九年级数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]

九年级数学几何模型压轴题中考真题汇编[解析版]

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．

（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE

△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；

（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有

EF=BE+DF；

（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；

（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即

180

ADG ADF

∠+∠=?，即180

B D

∠+∠=?；

（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．

【详解】

（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）解：∠B+∠D=180°，

理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴F、D、G在一条直线上，

和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22

AB AC

+，

如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ． 则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ， ∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°， ∴∠FAD=∠DAE=45°， 在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =??

∠=∠??=?

∴△FAD ≌△EAD ， ∴DF=DE ， 设DE=x ，则DF=x ， ∵BD=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ， ∵∠FBA=45°，∠ABC=45°， ∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：222DF BF BD =+，

22(3)1x x =-+，

解得：x=53

， 即DE=

53． 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．

2．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点．

（1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明；

（2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转(

)

090a α?

<

（3）将CDF 绕点C 逆时针旋转一周，如果6BC =，32CF =，直接写出线段CE 的

范围．

【答案】（1）ED EB =，DE BE ⊥，证明见解析；（2）结论不变，理由见解析；（3）最大值22= 最小值32

2

=． 【解析】 【分析】

（1）在Rt △ADF 中，可得DE=AE=EF ，在Rt △ABF 中，可得BE=EF=EA ，得证ED=EB ；然后利用等腰三角形的性质以及四边形ADFB 的内角和为180°，可推导得出∠DEB=90°； （2）如下图，先证四边形MFBA 是平行四边形，再证△DCB ≌△DFM ，从而推导出△DMB 是等腰直角三角形，最后得出结论；

（3）如下图，当点F 在AC 上时，CE 有最大值；当点F 在AC 延长线上时，CE 有最小值． 【详解】

（1）∵DF ⊥AC ，点E 是AF 的中点 ∴DE=AE=EF ，∠EDF=∠DFE ∵∠ABC=90°，点E 是AF 的中点 ∴BE=AE=EF ，∠EFB=∠EBF ∴DE=EB ∵AB=BC ， ∴∠DAB=45°

∴在四边形ABFD 中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135°

∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE ⊥EB

（2）如下图，延长BE 至点M 处，使得ME=EB ，连接MA 、ME 、MF 、MD 、FB 、DB ，延长MF 交CB 于点H

∵ME=EB，点E是AF的中点

∴四边形MFBA是平行四边形

∴MF∥AB，MF=AB

∴∠MHB=180°－∠ABC=90°

∵∠DCA=∠FCB=a

∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a

∵∠DCF=45°，∠CDF=90°

∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形

∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a

∴∠DCB=∠DFM

∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形

∴DC=DF，BC=AB=MF

∴△DCB≌△DFM(SAS)

∴∠MDF=∠BDC，DB=DM

∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90°

∴△DMB是等腰直角三角形

∵点E是MB的中点

∴DE=EB，DE⊥EB

（3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：

∵BC=6，∴在等腰直角△ABC中，AC=62∵CF=32，∴AF=32

∴CE=CF+FE=CF+1

2AF92

2

=

当点F在AC延长线上时，CE有最小值，图形如下：

同理，CE=EF－CF

32

2 =

【点睛】

本题考查三角形的旋转变换，用到了等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质，解题关键是构造并证明△BDM是等腰直角三角形．

3．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

操作发现

（1）某小组做了有一个角是120?的等腰三角形DAC和等边三角形GEB纸片，

DA DC

=，让两个三角形如图①放置，点C和点G重合，点D，点E在AB的同侧，AC

和GB 在同一条直线上，点F 为AB 的中点，连接DF ，EF ，则DF 和EF 的数量关系与位置关系为：________； 数学思考

（2）在图①的基础上，将GEB 绕着C 点按顺时针方向旋转90?，如图②，试判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，并说明理由； 类比探索

（3）①将GEB 绕着点C 任意方向旋转，如图③或图④，请问DF 和EF 的数量关系和位置关系改变了吗？无论改变与否，选择图③或图④进行证明；

②GEB 绕着点C 旋转的过程中，猜想DF 与EF 的数量关系和位置关系，用一句话表述：________.

【答案】（1）3EF DF =，DF EF ；

（2）3EF DF =，DF EF ,理由见解析;

（3）①3EF DF =，DF EF ;②旋转过程中3EF DF =，DF

EF 始终成立.

【解析】 【分析】

（1）由题意过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，利用等边三角形和中点性质设DM a =，2GB b =，结合相似三角形判定和性质进行综合分析求解； （2）根据题意要求判断DF 和EF 的数量关系和位置关系，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，并综合利用垂直平分线定理以及矩形和等边三角形性质与三角函数进行综合分析； （3）①根据题意延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，并利用全等三角形判定和性质以及三角函数进行分析证明；

②由题意可知结合①猜想可知旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.

【详解】

解：（1）3EF DF =，DF

EF ；

如解图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，过点E 作EN AB ⊥于点N ，

AD CD =，EGB 为等边三角形. AM MC ∴=，GN BN =. 又点F 为AB 的中点， AF BF ∴=.

()1

2

MF CF NC NB AC AM CB MC NC +=++=+=+∴.

MF NC NB ∴==，CF CN FN AM +==. 设DM a =，2GB b =，

120ADC ∠=?，DA DC =，

3AM a ∴=，3FN a =，MF NC NB b ===. tan 33EGB NE GN GN b =?==∠.

在DMF 和FNE 中，

3

3DM FN a ==

， 3

3MF NE b

==

， 又

90DMF FNE ∠=∠=?， DMF FNE ∴∽.

MDF NFE ∴∠=∠，

3

DF DM FE FN ==

，即3EF DF =. 90MDF DFM ∠+∠=?，

90DFM NFE ∴∠+∠=?. 90DFE ∴∠=?.

3EF DF ∴=且DF

EF .

（2）3EF DF =，DF

EF .

理由如下：

如解图，连接CF ，OB 与AE 交于点M ，当旋转角是90?时，则90ACB ∠=?，在

Rt ACB △中，点F 是AB 的中点，

CF BF ∴=.

又

CE EB

=，

EF ∴垂直平分BC.同理，DF 垂直平分AC ， ∴四边形LCMF 为矩形， 90DFE ∴∠=?.

DF EF ∴⊥，//AC EF .

DA DC =，120ADC =∠?，30DCA ∴∠=?. GEB 为等边三角形， 60ECB ∴∠=?.

∴∠DCA+∠ACB+∠ECB=180^° ∴D ，C ，E 三点共线.

30DCA DEF ∴∠=∠=?.

∴在Rt DEF △中，3tan 3

3

DE DF F F E DF

===∠； （3）①3EF DF =，DF EF .

选择题图进行证明：

如解图，延长DF 并截取FN DF =，连接NE ，连接NB 并延长交CE 于点P ，交DC 的延长线于点O ，连接DE ，

在ADF 和BNF 中，

AF BF AFD BFN DF NF =??

∠=∠??=?

， ()SAS ADF BNF ∴?.

AD NB ∴=，ADF BNF ∠=∠. //AD NB ∴.

18060O ADC ∴∠=?-∠=?.

又CPO BPE ∠=∠，60O CEB ∠=∠=?， OCP OBE ∴∠=∠. DCE NBE ∴∠=∠. 又GEB 是等边三角形， GE BE ∴=，

又AD BN CD ==，

()

SAS

DCE NBE

∴?.

DE NE

∴=，BEN CED

∠=∠.

BEN BED CED BED

∴∠+∠=∠+∠，

即60

NED BEC

∠=∠=?.

DEN

∴是等边三角形.

又DF FN

=，

DF EF

∴⊥，60

FDE

∠=?.

tan3

E E

F DF DF

FD

∴∠

=?=.

或选择图进行证明，证明如下：

如解图，延长DF并延长到点N，使得FN DF

=，

连接NB，DE，NE，NB与CD 交于点O，EB与CD相交于点J，在ADF 和BNF中，

AF BF

AFD BFN

DF NF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

()

SAS

ADF BNF

∴?.

AD NB

∴=，ADF BNF

∠=∠.

//

AD NB

∴.

120

NOC ADC

∴∠=∠=?.

60

BOJ

∴∠=?，60

JEC

∠=?.

又OJB EJC

∠=∠，

OBE ECJ

∴∠=∠.

AD CD

=，AD NB

=，

CD NB

∴=.

又GEB是等边三角形，

CE BE

∴=.

()

SAS

DCE NBE

∴?.

DE NE

∴=，BEN CED

∠=∠.

BEN BED CED BED

∴∠-∠=∠-∠，

即60

NED BEC

∠=∠=?.

DEN

∴是等边三角形.

又DF FN

=，

DF EF ∴⊥，60FDE ∠=?. tan 3E E F DF DF FD ∴∠=?=.

②旋转过程中3EF DF =，DF EF 始终成立.

【点睛】

本题考查几何图形的综合探究题，难度大，运用数形结合思维分析以及掌握并灵活利用全等三角形判定和性质以及三角函数、相似三角形判定和性质等是解题关键.

错因分析：①未掌握旋转的性质，即旋转前后线段、角度均不变；②不能合理利用类比关系，由浅到深解决问题.

4．如图，△ABC 和△DEC 都是等腰三角形，点C 为它们的公共直角顶点，连接AD 、BE ，F 为线段AD 的中点，连接CF ．

（1）如图1，当D 点在BC 上时，BE 与CF 的数量关系是__________；

（2）如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

【答案】（1）BE=2CF ；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析. 【解析】

试题分析：（1）根据“SAS ”证明△ACD ≌△BCE ，可得AD =BE ，又因为AD =2CF ，从而BE=2CF ；

（2）由点F 是AD 中点，可得AD =2DF ，从而AC = 2DF +CD ，又由△ABC 和△CDE 是等腰直角三角形，可知BC =2DF +CE ，所以BE = 2（DF +CE ），CF = DF +CD ，从而BE =2CF ； （3）延长CF 至G 使FG =CF ，即：CG=2CF ，可证△CDF ≌△GAF ，再证明△BCE ≌△ACG ，从而BE =CG =2CF 成立.

解：（1）∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC=BC ，

∵△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=CE ，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，

∴AD=2CF，

∴BE=2CF，

故答案为BE=2CF；

（2）（1）中的关系是仍然成立，

理由：∵点F是AD中点，

∴AD=2DF，

∴AC=AD+CD=2DF+CD，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，CD=CE，

∴BC=2DF+CE，

∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），

∵CF=DF+CD=DF+CD，

∴BE=2CF；

（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，

延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，

∵点F是AD中点，

∴AF=DF，

在△CDF和△GAF中，，

∴△CDF≌△GAF，

∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，

∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，

连接BE，

在△BCE和△ACG中，，

∴△BCE≌△ACG，

∴BE=CG=2CF，

即：BE=2CF．

点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．

5．(1)问题发现

如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.

填空:线段AD,BE之间的关系为 .

(2)拓展探究

如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.

(3)解决问题

如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.

【答案】(1) AD=BE，AD⊥BE．(2) AD=BE，AD⊥BE．22．

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），得AD=BE，∠EBC=∠CAD，延长BE

交AD于点F，由垂直定义得AD⊥BE．

（2）根据等腰三角形性质证△ACD≌△BCE（SAS），AD=BE，∠CAD=∠CBE，由垂直定义得∠OHB=90°，AD⊥BE；

（3）作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故22【详解】

（1）结论：AD=BE，AD⊥BE．

理由：如图1中，

∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ， ∠ACB=∠ACD=90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中

AC BC ACD BCE CD CE ??

∠∠???

＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F ， ∵BC ⊥AD ， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF ， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ． ∴AD=BE ，AD ⊥BE ． 故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ． （2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．

理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于

O ．

∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE ， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中

AC BC

ACD BCE

CD

CE

?

?

∠∠

?

?

?

＝

＝

＝

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，

∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，

∴∠BOH+∠OBH=90°，

∴∠OHB=90°，

∴AD⊥BE，

∴AD=BE，AD⊥BE．

（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE=PA，则易证△APE≌△ACP，∴PC=BE，

图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-32，图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，∴5-32≤BE≤5+32，

即5-32≤PC≤5+32．

【点睛】

本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

6．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B

顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为

2

1.(2

a 提示：过点D 作BC

边上的高

DE ，可证ABC ≌)BDE

()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺

时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．

()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针

旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．

【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为

2

12

a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为

2

14a ． 【解析】 【分析】

()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出

ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；

()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出

ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；

()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形

的性质可以得出1

BF BC 2

=

，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】

()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，

BED ACB 90∠∠∴==，

由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，

ABC DBE 90∠∠∴+=，

A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC

B BED A DBE AB BD ∠=∠??

∠=∠??=?

，

ABC

∴≌()BDE AAS BC DE a ∴==，

BCD 1

S BC DE 2=?，

2BCD 1

S a 2

∴=；

()2BCD 的面积为21a 2

，

理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，

BED ACB 90∠∠∴==，

线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，

AB BD ∴=，ABD 90∠=， ABC DBE 90∠∠∴+=，

A ABC 90∠∠+=， A DBE ∠∠∴=， 在ABC 和BDE 中， AC

B BED A DBE AB BD ∠=∠??

∠=∠??=?

， ABC ∴≌()BDE AAS ， BC DE a ∴==，

BCD 1

S BC DE 2=?，

2BCD 1

S a 2

∴=；

()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，

AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22

==， FAB ABF 90∠∠∴+=，

ABD 90∠=，

ABF DBE 90∠∠∴+=，

FAB EBD ∠∠∴=，

线段BD 是由线段AB 旋转得到的，

AB BD ∴=，

在AFB 和BED 中，

AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠??

∠=∠??=?

， AFB ∴≌()BED AAS ， 1BF DE a 2

∴==， 2BCD

1111

S

BC DE a a a 2224

=

?=??=， BCD ∴的面积为21

a 4

．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.

7．两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F 是DE 的中点，H 是AE 的中点，G 是BD 的中点．

（1）如图1，若点D 、E 分别在AC 、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想FH 和FG 的数量关系为______和位置关系为______；

（2）如图2，若将三角板△DEC 绕着点C 顺时针旋转至ACE 在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （3）如图3，将图1中的△DEC 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．

【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．

【解析】

试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=1

2

AD，FH∥AD，FG=

1

2

BE，

FG∥BE，即可推出答案；

（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案；（3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案．试题解析：

（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，

∴BE=AD，

∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，

∴FH=1

2

AD，FH∥AD，FG=

1

2

BE，FG∥BE，

∴FH=FG，

∵AD⊥BE，

∴FH⊥FG，

故答案为相等，垂直．

（2）答：成立，

证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH=1

2

AD，FH∥AD，FG=

1

2

BE，FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴（1）中的猜想还成立．