呈现出对称轴为x轴的特点。
3. 双曲函数的性质：a. 双曲正弦函数和双曲余弦函数都是无界的；b. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的导数分别等于双曲余弦函数和双曲正弦函数，即：(d/dx)sinh(x) = cosh(x)，(d/dx)cosh(x) = sinh(x)；c. 双曲函数的反函数分别为反双曲正弦函数（arsinh(x)）和反双曲余弦函数（arcosh(x)）。
二、双曲线的定义及性质双曲线是平面上的一类曲线，其定义为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0) 或 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1 (a>0, b>0)。
其中，a和b分别为双曲线的横轴和纵轴的半轴长度。
1. 双曲线的形状：若a>b，则双曲线的形状呈现为左右开口，称为左右开口的双曲线；若a<b，则双曲线的形状呈现为上下开口，称为上下开口的双曲线。
2. 双曲线的特点：a. 双曲线在原点处有渐近线，分别为y = b/a * x和y = -b/a * x；b. 双曲线的离心率定义为e = c/a，其中c为双曲线的焦点到原点的距离；c. 双曲线与直线的交点称为双曲线的顶点；d. 双曲线上的点到焦点的距离之差等于定点到双曲线的直径。
双曲线的知识点归纳总结高中
双曲线的知识点归纳总结高中双曲线是一种重要的数学函数，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将对双曲线的基本定义、性质、图像以及常用的求解方法进行归纳总结，以帮助高中学生更好地理解和应用双曲函数。
一、基本定义双曲线是指形如y=a cosh(x/b)或y=a sinh(x/b)的函数，其中a、b均为实数，并且b≠0。
其中cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数，是指数函数的一种。
二、性质1. 双曲余弦函数cosh(x)为偶函数，满足cosh(x)=cosh(-x)。
2. 双曲正弦函数sinh(x)为奇函数，满足sinh(x)=-sinh(-x)。
3. 双曲余弦函数与双曲正弦函数的图像分别为关于x轴对称和关于原点对称的开口向上的曲线。
4. 双曲余弦函数的导数为双曲正弦函数，即cosh'(x)=sinh(x)，而双曲正弦函数的导数为双曲余弦函数，即sinh'(x)=cosh(x)。
三、图像1. y=cosh(x)的图像是一条开口向上的曲线，它在x=0处取最小值1，随着x的增大而不断逼近直线y=1，即y=cosh(0)=1。
2. y=sinh(x)的图像是一条对称的曲线，它在x=0处取最小值0，随着x的增大而不断逼近直线y=x。
四、常用求解方法1. 双曲正弦函数和双曲余弦函数的加减法公式：cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)cosh(x-y)=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)sinh(x-y)=sinh(x)cosh(y)-cosh(x)sinh(y)2. 双曲函数的导数和积分公式：(cosh(x))'=sinh(x)(sinh(x))'=cosh(x)∫cosh(x)dx=sinh(x)+C∫sinh(x)dx=cosh(x)+C综上所述，双曲线是一种重要的数学函数，在高中数学学习中有广泛的应用。
双曲线【知识要点】双曲线的定义第...
双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。
双曲线的性质与应用
双曲线的性质与应用【正文】双曲线（hyperbola）是数学中的一种特殊曲线，其性质与应用广泛而深远。
本文将对双曲线的性质进行阐述，并探讨其在不同领域中的应用。
一、双曲线的基本性质双曲线可以通过以下两种方式的定义：准线法和焦点法。
准线法是通过定义两条与双曲线相切的直线，而焦点法是通过定义焦点和直角平分线来确定双曲线的位置。
1. 双曲线的准线准线是与双曲线相切于其两个分支的直线。
对于双曲线，两条准线分别对应两个分离的无穷远点。
2. 双曲线的焦点双曲线有两个焦点，位于曲线的近点和远点之间，并分别与曲线的两条分支关联。
3. 双曲线的定义方程双曲线在直角坐标系中的定义方程如下：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别代表相应坐标轴上的半轴长度。
4. 双曲线的对称性双曲线是关于x轴、y轴和原点对称的。
当双曲线的焦点在y轴上时，其对称轴为y轴；当焦点在x轴上时，对称轴为x轴；当焦点在原点时，对称轴为原点。
5. 双曲线的渐近线双曲线还有两条渐近线，分别与曲线的两个分支无限接近但永不相交。
这两条线的方程为y = (b/a) * x 和 y = -(b/a) * x。
二、双曲线的应用双曲线由于其特殊的形状和性质，在数学和其他学科中具有广泛的应用。
1. 物理学中的应用双曲线常用于描述电磁波的传播路径和粒子在加速器中的运动轨迹。
对于电磁波的折射和反射现象，双曲线可以帮助我们解释和预测光线的弯曲和聚焦。
2. 工程学中的应用双曲线在无线通信和抛物面天线设计中起到关键作用。
通过合理地选择双曲线的几何参数，我们可以实现信号的聚焦和辐射，从而提高通信系统的性能。
3. 经济学中的应用双曲线模型在经济学中有着广泛的应用。
例如，在供求关系中，当需求和供应分别满足双曲线方程时，市场均衡的价格和数量可以通过双曲线的交点得到。
4. 生物学中的应用生物学研究中常利用双曲线模型来描述生物体的生长曲线。
在这种情况下，双曲线可以帮助我们理解生物体的增长速率以及其与环境因素之间的关系。
双曲线知识点
练习 1.求与椭圆49 + 24 = 1有公共交点，且离心率为 e=4的双曲线方程。
x2
y2
5
练习 2.求与椭圆 的双曲线方程。
y2 x2 1 16 8 有共同焦点， 渐近线方程为
x
3y 0
练习 3.点 M（x,y）与定点 F（5,0） ，的距离和它到定直线 l： 的比是常数
5 4
x
b b 的夹角增大 当e (1, )时， (0, ), 且e增大, 也增大 e增大时，渐近线与实轴 a a
e 是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大。 （4）等轴双曲线的离心率 e=√2 （5）e= a
C
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
C2=a2+b2
在 a、b、c、e 四个参数中，知二可求二。
例 1.求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近 线方程。
例 2.已知双曲线顶点间的距离为 16，离心率 e=4,焦点在 x 轴上，中心在原点， 写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标。
5
三.双曲线解题技巧 x2 y2 1.与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3, 2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3
设直线 l : y kx m(m 0) ，双曲线
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则弦长公式为：则 | AB | 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 若联立消去 x 得 y 的一元二次方程： ay2 by c 0(a 0) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ，则 | AB | 1 焦点弦长：
双曲线性质的应用讲义
双曲线一：学生情况及其分析：浙江高二学生，新授课同步，水平中等。
二：教学目的：本节课的目的在于理解双曲线的定义及其基本性质 三：教学设计：1.基础知识回顾：双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。
分析：对比椭圆的证明过程，得到双曲线的方程，在此过程中学会化解含根式的方程两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()acca x c x y =±±+22（可以让学生参照椭圆自己先思考 ） 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
初中双曲线知识点
初中双曲线知识点
双曲线是初中数学中的一个重要概念，以下是一些关于双曲线的知识点：
1. 定义：双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
也可以定义为平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的点的轨迹。
定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
2. 性质：双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线有两条过中心的渐近线，其交点位于双曲线的对称中心。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂，对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
3. 方程：在平面直角坐标系中，如果二元二次方程
F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0满足一定条件，则其图像为双曲线。
以上是关于双曲线的一些基本知识点，包括其定义、性质和方程。
掌握这些知识点有助于更好地理解和应用双曲线的概念。
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一、双曲线的定义及应用
1、动点P 到定点)0,1(1F 的距离比它到点)0,3(2F 的距离小2，则点的轨迹是
2、已知两圆2)4(:221=++y x C ，2)4(:2
22=+-y x C ，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。
3、若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的3
1，则=m 4、点P 是双曲线116
92
2=-x y 上支上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的上、下焦点，则21F PF ∆的内切圆圆心M 的坐标一定适合的方程是
5、已知1F 、2F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上任意一点，若122
PF PF 的最小值为a 8，则双曲线的离心率的范围是
6、已知定点A 、B 且4=AB ，动点P 满足3=-PB PA ，则PA 的最小值是
7、设双曲线14491622=-y x 的右焦点为2F ，M 是双曲线的任意一点，点A 的坐标为)2,9(，则253MF MA +
的最小值是 二、求双曲线方程
1、与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的方程是
2、已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴，离心率为2，且过点)10,4(-，则此双曲线的方程是
3、已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率为2，则此双曲线方程是
三、双曲线的性质
1、在给定的双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长是2，焦点到相应的准线的
距离是2
1，则此双曲线的离心率是 2、若在双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是
3、双曲线122
22=-b
y a x 的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度恰好等于它的一个焦点到一条渐近线的距离，则此双曲线的离心率是
四、焦点半径的应用
1、已知点P 是双曲线19
162
2=-y x 上的一点，且点P 到双曲线右准线的距离是P 到两个焦点的距离的等差中项，则点P 的横坐标是
2、设1F 、2F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，当21F PF ∆的面积是1时，PF PF ⋅1的值是
五、中点问题
1、过点)1,8(P 的直线与双曲线442
2=-y x 相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程
六、直线与双曲线的交点问题 1、已知双曲线14
122
2=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
2、直线1:+=kx y m 和双曲线12
2=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l 过点)0,2(-P 和线段AB 的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围。