递推关系
三项递推关系求通项
三项递推关系求通项1. 什么是递推关系？在数学中，递推关系是指通过给定的初始条件和递推公式来确定一系列数值的方法。
递推关系常用于解决一些复杂的问题，特别是与数列、函数或图形有关的问题。
2. 什么是通项？通项是指一个数列中任意一项与其序号之间的关系。
通过求得一个数列的通项，我们可以方便地计算出该数列的任意一项。
3. 求解三项递推关系的方法下面将介绍如何求解三项递推关系，并得到该递推关系的通项公式。
步骤1：观察前几个数值首先，我们需要观察给定的数列或序列，并记录下前几个已知的数值。
这些已知数值将作为我们求解递推公式和通项公式的基础。
步骤2：建立递推公式根据观察到的已知数值，我们可以尝试建立一个递推公式，使得该公式能够从前一项或几个前置项计算出当前项。
例如，假设我们观察到以下数列：1, 2, 4, 8, …我们可以发现，每一项都是前一项的两倍。
因此，我们可以建立如下的递推公式：a(n) = 2 * a(n-1)，其中a(n)表示第n项。
步骤3：求解递推公式在建立了递推公式之后，我们需要通过该公式来计算数列的其他项。
首先，我们可以使用递推公式计算出第3项和第4项：a(3) = 2 * a(2) = 2 * 2 = 4 a(4) = 2 * a(3) = 2 * 4 = 8然后，我们可以继续使用递推公式计算出更多的项。
步骤4：观察数列并总结规律通过计算数列的多个项，我们可以进一步观察数列中的规律，并总结出通项公式。
以前面的例子为例，观察数列可知，每一项均为前一项乘以一个常数。
因此，通项公式可以表示为：a(n) = a(1) * (常数)^n对于这个例子来说，常数为2。
因此，通项公式可以写成：a(n) = a(1) * (2)^n步骤5：验证通项公式最后，我们需要验证所得到的通项公式是否能够正确地计算出数列中的任意一项。
我们可以选择一个任意的n值，将其代入通项公式中计算得到的结果与实际数列中的对应项进行比较。
递推关系解题的关键技巧与应用
递推关系解题的关键技巧与应用递推关系（recurrence relation）是数学中常见的一种关系式，它可以通过前一项或前几项的数值来表示后一项。
在解决问题时，递推关系常常被用于推导出问题中的规律，从而找出解决方法。
本文将介绍递推关系解题的关键技巧以及应用。
一、递推关系解题的关键技巧1. 确定初始条件：在使用递推关系解题时，首先需要确定初始条件。
也就是说，要找到递推关系式中的第一个或前几个数值。
初始条件的确定通常需要根据问题的具体情况来判断。
2. 推导递推关系：通过观察问题中给出的数值和规律，可以尝试推导出递推关系。
这个关系有可能是数列、数表或者其他形式的递推公式。
3. 利用递推关系求解：一旦递推关系确定，就可以利用它来求解问题。
根据递推关系的定义，通过已知的数值逐步推导出后面的数值。
4. 验证解答的正确性：最后，需要验证所得到的解答是否正确。
可以通过递推关系来逐项验证，或者将解答代入原始问题中进行验证。
通过以上技巧的应用，可以更加轻松、高效地解决递推关系问题。
二、递推关系解题的应用递推关系的应用非常广泛，以下是一些常见的例子：1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推关系问题。
其递推关系式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2) = 1。
可以利用这个递推关系来求解斐波那契数列中的任意项。
2. 阶乘计算：阶乘是另一个常见的递推关系问题。
定义n的阶乘为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘为1。
通过递推关系n! = n * (n-1)!，可以计算出任意非负整数的阶乘。
3. 数字排列组合：在某些排列组合问题中，递推关系也经常被使用。
比如在八皇后问题中，可以通过递推关系来确定皇后在每一行中的位置，从而求解出问题的解。
4. 动态规划问题：动态规划是一种使用递推关系进行求解的方法。
通过将问题分解为子问题，并利用递推关系求解子问题，最终得到原始问题的解。
递推关系知识点总结
递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。
通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。
例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。
1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。
- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。
- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。
1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。
不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。
二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。
- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。
2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。
对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。
2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。
对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。
三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
数列的递推关系
数列的递推关系数列是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，常常需要通过递推公式来确定数列中的每一项。
递推关系是指根据前几项的值，通过某种规律来计算下一项的值。
1. 递推关系的概念递推关系是指通过前几项的值来计算下一项的值的数学关系。
通常表示为an+1 = f(an, an-1, ..., a1)，其中an表示第n项的值，f表示递推函数或递推公式。
递推关系可以是线性的、多项式的、指数的等等。
2. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都可以通过前一项和前几项的线性组合来计算得到。
具体来说，对于线性递推关系an = c1*an-1 +c2*an-2 + ... + ck*an-k，其中c1, c2, ..., ck为常数，且k为一个固定的正整数。
常见的线性递推关系有斐波那契数列等。
3. 多项式递推关系多项式递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及前面若干项的多项式函数。
具体来说，对于多项式递推关系an = p(n) = a(n-1) + a(n-2) + ... + a(n-k)，其中p(n)为一个多项式函数，a(n-1), a(n-2), ..., a(n-k)为前面的若干项。
多项式递推关系常用于描述一些复杂的数学问题，如组合数学中的排列、组合等。
4. 指数递推关系指数递推关系是指数列中的每一项的计算都涉及指数函数。
具体来说，对于指数递推关系an = a(n-1) ^ k，其中k为常数。
指数递推关系常用于描述一些增长速度非常快的数列，如幂数列等。
5. 递推关系的应用递推关系在数学中具有广泛的应用。
它可以帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，甚至可以用来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，递推关系可以用来描述物体的运动轨迹；在计算机科学中，递推关系可以用来描述算法的时间复杂度。
总结：数列的递推关系是通过前几项的值来计算下一项的数学关系。
它可以是线性的、多项式的、指数的等等。
递推关系在数学中起到了重要的作用，帮助研究数列的性质、推导数列的通项公式，以及解决实际问题。
五种典型的递推关系
五种典型的递推关系1.Fibonacci数列在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为⼤家所熟悉的。
在最基础的程序设计语⾔Logo 语⾔中，就有很多这类的题⽬。
⽽在较为复杂的Basic、Pascal、C语⾔中，Fibonacci数列类的题⽬因为解法相对容易⼀些，逐渐退出了竞赛的舞台。
可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，⼀些此类的题⽬还是能给我们⼀定的启发的。
数列的代表问题是由意⼤利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔⼦繁殖问题”(⼜Fibonacci数列称“Fibonacci问题”)。
问题的提出：有雌雄⼀对兔⼦，假定过两个⽉便可繁殖雌雄各⼀的⼀对⼩兔⼦。
问过n个⽉后共问题有多少对兔⼦？解：设满x个⽉共有兔⼦Fx对，其中当⽉新⽣的兔⼦数⽬为Nx对。
第x-1个⽉留下的兔⼦数 解⽬设为Fx-1对。
则：Fx=Nx+ Fx-1 Nx=Fx-2 (即第x-2个⽉的所有兔⼦到第x个⽉都有繁殖能⼒） ∴ Fx=Fx-1+Fx-2 边界条件：F0=0，F1=1由上⾯的递推关系可依次得到： F2=F1+F0=1，F3=F2+F1=2，F4=F3+F2=3，F5=F4+F3=5，……。
数列常出现在⽐较简单的组合计数问题中，例如以前的竞赛中出现的“⾻牌覆盖”问Fabonacci数列题。
在优选法中，Fibonacci数列的⽤处也得到了较好的体现。
2.Hanoi塔问题问题的提出：Hanoi塔由n个⼤⼩不同的圆盘和三根⽊柱a,b,c组成。
开始时，这n个圆盘由⼤到问题⼩依次套在a柱上，如图3-11所⽰。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上： (1)⼀次只能移⼀个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许⼤盘压⼩盘。
问将这n个盘⼦从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少个盘次？解：设hn为n个盘⼦从a柱移到c柱所需移动的盘次。
显然，当n=1时，只需把a 柱上的盘⼦直接移动到c柱就可以了，故h1=1。
数列的递推关系知识点
数列的递推关系知识点数列是指按照一定顺序排列的一系列数值的集合。
在数学中，我们经常会遇到数列，并且常常需要研究数列之间的关系。
递推关系就是描述数列中各项之间的依赖关系，通过递推关系我们可以推导出数列的后续项。
一、定义和表示数列可以用以下形式来表示：{a1, a2, a3, ... , an, ...}，其中a1, a2,a3, ...表示数列的各项，an表示数列中第n项。
我们可以根据数列的递推关系来计算数列的任意一项。
二、常见数列的递推关系下面我们将介绍一些常见数列的递推关系及其特点。
1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它的前一项之间的差值是一个常数d （公差）的数列。
等差数列的递推关系可以表示为：an = a1 + (n - 1)d。
其中a1是等差数列的首项，d是公差。
例如，对于等差数列{1, 3, 5, 7, ...}，其首项a1为1，公差d为2，递推关系为an = 1 + (n - 1) * 2。
2.等比数列等比数列是指数列中每一项与它的前一项之间的比值是一个常数q （公比）的数列。
等比数列的递推关系可以表示为：an = a1 * q^(n - 1)。
其中a1是等比数列的首项，q是公比。
例如，对于等比数列{2, 6, 18, 54, ...}，其首项a1为2，公比q为3，递推关系为an = 2 * 3^(n - 1)。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推关系可以表示为：an = an-1 + an-2。
其中a1和a2是斐波那契数列的前两项。
例如，斐波那契数列的前几项为{1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}，其递推关系为an = an-1 + an-2。
三、递推关系的应用递推关系在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。
1.求数列的第n项通过递推关系，我们可以计算数列的任意一项。
以等差数列为例，假设我们想要计算等差数列{3, 5, 7, 9, ...}的第100项。
递推关系式
递推关系式一、引言递推关系式是数学中的一个重要概念，它描述了一个序列中后一项与前一项之间的关系。
通过递推关系式，我们可以根据已知的初始条件逐步计算出序列中的各个项，从而揭示数学规律和模式。
递推关系式在各个领域都有广泛应用，如数列、递归函数和动态规划等。
二、数列与递推关系式2.1 数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而数列中的规律称为数列的通项公式。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算数列中的任意项。
2.2 递推关系式的定义递推关系式是数列中后一项与前一项之间的关系式。
一般地，递推关系式可以表示为：a n+1=f(a n)，其中n为项的序号，a n表示第n项，f表示递推函数。
2.3 递推关系式的作用递推关系式可以帮助我们计算数列中的任意项，从而揭示数列中的规律和模式。
通过分析递推关系式，我们可以得到数列的闭式表达式，即直接根据项的序号计算出项的值的公式。
三、递推关系式的形式递推关系式可以具有多种不同的形式，根据具体情况选择适合的形式进行表示。
下面列举了几种常见的递推关系式形式。
3.1 线性递推关系式线性递推关系式是一种最简单的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n+1=a n+c，其中c为常数。
线性递推关系式描述了数列中的每个项与前一项之间的恒定差值关系。
3.2 二次递推关系式二次递推关系式是一种形式更为复杂的递推关系式。
其通项公式可以表示为：a n+1=a n2+b，其中b为常数。
二次递推关系式描述了数列中的每个项与前一项的平方加上常数之间的关系。
3.3 递归函数递归函数是一种特殊的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n=f(a n−1)。
递归函数通过直接调用自身来计算数列中的各个项。
四、递推关系式的应用4.1 数列的求和通过递推关系式，我们可以方便地求解数列的前n项和。
方法是先计算出数列的第n项，然后通过求和公式计算前n项和。
4.2 数列的性质分析递推关系式可以帮助我们深入地分析数列的性质。
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由于无等于1的特征根，所以递推关系
an 5an1 6an2 n 2(n 2)有特解an An B, A, B
是待定系数，代入上式 得A 1 , B 11 ,则
24
an
c1
2n
c2
3n
1 2
n
11 4
,
c1,
c2是待定系数，由初
始条件得
c1
3, c2
1，所以an
3 2n
3n
1 2
3.2 递推关系
递推关系
特征方程没有重根的常 系数线性齐次递推关系
特征方程有重根的常系数 线性齐次递推关系
两类常系数线性非齐次 递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 研究思路： 先假设方程有解， (1) 找出方程解的结构； (2) 方程有解满足那些条件 (3) 满足这些条件的方程是否有解
an c1 c2n c33n c4n3n , 其中c1, c2 , c3, c4为待定系数
由初始条件得 c1 2, c2 1, c3 3, c4 1,故 an 2 n 3n1 n3n (n 0,1,2,)
特征方程有重根
练习
(1)习题19(1)(3); (2)习题20(1)
即思考问题时，先找到必要条，再证必要条件是不是充 分条件，是的话当然好；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是的话，有需加哪些条件？
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 1、满足递推关系的数列由其前k项决定， 前k项不同，得到的满足递推关系的 数列也就不同。
2、任给k个常数，就可以构造满足递推关系的数列
又因为 a0 133, a1 1211112144 133 23 所以， an能被133 整除
特征方程没有重根
3.2 递推关系
❖ 类似线性空间，如果n维线性空间里，若线性映射A有n 个线性无关的特征向量，则这n个线性无关的特征向量 做成一组基底。
❖ 属于不同特征值的特征向量线性无关， ❖ 当A有n个特征值时，这n个线性无关的特征向量做成一
72
0
8
22
42
8
14
20
6
6
因为f (0) 0, f (0) 0, 2 f (0) 8, 3 f (0) 6,所以
n k(k
k 0
1)(k
2)
n k 0
f
(k)
3 j 0
n j
11j
f
(0)
1 n4 4
5 n3 6
1 n2 4
5 6
n
3.1 差分
3.1 差分
例3.3试求一数列{ f (n)}n0使其前5项依次是1,3,7,13,21, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低
解：设数列{ f (n)}n0为所求，则其差分表为
1
3
7
13
21
2
4
6
8
2
2
2
0
0
由定理3.6，k f (0) 0(k 3)
由牛顿公式
f
(n)
En
f
(0)
n i0
n i
i
f
(0)
n2
n
1
练习
（1 练习1(1)）f (n) 2n (1)n ,求k f (n)
n
2(练习4)用差分法求和 (k 1)(k 2)2 k 0
an c1 c2 3n 4 2n , c1, c2是待定系数，由初始条件得 c1 1, c2 5，所以an 1 53n 4 2n (n 0)
常系数线性非齐次递推关系
练习
(1)习题21(1)(3)
3.3Fibonacci数 ❖ 3.3Fibonacci数
f (n)
3.3Fibonacci数
分析：因为 q是特征根 qn是解
5 13 和 5 13 是特征方程的两个特征 根
2
2
所以，特征方程为 x2 5x 3 0
从而un an是递推关系un 5un1 3un2 (n 2)的一个解，故 an 5an1 3an2 (n 2)
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：要证明 an (n 0)能被133整除，可以从数列满足 的递推关系出发 因为an 121 11n 12 144 n ,可知11,144是特征根 类似上例可知特征方程为x2 155x 1548 0 an满足递推关系an 155un1 1548un2 (n 2)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 4an1 3an2 2n (n 2)的特征方程为 x2 4x 3 0, 特征根为 x1 1, x2 3,故其通解为 an c1 c2 3n 因为2不是特征根，所以递推关系
an 4an1 3an2 2n (n 2)有特解an A 2n , A是待定系数， 代入上式得A 4,则
3(练习5)试求一数列{ f (n)}n0使其前4项依次是3,7,21,51, 其通项f (n)是n的多项式且次数最低 4(练习6)已知f (n)是n的三次多项式且f (0) 1, f (1) 1,
n
f (2) 3, f (3) 19,确定f (n),并求 f (k) k 0
3.2 递推关系
解递推关系的一般步骤 (1)解特征方程，求出特征根；q是特征根 qn是解 (2)写出通解； (3)由初始条件确定待定系数； (4)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
解：所给递推关系的特征方程为x4 8x3 22x2 24x 9 0 的特征根为x1 x2 1, x3 x4 3,所以
n
11(n 4
0)
常系数线性非齐次递推关系
3.2 递推关系
解非齐次递推关系的一般步骤 (1)先解所对应齐次递推关系，：解特征方程，求出特征根， 写出通解； (2)根据非齐次递推关系的形式，找出特解； (3)写出非齐次递推关系的通解：齐次的通解 非齐次的特解； (4)由初始条件确定待定系数； (5)得出解
特征方程没有重根
3.2 递推关系
分析：特征方程为x3 2x2 x 2 0, 特征根为x1 1, x2 1, x3 2
q是特征根 qn是解 1n 1, (1)n ,2n 是解，所以 un c1 c2 (1)n c3 2n 利用初始条件确定待定系数
特征方程没有重根
3.2 递推关系
3.2 递推关系
解：递推关系 an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)的特征方程为 x3 3x2 3x 1 0, 特征根为 x1 x2 x3 1,故其通解为 an c1 c2 n c3n2 因为1是三重特征根，所以递推关系
an 3an1 3an2 an3 24n 6(n 3)有特解an n3( An B), 其中A, B是待定系数，代入上式得A 1, B 5,则 an c1 c2 n c3n2 n4 5n3, 其中c1, c2 , c3是待定系数， 由初始条件得 c1 4, c2 17, c3 21,所以 an 4 17n 21n2 n4 5n3
定理3.20设{ f (n)}n0是Fibonacci数列，则
f
(n)
[n] 2
k 0
n
k
k
(n
0,1,2,)
n
定理3.21 f (k) f (n 2) 1
k 0
定理3.22 f (n m) f (n) f (m) f (n 1)(m 1)
3.3Fibonacci数
例：求f (20) 解：f (20) f (10 10) f (10) f (10) f (9) f (9) 又f (10) f (5 5) f (5) f (5) f (4) f (4); f (9) f (5 4) f (5) f (4) f (4) f (3); f (3) 3, f (4) 5, f (5) 9; 所以, f (10) 89, f (9) 55, f (20) 10946
2k ff ((nn)) (Ef (nI )k 1f)(n)f ((En)I )2k 33n n1 2 3n 22 3n
设 ks
s f j10
f((n(1n)))kj2skjsf(E3nnj
3, 则n 1)
s
f
(n)
2s
3n1
2s
3n
2s1
3n
由 数jk0学(1归)k纳 j 法kj 知3n j
组基底。 ❖ 若A没有n个互异特征根时，若
mi重特征值 i有mi个线性无关的特征向量
有n个线性无关的特征向量做成一组基底。
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
特征方程有重根
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
常系数线性齐次递推关系
3.2 递推关系
❖ 解的线性组合还是递推关系的解，解集合做成解 空间。因此，仿效线性空间的知识，能否找到解 空间的一组基，如果能够找到，那么通解就有了。
k
f (nk)
3n
j0
2k
(1)k
3j nkj
3
j
3n (3 1)k 2k3n
3.1 差分 ❖
3.1 差分
3.1 差分
n
例3.2求和 k(k 1)(k 2) k 0
解：令f (n) n(n 1)(n 2),则f (n)是n的三次多项式且数列