第22章 一元二次方程【复习课件】-九年级数学上册单元复习(华师大版)
一元二次方程，但是在没有特别要求的 情况下，除了形如x2+2kx+c=0 用配方
法外，一般不用;(即二次项系数为1， 一次项系数是偶数。）
配方法的一般步骤:
一化----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式;
当m为何值时，方程 m 1 x2 2mx m 3 0
（1）有两个相等实根； m-1≠0且Δ=0
（2）有两个不等实根； m-1≠0且Δ＞0
（3）有实根； （4）无实数根；
△≥0或者m-1=0 △＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有两个实数根。 △≥0且m-1≠0
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为A（ ） A．13 B． 15 C．18 D．13或18
解析 (1)配【方易法错的提关示】键(是1)配配方上法一的次前项提是系二数次一项半系的数平是方1；；（a-b)2与 （2）先（a求+b出)2 方要准程确x2区﹣分13；x（+326）=求0的三两角根形的，周再长根，据不三能角盲目形地的将三三边边关系定理，
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右 两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得 m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
易错提示 求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合， 应引起注意.
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 项是 0 .
，一次项系数是 -2
，常数
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
3、x2+ 1 ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、ax2 + bx + c＝１ ×
（ A）
A. 7
B. -2
3
C. 2
D.
3 2
知识框架
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
二次项： ax2 二次项系数：a
一次项：bx
一次项系数：b
常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一化、二移、三配、四开、五解.
1 x2 3x 0
因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程;
2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
因式分解法的一 般步骤:
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
解析 本题利用图形的变换——
平移，把零散的图形面积集中化，
图1
再建立方程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为
（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图1
答：道路宽为2米.
图2
方法总结 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要
第22章一元二次方程 （华师大版）
知识框架
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根 的 判 别 式 及 根的判别式： Δ=b2-4ac
的值的关系:
当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但 不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用 “直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行， 再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
认真做一做
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
下四块绿地面种共2300m2. x
48
52 x
BC
G
F 48
H
x
E
1
图② A D
x 图①
小颖设计的方案如图②所示， BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥E F,AB ⊥EF, ∠1=60 °.
解:(1)根据小亮的设计方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300.
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定 着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
4 x2 3x 1 0
b b2 4ac x
2a
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程
有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根；
方程根的情况与b2-4ac
会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之 间的关系，再列方程求解.
平移转化
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
针对训练
8. (易错题）要在一块长52米，宽48米的矩形绿
地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和
小颖的设计方案.
52
小亮设计的方案如图①所
示，甬面宽度均为xm,剩
得到符合题长意相的加起边来，，进而而应求养得成检三验角三形边周长长能．否成三角形的好习惯
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一 个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
二
次 一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
方
程
求 根 公式法
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac
一元二次方程的应用
2a
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方 程叫做一元二次方程．
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次 项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
公式法：a 1，b -4，c -1.
b2 - 4ac= -42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
配方法：移项，得x2 4x 1.
配方,得x2 4x 22 1 22.
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数
根，则m的取值范围是A（ ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ >0,即 42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得m 4 ,故选A.
法外，一般不用;(即二次项系数为1， 一次项系数是偶数。）
配方法的一般步骤:
一化----把二次项系数化为1(方程的两边同
时除以二次项系数a)
二移----把常数项移到方程的右边;
三配----把方程的左边配成一个完全平方式;
当m为何值时，方程 m 1 x2 2mx m 3 0
（1）有两个相等实根； m-1≠0且Δ=0
（2）有两个不等实根； m-1≠0且Δ＞0
（3）有实根； （4）无实数根；
△≥0或者m-1=0 △＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有两个实数根。 △≥0且m-1≠0
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为A（ ） A．13 B． 15 C．18 D．13或18
解析 (1)配【方易法错的提关示】键(是1)配配方上法一的次前项提是系二数次一项半系的数平是方1；；（a-b)2与 （2）先（a求+b出)2 方要准程确x2区﹣分13；x（+326）=求0的三两角根形的，周再长根，据不三能角盲目形地的将三三边边关系定理，
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右 两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得 m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
易错提示 求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合， 应引起注意.
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 项是 0 .
，一次项系数是 -2
，常数
明辨是非
判断下列方程是不是一元二次方程，若不是一元二 次方程，请说明理由？
1、(x－1)２＝４
√ ２、x2－2x=8
√
3、x2+ 1 ＝１
× ４、x２＝y+１
×
x
5、x３－２x２＝１ × 6、ax2 + bx + c＝１ ×
（ A）
A. 7
B. -2
3
C. 2
D.
3 2
知识框架
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。
3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
二次项： ax2 二次项系数：a
一次项：bx
一次项系数：b
常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
四开----利用开平方法求出原方程的两个解.
★一化、二移、三配、四开、五解.
1 x2 3x 0
因式分解法：
1.用因式分解法的条件是:方程左边能 够分解为两个因式的积,而右边等于0的 方程;
2.形如:ax2+bx=o(即常数C=0).
因式分解法的一 般步骤:
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
解析 本题利用图形的变换——
平移，把零散的图形面积集中化，
图1
再建立方程并求解.
解：设道路宽为x米，由平移得到图2，则宽为(20-x)米，长为
（32-x)米，列方程得
（20-x)(32-x)=540，
整理得 x2-52x+100=0.
解得 x1=50(舍去），x2=2.
图1
答：道路宽为2米.
图2
方法总结 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要
第22章一元二次方程 （华师大版）
知识框架
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根 的 判 别 式 及 根的判别式： Δ=b2-4ac
的值的关系:
当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但 不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用 “直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行， 再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
认真做一做
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
下四块绿地面种共2300m2. x
48
52 x
BC
G
F 48
H
x
E
1
图② A D
x 图①
小颖设计的方案如图②所示， BC=HE=xm,AB∥CD,HG∥E F,AB ⊥EF, ∠1=60 °.
解:(1)根据小亮的设计方案列方程，得（52-x)(48-x)=2300.
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定 着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
4 x2 3x 1 0
b b2 4ac x
2a
公式法：
用公式法的条件是:适应于任何一个
一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程
有实数根， b2-4ac<0则方程无实数根;
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根；
方程根的情况与b2-4ac
会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之 间的关系，再列方程求解.
平移转化
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
针对训练
8. (易错题）要在一块长52米，宽48米的矩形绿
地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和
小颖的设计方案.
52
小亮设计的方案如图①所
示，甬面宽度均为xm,剩
得到符合题长意相的加起边来，，进而而应求养得成检三验角三形边周长长能．否成三角形的好习惯
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一 个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
二
次 一元二次方程的解法 配 方 法 二次项系数为1，而一次项系数为偶数
方
程
求 根 公式法
化成一般形式ax2 bx c 0 a 0
当b2 4ac 0时,x b b2 4ac
一元二次方程的应用
2a
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方 程叫做一元二次方程．
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次 项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
公式法：a 1，b -4，c -1.
b2 - 4ac= -42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
配方法：移项，得x2 4x 1.
配方,得x2 4x 22 1 22.
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数
根，则m的取值范围是A（ ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ >0,即 42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得m 4 ,故选A.
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华师大版九年级数学上册同步教学课件 第22章单元复习
17．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工 具．某运动商场的自行车销售量自2016年起逐月增加，据统计，该商场1 月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
(1)若该商场前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，问该商场4月 份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备投入3万元再购进一批两 种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型 车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验A型车不少于B 型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润 最大，该商场应如何进货？
C．±2
D．±12
3．关于x的一元二次方程5x2－2 5x＋1＝0的根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．无实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
4．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则xx21＋xx12的值为( B ) A．5 B．－5 C．1 D．－1
5．(2015·广州)已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且
解：(1)设月平均增长率为x，根据题意得64(1＋x)2＝100，解得x＝0.25＝
25%或x＝－2.25(舍去).4月份的销量为100(1＋25%)＝125(辆)．答：该商场4月
30000－500a 份卖出125辆自行车 (2)设购进A型车a辆，则购进B型车 1000 辆，根据
30000－500a
这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长
为( B ) A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
6．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，
九年级数学上册 第22章 一元二次方程章末复习备选课件 华东师大级上册数学课件
式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 0 7 .
b b 2 4 ac x
2a
9 17
22 9 17 .
4
w2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
w3.计算: b2-4ac的值;
w4.代入:把有关数值代入公式
计算;
w5.定解:写出原方程的根.
9 17 9 17 x 4 112/8/2021 ;x2 4 .
Image
12/8/2021
第十五页，共十五页。
(xa)(xa)0
运用(yùnyòng)平方差公 式得：
xa0 或 xa0
x1 a x 2 a
x22a形x如a20
(x a)2 0
的式子运用完全平方公式得：
x1 x2 a 或 x1 x2 a
12/8/2021
第八页，共十五页。
例题(lìtí)讲解
例1 解下列(xiàliè)方程
16(2（x1)）290
第十三页，共十五页。
用公式(gōngshì)法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成(huà chénɡ)一般形
式。 并写出a，b，c的
值。
2、求出b2-4ac的值，将其与0
比较。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
12/8/2021
第十四页，共十五页。
44
x112/8/20921417;x29417. w7.定解:写出原方程的解.
第十一页，共十五页。
4. 公式 法 (wgōng一shì般) (yībān)地,对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 0 7 .
b b 2 4 ac x
2a
9 17
22 9 17 .
4
w2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
w3.计算: b2-4ac的值;
w4.代入:把有关数值代入公式
计算;
w5.定解:写出原方程的根.
9 17 9 17 x 4 112/8/2021 ;x2 4 .
Image
12/8/2021
第十五页，共十五页。
(xa)(xa)0
运用(yùnyòng)平方差公 式得：
xa0 或 xa0
x1 a x 2 a
x22a形x如a20
(x a)2 0
的式子运用完全平方公式得：
x1 x2 a 或 x1 x2 a
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第八页，共十五页。
例题(lìtí)讲解
例1 解下列(xiàliè)方程
16(2（x1)）290
第十三页，共十五页。
用公式(gōngshì)法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成(huà chénɡ)一般形
式。 并写出a，b，c的
值。
2、求出b2-4ac的值，将其与0
比较。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
12/8/2021
第十四页，共十五页。
44
x112/8/20921417;x29417. w7.定解:写出原方程的解.
第十一页，共十五页。
4. 公式 法 (wgōng一shì般) (yībān)地,对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第二课时共23张)
（2）有两个不等实根；m-1≠0且Δ＞0
（3）有两个实数根； △≥0且m-1≠0
（4）无实数根；
△＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有实根.
△≥0或者m-1=0
*知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 的两个根为：
x1 b
数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与
系数的关系.
3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根 的情况.
课后巩固
1、下列方程无实数根的是
。
①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0；
③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)；
⑤ 2 x2+ 6 x+1＝0.
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求下式的值: (1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
11 (3) x12 x22
4、不解方程，判断下列方程根的情况： ① x²-4x-1=0 ② x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
5、k取何值时，方程4x²-(k+2)x+(k-1)=0 ①有一个根是-1; ②有两个相等的实根.
配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
求根公式法 x b b2 4ac 0
2a
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第一课时共30张)
故m=-1 二次项系数非零是一元二次方程存在 的前提条件！
及时反馈
1、下列方程是不是一元二次方程，若不是 一元二次方程，请说明理由：
(1) (x-1)2=4 (2) x2-2x=8 (3) x2=y+1
(4) x3-2x2=1 (5) ax2+bx+c=0 (6) 32x+x=1 (7) x2-3x+4=x2-7 (8) 3x2 1 2 0
华东师大版九年级上册
第22章 一元二次方程 章末复习 第一课时
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程 方程两边都是整式
的定义
只含有一个未知数
一 ax²+bx+c=0(a0) 未知数的最高次数是2
元
直接开平方法 (x a)2 b b 0
二
次 一元二次方程
方
的解法
程
因式分解法 (x a)(x b) 0
⑤(x-3)2=2(3-x) ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0
⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2-16=0 ⑩x2-6x-9991=0
合适运用直接开平方法的
；
合适运用因式分解法的
；
合适运用公式法的
；
合适运用配方法的
.
3、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加
一条竖线记成 a
c
b ，定义 a
一元二次方程，则( C )
A、m=±2
B、m=2
C、m=-2
D、m≠ ±2
4、若 m 2x2 m 2x 2 0是关于x的一元
二次方程，则m 。
5、若方程 (m 2)xm2 2 (m 1)x 2 0 是 关于x的一元二次方程，则m的值为 。
及时反馈
1、下列方程是不是一元二次方程，若不是 一元二次方程，请说明理由：
(1) (x-1)2=4 (2) x2-2x=8 (3) x2=y+1
(4) x3-2x2=1 (5) ax2+bx+c=0 (6) 32x+x=1 (7) x2-3x+4=x2-7 (8) 3x2 1 2 0
华东师大版九年级上册
第22章 一元二次方程 章末复习 第一课时
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程 方程两边都是整式
的定义
只含有一个未知数
一 ax²+bx+c=0(a0) 未知数的最高次数是2
元
直接开平方法 (x a)2 b b 0
二
次 一元二次方程
方
的解法
程
因式分解法 (x a)(x b) 0
⑤(x-3)2=2(3-x) ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0
⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2-16=0 ⑩x2-6x-9991=0
合适运用直接开平方法的
；
合适运用因式分解法的
；
合适运用公式法的
；
合适运用配方法的
.
3、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加
一条竖线记成 a
c
b ，定义 a
一元二次方程，则( C )
A、m=±2
B、m=2
C、m=-2
D、m≠ ±2
4、若 m 2x2 m 2x 2 0是关于x的一元
二次方程，则m 。
5、若方程 (m 2)xm2 2 (m 1)x 2 0 是 关于x的一元二次方程，则m的值为 。
华师大版九年级上册课件22章一元二次方程复习课
22章 一元二次方程
选择适当的方法求解下列方程
(1) (x 10)2 3
-----直接开平方法
(2) x2 6x 3 0 -----配方法
（3） 9x2 10x 4 0 -------公式法
(4) 2x2 5x 0 ----------因式分解法
(1)直接开平方法
一
元 二 (2)因式分解法
时
x b
b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何一个 一元二次方程
随堂 练习 用适当方法解下列方程 （1） ( x 1)2 0
（2） x2 4x 5 0
(3) 5x2 x 0
（4） 3x2 6x 2 0
（5） 3x 22 4x2 0
随堂 练习 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5(x2-1)-x=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）6x22+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程（k+1)x2-2(k-1)x+k=0有 两个不相等实数根，求k的取值范围.
次
x2=b(b 0)
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于没有一次项的 一元二次方程
适应于左边能分解 为两个一次式的积 右边是0的方程
方 程 (3) 配方法 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何一个 一元二次方程
解 法
(4)公式法
当b2 4ac 0
选择适当的方法求解下列方程
(1) (x 10)2 3
-----直接开平方法
(2) x2 6x 3 0 -----配方法
（3） 9x2 10x 4 0 -------公式法
(4) 2x2 5x 0 ----------因式分解法
(1)直接开平方法
一
元 二 (2)因式分解法
时
x b
b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何一个 一元二次方程
随堂 练习 用适当方法解下列方程 （1） ( x 1)2 0
（2） x2 4x 5 0
(3) 5x2 x 0
（4） 3x2 6x 2 0
（5） 3x 22 4x2 0
随堂 练习 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）5(x2-1)-x=0;
（2）9x2+6x+1=0;
（3）6x22+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程（k+1)x2-2(k-1)x+k=0有 两个不相等实数根，求k的取值范围.
次
x2=b(b 0)
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于没有一次项的 一元二次方程
适应于左边能分解 为两个一次式的积 右边是0的方程
方 程 (3) 配方法 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何一个 一元二次方程
解 法
(4)公式法
当b2 4ac 0
华师大版九年级数学上册课件：第二十二章单元知识梳理 (共23张PPT)
跟踪训练
x3=0，x4=-3
名师讲解
要点三：一元二次方程的解法
【例3】（1）方程x2-4x=0的解是
;
（2）方程x2-3x+1=0的解是
;（3）方程(x-1)2=4的解是
;
（4）解方程：x2+4x+1=0.
【分析】要注意对方程的结构及系数特征进行观察，以便选用最为
合适的方法.（1）可采用因式分解法，（3）可直接开方， （2）（4）可用公式法或配方法.
【解答】
跟踪训练
4.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为 （ B ）
A.4或-2 B.4 C.-2 D.-4 5.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2-
13x+40=0的根，则该三角形的周长为 12 ．
跟踪训练
跟踪训练
名师讲解
要点四：配方法的应用 【例4】用配方法证明，多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值. 【分析】此题首先将两式相减，然后再用配方法确定正负即可. 【解答】据题意得（2x4-4x2-1）-（x4-2x2-4）=2x4-4x2-1-
名师讲解
设销售单价定为x元，则月销售量为［500-(x-50)×10］千克， 每千克销售利润为(x-40)元， 月销售利润为｛(x-40)［500-(x-50)×10］｝元， 即（-10x2+1400x-40000）元， 由题意可列方程-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80. 当x=60时，月销售成本是: 40×［500-(60-50)×10］=16000（元）； 当x=80时，月销售成本是: 40×［500-(80-50)×10］=8000（元）. 由于8000<10000<16000，所以销售单价应为每千克80元.
华东师大版年九年级数学上册22.1 一元二次方程课件 (共29张PPT)
形的边长；
2x2 31
（2）一个数比另一个数小3，且两数之积为10，求
这个数；
xx310
（3）绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，
开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽
多10米，那么绿地的长和宽各为多少？xx10900
（4）学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明
年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
22.1 一元二次方程
复习引入
1.什么叫整式方程？什么样的方程叫一元 二次方程？试举例说明.
方程里所有的未知数都出现在分子上，分 母只是常数而没有未知数，这样的方程是整式 方程.
含有两个未知数，并且含有未知数的项的 最高次数是二的整式方程是一元二次方程.
2.根据下列问题，设未知数列方程.
（1）一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方
例题解析
例1：把方程 3 x x 1 2 x 2 8化
成一般形式，并指出它的二次项系数、一 次项系数及常数项.
解 ： 去 括 号 ， 得 3 x 2 3 x 2 x 4 8 ,
化 简 ， 得 3 x 2 5 x 1 2 0 . 二 次 项 系 数 是 3， 一 次 项 系 数 是 5， 常 数 项 是 12.
巩固练习
1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说
明理由.
1 3x 2 1 x2;2 y y 5;
√
3
3 y2 2x 3 0;4 x2 2 3x 4 0;
5
1 y2
y
3
√ 0;6 y2
√
3y
4
y
12 ;
7 px2 qx m 0 p 0 .
√
2.将下列一元二次方程化为一般形式，并指 出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
第22章 一元二次方程复习 华师大版数学九年级上册课件
（2）方程有两个相等的实数根？
（3）方程有两个不相等的实数根？
四、一元二次方程根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2 ，
则有x1+x2=
,x1.x2=
练习:
1. 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根为2，
则k= -7 ，另一个根为
。
2.设一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根
五、列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审 (2) 设 (3) 列 (4) 解 (5) 验 (6) 答
例3:P31例5.某公司今年1月份的生产成本中是
400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降， 3月份的生产成本是361万元。假设该公司2、3、 4月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本。
2.一元二次方程的一般形式是
ax2 bx c 0 (a 0)
练一练：
1.下列方程，是一元二次方程的是（ C ）
A. x 2 2(x 1) B. x2 2x y 2
C. x2 2 2x
D. 2 x2 3 x
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二
次方程. 当m ＝2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是
经检验x1=10不合题意，舍去
作业：
1.记忆相关知识点； 2.完成点击中考上相应练习。
当二次项系数为1的时候， 方程两边同时加上一次项 系数一半的平方
4.公式法: 当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
练习： 用适当的方法解下列方程:
(1)x2-3x=0
（3）方程有两个不相等的实数根？
四、一元二次方程根与系数的关系
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2 ，
则有x1+x2=
,x1.x2=
练习:
1. 已知方程 5x2 kx 6 0 的一个根为2，
则k= -7 ，另一个根为
。
2.设一元二次方程 x2 3x 1 0 的两个根
五、列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1) 审 (2) 设 (3) 列 (4) 解 (5) 验 (6) 答
例3:P31例5.某公司今年1月份的生产成本中是
400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下降， 3月份的生产成本是361万元。假设该公司2、3、 4月每个月生产成本的下降率都相同。 （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本。
2.一元二次方程的一般形式是
ax2 bx c 0 (a 0)
练一练：
1.下列方程，是一元二次方程的是（ C ）
A. x 2 2(x 1) B. x2 2x y 2
C. x2 2 2x
D. 2 x2 3 x
2. 当m ≠2 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二
次方程. 当m ＝2 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是
经检验x1=10不合题意，舍去
作业：
1.记忆相关知识点； 2.完成点击中考上相应练习。
当二次项系数为1的时候， 方程两边同时加上一次项 系数一半的平方
4.公式法: 当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
练习： 用适当的方法解下列方程:
(1)x2-3x=0
九年级数学上册 第22章 一元二次方程单元复习课件华东师大级上册数学课件
)
C
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
第十五页，共二十三页。
13．(2019·恩施州)某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月
份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均(píngjūn)增长率相同，则每
C．(x－2)2＝3 D．( x－2)2＝5
第五页，共二十三页。
5．用恰当(qiàdàng)的方法解方程： (1)4x2－144＝0
解：x1＝6，x2＝－6 x2＝－3－4 33
(2)2x2＋3x＝3；
解：x1＝－3＋4 33
第六页，共二十三页。
(3)x2－2x＋1＝25 解：x1＝6，x2＝－4
(1)求2018年甲类芯片的产量；
解：(1)设2018年甲类芯片的产量(chǎnliàng)为x万块，由题意得x＋2x＋(x＋2x)＋400 ＝2800，解得x＝400，答：2018年甲类芯片的产量为400万块
第二十页，共二十三页。
(2)HW公司计划2020年生产(shēngchǎn)的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯 片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的 产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百 分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年 的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量 多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售
价格为多少元？
【最新】华师大版九年级数学上册课件：第22章 一元二次方程 复习
2
4、若△ABC的三条边长都满足方程x2 – 6x +8 = 0 ，
则△ABC的周长为 6 、10或12
5、（
。
2011重庆）已知关于x的一元二次方 程(a－1)x2－2x+1=0 有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2
通过学习，谈谈你本节课的收获。
练习
用配方法解下列方程
（1） x2+6x-7=0
（ 2）
2x2+8x-5=0
四 公式法
一般地,对于一元二次方程
当b2 4ac 0时, 它的根是:
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一元二次方程。 2.b2-4ac≥0.
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x=
a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类; 5.开方:两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
( x a)( x a) 0
4、若△ABC的三条边长都满足方程x2 – 6x +8 = 0 ，
则△ABC的周长为 6 、10或12
5、（
。
2011重庆）已知关于x的一元二次方 程(a－1)x2－2x+1=0 有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( ) A.a<2 B,a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－2
通过学习，谈谈你本节课的收获。
练习
用配方法解下列方程
（1） x2+6x-7=0
（ 2）
2x2+8x-5=0
四 公式法
一般地,对于一元二次方程
当b2 4ac 0时, 它的根是:
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
ax2+bx+c=0(a≠0)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一元二次方程。 2.b2-4ac≥0.
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x=
a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程： 2x2-9x+8=0
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类; 5.开方:两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
形如
x2 a2 0 运用平方差公式得：
( x a)( x a) 0