江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试
数学
注意事项:
1. 本试卷共160分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合A={1,3},B={1,2,m},若A∪B=B,则实数m= .
2.若复数
(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a= .
-
3.某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为.
4.已知a,b∈{1,2,3,4,5,6},直线l1:2x+y-1=0,l2:ax-by+3=0,则直线l1⊥l2的概率为.
(第5题)
5.根据如图所示的伪代码,当输入的a的值为3时,最后输出的S的值为.
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.
7.已知变量x,y满足约束条件
目标函数z=3x+y的最小值为5,则c的值
-
为.
8.若函数y=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后,与函数y=sin-的图象重合,则φ=.
9.已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1·a2·…·a n的最大值
为.
10.过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ABCD的面积为.
11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,P为右支上任意一点,则的最小值为.
12.在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠A=,M为DC的中点,N为平面ABCD内一点,若|-|=|-|,则·= .
13.已知函数f(x)=--
-
g(x)=-x2-2x-2.若存在a∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b
的取值范围是.
14.若函数f(x)=(x+1)2|x-a|在区间[-1,2]上单调递增,则实数a的取值范围
是.
二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)如图,四边形ABCD是菱形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=2AF.
(1) 求证:AC⊥平面BDE;
(2) 求证:AC∥平面BEF.
(第15题)
16. (本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,C=2A.
(1) 求cos B的值;
(2) 若ac=24,求△ABC的周长.
17. (本小题满分14分)如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸
线,∠CAB=,AB⊥BD,是以A为圆心,半径为1 km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线-PQ,其中P为上异于B,C的一点,PQ与AB平行,设∠PAB=θ.
(1) 求证:观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小;
(2) 已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时,观光专线
-PQ的修建总成本最低?请说明理由.
(第17题)
18. (本小题满分16分)如图,已知椭圆E:+=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别为左、右顶点,原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 若△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;
(3) 求过点B,C,P的圆的方程(结果用t表示).
(第18题)
19. (本小题满分16分)已知数列{a n}满足--·…·-=,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项和.
(1) 求数列{a n}的通项公式;
(2) 若a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,求正整数p,q的值;
(3) 是否存在k∈N*,使得为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.
20. (本小题满分16分)已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.
(1) 求过点(2,0)且与函数y=f(x)的图象相切的直线方程;
(2) 若对任意的x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围;
(3) 若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<g(x0),求a的取值范围.
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试
数学附加题
注意事项:
1. 附加题供选修物理的考生使用.
2. 本试卷共40分,考试时间30分钟.
3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
21. (本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=,若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-,属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,求矩阵A.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ,且直线l与圆C相交,求实数m的取值范围.
23. (本小题满分10分)某公司有A,B,C,D四辆汽车,其中A车的车牌尾号为0,B,C两辆车的车牌尾号为6,D车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车.已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为,B,C两辆汽车每天出车的概率为,且四辆汽车是否出车是相互独立的.
(1) 求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率;
(2) 设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ξ的分布列和数学期望.
24. (本小题满分10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ABP是等边三角形,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,E是线段AB的中点,PE⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2.
(1) 求二面角P-CD-AB的正弦值;
(2) 试在平面PCD上找一点M,使得EM⊥平面PCD.
(第24题)。
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学答案
江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. 32. 63. 474.5. 216.50π7. 58.9. 1 02410. 1911. 812. 613. (-2,0)14. (-∞,-1]∪15. (1) 因为DE⊥平面ABCD,(第15题)所以DE⊥AC.(2分) 因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.(4分) 因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.(6分) (2) 如图,设AC∩BD=O,取BE的中点G,连接FG,OG,所以OG∥DE且OG=DE.(8分)因为AF∥DE,DE=2AF,所以AF∥OG且AF=OG,从而四边形AFGO是平行四边形,FG∥AO.(10分) 因为FG⊂平面BEF,AO⊄平面BEF,所以AO∥平面BEF,即AC∥平面BEF.(14分) 16. (1) 因为cos A=,所以cos C=cos2A=2cos2A-1=2×-1=.(3分) 在△ABC中,因为cos A=,所以sin A=.(4分) 因为cos C=,所以sin C=-=, (5分) 所以cos B=-cos(A+B)=sin A sin B-cos A cos B=.(7分) (2) 根据正弦定理=,得=.又ac=24,所以a=4,c=6, (10分) b2=a2+c2-2ac cos B=25, b=5,所以△ABC的周长为15.(14分) 17. (1) 由题意知∠CAP=-θ,所以=-θ,又PQ=AB-AP cosθ=1-cosθ,所以观光专线的总长度为f(θ)=-θ+1-cosθ=-θ-cosθ++1,0<θ<.(3分) 因为当0<θ<时,f'(θ)=-1+sinθ<0, (5分) 所以f(θ)在上单调递减,即观光专线-PQ的总长度随θ的增大而减小.(6分) (2) 设翻新道路的单位成本为a(a>0),则总成本g(θ)=a--=a--,0<θ<, (8分) g'(θ)=a(-1+2sinθ), (9分) 令g'(θ)=0,得sinθ=,因为0<θ<,所以θ=.(10分) 当0<θ<时,g'(θ)<0,当<θ<时,g'(θ)>0.(12分) 所以当θ=时,g(θ)最小.(13分) 答:当θ=时,观光专线-PQ的修建总成本最低.(14分) 18. (1) 因为椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,所以a2=2c2,b=c, (1分) 所以直线DB的方程为y=-x+b.又O到直线BD的距离为,所以=,所以b=1,a=(3分) 所以椭圆E的方程为+y2=1.(4分) (2) 设P(,t),t>0,直线PA的方程为y=(x+), (5分) 由整理得(4+t2)x2+2t2x+2t2-8=0,解得x C=-,则点C的坐标是-,.(7分)(第18题)因为△ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以△AOC的面积等于△BPC的面积,S△AOC=××=,S△PBC=×t×--=,则=,解得t=.(9分) 所以直线PA的方程为x-2y+=0.(10分) (3) 因为B(,0),P(,t),C-,所以BP的垂直平分线为y=,BC的垂直平分线为y=x-,所以过B,C,P三点的圆的圆心为, (12分) 则过B,C,P三点的圆的方程为+-=+, (14分) 即所求圆的方程为x2-x+y2-ty+=0.(16分) 19. (1) 因为--…-=,n∈N*,所以当n=1时,1-=,a1=2, (1分) 当n≥2时,由--…-=和--…--=-,两式相除可得,1-=-,即a n-a n-1=1(n≥2),所以数列{a n}是首项为2,公差为1的等差数列,于是a n=n+1.(4分) (2) 因为a p,30,S q成等差数列,a p,18,S q成等比数列,所以于是或(7分) 当时,解得当时,无正整数解,所以p=5,q=9.(10分) (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得=a m(m∈N*),则=m+1,平方并化简得,(2m+2)2-(2k+3)2=63, (11分) 则(2m+2k+5)(2m-2k-1)=63, (12分) 所以--或--或--(14分) 解得m=15,k=14或m=5,k=3,m=3,k=-1(舍去),综上所述,k=3或14.(16分) 20. (1) 设切点为(x0,y0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为(3x0+1),所以切线的方程为y-y0=(3x0+1)(x-x0).因为切线过点(2,0),所以-(3x0-2)=(3x0+1)(2-x0),化简得3-8x0=0,解得x0=0或.(3分) 当x0=0时,切线的方程为y=x-2, (4分)当x0=时,切线的方程为y=9x-18.(5分) (2) 由题意,对任意的x∈R,有e x(3x-2)≥a(x-2)恒成立,①当x∈(-∞,2)时,a≥--⇒a≥--,令F(x)=--,则F'(x)=--,令F'(x)=0得x=0,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)max=F(0)=1,故此时a≥1.(7分) ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.(8分)③当x∈(2,+∞)时,a≤--⇒a≤--,令F'(x)=0,得x=,当x变化时,F(x),F'(x)所以F(x)min=F=9,故此时a≤9.综上,1≤a≤9.(10分) (3) 因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2),由(2)知a∈(-∞,1)∪(9,+∞),令F(x)=--,则当x变化时,F(x),F'(x)(12分) 当x∈(-∞,2),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a<--存在唯一的整数x0成立.因为F(0)=1最大,F(-1)=,F(1)=-,所以当a<时,有两个整数成立,所以a∈.(14分) 当x∈(2,+∞),存在唯一的整数x0使得f(x0)<g(x0),等价于a>--存在唯一的整数x0成立.因为F=9最小,且F(3)=7e3,F(4)=5e4,所以当a>5e4时,有两个整数成立,所以当a≤7e3时,没有整数成立,所有a∈(7e3,5e4].综上,a∈∪(7e3,5e4].(16分)江苏省无锡市2018届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21.由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为α1=-可得-=λ1-,即---(2分)得a=2b=10.(4分) 由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为α2=-,可得-=λ2-,即---(6分)得2a-3b=9, (8分)解得--即A=--.(10分)22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,所以x2+y2=4x,即圆C的方程为x2+(y-2)2=4.(3分) 又由消去t,得x-y+m=0, (6分) 由直线l与圆C相交,得-<2,即-2<m<6.(10分)23. (1) 记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A,则为该公司在星期四最多有一辆汽车出车,P()=++=,所以P(A)=1-P(=.(3分) 答:该公司在星期四至少有两辆汽车出车的概率为.(2) 由题意,ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)==;P(ξ=1)=+·=;P(ξ=2)=++·=;P(ξ=3)=+=;P(ξ=4)==.(8分) 所以ξ的分布列为故E(ξ)=+2×+3×+4×=.答:ξ的数学期望为.(10分) 24. (1) 因为PE⊥底面ABCD,过点E作ES∥BC,则ES⊥AB.以E为坐标原点,EB方向为x轴的正半轴,ES方向为y轴的正半轴,EP方向为z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0,),=(-2,1,0),=(1,1,-).(2分) 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n·=-2x+y=0,n·=x+y-z=0,令x=1,解得n=(1,2,).又平面ABCD的法向量为m=(0,0,1), (3分)所以cos<n,m>===, (4分)所以sin<n,m>=.(5分)(第24题)(2) 设M点的坐标为(x1,y1,z1),因为EM⊥平面PCD,所以∥n,即==,也即y1=2x1,z1=x1.(6分) 又=(x1,y1,z1-=(-1,2,-),=(1,1,-所以=λ+μ=(λ-μ,λ+2μ,-λ-μ),解得x1=λ-μ,y1=λ+2μ=2x1=2(λ-μ),即λ=3μ, (8分) z1-=-λ-μ,λ=,所以μ=, (9分)所以点M的坐标为.(10分)。
江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试
江苏省苏北四市2018 届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-1,0,1}2. 13. (0,1]4. 135. 7506.78549.410.11.11 ..12. [ -1,+1] 13 . [-2,2]14. -15 . (1) 在△ABC中 ,由 cos A= ,得A为锐角 ,所以 sin A=-= ,所以 tan A== ,(2 分)所以 tan B=tan[( B-A)+A]= --(4 分) -==3.(6 分) -(2)在△ABC 中,由tan B=3,得 sin B=,cos B=,(8 分)所以 sin C=sin( A+B)=sin A cos B+ cos A sin B=.(10 分)由正弦定理=,得 b===15,(12 分)所以△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×15×13×=78 .(14 分)16 . (1) 如图 , 取AB的中点P, 连接PM,PB1.因为 M,P 分别是 AB,AC 的中点,所以 PM∥BC,且 PM= BC.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B 1C1,又因为N 是 1 1的中点,B C所以 PM∥B1N,且 PM=B1 N,(2 分)所以四边形 PMNB 1是平行四边形,所以∥ 1.(4分 ) MN PB因为 MN?平面 ABB1A1,PB1?平面 ABB1A1,所以 MN∥平面ABB1A1.(6分 )(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以 BB1⊥平面 A1B1C1,(第 16 题)又因为 BB1?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥平面 A1 B1C1 .(8 分)因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1,平面11∩平面1111A1, 1 1?平面111,ABB A ABC=B B C A B C所以 B1 C1⊥平面ABB1 A1 .(10 分)又因为 A1B?平面 ABB1A1,所以 B1 C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1 B.如图 ,连接AB1,因为在平行四边形 ABB1 A1中,AB=AA1,所以 AB1⊥A1 B.又因为 NB 1∩AB1=B 1,且 AB1,NB 1?平面 AB1 N,所以 1 ⊥平面 1 ,(12 分)A B AB N因为 AN?平面 AB1N,所以 A1 B⊥AN.(14 分)(第 17题)17 . (1)如图 ,设AO交BC于点D,过点O作OE⊥AB,垂足为 E.在△AOE 中,AE=10cosθ,AB=2 AE=20cosθ,(2 分)在△ABD 中,BD=AB ·sinθ=20cosθ·sinθ,(4 分)所以S=· 2π·20sin ·cos ·20cos400π·sin cos 2θ.(6 分)θ θθ=θ(2)要使侧面积最大 ,由 (1)得 ,S=θθ=θ-θ.(8 分)400π sin cos 2400π(sin sin 3)设 f(x)=x-x3(0 <x<1),则 f' (x)=1 -3 x2,由 f' (x)=1-3x2=0,得 x= .当 x∈时,f'(x)>0;当 x∈时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 f(x)在 x=时取得极大值,也是最大值,所以当 sin θ=时 ,侧面积S取得最大值.此时等腰三角形的腰长AB=20cos20 -=20 -=.θ=答: 侧面积S取得最大值时 ,等腰三角形的腰AB 的长度为cm .18 . (1) 设椭圆的方程为+ =1( a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1 .(2) 若AF=FC,由椭圆的对称性 , 知A,所以B--,此时直线BF的方程为 34 3 0.x- y-=--得 7 x2-6 x-13 =0,由解得 x=( x=-1 舍去 ),- -故== .-(3)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),直线 AF 的方程为 y=-(x-1),代入椭圆的方程+ =1,2-8-15+24 x =0 .得(15 -6 x ) x00因为0 是该方程的一个解,所以C 点的横坐标C-.x=x x =-又 C( x C,y C)在直线 y=-(x-1) 上 ,(11 分)(14 分)(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)(10 分)(12 分)-所以 y C= -( x C-1) = -.同理 ,点D的坐标为,(14分 )--所以2=-= 1 ,k-= k--即存在 m= ,使得 k2 = k1 .(16分 ) 19 . (1) 函数h( x)的定义域为 (0,+∞).当 a= 1时, h(x)=f(x)-g(x)=x2 +x-ln x+2,所以 ()2 1-,(2 分) h' x = x+ - =所以当 0 <x<时 ,h'(x)<0;当 x> 时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数()取得极小值ln2, 无极大值.(4 分)h x+(2)设函数 f(x)上点( x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则(1)(2)-,f' x=g' x=-所以 2x1+a==--(6 分) -,所以 x1=-,代入-=11(ln2-a), +ax +- x得 - +ln x2+ -a-2=0 .(*)(8 分)设 F (x)= - +ln x+ -a- 2,则 F'( x)=- + + =- .不妨设 2+ax0-1=0( x0>0),则当 0<x<x0时 ,F'(x)<0;当 x>x 0时,F'(x) >0,所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,(10 分)代入 a= - = -2x 0 ,得 F (x )min =F ( x 0)= +2x 0 - +ln x 0-2 .设 G (x )=x 2 +2 x- +ln x-2, 则 G'(x ) =2 x+2+ + >0 对 x>0 恒成立 ,所以 ( )在区间 (0,)上单调递增 . 又G (1)=0,G x+∞所以当 0 <x ≤1 时 , G ( x )≤0,即当 0 0≤1 时, ( 0)≤0 .(12 分)<xF x又当 x=e a+2 时,F (x )= -+lne a+2 + -a-2 =- ≥0.(14 分)因此当 0 <x 0≤1 时,函数 F (x )必有零点 ,即当 0 <x 0≤1 时 ,必存在 x 2 使得 ( *)成立 ,即存在 x 1 ,x 2 使得函数 f (x )上点 (x 1 ,f (x 1))与函数 g (x )上点 (x 2, g ( x 2)) 处切线相同 .又由 2 x , 得y'=- 2 0,y= -- <所以 y= -2 x 在(0,1) 上单调递减 ,因此 a= -= -2x 0 ∈[-1,+∞),所以实数 a 的取值范围是 [-1,+∞).(16 分)20 .(1) 若 0, 4,则 n 4 n- 1( ≥2),λ=μ= S = a n所以 a n+1=S n+1 -S n =4( a n -a n- 1),即 a n+1-2a n =2(a n -2a n-1 ), 所以 b =2 b 1.(2 分)n n-又由12, 1 24 1,a = a +a = a得 a 2=3 a 1=6,a 2 -2 a 1 =2 ≠0, 即 b n ≠0,所以2,故数列 {n }是等比数列.(4 分)=b-(2) 若{a n }是等比数列 , 设其公比为 q (q ≠0),当 n= 2 时, S 2 =2λa 2+μa 1,即 a 1 +a 2=2λa 2+μa 1,得1+q=2λ q+μ; ①22当 n= 3 时, S 3 =3λa 3+μa 2,即 a 1 +a 2+a 3 =3 λa 3+μa 2,得 1+q+q =3λq +μq ; ②当 n= 4时, 4 4 43,即 1 2 3 4 4 43 ,得 1 23 4 32③S =λa +μaa +a +a +a= λa +μa +q+q +q = λq +μq .2②-①×q ,得 1 =λq ,③-②×q ,得 13 ,=λq解得 q=1,λ=1.代入① 式 ,得 0(8 分)μ=.此时 S n =na n (n ≥2),所以n1 2,数列 { n }是公比为 1的等比数列 ,a=a =a故 λ=1,μ=0.(10 分)(3) 若 a 2=3,由 a 1+a 2+2λa 2+μa 1, 得 5 =6λ+2μ,又,解得 , 1 (12 分)λ +μ= λ=μ=.由 a 1=2,a 2 =3,λ=,μ=1,代入 S n =λ na+μa n-1 ,得 a 3=4, 所以 a 1,a 2 ,a 3 成等差数列 .由 S n = a n +a n-1 ,得 S n+1 = a n+1 +a n ,两式相减 ,得 an+1 = an+1 - a +a -a n- 1 ,n n即( n-1)a n+1 -( n-2)a n -2a n-1 =0, 所以 na n+2 -(n-1) a n+1 -2a n =0,相减 ,得na n+ 2 2( 1) a n+1 ( 2) n 2 n 2n-10,- n- + n- a - a + a =所以 n (a n+2-2 a n+ 1 +a n )+2( a n+1-2a n +a n- 1) =0,- -所以 (a n+2-2a n+1 +a n ) =- (a n+1-2a n +a n-1 )=(a n -2 a n-1+a n-2 )= =·(a 3-2a 2+a 1 ).(14 分 )--因为1 2 2+a 3 0,所以an+ 2 2 n+1n0,a - a = - a+a =故数列 { a } 是等差数列 .(16 分 )n江苏省苏北四市 2018 届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21 . A. 连接 AD. 因为 AB 为圆的直径 ,所以 AD ⊥BD , 又 EF ⊥AB ,则 A ,D ,E ,F 四点共圆 ,所以· ·(5 分)BD BE=BA BF.又△∽△,ABCAEF所以 = ,即 AB ·AF=AE ·AC ,所以· · · ··( ) 2. (10 分 )BE BD-AE AC=BA BF-AB AF=AB BF-AF=ABB. 因为 M=BA= =-(5 分 )- ,-所以 M - 1=.(10 分)- -C. 把直线方程 l :化成普通方程为 x+y= 2.(3 分)-2ρcos θ-2 ρsin θ=0 2 2-2 y=0,将圆 C :ρ+2 化成普通方程为 x +2x+y即( x+1) 2+( y-1) 2=2.(6 分)圆心 C 到直线 l 的距离为 d==,所以直线 l 与圆 C 相切 . (10 分 )D.因为 [(1 +a)+(1+b)+(1+c )+(1 +d)]·≥=(a+b+c+d )2=1,(5 分)又(1 +a)+(1 +b) +(1 +c)+(1 +d)=5,所以+++≥ .(10 分) 22 . (1)因为 AB=1,AA1=2,则 F(0,0,0), A,C -,B,E,所以=(-1,0,0),= -. (2分)记直线 AC 和 BE 所成的角为α,则 cos cos<,>|α =|=-=, -所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为.(4 分) (2)设平面 BFC1的法向量为 m=(x1,y1, z1),因为=,=-,则-取 x1=4,得 m=(4,0,1) .(6 分)设平面BCC 1 的法向量为(2, 2, 2 ),n= x y z因为=,=(0,0,2),则取 x2=,得n=(,-1,0) .(8 分) -所以 cos <m, n>=-=.根据图形可知二面角 F -BC 1-C 为锐二面角,所以二面角-1-的余弦值为.(10 分)F BC C23 . (1) 因为抛物线 C 的方程为 y2 =4x,所以 F 的坐标为(1,0),设 M(m, n),因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切,l 平行于 x 轴,所以圆M 的半径为|n|,点(2,2),P n n则直线 PF 的方程为= --,即 2 n(x-1) -y(n2-1) =0,(2 分)所以---=|n|,又,≠0,-m n所以22121,即n2-m+10,|m-n - |=n +=所以 E 的方程为 y2=x- 1( y≠0).(4 分) (2) 设Q(t2+1, t), A(0,y1 ),B(0,y2),由(1) 知, 点Q处的切线l1的斜率存在 ,由对称性不妨设t>0,由 y'=,所以k AQ=-=-- ,,k BQ==-2--所以1= -, 2233,(6 分)y y =t +t所以 AB=-=2t3+ t+ (t>0) .(8 分)令 f(t)=2t3+ t+ ,t>0,则 f' (t)=6 t2 + -=-,由 f' (t)>0,得 t>-;由 f' (t)<0,得0<t<所以 f(t)在区间-,-上单调递减 ,在-上单调递增 ,所以当-时 , ()取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值 ,t= f t此时 s=t2 +1=.(10 分)。
(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学
高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。
2018年高三最新 第一次阶段性测试答案 精品
江苏省南菁高级中学2018届高三数学第一次阶段性测试卷答案一、填空题（每题5分，共30分，请将答案填在答案卷题号相应处）1、5；2、34；3、（0，1]；4、a ≥－3；5、充分不必要；6、650；7、2 ；8、25； 9、⎣⎡⎦⎤1 −20 1 ； 10、 2 ； 11、8； 12、5； 13、(－13，0)； 14、3 二、解答题（共6题，满分90分）15. (14分) 解：由已知得：{}13A x x =-≤≤，{}22B x m x m =-+≤≤． ………………4分 (Ⅰ)∵[]0,3A B =,∴20,2m m -=⎧⎨+⎩≥3, …………………………………………6分 ∴2,1.m m =⎧⎨⎩≥ ∴2m =． ……………………………………………8分 (Ⅱ) C R B ={x|x <m −2 或x >m +2} ……………………………………………10分 ∵A ⊆C R B,∴23m ->,或21m +<-， ……………………………………………12分 ∴5,m > 或3m <-． ……………………………………………14分16.（16分）（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大． …………………6分（2）设用技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为 (3－x )(百万元)，则增加的收益为 g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3 (0≤x ≤3)， 所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． ……16分17. (16分)(1)由lg5=a+c ，得lg2=1−a −c ∴lg6=lg2+lg3=1+a −b −c 满足表中数值，也就是lg6在假设下是正确的。
无锡市第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
无锡市第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 2． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 3． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣24． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32-B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.5． 已知2->a ，若圆1O ：01582222=---++a ay x y x ，圆2O ：04422222=--+-++a a ay ax y x 恒有公共点，则a 的取值范围为（ ）.A ．),3[]1,2(+∞--B ．),3()1,35(+∞-- C ．),3[]1,35[+∞-- D ．),3()1,2(+∞--6． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力．7． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7 D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.8． 复平面内表示复数的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限9． 已知22(0)()|log |(0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ） A.5B.2D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 11．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A．124+ B．124- C. 34 D ．012．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ）A ．1B ．12 C. 34 D ．58二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f ，且)(x f 在R 上的导函数)('x f 满足3)('>x f ，则不等式123)2(-⋅<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.三、解答题（本大共6小题，共70分。
无锡市第一中学2018—2019学年第一学期质量检测高三数学试卷
无锡市第一中学2018—2019学年第一学期质量检测高三数学（理）参考公式：弧长||l r α=，其中r 为半径的长度，α是弧所对的圆心角的大小．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案直接填写在答题卡的相应位置．1．已知集合2{}A a =，{2,3}B =，且{3}A B =，则实数a 的值是 ▲ ． 2．已知复数121iz i+=-，其中i 是虚数单位，则z 的实部是 ▲ ． 3．为调查某区高中一年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该区高中一年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100] (单位：分钟)上，其频率分布直方图如图所示，则估计该区高中一年级学生中每天用于阅读的时间在内的学生人数为 ▲ ．4． “a b =”是“b a lg lg =”的 ▲ 条件．（填“充分不必要、必要不充分、充要或既不充分也不必要”中的一个） 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．函数8ln ++-=x x y 的单调递增区间是 ▲ ．7．如右图，是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ．8．已知函数()(),0,1()4,02xg x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩是奇函数，则()()3f g = ▲ ． 9．设函数()f x 在R 上满足(4)()f x f x +=，且在区间(2,2]-上其函数解析式是(),20,1,02,x a x f x x x +-<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩其中a R ∈．若()()55f f -=，则()2f a = ▲ ．10．已知定义在R 上的函数22,0,(),0,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ 若()()4f a f a +-<，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知函数()21,()22xx f x g x m x x ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，若命题“[][]122,1,0,2x x ∃∈-∃∈使得()()12f x g x ≥成立”为假命题，则实数m 的取值范围为 ▲ ．12．记定义在R 上的函数()y f x =的导函数为()f x '，若存在0[,]x a b ∈，使得()0()()()f b f a f x b a '-=-成立，则称0x 为函数()f x 在区间[,]a b 上的“中值点”．那么函数3()3f x x x =-在区间[2,2]-上的“中值点”所成的集合为 ▲ ．13．已知函数()()2x x e af x a R e=-∈在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．14．已知函数323,0,(),0,x x t x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩t ∈R ．若函数()(()1)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，请将正确解答书写在答题卡的相应位置，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）设集合{}2ln(28),A x y x x x R ==--+∈，集合{}47,1321x B y y x x -+==≤≤-，集合{}1()(4)0,C x ax x x R a=-+≤∈．（1）求A B ；（2）若C ⊆C R A ，求实数a 的取值范围． 16．（本小题满分14分）若0a >,命题:p (0,1],30a x x x∃∈-+≥成立; 命题:q 函数()3221f x x ax a x =+-+在[1,1]-上单调递减．（1）若命题p 是真命题，求a 的取值范围； （2）是否存在整数a ，使得p q ∨为真命题；p q ∧为假命题，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．已知函数()(1)x=--⋅（e为自然对数的底数， 2.71828f x x k ee≈，k∈R）．（1）当0f x的单调区间和极值；x>时，求()（2）若对于任意[1,2]<成立，求k的取值范围．f x xx∈，都有()418．（本小题满分16分）如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD，120AB=米，AD,为直径的半圆1O和半圆2O（半圆在矩形AD=米，以BC80ABCD内部）为两个半圆形水上主题乐园，,,BC CD DA都建有围墙，游客只能从线段AB处进出该主题乐园．为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着AE、FB修建不锈钢护栏，沿着线段EF修建该主题乐园大门并设置检票口，其中,E F分别为AD BC上的动点，//,EF AB，且线段EF与线段AB在圆心1O和2O连线的同侧．已知弧线AE、FB部分的修建费用为200元/米，线段EF部分的平均修建费用为400元/米．（1）若80EF=米，则检票等候区域（图中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点E的位置，使得修建费用最低．已知函数()ln f x x =，函数(),,ng x mx m n R x=+?． （1）当1,1m n ==-时，① 求函数()()()h x f x g x =-在区间[,1]a a +上的最大值；② 已知不等式2()()f x kg x <对任意的(1,)x ??恒成立，求实数k 的范围．（2）已知对任意的*n N ∈，函数()()()F x f x g x =-在区间[1,2]上恒为单调递增函数， 求实数m 的取值范围． 20．（本小题满分16分） 设函数21()1ln 2f x ax x =--，其中a R ∈．（1）若0a =，求过点(0,1)-且与曲线()y f x =相切的直线方程； （2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ， ① 求a 的取值范围；② 求证：12'()'()0f x f x +<．。
高三数学-2018年江苏省无锡市高三数学综合试卷 精品
2018年无锡市高三数学综合试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（改）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=18-a 6，则S 10等于 （ ）A ．180B ．90C ．198D ．1082．（改）下列各图形中，是函数图象的是 （ ）3．（新）若以集合S ={a ，b ，c }（a ，b ，c ∈R ）中的三个不同元素为边长可构成一个三角形，那么这个三角形一定不可能．．．是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（改）已知椭圆22212a a x y -=的焦距为4，则a 的值为 （ ）ABCD5．（改）函数sin(3)cos()cos(3)cos()3633y x x x x ππππ=+--++的图象的一条对称轴的方程是 （ ） A ．π12x =B ．π6x =C ．π12x =- D ．π24x =-6．（改）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310等于 （ ） A ．恰有2只是好的概率 B ．恰有1只是坏的概率 C ．至多2只是坏的概率 D ．4只全是好的概率 7．（新）甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是（ ） A ．甲是图①，乙是图② B ．甲是图①，乙是图④ C ．甲是图③，乙是图② D ．甲是图③，乙是图④ 8．（改）已知f (x ) = －2x +1，对任意正数ε，x 1、x 2∈R ，使|f (x 1)－f (x 2)|＜ε的一个充分不必要条件是 （ ）A ．| x 1－ x 2|＜εB ．| x 1－ x 2|＜ε2C ．| x 1－ x 2|＜ε4D ．| x 1－ x 2|＞ ε49．（改）已知复数z k (k =1，2，3，…，2018)满足|z k |=1，命题甲为：∑=20031k kz=0，命题乙：复平面内以z k (k =1，2，3，…，2018)的对应点为顶点的2018边形是正多边形，那么命题甲是命题乙的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分不必要条件 10．（改）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BB 1的中点，G 为BC 上一点，若C 1F ⊥FG ，则∠D 1FG 为 （ ） A ．60º B ． 120º C ．150º D ．90º11．（改）131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(-2，0)B ．(-∞，-2)∪(0，+∞)C ．(-4，2)D ．(-∞，-4)∪(2，+∞)12．（新）设12)310(++n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．与n 有关的数第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．（改）正整数2160的正约数共有 个．第7题图14．（改）为了了解学生的体能情况，现抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数的测试，将数据整理后，画出频率分布直方图．已知图中从左到右三个小组的频率分别为0.1，0.2，0.4，第一小组的频数为5，Array那么第四小组的频数等于．15．（新）当方程m(x2+y2-4x+2y+5) =(3x+4y+33)2所表示的点的轨迹为双曲线时，则实数m的取值范围为．16．（改）设正实数x、y、z满足(x+y)(x+z)=2，则xyx(x+y+z)的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（改）（本题满分12分）有一块边长为6m的正方形钢板，将其四个角各截去一个边长为x(m)的小正方形，然后焊接成一个无盖的蓄水池（不计损耗）．（Ⅰ）求容积V关于自变量x的函数，并指出其定义域；（Ⅱ）指出函数V（x）的单调区间；（Ⅲ）蓄水池的底边为多少时，蓄水池的容积最大？最大容积是多少？18．（新）（本题满分12分）已知向量a = e1-e2，b = 4e1+3e2，其中e1= (1，0)，e2= (0，1)．（Ⅰ）试计算a·b；|a+b|的值；（Ⅱ）n个向量a1、a2、…、a n称为“线性相关”，如果存在n个不全为零的实数k1、k2、…、k n，使得k1a1+ k2a2+…+ k n a n=0成立，否则，则为“不线性相关”．依此定义，三个向量a1= (-1，1)，a2= (2，1)，a3= (3，2) 是否为“线性相关”的？请说明你的判断根据；（Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量a1、a2、a3，一定是线性相关的吗？为什么？19．（改）（本小题满分12分）如图，已知斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD = 2 ，∠A 1AB =∠A 1AD =∠BAD ．（Ⅰ）设∠BAD =α，A 1A 与面ABCD 所成的角为β，求证：2coscos cos ααβ=；（Ⅱ）设A 1A 到面B 1D 1DB 的距离为1，求二面角A 1-AD -B 的余弦．ABCDA 1B 1C 1D 120．（新）（本题满分12分）已知递减的等比数列{a n }，各项均正，且满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++．2712111111，31215432154321a a a a a a a a a a 试求数列{a n }的通项公式 ． 21．（改）（本题满分12分）椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OQ OP ⊥．求椭圆离心率e 的取值范围．22．（新）（本小题满分14分）设集合S ={|，||<1}x x x ∈R 且．在S 中定义运算“*”，使得*1a ba b ab+=+． （Ⅰ）证明：如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ； （Ⅱ）证明：对于S 中的任何元素a 、b 、c ，都有(a *b )*c = a *(b *c )成立；（Ⅲ）试问：是否存在单位元e ，使得a *e = e *a = a ？又是否存在不变元i ，使得a *i = i *a = i ．答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B （点拨：a 5+a 6=a 1+a 10=18，S 10=11010()2a a +=90） 2．D （点拨：函数首先必须是映射，一个x 只能对应一个y ）3．D （点拨：集合中的元素具有互异性，a 、b 、c 两两互不相等）4．C （点拨：显然a <0，而对于C 、D 中的答案，只须选其中一个代入验证即可） 5．A （点拨：可先将y 化为πsin(4)6x +，其对称轴经过函数的最值点）6．A （点拨：恰有2只是好的概率为2273410C C C =310）7．B （点拨：先走一半的路程，甲所用时间较少，乙所用时间较多） 8．C （点拨：B 是充要的，A 是必要的，D 既非充分又非必要）9．B （点拨：顺次连结封闭多边形的各边所得的向量和为零向量，故由命题乙可推得甲，反之，则不然）10．D （点拨：C 1F 为D 1F 在平面BCC 1B 1内的射影，利用三垂线定理可得D 1F ⊥FG ）11．C （点拨：将133(1)n n n a +++的分子分母同除以3k，可得1()3k a +→0，从而|13a +|<1） 12．A （点拨：F n=213)n +，F n +I n =12)310(++n ）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．40 14．15 15．0＜m ＜2516．1三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）设蓄水池的底面边长为a ，则a ＝6－2x ，且蓄水池容积为2()(62)V x x x =-．由＞062＞0x x ⎧⎨-⎩，得()V x 定义域为（0，3）． （Ⅱ）322()42436，'()124836V x x x x V x x x =-+=-+．令'()V x ≥0，并注意到(0,3)x ∈知：()V x 的单调递增区间为（0，1]；令'()V x ≤0，并注意到(0,3)x ∈知，()V x 的单调递减区间为[1，3]．（Ⅲ）令2'()1248360V x x x =-+=，得x ＝1（3(0,3)x =∉，舍去）．此时，a = 4（m ）．由()V x 单调性知，3max [()](1)16(m )V x V ==．故当底面边长为4m 时，蓄水池容积最大，最大容积为16m 3． 18．（Ⅰ）a = (3，0) – (0，2) = (3，-2)，b = (4，0) +(0，1) =(4，1)．a ·b = (3，-2) ·(4，1)=10； |a +b |=|(7，1)|= 50 = 52． （Ⅱ）是“线性相关”的．令k 1(-1，1)+k 2(2，1)+k 3(3，2) = (0，0)，于是 k 1+2k 2+3k 3=0，且k 1+k 2+2k 3=0．显然由以上两条件构成的方程组有不全为零的实数解（如k 1= -1，k 2= -5，k 3=3），故它们为线性相关的． （Ⅲ）平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关． 由平面向量的基本定理知，平面上任意两个不共线的向量a 1、a 2均可作为向量的一组基底，并且对于平面内的任一其它向量a 3，有且仅有唯一的一对实数λ1、λ2，使a 3 = λ1a 1+λ2a 2．分别取k 1=λ1，k 2=λ2，k 3= -1，即有λ1a 1+λ2a 2- a 3 =0，也就是平面上任意三个互不共线的向量一定线性相关． 19．（Ⅰ）如图，因∠A 1AB =∠A 1AD ，A 1A =A 1A ，AB =AD ，故△A 1AB ≌△A 1AD ．于是，A 1B =A 1D ．故BD ⊥A 1O ．因AB =AD ，故四边形ABCD 为菱形，从而BD ⊥AC ． 又A 1O ∩AC =O ，故BD ⊥面A 1C 1CA ．于是，面ABCD ⊥面A 1C 1CA ． （★） 作HE ⊥AD 于E ，连A 1E ，由三垂线定理得，A 1E ⊥AD ．故，2coscos cos 11ααβ=⋅==EA AE AE AH H A AH ． （Ⅱ）由（★）得，面B 1D 1DB ⊥面A 1C 1CA ．作A 1F ⊥OO 1于F ，则A 1F ⊥面B 1D 1DB ．故A 1F =1．在Rt △A 1O 1D 1中，A 1O 1=A 1D 1•2cos α=2cos2α．于是，O 1F =αcos 21211=-F A O A ．故，2c o s2c o s c o s c o s 2c o sc o s 11ααβαα=∠==F O A ，从而，ααcos cos 22=．又αcos ≠0，于是αcos = 12 ，α=60º．由（Ⅰ）知，∠A 1EH 是二面角A 1-AD -B 的平面角，于是AB CDA 1B 1C 1D 1O 1EFOH3160tan 30tan cos 11=⋅⋅==∠AE AE E A EH EH A ． 20．设数列的公式为q ，则原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++． ②27121)1(1① ，3121)1(23454321q q q q a q q q q a将以上两式相除得 a 1a 5 = 9，即23a =9． 因a n ＞0，故a 3 = 3．注意到231qa a =，q a a 32=，q a a 34=，235q a a =，于是a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 = 3121又可化为 3121)1()1(33223=++++q q a a q qa ，变形得 313031211)1(332=+=+++a a q q q q ．解得3101=+q q （另一解为负，不合，舍去）， 从而 q =31（q =3，不合，舍去）．此时，27231==q a a ，nn na --=⋅=413)31(27． 21．不妨设椭圆的方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）．（1）当PQ ⊥x 轴时，F (–c ，0)，则ab FP 2||=且|FP | = |FQ |．又OQ OP ⊥，故|OF |= |FP |，即a b c 2=，也就是ac = a 2 – c 2．将两边同除以a 2，得 e 2+e –1= 0，解得215-=e ．（2）当PQ 不垂直x 轴时，设PQ ：)(c x k y +=并将代入椭圆方程得02)(22222222222=-+++b a c a k cx a k x a k b设),(11y x P ，),(22y x Q ，∵OQ OP ⊥，∴02121=+y y x x ．即 0))((21221=+++c x c x k x x ，亦即 0)()1(22212212=++++c k x x c k x x k ．于是 02)1(22222222222222222=++-⋅++-⋅+c k ak b c a k c k a k b b a c a k k ． 解得 222222222ba cbc a b a k -+= ． 显然 k ≠0，故k 2＞0，∴222222b a c b b a -+＞0，将222c a b -=代入上式，得1324+-e e ＜0，解得215-＜e ＜1． 综合上述情况得e 的范围是215-≤e ＜1．22．（Ⅰ）∵a ∈S ，b ∈S ，∴|a |＜1，|b |＜1．∴22(1)()(1)(1) ab a b ab a b ab a b +-+=++++--22(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b =++--=--＞0．∴2()1a b ab ++＜1，即|1a b ab ++|＜1，也就是1a bab++∈S ，从而a *b ∈S ． （Ⅱ）(a *b )*c =1*1111a bca b a b c abc ab c a b ab ab ac bc c ab +++++++==+++++++ ，a *(b *c ) =1*1111b ca b c a b c abc bc a b c bc ab ac bca bc+++++++==+++++++ ， 故(a *b )*c = a *(b *c )． （Ⅲ）若a *e = e *a = a ，则11a e e aa ae ea++==++，变形得(1)e a a ea +=+，从而，2a ea =，该式不能对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故不存在满足条件的单位元e ．若a *i = i *a = i ，则11a i i ai ai ia++==++，变形得(1)i a i ia +=+，从而，2a i a =，当1i =±时，等式对一切满足|a |＜1的实数a 恒成立，故存在满足条件的不变元1i =±．。
无锡市2018届高三年级第一学期期中考试
无锡市2018届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{}0,1,2A =，集合11,B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，且B A ⊆，则实数x =___________. 2. 若复数i z a =+（a 为正实数）的模为2，则a =___________.3.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，指的是这样一个数列：...1,1,2,3,5,8,13,21,.则该数列的第10项为___________.4. 若数列()()1,03,0x x f x f x x -⎧⎪=⎨-⎪⎩≤＞，则()5f =___________.5. 已知函数()22f x x ax =+-的单调减区间为(),1-∞，则实数a 的值为___________.6. 若变量满足22360x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，且2x y a +≥恒成立，则的最大值为___________.7. 将函数的图像向右平移()0ϕϕ＞个单位长度，若所得图像过点，则的最小值为___________. 8. 已知函数()11212xf x =-+，则()()2110f a f a ++-＞的解为___________. 9. 已知22sin 2sin cos 3cos 0x x x x +-=，则___________. 10. 在等差数列中，已知，,则数列的前10项和为___________.11. 已知实数,x y 满足22log 2xy -=，则21x y+的最小值为___________. 12. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且1AP =，则AP AC ⋅=___________.13. 关于x 的方程2e xx a +=有a 个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___________.,x y a sin 2y x =ϕcos2x =130a a +=242a a +=-PCDBA14. 已知正项数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，对任意正整数,m n ，当n m ＞时，2m n m n m S S S --=⋅总成立，若正整数,p q 满足6p q +=，则11p qS S +的最小值为___________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知()()()3,1,1,2,1,1a b c =-=-=. （1）与的夹角的大小； （2）若()//c a kb +，求的值. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面A B C D 为等腰梯形，//AD BC ，22AD AB BC ==，M 为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD .求证：（1）1//C M 平面11AA B B ； （2）平面1BMB ⊥平面1ACB . 17.（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若()31sin ,tan 53A AB =-=，角C 为钝角，5b =.（1）求sin B 的值； （2）求边c 的长. 18.（本小题满分16分）在一块杂草地上有一条小路，现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形内种植花卉.已知长为1千米，设C θ=，边长为边长的()1a a ＞倍，三角形的面积为（千米2）.（1）试用和表示；a b k AB ABC AB AC BC ABC S θa S θC BAMC 1D 1B 1A 1DCBA（2）若恰好当o 60θ=时，取得最大值，求的值. 19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足1133,1,1,n n n a n n a a a n n ++ ⎧⎪==⎨---⎪⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，*2,n n b a n =∈N .（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存正整数n ，使得212n n n S b S +＞＞成立？说明理由. 20.（本小题满分16分）设函数()()2ln 1f x x mx m =--∈R ，()cos g x x =. （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）令()()g x xf x =，区间1522e ,e D -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，e 为自然对数的底；（i ）若函数()g x 在区间D 上有两个极值，求m 的取值范围；（ii ）若函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ，求证：12e x x ⋅＞.S a。
【全国市级联考word】江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷(解析版)
无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．.）1.已知集合，，若，则实数__________．【答案】3【解析】,故2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数__________．【答案】6【解析】为纯虚数，故3. 某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为__________．【答案】47【解析】由已知，高二年级人数为，采用分层抽样的方法，则抽取高二的人数为 .4. 已知，直线，，则直线的概率为_________．【答案】【解析】由已知，若直线与直线垂直，则，使直线的，故直线的概率5. 根据如图所示的伪代码，当输入的值为3时，最后输出的的值为__________．【答案】21【解析】由图中的伪代码逐步运算：，;①是，,，;②是，,，;③是，,，;④否，输出。
6. 直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】是直三棱柱，，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，是球的直径，；，，；故该球的表面积为7. 已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为__________．【答案】5【解析】如图为满足条件的可行域，由得，当直线过点时有最小值5，此时，解得坐标为，代入得 .【点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：1.在坐标系中作出可行域；2.根据目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；3. 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从面确定最优解；4.求最值：将最解代入目标函数即可求最大值与最小值.8. 函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则__________．【答案】【解析】平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故, 即.9. 已知等比数列满足，且，，成等差数列，则的最大值为__________．【答案】1024【解析】由已知得；当或时得最大值 .【点睛】本题有以下几个关键之处：1.利用方程思想求得首项和公比，进而求得通项；2.利用转化化归思想将问题转化为二次函数最值问题；3.本题易错点是忽视的取值是整数，而误取 .10. 过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为__________．【答案】19【解析】根据题意画出上图，连接，过作，，为的中点，为的中点，又，，∴四边形为正方形，由圆的方程得到圆心，半径，【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.11. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】由已知，，；又双曲线与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，，则双曲线；在右支上，根据双曲线的定义有，，故的最小值为 .【点睛】解答本题有3个关键步骤：1、利用双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数求出曲线方程；2、利用双曲线定义求出；3、将代入整理后再利用基本不等式求出最小值.12. 在平行四边形中，，，，为的中点，为平面内一点，若，则__________．【答案】6【解析】13. 已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，在恒成立在为减函数，当时；当时，.综上，欲使成立需：.【点睛】本题的解题关键是利用导数工具和函数的单调性取得函数，再利用图像的对称原原理将问题转化为，从而求得正解.14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由已知可得，当时，要使得原命题成立需：；当时，要使得原命题成立需：.综上.二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 如图，是菱形，平面，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）见解析；（2）见解析.学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...试题解析：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16. 在中，角的对边分别为，，.（1）求的值；（2）若，求的周长.【答案】（1）.（2）15.【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系结合两角和与差公式有，所以根据已知条件求出即可求出 . （2）根据正弦定理结合，即可求出的值，再利用余弦定理，求出的值.试题解析：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17. 如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）利用扇形弧长公式求出，利用直角三角形边角关系求出，则总长为，求出为减函数，命题得证.（2）设单位成本为，则总成本为，，求出，求出，分两区间讨论的单调性，以证明为极小值点.试题解析：（1）由题意，，所以，又，所以观光专线的总长度，，因为当时，，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，，，令，得，因为，所以，当时，，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.18. 已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形的面积，求直线的方程；（3）求过点的圆方程（结果用表示）.【答案】（1）.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）由离心率为，得，，利用两点坐标可得的方程为，由圆心到时直线的距离公式求得，则.（2）设，，由两点的坐标可得直线的方程，与椭圆的方程联立可得的坐标（的横、纵坐标分别是的高），代入三角形的面积公式结合面积相等的条件即得关于的方程求出，最后再将代入PA方程即可得所求. （3）所求圆的圆心为的垂直平分线的交点，利用三点的坐标即可得的垂直平分线的方程，两个方程联立即可求得圆心的坐标，再代入圆的标准方程即可得所求.试题解析：（1）因为椭圆的，所以，，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，，，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，，，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19. 已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2），.（3）或14.【解析】试题分析：（1）当时，，，当时，由列是首项为2，公差为1的等差数列.（2）建立方程组，或.当，当无正整数解，综上，.（3）假设存在正整数，使得，，或，，，（舍去）或14.试题解析：（1）因为，，所以当时，，，当时，由和，两式相除可得，，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，，解得，当时，，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，，则，所以，或，或，解得：，或，，或，（舍去），综上所述，或14.20.已知函数，，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.【解析】试题分析：（1）先设切点为，切线斜率为，再建立切线方程为，将代入方程可得，即，进而求得切线方程为：或.（2）将问题转化为对任意有恒成立，①当时，，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.试题解析：（1）设切点为，，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（加试题）说明：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】.【解析】试题分析：先由和求得和求得，从而求得，可得.试题解析：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：由，得的方程为，求出圆心半径；由的参数方程得；与圆相交,则圆心到直线的距离，即可得.试题解析：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.【点睛】已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.23. 某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.【答案】（1）.（2）见解析.试题解析：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.∴.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；；；；..答：的数学期望为.【点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥人事件的和；二是先求对立事件的概率，进而求所求事件的概率，本题词的第（1）题采用的是法二.24. 在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知.（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出.（2）设，根据平面法向量定义得，即， ,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.试题解析：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.。
江苏省无锡市第一中学2018届高三上学期数学小题整理：
1.已知直线l ，m ，n 平面α，m ⊂α，n ⊂α，则“l ⊥α”是“l ⊥m ，且l ⊥n ”的______条件2.已知m ，n ，l 是三条直线，α，β是两个平面，下列命题中，正确命题序号为_____ ①若l 垂直与α内两条直线，则l ⊥α；②若l 平行于α，则α内有无数条直线与l 平行； ③若m ∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；④若m ⊥α，m ⊥β，则α//β3.设l ，m 表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥”“⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，αα_________________m l m l ⇒⎭⎬⎫ 4.设a ，b 为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a ∥α，a ∥β，则α∥β；②若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；5.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的序号为_____ ①若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；②若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α；③若a ∥α，a ⊥β，则α⊥β；④若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6.在空间中，用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，则下列命题是真命题的序号为_____①a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b7.设m ，n 表示两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题是真命题的序号为_______ ①若m ⊥n ，m ⊂α，则n ⊥α；②若m ⊥α，n ∥m ，则n ⊥α；③若n ∥α，m ⊂α，则n ∥m ；④若m ∥α，n ∥α，则m ∥n8.现有如下命题：其中是真命题的序号是____________①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内9.给出下列命题：其中是真命题为_____①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；②如果两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；③如果两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；④如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.10.设α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的序号是___①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；②若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β；③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直11.对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下命题：①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β12.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题是真命题的序号是___①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ；②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则l ⊥γ13.设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的________条件14.已知m ，n 是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，下列命题：①若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；④若m ∥α，m ⊂β，则α∥β，其中真命题的序号是_______15.已知,m n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题；其中真命题的序号为_________.①若//,//m n αα，则//m n ；②若,m n αα⊥⊥，则//m n ；③若//,m n αα⊥，则m n ⊥； ④若,m m n α⊥⊥，则//m α.16.给出下列命题：所有真命题的序号为______________.（1）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）如果两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条也与直线m 垂直；（4）如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；其中17.已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题：其中是真命题的有___________.①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥α， m ∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ．18. 已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题正确的是________（1）若,//,l m αβαβ⊥⊥，则l m ⊥； （2）若//,,m l m l αβ⊥⊥，则//αβ；（3）若/,/l m αβ，且//αβ，则//l m ；（4）若,,,ml l m αβαββ⊥⋂=⊂⊥，则l α⊥. 19. 设,,αβγ是三个不同的平面，,,a b c 是三条不同的直线，下列四个命题正确的是_______ （1）若//,//,//a b a b αβ，则//αβ；（2）若//,//,,,a b ca b αααβββ⋂=⊂⊂，则//a b ；（3）若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥；（4）若,αββγ⊥⊥，则//αβ或αβ⊥.20.给出下列命题；上述命题，假命题的序号是_________.（1）若线段AB 在平面α内，则直线AB 上的点都在平面α内；（2）若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；（3）两个平面平行的充要条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；（4）设,,a b c 是三条不同的直线，若,a b b c ⊥⊥，则//b c .21.在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1BB 的中点，,AC BD 交于点O ，则1D O 与平面AMC 所成的角为_____________22.若四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，且4PA =，则PC 与底面ABCD 所成的角的正切值为_______________. 23.若一个n 面体中有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n，如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，四面体1A ABC -的直度为______.24.已知平面,,αβγ，直线,l m 满足,,,m l l m αγγαγβ⊥⋂=⋂=⊥，那么①;m β⊥②l α⊥；③ βγ⊥；④αβ⊥.由上述条件可推出的结论有______25.设,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是平面α及β外的两条不同的直线，从“①;m n ⊥②αβ⊥；③ n β⊥；④m α⊥”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是：________(填序号).26.已知命题：“若,//x y y z ⊥，则x z ⊥”成立，那么字母,,x y z 在空间所表示的几何图形可能是：①都是直线；②都是平面；③,x y 是直线，z 是平面；④,x z 是平面，y 是直线.上述判断中，正确的序号是_________.27.已知l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若从“①;l α⊥②//l β；③ αβ⊥”中选取两个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题是：________1A28.在正方体1111ABCD A BC D -中，给出以下四个结论：（1）直线1//D C 平面11A ABB ；（2）直线11A D 与平面1BCD 相交； （3）直线AD ⊥平面1D DB ；（4）平面1BCD ⊥平面11A ABB .上述结论中，所有正确结论的序号为_____________.1A。