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2019年湖南省娄底市中考数学试题(含答案解析)

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中考数学专题09 反比例函数-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

中考数学专题09 反比例函数-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用)(原卷版)

专题09.反比例函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）已知反比例函数6y x=，则下列描述不正确的是（ ） A ．图象位于第一，第三象限 B ．图象必经过点34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小2．（2021·四川达州市·中考真题）在反比例函数21k y x+=（k 为常数）上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，若1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<3．（2021·浙江杭州市·中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ）A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 4．（2021·天津中考真题）若点()()()1235,,1,,5,A y B y C y -都在反比例函数5y x=-的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<5．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，直线1l 与反比例函数3(0)y x x=>的图象相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．直线2l 过原点O 和点C ．若直线2l 上存在点(,)P m n ，满足APB ADB ∠=∠，则m n +的值为（ ）A ．3B ．3或32C ．3+或3-D ．36．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO =A D ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE =4CE ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若118EOFS =，则k 的值为（ ） A ．73B ．214C ．7D ．2127．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点P 是函数()110,0k y k x x=>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()220,0k y k x x=>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：①//CD AB ；②122OCDk kS-=；③()21212DCPk k Sk -=，其中正确的是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数()1110y k x k =<的图象与反比例函数()2220k y k x=<的图象相交于A ，B 两点，点B 的横坐标为2，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或2x >B ．20x -<<或2x >C ．2x <-或02x <<D ．20x -<<或02x << 9．（2021·浙江金华市·中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数12y x=-的图象上．若120x x <<，则（ ） A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<10．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点(1,1)-；乙：函数图像经过第四象限； 丙：当0x >时，y 随x 的增大而增大．则这个函数表达式可能是（ ） A ．y x =-B ．1y x=C ．2yx D ．1y x=-11．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，点A ，B 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ，BE y ⊥轴于点E ，连结AE ．若1OE =，23OC OD =，AC AE =，则k的值为（ ）A ．2B ．2C ．94D ．12．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知三个点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 在反比例函数2y x=的图象上，其中1230x x x <<<，下列结论中正确的是（ ） A ．2130y y y <<< B ．1230y y y <<< C ．3210y y y <<<D ．3120y y y <<<13．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，AEF 的面积为1，则k 的值为（ ） A ．125B ．32C ．2D ．314．（2021·四川自贡市·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O （单位：A ）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A ．函数解析式为13I R=B ．蓄电池的电压是18VC ．当10A I ≤时， 3.6R ≥ΩD ．当6R =Ω时，4A I = 15．（2021·浙江丽水市·中考真题）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 F F F F 丁乙甲丙、、、，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 F F F F <<<甲丁丙乙，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ） A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学16．（2020·西藏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x 与反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y ＝x 沿y 轴向上平移b 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ．若OA ＝2BC ，则b 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．417．（2020·辽宁铁岭市·）如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点(1,0)E 和点(0,1)F 在AB 边上，AE EF =，连接,//DF DF x 轴，则k 的值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．18．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，正比例函数y 1＝mx ，一次函数y 2＝ax+b 和反比例函数y 3＝kx的图象在同一直角坐标系中，若y 3＞y 1＞y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣1B ．﹣0.5＜x ＜0或x ＞1C ．0＜x ＜1D ．x ＜﹣1或0＜x ＜119．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④20．（2020·山东威海市·中考真题）如图，点(,1)P m ，点(-2,)Q n 都在反比例函数4y x=的图象上，过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M ，N ．连接OP ，OQ ，PQ ．若四边形OMPN 的面积记作1S ，POQ △的面积记作2S ，则（ ）A ．12:2:3S S =B ．12:1:1S S =C ．12:4:3S S =D ．12:5:3S S =21．（2020·广西中考真题）如图，点,A B 是直线y x =上的两点，过,A B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线()10y x x=>于点,C D．若AC =，则223OD OC -的值为（ ） A ．5B．C ．4D．22．（2020·湖南郴州市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线11(0)k y x x=>上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线22(0)k y x x=<交于点B ，连接AB ．已知2AOBO =，则12k k =（ ） A ．4B ．4-C ．2D ．2-23．（2020·江苏徐州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，函数4y x=()0x >与1y x =-的图像交于点(),P a b ，则代数式11a b-的值为（ ） A ．12-B ．12C ．14-D ．1424．（2020·湖北中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点分别在反比例函数1k y x =和2ky x=的图象上，若120BAD ∠=︒，则12k k =（ ） A ．13B ．3CD25．（2020·湖北武汉市·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >26．（2020·湖北咸宁市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x=D ．22y x x =-27．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点123,,A A A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点123,,n B B B B 在y 轴上，且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=，直线y x =与双曲线1y x=交于点111122123322,,A B A OA B A B A B A B A ⊥⊥⊥，，则n B （n 为正整数）的坐标是（ ） A．B．C． D．28．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）已知正比例函数1y 的图象与反比例函数2y 的图象相交于点(2,4)A -，下列说法正确的是（ ）A ．正比例函数1y 的解析式是12y x =B ．两个函数图象的另一交点坐标为()4,2-C ．正比例函数1y 与反比例函数2y 都随x 的增大而增大D ．当2x <-或02x <<时，21y y < 29．（2020·天津中考真题）若点()()()123,5,,2,,5A x B x C x -都在反比例函数10y x=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ） A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．312x x x <<30．（2020·湖南衡阳市·中考真题）反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小31．（2019·湖南娄底市·中考真题）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解析式为( ) A ．111y x =++ B ．111y x =-+ C ．111y x =+- D ．111y x =--32．（2019·湖南娄底市·中考真题）如图，⊙O 的半径为2，双曲线的解析式分别为1y x =和1y x=-，则阴影部分的面积是( ) A ．4π B ．3πC ．2πD ．π二、填空题目33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点B ，C 在第一象限，顶点D 的坐标5(,2)2． 反比例函数ky x=（常数0k >，0x >）的图象恰好经过正方形ABCD 的两个顶点，则k 的值是_______． 34．（2021·湖南中考真题）在反比例函数3m y x-=的图象的每一支曲线上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是________．35．（2021·湖北武汉市·中考真题）已知点()1,A a y ，()21,B a y +在反比例函数21m y x+=（m是常数）的图象上，且12y y <，则a 的取值范围是__________．36．（2021·湖南株洲市·中考真题）点()11,A x y 、()121,B x y +是反比例函数ky x=图像上的两点，满足：当1>0x 时，均有12y y <，则k 的取值范围是__________． 37．（2021·陕西中考真题）若()11,A y ，()23,B y 是反比例函数2112m y m x -⎛⎫=< ⎪⎝⎭图象上的两点，则1y 、2y 的大小关系是1y ______2y （填“>”、“=”或“<”）38．（2021·浙江宁波市·中考真题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x 的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．39．（2021·云南中考真题）若反比例函数的图象经过点()1,2-，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为_________．40．（2020·山东日照市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点B 位于y 轴的正半轴上，顶点C ，D 位于x 轴的负半轴上，双曲线y ＝kx（k ＜0，x ＜0）与▱ABCD 的边AB ，AD 交于点E 、F ，点A 的纵坐标为10，F （﹣12，5），把△BOC 沿着BC 所在直线翻折，使原点O 落在点G 处，连接EG ，若EG ∥y 轴，则△BOC 的面积是_____．41．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，()2,1B -，将OAB 绕点O 顺时针旋转，点B 落在y 轴上的点D 处，得到OED ，OE 交BC 于点G ，若反比例函数(0)ky x x=<的图象经过点G ，则k 的值为______． 42．（2020·广西中考真题）反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：①k ＞0；②当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；③该函数图象关于直线y ＝﹣x 对称；④若点（﹣2，3）在该反比例函数图象上，则点（﹣1，6）也在该函数的图象上．其中正确结论的个数有_____个．43．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为（0,3），点A 在x 轴的正半轴上．直线1y x =-分别与边,AB OA 相交于,D M 两点，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ，连接MN ．点P 是直线DM 上的动点，当CP MN =时，点P 的坐标是________________．44．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象上，点B 在x 轴负半轴上，直线AB 交y 轴于点C ，若AC BC＝12，△AOB 的面积为6，则k 的值为_____． 45．（2020·辽宁锦州市·中考真题）如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，点B 在y 轴上，点C ，点D 在x 轴上，AD 与y 轴交于点E ，若3BCES=，则k 的值为_______．46．（2020·江苏南通市·中考真题）将双曲线y ＝3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx ﹣2﹣k （k ＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝_____．47．（2020·湖南永州市·中考真题）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD △的面积为_________．48．（2020·山东东营市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1y x =+和双曲线1y x=-，在直线上取一点，记为1A ，过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点1B ，过1B 作y 轴的垂线交直线于点2A ，过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点2B ，过2B 作y 轴的垂线交直线于点3,A ······，依次进行下去，记点n A 的横坐标为n a ，若12,a =则2020a =______．49．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO 为平行四边形，O （0，0），A （3，1），B （1，2），反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过OABC 的顶点C ，则k =___．50．（2020·广西玉林市·中考真题）已知函数1y x =与函数21y x=的部分图像如图所示，有以下结论： ①当0x <时，12,y y 都随x 的增大而增大；②当1x <-时， 12y y >；③12,y y 的图像的两个交点之间的距离是2；④函数12y y y =+的最小值为2；则所有正确的结论是_________．51．（2020·辽宁抚顺市·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，点A 在反比例函数ky x=（0k >，0x >）的图象上，点B ，C 在x 轴上，15OC OB =，延长AC 交y 轴于点D ，连接BD ，若BCD ∆的面积等于1，则k 的值为_________．52．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，已知点()5,2,54()(),81A B C ，，，直线l x ⊥轴，垂足为点0(),M m ，其中52m <，若A B C '''与ABC 关于直线l 对称，且A B C '''有两个顶点在函数(0)k y k x=≠的图像上，则k 的值为：_______________________．53．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，等腰ABC ∆的两个顶点(1,4)A --、(4,1)B --在反比例函数1k y x=（0x <）的图象上，AC BC =．过点C 作边AB 的垂线交反比例函数1k y x =（0x <）的图象于点D ，动点P 从点D 出发，沿射线CD 方向运动到达反比例函数2ky x=（0x >）图象上一点，则2k =__________．54．（2020·湖北鄂州市·中考真题）如图，点A 是双曲线1(0)y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，且使3OB OA =，当点A 在双曲线1y x =上运动时，点B 在双曲线k y x=上移动，则k 的值为___________．55．（2020·河北中考真题）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作m T （m 为1~8的整数）．函数ky x=（0x <）的图象为曲线L ．（1）若L 过点1T ，则k =_________；（2）若L 过点4T ，则它必定还过另一点m T ，则m =_________； （3）若曲线L 使得18~T T 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k 的整数值有_________个．56．（2020·四川自贡市·中考真题）如图， 直线y b =+与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．57．（2019·贵州安顺市·中考真题）如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22ky x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．59．（2019·湖南长沙市·中考真题）如图，函数ky x=(k 为常数，k ＞0)的图象与过原点的O 的直线相交于A ，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM⊥AM 于点M ，则∠MBA ＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则2k =+25MF MB =，则MD ＝2MA ．其中正确的结论的序号是_______．60．（2019·四川南充市·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(3,2)A m n 在直线1y x =-+上，点(,)B m n 在双曲线ky x=上，则k 的取值范围为___________. 三、解答题61．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，一次函数1y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数2my x=（0m >）的图象交于点()1,2C ，()2,D n ． （1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接OD ，求BOD 的面积．62．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，30ABC ∠=︒，4BC =，双曲线ky x=经过点A ．（1）求k ；（2）直线AC 与双曲线y =D ．求ABD △的面积．63．（2021·四川广安市·中考真题）如图，一次函数()1y kx b k 0=+≠的图象与反比例函数()2my m 0x=≠的图象交于()1,A n -，()3,2B -两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 在x 轴上，且满足ABP △的面积等于4，请直接写出点P 的坐标．64．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数11k y x=（1k 是常数，10k >，0x >）与函数22y k x =（2k 是常数，20k ≠）的图象交于点A ，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）若点B 的坐标为()1,2-，①求1k ，2k 的值．②当12y y <时，直接写出x 的取值范围． （2）若点B 在函数33k y x=（3k 是常数，30k ≠）的图象上，求13k k +的值．65．（2021·山东临沂市·中考真题）已知函数()()()31 31131x x y x x x x⎧≤-⎪⎪=-⎨⎪⎪≥⎩＜＜（1）画出函数图象；列表：描点，连线得到函数图象：（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设1122(,),(,)x y x y 是函数图象上的点，若120x x +=，证明：120y y +=．66．（2021·安徽中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m ，2）．（1）求k ，m 的值；（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．67．（2021·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数1(0)y x x=>图象上的一个动点，连结,AO AO 的延长线交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点B ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ．（1）如图1，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连结EF ．①若1k =，求证：四边形AEFO 是平行四边形； ②连结BE ，若4k =，求BOE △的面积．（2）如图2，过点E 作//EP AB ，交反比例函数(0,0)ky k x x=><的图象于点P ，连结OP ．试探究：对于确定的实数k ，动点A 在运动过程中，POE △的面积是否会发生变化？请说明理由．68．（2021·四川乐山市·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示，当010x ≤<和1020x ≤<时，图象是线段；当2045x ≤≤时，图象是反比例函数的一部分．（1）求点A 对应的指标值；（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．69．（2021·重庆中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，a =_________，b =__________； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．70．（2021·四川自贡市·中考真题）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数28xy =-的图象，并探究其性质．列表如下：（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称；②2x =时，函数有最小值，最小值为2-；③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是_________．（请写出所有正确命题的序号） （3）结合图象，请直接写出不等式284xx x >+的解集_________．71．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，一次函数1y ＝k x ＋ b （k ≠0）与反比例函数2my x=（m ≠0）的图象交于点A （1，2）和B （－2，a ），与y 轴交于点M ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在y 轴上取一点N ，当△AMN 的面积为3时，求点N 的坐标； （3）将直线1y 向下平移2个单位后得到直线y 3，当函数值123y y y >>时，求x 的取值范围．72．（2021·四川凉山州·中考真题）如图，AOB 中，90∠=︒ABO ，边OB 在x 轴上，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，912,2AOBS AN==．（1）求k的值；（2）求直线MN的解析式．73．（2021·四川泸州市·中考真题）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数myx=的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点（1）求一次函数的解析式（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求PQMN的值74．（2020·柳州市柳林中学中考真题）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数myx=（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．（1）请结合图象，直接写出：①点A的坐标是；②不等式mkx bx+>的解集是；（2）求直线AC的解析式．75．（2020·山东济南市·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，），反比例函数kyx=（x>0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝12．（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．76．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣8x的图象交于点A(n，2)和点B．（1）n＝，k＝；（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．77．（2020·内蒙古赤峰市·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三数组”.材料二：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)的两根分别为1x ，2x ，则有12b x x a +=-，12cx x a⋅=． 问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；（2）若1x ，2x 是关于x 的方程ax 2+bx +c = 0 (a ，b ，c 均不为0)的两根，3x 是关于x 的方程bx +c =0(b ，c 均不为0)的解．求证：x 1，x 2，x 3可以构成“和谐三数组”；（3）若A (m ，y 1) ，B (m + 1，y 2) ，C (m +3，y 3)三个点均在反比例函数4y x=的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m 的值．78．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数y ＝k x（k ＜0）的图象在第二象限交于A （﹣3，m ），B （n ，2）两点．（1）当m ＝1时，求一次函数的解析式； （2）若点E 在x 轴上，满足∠AEB ＝90°，且AE ＝2﹣m ，求反比例函数的解析式．79．（2020·云南昆明市·中考真题）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min ；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min ．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y （单位：mg /m 3）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为y ＝2x ，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A （m ，n ）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg /m 3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．80．（2020·四川眉山市·中考真题）已知一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图象交于(3,2)A -、(1,)B n 两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）点P 在x 轴上，当PAO 为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．81．（2020·湖北荆州市·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像和性质后，进一步研究了函数2y x=的图像与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x 与y 的几组对应值，其中______m =；②描点：根据表中各组对应值(x ，y)在平面直角坐标系中描出了各点；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；②_______________； （3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数2y x=的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于点C ，则________OABC S =；②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则________OABC S =； ③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数(0)ky k x=>的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC//OA 交x 轴于C ，则________OABC S =；82．（2020·湖南郴州市·中考真题）为了探索函数1(0)y x x x=+>的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点1122(,),(,)x y x y 在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x <<≤，则1y 2y ；若121x x <<，则1y 2y ；若121x x ⋅=，则1y 2y （填“>”，“=”，“<”）． （3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元．①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内?83．（2020·甘肃天水市·中考真题）如图所示，一次函数()0y mx nm =+≠的图象与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于第二、四象限的点()2,A a -和点(),1B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC △的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出kmx n x +>中x 的取值范围； （3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．84．（2019·江苏泰州市·中考真题）已知一次函数()10y kx n n =+<和反比例函数()20,0my m x x=>>．（1）如图1，若2n =-，且函数1y 、2y 的图象都经过点()3,4A ． ①求m ，k 的值；②直接写出当12y y >时x 的范围；（2）如图2，过点()1,0P 作y 轴的平行线l 与函数2y 的图象相交于点B ，与反比例函数()30ny x x=>的图象相交于点C ．①若2k =，直线l 与函数1y 的图象相交点D ．当点B 、C 、D 中的一点到另外两点的距离相等时，求m n -的值；②过点B 作x 轴的平行线与函数1y 的图象相交于点E ．当m n -的值取不大于1的任意实数时，点B 、C 间的距离与点B 、E 间的距离之和d 始终是一个定值．求此时k 的值及定值d ．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2023年湖南省娄底市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省娄底市中考数学真题(解析版)

娄底市2023年初中毕业学业考试试题卷数学温馨提示：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟．2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3．请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1. 2023的倒数是（ ）A. 2023- B. 2023C.12023D. 12023-【答案】C 【解析】【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．【详解】解：2023的倒数为12023．故选C ．【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．2. 下列运算正确的是（ ）A. 248a a a ⋅= B. 2234a a a +=C. ()()2222a a a +-=- D. ()326328a ba b -=-【答案】D 【解析】【分析】根据同底数幂的乘法运算可判断A ，根据合并同类项可判断B ，根据平方差公式可判断C ，根据积的乘方运算可判断D ，从而可得答案．【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意；2a ，3a 不是同类项，不能合并，故B 不符合题意；()()2224a a a +-=-，故C 不符合题意；()326328a b a b -=-，运算正确，故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，合并同类项，平方差公式的应用，积的乘方运算，熟记以上基础的运算法则是解本题的关键．3. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）A. 544310´ B. 74.4310´ C. 84.4310´ D. 80.44310´【答案】B 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值10³时，n 是正整数，当原数绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：4430万744300000 4.4310==´， 故选：B ．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4. 一个小组7名同学的身高（单位：cm ）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（ ）A. 151 B. 155C. 158D. 160【答案】D 【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【详解】解：由于此数据按照从小到大的顺序排列为151，155，158，160，168，170，175．发现160处在第4位．所以这组数据的中位数是160，故选：D ．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．5. 不等式组35220x x -+<ìí-£î的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再利用数轴表示解集的公共部分即可．详解】解：35220x x -+<ìí-£î①②，由①得：2x >-，由②得：1x £，在数轴上表示两个不等式的解集如下：∴不等式组的解集为：21x -<£；故选：C【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知大于向右拐，小于向左拐的原则是解答此题的关键．6. 将直线 21y x =+向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）A. 21y x =- B. 23y x =- C. 23y x =+ D. 25y x =+【答案】B 【解析】【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.【详解】解：将直线 21y x =+向右平移2个单位，所得直线的解析式为 2(2)1y x =-+，即 23y x =-，故选：B.【【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.7. 从367，3.1415926，3.3& ）A.27B.37C.47D.57【答案】A 【解析】2=，2=-，∴367，3.1415926，3.3&∴从367，3.1415926，3.3&27；故选A【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．8. 一个长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1，如果分别按A 、B 、C 面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为A P 、B P 、C P （压强的计算公式为F P S=），则::A B C P P P =（ ）A. 2:3:6B. 6:3:2C. 1:2:3D. 3:2:1【答案】A 【解析】【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1，∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1，∵FP S=，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小，∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．9. 如图，正六边形ABCDEF 的外接圆O e 的半径为2，过圆心O 的两条直线1l 、2l 的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）A.43p - B.43p C.23p - D.23p 【答案】C 【解析】【分析】如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，证明扇形AOQ 与扇形COG 重合，可得COD COD S S S =-V 阴影扇形，从而可得答案．【详解】解：如图，连接AO ，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A ，O ，D 三点共线，COD △为等边三角形，∴AOQ DOH Ð=Ð，60COD GOH Ð=Ð=°，∴COG DOH AOQ Ð=Ð=Ð，∴扇形AOQ 与扇形COG 重合，∴COD COD S S S =-V 阴影扇形，∵COD △为等边三角形，2OC OD ==，过O 作OK CD ^于K ，∴60COD Ð=°，1CK DK ==，OK ==∴260212236023COD COD S S S p p ´=-==´=V 阴影扇形故选C【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．10. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出下列结论：①0abc <；②420a b c -+>；③()a b m am b ->+（m 为任意实数）；④若点()13,y -和点()23,y 在该图象上，则12y y >．其中正确的结论是（ ）A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边，可得a<0，0c >， 0b <，故①不符合题意；当0x =与2x =-时的函数值相等，可得420a b c c -+=>，故②符合题意；当=1x -时函数值最大，可得()a b m am b -³+，故③不符合题意；由点()13,y -和点()23,y 在该图象上，而()()()314132--=>---=，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边，∴a<0，0c >，02bx a=-<，∴0b <，∴0abc >，故①不符合题意；∵对称轴为直线=1x -，∴当0x =与2x =-时的函数值相等，∴420a b c c -+=>，故②符合题意；∵当=1x -时函数值最大，∴2a b c am bm c -+³++，∴()a b m am b -³+；故③不符合题意；∵点()13,y -和点()23,y 在该图象上，而()()()314132--=>---=，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，∴12y y >．故④符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y 轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．11. 从n 个不同元素中取出()m m n £个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示，()()()()12111m nn n n n m C m m --⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅（n m ³，n 、m 为正整数）；例如：255421C ´=´，38876321C ´´=´´，则4599C C +=（ ）A. 69C B. 410C C. 510C D. 610C 【答案】C 【解析】【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．【详解】解：∵()()()()12111mn n n n n m C m m --⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅，∴4599987698765126126252432154321C C ´´´´´´´+=+=+=´´´´´´´，A 选项，6998765484654321C ´´´´´==´´´´´，B 选项，410109872104321C ´´´==´´´，C 选项，51010987625254321C ´´´´==´´´´，D 选项，6101098765210654321C ´´´´´=´´´´=´，故选C ．【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值．正确理解新定义是解题的关键．12.a 、b 、c 的ABC V 的面积为ABCS =△．ABC V 的边a 、b 、c 所对的角分别是∠A 、∠B 、∠C ，则111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ===△．下列结论中正确的是（ ）A. 222cos 2a b c C ab +-=B. 222cos 2a b c C ab +-=-C. 222cos 2a b c C ac+-=D. 222cos 2a b c C bc+-=【答案】A 【解析】，1sin 2ABC S ab C =V ，即222222222sin 2a b c a b a b C æö+--=ç÷èø，()22222221sin 2a b c a b C æö+--=ç÷èø，22222cos 2a b c C ab æö+-=ç÷èø，222cos 2a b c C ab+-=故选：A ．【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉22sin cos 1C C +=是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13. 函数y 的自变量x 的取值范围为____________．【答案】x≥－1【解析】【详解】由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．14. 若m 是方程2210x x --=的根，则221m m+=______．【答案】6【解析】【分析】由m 是方程2210x x --=的根，可得221m m =+，把221m m +化为12121m m +++，再通分变形即可．【详解】解：∵m 是方程2210x x --=的根，∴2210m m --=，即221m m =+，∴22112121m m m m +=+++()221121m m ++=+244221m m m ++=+844221m m m +++=+()62121m m +=+6=；【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，分式的化简求值，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键．15. 如图，点E 在矩形ABCD 的边CD 上，将ADE V 沿AE 折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处，若10BC =．4sin 5AFB Ð=，则DE =______．【答案】5【解析】【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得10AD AF ==，EF ED =，可得4sin 1085AB AF AFB =⋅Ð=´=，6BF ==，设DE x =，则8CE CD DE x =-=-，利用勾股定理可得222EF CF CE =+，进而可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D Ð=Ð=Ð=°，AB CD =，10AD BC ==，根据折叠可知，可知10AD AF ==，EF ED =，则，在Rt ABF V 中，4sin 1085AB AF AFB =⋅Ð=´=，则8CD =，∴6BF ==，则4CF BC BF =-=，设DE x =，则8CE CD DE x =-=-，在Rt CEF △中，222EF CF CE =+，即：()22284x x =-+，解得：5x =，即：5DE =，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．16. 如图，在ABC V 中，3AC =，4AB =，BC 边上的高2AD =，将ABC V 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为______．【答案】14p 【解析】【分析】由圆锥的侧面展开图是扇形，可得圆锥的侧面积公式12S lr =，再根据题干数据进行计算即可．【详解】解：由题意可得：旋转后的几何体是两个共底面的圆锥，∵BC 边上的高2AD =，∴底面圆的周长为：224p p ´=，∵3AC =，4AB =，∴几何体的表面积为1134+44=1422p p p ´´´´．故答案为：14p ．【点睛】本题考查的是圆锥的侧面积的计算，几何体的形成，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键．17. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，当CD x ∥轴时，CD =______．【答案】4【解析】【分析】与抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，可得抛物线的对称轴为直线1322x +==，由CD x ∥轴，可得C ，D 关于直线2x =对称，可得()4,D c ，从而可得答案．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A 、点()3,0B ，∴抛物线的对称轴为直线1322x +==，∵当0x =时，y c =，即()0,C c ，∵CD x ∥轴，∴C ，D 关于直线2x =对称，∴()4,D c ，∴404CD =-=；故答案为：4【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．18. 若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n 个同学均匀排成一个以O 点为圆心，r 为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a 米，再左右调整位置，使这()2+n 个同学之间的距离与原来n 个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这()2+n 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移______米（请用关于a 的代数式表示），才能使得这()3+n 个同学之间的距离与原来n 个同学之间的距离相等．【答案】2a 【解析】【分析】由第一次操作可得：()222r a r n n p p +=+，则2r n a =，设第二次操作时每位同学向后移动了x 米，可得()()2223r a r a x n n p p +++=++，解得2r a x n +=+，再代入化简即可．【详解】解：由第一次操作可得：()222r a r n n p p +=+，∴2r n a=，设第二次操作时每位同学向后移动了x 米，则()()2223r a r a x n n p p +++=++，∴()()22222a r a r a r a a x r n a r a +++====+++，故答案为：2a【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. 计算：()020231tan60p-+-°．【答案】【解析】【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．【详解】解：()020231tan60 p-+--°11=+=【点睛】本题考查是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记相关概念与运算法则是解本题的关键．20. 先化简，再求值：221111xx x xæö-¸ç÷+--èø，其中x满足2340x x--=．【答案】232x x--；2【解析】【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．【详解】解：221111xx x xæö-¸ç÷+--èø()()()()222=1111x x xx xx x---⋅+-+-232x x=--；∵2340x x--=，∴234x x-=，其中1x¹-，∴原式422=-=．【点睛】本题考查是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．的的四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21. 某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．（1）参与本次测试的学生人数为______，m =______．（2）请补全条形统计图．（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．【答案】（1）150人，30（2）补全图形见解析（3）3500人．【解析】【分析】（1）由良好60人除以其占比40%可得总人数，由优秀的45人除以总人数可得m 的值；（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，得到合格的人数，再补全统计图即可；（3）由5000乘以测试成绩能达到良好及以上等级学生人数的占比可得答案．【小问1详解】解：6040%=150¸（人），∴参与本次测试的学生人数为150人，45100%=30%150´，∴30m =；故答案为：150人；30；【小问2详解】∵1504560540---=（人），的补全图形如下：．【小问3详解】45+6050003500150´=（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，能够正确的读图是解本题的关键．22. 几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A 、B 两点，并过点B 架设一水平线型轨道CD （如图所示），使得ABC a Ð=，从点B 出发按CD 方向前进20米到达点E ，即20BE =米，测得AEB b Ð=．已知24sin 25a =，tan 3b =，求A 、B 两点间的距离．【答案】A 、B 两点间的距离为500米．【解析】【分析】如图，过A 作AQ CD ^于Q ，由2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，可得7BQ x ==，而20BE =，可得720QE QB BE x =+=+，结合3AQ QE=，即3AQ QE =，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过A 作AQ CD ^于Q ，∵24sin 25a =，即2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，∴7BQ x ==，而20BE =，∴720QE QB BE x =+=+，∵tan 3b =，∴3AQ QE=，即3AQ QE =，∴()243720x x =+，解得：20x =，∴252520500AB x ==´=（米），答：A 、B 两点间的距离为500米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23. 为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙树苗的价格．（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？【答案】（1）每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；（2）乙种树苗种植数量不得少于100棵．【解析】【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元，由“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元，；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”列出方程组，可求解；（2）设乙种树苗种植数量为m 棵，则甲种树苗数量为()200m -棵，根据“获得不低于5万元的价值”列不等式解题即可．【小问1详解】解：设每棵甲种树苗的价格为x 元，每棵乙种树苗的价格y 元， 由题意可得：3212311x y x y +=ìí+=î， 解得：23x y =ìí=î， 答：每棵甲种树苗的价格为2元，每棵乙种树苗的价格3元；【小问2详解】设乙种树苗种植数量为m 棵，则甲种树苗数量为()200m -棵，∴()20020030050000m m -+³，解得：100m ³，∴m 的最小整数解为100．答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练的确定相等关系与不等关系是解本题的关键．24. 如图1，点G 为等边ABC V 的重心，点D 为BC 边的中点，连接GD 并延长至点O ，使得DO DG =，连接GB ，GC ，OB ，OC（1）求证：四边形BOCG 为菱形．（2）如图2，以O 点为圆心，OG 为半径作Oe ①判断直线AB 与O e 的位置关系，并予以证明．②点M 为劣弧BC 上一动点（与点B 、点C 不重合），连接BM 并延长交AC 于点E ，连接CM 并延长交AB 于点F ，求证：AE AF +为定值．【答案】（1）见解析；（2）①直线AB 是O e 的切线；②见解析．【解析】【分析】（1）如图1，延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，由ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，得AD ⟂BC ，DB DC =，进而证明四边形BOCG 是平行四边形，于是即可得四边形BOCG 为菱形；（2）①延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，先证BG 为ABC Ð的角平分线，进而求得30ABG GBO ÐÐ==°，又由菱形的性质得30CBO GBC ÐÐ==°，从而有90ABO ABG GBC CBO ÐÐÐÐ=++=°，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC Ð=°，进而求得N Ð=1260BOC Ð=°，再由圆内接四边形的性质求得180120BMC N ÐÐ=°-=°，从而根据角的和差关系求得ACF CBE ÐÐ=，于是证明()BEC CFA ASA V V ≌得AF CE =，即可证明结论成立．【小问1详解】证明：如图1，延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，∵ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ÐÐ==°，AB AC BC ==，∴AD ⟂BC ，DB DC =，∵DO DG =，∴四边形BOCG 是平行四边形，∵AD ⟂BC ，∴四边形BOCG 为菱形；【小问2详解】①解：直线AB 是O e 的切线，理由如下：延长BG 交AC 于点H ，连接AD ，∵ABC V 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ACB ÐÐÐ===°，AB AC BC ==，AH CH =，∴BG 为ABC Ð的角平分线，∴30ABG GBO ÐÐ==°，∵四边形BOCG 是菱形，∴30CBO GBC ÐÐ==°，∴90ABO ABG GBC CBO ÐÐÐÐ=++=°，∴AB OB ^，∴直线AB 是O e 的切线；②证明：在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC Ð=°，∵OB OC =，∴30OBC OCB ÐÐ==°，∴180120BOC OBC OCB ÐÐÐ=°--=°，∴N Ð=1260BOC Ð=°，∵四边形BNCM 内接于O e ，∴180120BMC N ÐÐ=°-=°，∴18060CBE BCM BMC ÐÐÐ+=°-=°，∵60ACB ACF BCM ÐÐÐ=+=°，∴ACF BCM CBE BCM ÐÐÐÐ+=+，∴ACF CBE ÐÐ=，∵BC AC =，60BCE A ÐÐ==°，∴()ASA BEC CFA V V ≌∴AF CE=∵AE CE AC+=∴AE AF AE CE AC +=+=，即AE AF +为定值．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. 鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF Ð的平分线交EF 于点M ．（1）求证：2AE EF EM =⋅．（2）若1AF =，求AE 的长．（3）求ABCDEAEF S S 正五边形△的值．【答案】（1）见解析 （2）AE = （3【解析】【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到72FAE FEA Ð=Ð=°，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到MAE F Ð=Ð，再根据FEA AEM Ð=Ð，可得到AEM FEA V V ∽，进而得到结论；（2）根据等角对等边可以得到1AF FE ==，AE AM FM ==，再由（1）得结论得到()211AE AE =´-，解方程可以求出结果；（3）设AEF S S =V ，AF a =连接AD ，AC ，根据正多边形可以推导出AFE ACD V V ≌，ABC AED V V ≌，则可表示出ABCDE S 正五边形，然后求出比值．【小问1详解】证明：∵ABCDE 是正五边形，∴360725FAE FEA °Ð=Ð==°，∴180180727236F FAE FEA Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，又∵EAF Ð的平分线交EF 于点M ，∴11723622FAM MAE FAE Ð=Ð=Ð=´°=°，∴MAE F Ð=Ð，又∵FEA AEM Ð=Ð，∴AEM FEA V V ∽，∴AE ME FE AE=，即2AE EF EM =⋅；【小问2详解】解：∵36F FAM Ð=Ð=°，∴72AME Ð=°，∴1AF FE ==，AE AM FM ==，∵2AE EF EM =⋅，∴()211AE AE =´-，解得：AE =或AE =（舍去），∴AE =；小问3详解】设AEF S S =V ，AF a =，连接AD ，AC ，则根据（2）中计算可得AE =，∵ABCDE 是正五边形，∴108AB BC CD DE EA BAE AED EDC DCB CBA =====Ð=Ð=Ð=Ð=Ð=°，，∴36BAC BCA EDA EAD Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴72ACD ADC Ð=Ð=°，∴AFE ACD V V ≌，ABC AED V V ≌，∴ADE AEF S ED S EF ==V V ，∴ADE S =V ，【∴ADE ADC ABC ABCDE S S S S S S =++=++=V V V 正五边形，∴ABCDEAEF S S ==V 正五边形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26. 如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．（1）求b ，c 的值．（2）点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC V 的面积最大？并求出PBC V 面积的最大值；②过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4b =-，5c =-（2）①当052x =时，PBC V 的面积由最大值，最大值为1258；②当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形【解析】【分析】（1）将将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++即可求解；（2）①由（1）可知：245y x x =--，得()0,5C -，可求得BC 的解析式为5y x =-，过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，易得20005E PE y y x x =-=-+，根据PBC V 的面积PECPEB S S =+△△，可得PBC V 的面积()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-2055125228x æö=--+ç÷èø，即可求解；②由题意可知抛物线的对称轴为4221x -=-=´对，则04F x x =-，分两种情况：当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，分别进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将()1,0A -、()5,0B 代入抛物线2y x bx c =++中，可得：102550b c b c -+=ìí++=î，解得：45b c =-ìí=-î，即：4b =-，5c =-；【小问2详解】①由（1）可知：245y x x =--，当0x =时，5y =-，即()0,5C -，设BC 的解析式为：y kx b =+，将()5,0B ，()0,5C -代入y kx b =+中，可得505k b b +=ìí=-î，解得：15k b =ìí=-î，∴BC 的解析式为：5y x =-，过点P 作PE x ^轴，交BC 于点E ，交x 轴于点Q ，∵()()000,05P x y x <<，则200045y x x =--，∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为05E y x =-，∴()()220000005455E PE y y x x x x x =-=----=-+，PBC V 的面积PEC PEBS S =+△△()()001122C B PE x x PE x x =⋅-+⋅-()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x æö=--+ç÷èø，∵502-<，∴当052x =时，PBC V 的面积有最大值，最大值为1258；②存在，当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形．理由如下：由①可知2005PE x x =-+，由题意可知抛物线的对称轴为直线4221x -=-=´对，∵PF x ∥轴，∴90EPF Ð=°，022F x x x +==对，则04F x x =-，当点P 在对称轴左侧时，即002x <<时，0042F PF x x x =-=-，当PE PF =时，PEF !为等腰直角三角形，即：2000254x x x -+=-，整理得：200740x x -+=，解得：0x =（02x =>，不符合题意，舍去）此时200045y x x =--=P ；当点P 在对称轴右侧时，即025x <<时，0024F PF x x x =-=-，当PE PF =时，PEF !为等腰直角三角形，即：2000452x x x -+=-，整理得：200340x x --=，解得：04x =（012x =-<，不符合题意，舍去）此时：2044455y =-´-=-，即点()4,5P -；综上所述，当点P的坐标为或()4,5-时，PEF !为等腰直角三角形．【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．。

中考数学真题知识分类练习试卷：代数式(含解析)

中考数学真题知识分类练习试卷：代数式(含解析)

中考数学真题知识分类练习试卷：代数式（含解析）【一】单项选择题1．以下运算：①a2•a3=a6，②〔a3〕2=a6，③a5÷a5=a，④〔ab〕3 =a3b3，其中结果正确的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【来源】山东省滨州市2019年中考数学试题2．计算的结果是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省南京市2019年中考数学试卷【解析】分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的乘法计算即可.详解：应选：B.点睛：此题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法那么和性质是解题的关键.3．以下计算结果等于的是〔〕A. B. C. D.【来源】2019年甘肃省武威市〔凉州区〕中考数学试题4．以下运算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】湖南省娄底市2019年中考数学试题【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法那么逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；B. ，故B选项错误，不符合题意；C. ，故C选项错误，不符合题意；D. ，正确，符合题意，应选D.【点睛】此题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法那么是解题的关键.5．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】山东省德州市2019年中考数学试题6．我国南宋数学家杨辉所著的«详解九章算术»一书中，用以下图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为〝杨辉三角〞．A. 84B. 56C. 35D. 28【来源】山东省德州市2019年中考数学试题7．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方的运算法那么逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误；B. ，故B选项错误；C. ，故C选项错误；D. ，正确，应选D.【点睛】此题考查了有关幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，积的乘方的运算法那么是解题的关键.8．据省××局发布，2019年我省有效发明专利数比2019年增长22.1%假定2019年的平均增长率保持不变，2019年和2019年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，那么〔〕A. B.C. D.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】根据题意可知2019年我省有效发明专利数为〔1+22. 1%〕a万件，2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕•〔1+22.1%〕a，由此即可得.【详解】由题意得：2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕a万件，2019年我省有效发明专利数为〔1+22.1%〕•〔1+22.1%〕a万件，即b=〔1+22.1%〕2a万件，应选B.【点睛】此题考查了增长率问题，弄清题意，找到各量之间的数量关系是解题的关键.9．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】山东省泰安市2019年中考数学试题10．按如下图的运算程序,能使输出的结果为的是〔〕A. B. C. D.【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕11．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省宿迁市2019年中考数学试卷12．以下运算正确的选项是〔〕A. x﹣2x=﹣xB. 2x﹣y=xyC. x2+x2=x4D. 〔x﹣1〕2=x2﹣1【来源】江苏省连云港市2019年中考数学试题13．以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【来源】江苏省盐城市2019年中考数学试题14．以下计算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】湖北省孝感市2019年中考数学试题详解：A、，正确；B、〔a+b〕2=a2+2ab+b2，故此选项错误；C、2+，无法计算，故此选项错误；D、〔a3〕2=a6，故此选项错误；应选：A、点睛：此题主要考查了完全平方公式以及二次根式加减运算和幂的乘方运算，正确掌握相关运算法那么是解题关键．15．假设单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，那么nm的值是〔〕A. 3B. 6C. 8D. 9【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题【解析】分析：首先可判断单项式am﹣1b2与是同类项，再由同类项的定义可得m、n的值，代入求解即可．详解：∵单项式am﹣1b2与的和仍是单项式，∴单项式am﹣1b2与是同类项，∴m﹣1=2，n=2，∴m=3，n=2，∴nm=23=8．应选：C、点睛：此题考查了合并同类项的知识，解答此题的关键是掌握同类项中的两个相同．16．以下运算正确的选项是( )A. B. C. D.【来源】广东省深圳市2019年中考数学试题17．以下运算结果正确的选项是A. 3a3·2a2=6a6B. (-2a)2= -4a2C. tan45°=D. cos3 0°=【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题【解析】分析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算．详解：A、原式=6a5，故本选项错误；B、原式=4a2，故本选项错误；C、原式=1，故本选项错误；D、原式=，故本选项正确．应选D、点睛：考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值，属于基础计算题．18．以下计算正确的选项是〔〕A. B.C. D.【来源】四川省成都市2019年中考数学试题19．以下计算正确的选项是( )A. B. C. D.【来源】山东省潍坊市2019年中考数学试题【解析】分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项法那么，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法那么：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．详解：A、a2•a3=a5，故A错误；B、a3÷a=a2，故B错误；C、a-〔b-a〕=2a-b，故C正确；D、〔-a〕3=-a3，故D错误．应选C、点睛：此题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法那么是解题的关键．20．计算〔﹣a〕3÷a结果正确的选项是〔〕A. a2B. ﹣a2C. ﹣a3D. ﹣a4【来源】浙江省金华市2019年中考数学试题详解：〔-a〕3÷a=-a3÷a=-a3-1=-a2，应选B、点睛：此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法那么是解题关键．21．把三角形按如下图的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，那么第⑦个图案中三角形的个数为〔〕A. 12B. 14C. 16D. 18【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕22．下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是〔〕A. ①B. ②C. ③D. ④【来源】2019年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【二】填空题23．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，那么位于第45行、第8列的数是__________．【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2019，点睛：此题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．24．我国古代数学家杨辉发现了如下图的三角形，我们称之为〝杨辉三角〞，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，，，，…，那么的值是__________．【来源】湖北省孝感市2019年中考数学试题25．假设a-=，那么a2+值为_______________________.【来源】湖北省黄冈市2019年中考数学试题详解：∵a-=，∴〔a-〕2=6，∴a2-2+=6，∴a2+=8.点睛：此题考查完全平方公式的变形运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式．26．，，，，，，…〔即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，〕，按此规律，__________.【来源】四川省成都市2019年中考数学试题27．计算的结果等于__________．【来源】天津市2019年中考数学试题【解析】分析：依据单项式乘单项式的运算法那么进行计算即可．详解：原式=2x4+3=2x7．点睛：此题主要考查的是单项式乘单项式，掌握相关运算法那么是解题的关键．28．假设是关于的完全平方式，那么__________．【来源】贵州省安顺市2019年中考数学试题详解：∵x2+2〔m-3〕x+16是关于x的完全平方式，∴2〔m-3〕=±8，解得：m=-1或7，点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．29．化简〔x﹣1〕〔x+1〕的结果是_____．【来源】浙江省金华市2019年中考数学试题30．观察以下各式：请利用你所发现的规律，计算+++…+，其结果为_______．【来源】山东省滨州市2019年中考数学试题详解：由题意可得：=+1++1++ (1)=9+〔1﹣+﹣+﹣+…+﹣〕=9+=9．点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．【来源】湖南省娄底市2019年中考数学试题32．如图是一个运算程序的示意图，假设开始输入的值为625，那么第2019次输出的结果为__________．【来源】2019年甘肃省武威市〔凉州区〕中考数学试题【三】解答题33．先化简，再求值：a〔a+2b〕﹣〔a+1〕2+2a，其中．【来源】山东省淄博市2019年中考数学试题【解析】分析：先计算单项式乘以多项式与和的完全平方，再合并同类项，最后代入计算即可．详解：原式=a2+2ab﹣〔a2+2a+1〕+2a=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a=2ab﹣1，当，时，原式=2〔+1〕〔-1〕﹣1=2﹣1=1．点睛：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，能正确根据整式的运算法那么进行化简是解此题的关键．34．〔1〕计算：；〔2〕化简：(m+2)2 +4(2-m)【来源】浙江省温州市2019年中考数学试卷35．我们常用的数是十进制数，如，数要用10个数码〔又叫数字〕：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？【来源】四川省凉山州2019年中考数学试题【解析】分析：利用新定义得到101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的定义进行计算．详解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，所以二进制中的数101011等于十进制中的43．点睛：此题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．36．〔1〕计算：；〔2〕解不等式：【来源】江西省2019年中等学校招生考试数学试题37．计算或化简.〔1〕；〔2〕.【来源】江苏省扬州市2019年中考数学试题【解析】分析：〔1〕根据负整数幂、绝对值的运算法那么和特殊三角函数值即可化简求值．〔2〕利用完全平方公式和平方差公式即可．详解：〔1〕〔〕-1+|−2|+tan60°=2+〔2-〕+=2+2-+=4〔2〕〔2x+3〕2-〔2x+3〕〔2x-3〕=〔2x〕2+12x+9-[〔2x2〕-9]=〔2x〕2+12x+9-〔2x〕2+9=12x+18点睛：此题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．38．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决以下问题：〔1〕写出第6个等式：；〔2〕写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【来源】安徽省2019年中考数学试题【解析】【分析】〔1〕根据观察到的规律写出第6个等式即可；〔2〕根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.39．计算：〔1〕〔2〕【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕40．对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，那么称n为〝极数〞.〔1〕请任意写出三个〝极数〞；并猜想任意一个〝极数〞是否是99的倍数，请说明理由；〔2〕如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，那么称正整数a 是完全平方数，假设四位数m为〝极数〞，记D〔m〕=.求满足D〔m〕是完全平方数的所有m.【来源】【全国省级联考】2019年重庆市中考数学试卷〔A卷〕41．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如下图的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=〔a+b〕2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=〔a+b〕2请你根据方案【二】方案三，写出公式的验证过程．方案二：方案三：【来源】浙江省衢州市2019年中考数学试卷。

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(11)——圆(含解析)

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(11)——圆(含解析)

湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共8小题）1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．42．（2020•张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为(∠为120︒，则BOD)A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒3．（2020•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是()A．BPA∆为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A、B都在以PO为直径的圆上D．PC为BPA∆的边AB上的中线4．（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋A，则此时线段CA扫过的图形的面积为()转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点1A ．4πB ．6C ．43D ．83π 5．（2020•常德）一个圆锥的底面半径10r =，高20h =，则这个圆锥的侧面积是( ) A ．1003π B ．2003π C ．1005π D ．2005π6．（2019•娄底）如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B ．3C ．2D ．237．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA PB = B ．BPD APD ∠=∠C ．AB PD ⊥ D ．AB 平分PD8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120︒，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π二．填空题（共14小题）9．（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米． 10．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②)，则该圆锥的母线长AB 为 ．11．（2020•娄底）如图，四边形ABDC中，3==，则将它以AD为轴旋转180︒后所BD CD==，2AB AC得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．12．（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米)，某车在标有300R=处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB=米．13．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90∠=︒，测得ACB的长为36cm，AOB则ADB的长为cm．14．（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N 分别在射线OA、OC上，则MON∠=度．15．（2020•湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，60NOC ∠=︒；（2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，90NOD ∠=︒；（3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，108NOE ∠=︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也会有类似的结论，你的结论是 ．16．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 尺．（结果用最简根式表示）17．（2020•湘潭）如图，在半径为6的O 中，圆心角60AOB ∠=︒，则阴影部分面积为 ．18．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．19．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分)AB 可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．20．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD = ．21．（2019•株洲）如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠= 度．22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 ．三．解答题（共20小题）23．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，以BD 为直径的O 过点A ，连接AD ，CAD C ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4AC =，求O 的半径．24．（2020•益阳）如图，OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，且MA MB =，OA ，OB 分别交O于C ，D ．求证：AC BD =．25．（2020•娄底）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过D 作BC 的垂线，垂足为E ．（1）求证：DE 与O 相切；（2）若5AB=，4BE=，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．26．（2020•株洲）AB是O的直径，点C是O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足BCM BACα∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN是O的切线；（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作DH MN⊥于点H，直线DH交O于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且53CE=，若O的半径为1，3cos4α=，求AG ED的值．27．（2020•湘西州）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（2）若6CA=， 3.6CE=，求O的半径OA的长．28．（2020•张家界）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使BCD A∠=∠．（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADC∠，且分别交AC，BC于点E，F，当2CE=时，求EF的长．29．（2020•郴州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D使得DA DC =，线段DC ，AB 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，30CAB ∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．30．（2020•长沙）如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为43，点C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE 、OD 、OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记ODE ∆，CDE ∆的面积为1S ，2S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度． 31．（2020•湘潭）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：ABD ACD ∆≅∆；（2）判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由．32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于O 中，60BCD ∠=︒．求O 的半径．33．（2020•长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，AC 平分DAB ∠．（1）求证：DC 为O 的切线． （2）若3AD =，3DC =，求O 的半径．34．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长．35．（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．36．（2019•邵阳）如图1，已知O 外一点P 向O 作切线PA ，点A 为切点，连接PO 并延长交O 于点B ，连接AO 并延长交O 于点C ，过点C 作CD PB ⊥，分别交PB 于点E ，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：~APO DCA ∆∆；（2）如图2，当AD AO =时①求P ∠的度数；②连接AB ，在O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形．若存在，请直接写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由．37．（2019•张家界）如图，AB 为O 的直径，且43AB =C 是AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）求证：EC是O的切线；（2）当30∠=︒时，求阴影部分面积．D38．（2019•邵阳）如图，在等腰ABC∠的角平分线，且6AD=，以点A为BAC∆中，120∠=︒，AD是BAC圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．39．（2019•郴州）如图，已知AB是O的直径，CD与O相切于点D，且//AD OC．（1）求证：BC是O的切线；（2）延长CO交O于点E．若30CEB∠=︒，O的半径为2，求BD的长．（结果保留)π40．（2019•常德）如图，O与ABCDE OA，∆的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，//CE是O的直径．（1）求证：AB是O的切线；（2）若4BD=，6EC=，求AC的长．41．（2019•益阳）如图，在Rt ABC∆中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D ，使ND MN =，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E ．（1）判断四边形AMCD 的形状，并说明理由；（2）求证：ND NE =；（3）若2DE =，3EC =，求BC 的长．42．（2019•株洲）四边形ABCD 是O 的圆内接四边形，线段AB 是O 的直径，连结AC 、BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且ACH CBD ∠=∠，AD CH =，BA 的延长线与CD 的延长线相交于点P ．（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；（2）若AC BC =，5PB PD =，2(51)AB CD +=+ ①求证：DHC ∆为等腰直角三角形；②求CH 的长度．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（11）——圆一．选择题（共8小题）1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4【解答】解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，∴=，所以①正确；PA PB=，OA OB=，PA PB∴垂直平分AB，所以②正确；OPPA，PB是O的两条切线，A，B为切点，⊥，∴⊥，OB PBOA PA∴∠=∠=︒，90OAP OBP∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30=，此时PM OM=，∠=︒时，2OP OAAPO∴不一定为AOPM∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．2．（2020•张家界）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BCD∠的度数为(∠为120︒，则BOD)A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒【解答】解：四边形ABCD是O的内接四边形，18060∴∠=︒-∠=︒，A BCD由圆周角定理得，2120∠=∠=︒，BOD A故选：C ．3．（2020•湘西州）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ．下列结论不一定成立的是( )A ．BPA ∆为等腰三角形B ．AB 与PD 相互垂直平分C ．点A 、B 都在以PO 为直径的圆上D ．PC 为BPA ∆的边AB 上的中线【解答】解：（A ）PA 、PB 为圆O 的切线，PA PB ∴=，BPA ∴∆是等腰三角形，故A 选项不符合题意．（B ）由圆的对称性可知：PD 垂直平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故B 选项符合题意．（C ）连接OB 、OA ， PA 、PB 为圆O 的切线，90OBP OAP ∴∠=∠=︒，∴点A 、B 、P 在以OP 为直径的圆上，故C 选项不符合题意．（D ）BPA ∆是等腰三角形，PD AB ⊥，PC ∴为BPA ∆的边AB 上的中线，故D 选项不符合题意．故选：B ．4．（2020•株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4πB ．6C ．3D ．83π 【解答】解：由题意，知4AC =，422BC =-=，190A BC ∠=︒．由旋转的性质，得14AC AC ==． 在Rt △1A BC 中，111cos 2BC ACA AC ∠==．160ACA ∴∠=︒．∴扇形1ACA 的面积为260483603ππ⨯⨯=． 即线段CA 扫过的图形的面积为83π． 故选：D ．5．（2020•常德）一个圆锥的底面半径10r =，高20h =，则这个圆锥的侧面积是( )A ．1003πB ．2003πC ．1005πD ．2005π【解答】解：这个圆锥的母线长221020105=+=，这个圆锥的侧面积121010510052ππ=⨯⨯⨯=． 故选：C ．6．（2019•娄底）如图，边长为23的等边ABC ∆的内切圆的半径为( )A ．1B ．3C ．2D ．23【解答】解：设ABC ∆的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，ABC ∆为等边三角形，CH ∴平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，ABC ∆为等边三角形，60CAB ∴∠=︒，CH AB ⊥，30OAH ∴∠=︒，132AH BH AB ===， 在Rt AOH ∆中，tan tan30OH OAH AH∠==︒， 3313OH ∴=⨯=， 即ABC ∆内切圆的半径为1．故选：A ．7．（2019•益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA PB = B ．BPD APD ∠=∠C ．AB PD ⊥ D ．AB 平分PD【解答】解：PA ，PB 是O 的切线，PA PB ∴=，所以A 成立；BPD APD ∠=∠，所以B 成立；AB PD ∴⊥，所以C 成立； PA ，PB 是O 的切线，AB PD ∴⊥，且AC BC =，只有当//AD PB ，//BD PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立．故选：D ．8．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120︒，则该扇形的面积是( )A ．2πB ．4πC ．12πD ．24π【解答】解：2120612360S ππ⨯⨯==， 故选：C ．二．填空题（共14小题）9．（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 4π 平方分米． 【解答】解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π． 10．（2020•邵阳）如图①是山东舰徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②)，则该圆锥的母线长AB 为 13 ．【解答】解：圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长10π=，1052OB ππ∴==， 在Rt AOB ∆中，222212513AB AO BO =++，所以该圆锥的母线长AB 为13．故答案为：13．11．（2020•娄底）如图，四边形ABDC 中，3AB AC ==，2BD CD ==，则将它以AD 为轴旋转180︒后所得分别以AB 、BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为 3:2 ．【解答】解：两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l ，∴上面圆锥的侧面积为：12l AB ， 下面圆锥的侧面积为：12l BD ， 3AB AC ==，2BD CD ==，:3:2S S ∴=下上，故答案为：3:2．12．（2020•娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m （米)，某车在标有300R =处的弯道上从点A 行驶了100π米到达点B ，则线段AB = 300 米．【解答】解：设线段AB 对应的圆心角度数为n ，300100180180n R n πππ==， 60n ∴=︒，又AO BO =，AOB ∴∆是等边三角形，300AB AO BO ∴===（米)，故答案为：300．13．（2020•益阳）小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角90AOB ∠=︒，测得ACB 的长为36cm ，则ADB 的长为 12 cm ．【解答】解： 法一：ACB 的长为36cm ， ∴27036180OA π=， 18036270OA π⨯∴=， 则ADB 的长为：90901803612()180180270OA cm πππ⨯=⨯=； 法二：ACB 与ADB 所对应的圆心角度数的比值为270:903:1︒︒=，∴ACB 与ADB 的弧长之比为3:1，∴ADB 的弧长为36312()cm ÷=，故答案为：12．14．（2020•株洲）一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI 为正九边形，其中心点为点O ，点M 、N 分别在射线OA 、OC 上，则MON ∠= 80 度．【解答】解：根据正多边形性质得，中心角为：360940AOB ∠=︒÷=︒，280MON AOB ∴∠=∠=︒．故答案为：80．15．（2020•湘西州）观察下列结论：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，60NOC ∠=︒；（2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，90NOD ∠=︒；（3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，108NOE ∠=︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也会有类似的结论，你的结论是 1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠= ．【解答】解：（1）如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN CM =，(32)180603NOC -⨯︒∠==︒； （2）如图2，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，(42)180904NOD -⨯︒∠==︒； （3）如图③，在正五边形ABCDE 中点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，(52)1801085NOE -⨯︒∠==︒； ⋯根据以上规律，在正n 边形1234n A A A A A ⋯中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且12A M A N =，1A N 与n A M 相交于O ．也有类似的结论是1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠=． 故答案为：1n A N A M =，(2)180n n NOA n-⨯︒∠=． 16．（2020•株洲）据《汉书律历志》记载：“量者，龠(yu è)、合、升、斗、斛(h ú)也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(hu án )其外，旁有庣(ti āo )焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为 42 尺．（结果用最简根式表示）【解答】解：如图， 四边形CDEF 为正方形，90D ∴∠=︒，CD DE =，CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =，2.50.2522CE ∴=-⨯=， 2cos 222CD CE ECD ∴=∠=⨯=， ∴正方形CDEF 周长为42尺． 故答案为：42．17．（2020•湘潭）如图，在半径为6的O 中，圆心角60AOB ∠=︒，则阴影部分面积为 6π ．【解答】解：阴影部分面积为26066360ππ⨯=， 故答案为：6π．18．（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 3π ．【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，313S rl πππ∴==⨯⨯=侧，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．19．（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分)AB 可以求解．现已知弦8AB =米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米． 【解答】解：弦8AB =米，半径OC ⊥弦AB ，4AD ∴=，223OD OA AD ∴=-=，2OA OD ∴-=，∴弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)(822)102=⨯⨯+=， 故答案为：10．20．（2019•娄底）如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD = 1 ．【解答】解：AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，30B ACD ∠=∠=︒， 112122AD AB ∴==⨯=． 故答案为1．21．（2019•株洲）如图所示，AB 为O 的直径，点C 在O 上，且OC AB ⊥，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足65AEC ∠=︒，连接AD ，则BAD ∠= 20 度．【解答】解：连接OD ，如图：OC AB ⊥，90COE ∴∠=︒，65AEC ∠=︒，906525OCE ∴∠=︒-︒=︒，OC OD =，25ODC OCE ∴∠=∠=︒，1802525130DOC ∴∠=︒-︒-︒=︒，40BOD DOC COE ∴∠=∠-∠=︒，1202BAD BOD ∴∠=∠=︒， 故答案为：20．22．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是 63 ．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB 长．3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ，OB ，作OC AB ⊥于点C ，OA OB =，2AB AC ∴=，60AOC ∠=︒，3sin 606332AC OA ∴=⨯︒=⨯=， 263AB AC ∴==，故答案为：63．三．解答题（共20小题）23．（2020•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 上一点，以BD 为直径的O 过点A ，连接AD ，CAD C ∠=∠．（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若4AC =，求O 的半径．【解答】（1）证明：如图：连接OA ，OA OB =，OBA OAB ∴∠=∠，AB AC =，OBA C ∴∠=∠，OAB C ∴∠=∠，CAD C ∠=∠，OAB CAD ∴∠=∠， BD 是直径，90BAD ∴∠=︒，90OAC BAD OAB CAD ∠=∠-∠+∠=︒，AC ∴是O 的切线；（2）解：由（1）可知AC 是O 的切线，90OAC ∴∠=︒，2AOD B ∠=∠，AB AC =，B C ∴∠=∠，2390AOC C B C C ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆中，483cos cos303AB BD B ===︒， 433OB ∴=， O ∴的半径为433． 24．（2020•益阳）如图，OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，且MA MB =，OA ，OB 分别交O于C ，D ．求证：AC BD =．【解答】证明：OM 是O 的半径，过M 点作O 的切线AB ，OM AB∴⊥，MA MB=，ABO∴∆是等腰三角形，OA OB∴=，OC OD=，OA OC OB OD∴-=-，即：AC BD=．25．（2020•娄底）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC∠交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与O相切；（2）若5AB=，4BE=，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．【解答】（1）证明：连接OD，OD OB=，ODB OBD∴∠=∠，BD平分ABC∠，OBD CBD∴∠=∠，ODB CBD∴∠=∠，//OD BE∴，BE DE⊥，OD DE∴⊥，DE∴与O相切；（2）解：AB是O的直径，90ADB∴∠=︒，BE DE⊥，90ADB BED∴∠=∠=︒，BD平分ABC∠，OBD CBD∴∠=∠，ABD DBE∴∆∆∽，∴AB BD BD BE=，∴54BD BD=，25 BD∴=；（3）解：结论CE AB BE=-，理由：过D作DH AB⊥于H，BD平分ABC∠，DE BE⊥，DH DE∴=，在Rt BED∆与Rt BHD∆中，DE DH BD BD=⎧⎨=⎩，Rt BED Rt BHD(HL)∴∆≅∆，BH BE ∴=，DCE A ∠=∠，90DHA DEC ∠=∠=︒，()ADH CDE AAS ∴∆≅∆，AH CE ∴=，AB AH BH =+，AB BE CE ∴=+，CE AB BE ∴=-．26．（2020•株洲）AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC 、BC ，直线MN 过点C ，满足BCM BAC α∠=∠=．（1）如图①，求证：直线MN 是O 的切线；（2）如图②，点D 在线段BC 上，过点D 作DH MN ⊥于点H ，直线DH 交O 于点E 、F ，连接AF 并延长交直线MN 于点G ，连接CE ，且53CE =，若O 的半径为1，3cos 4α=，求AG ED 的值． 【解答】（1）证明：连接OC ，如图①， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，90A B ∴∠+∠=︒，OC OB =，B OCB ∴∠=∠，BCM A ∠=∠，90OCB BCM ∴∠+∠=︒，即OC MN ⊥，MN ∴是O 的切线；（2）解：如图②，AB 是O 的直径，O 的半径为1，2AB ∴=，3cos cos 4AC BAC AB α∠===，即324AC =，∴32AC=，AFE ACE∠=∠，GFH AFE∠=∠，GFH ACE∴∠=∠，DH MN⊥，90GFH AGC∴∠+∠=︒，90ACE ECD∠+∠=︒，ECD AGC∴∠=∠，又DEC CAG∠=∠，EDC ACG∴∆∆∽，∴ED EC AC AG=，∴355232 AG DE AC CE==⨯=．27．（2020•湘西州）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E．（1）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（2）若6CA=， 3.6CE=，求O的半径OA的长．【解答】（1）证明：连接AE，OE，AB是O的直径，且E在O上，90AEB∴∠=︒，90AEC∴∠=︒，D为AC的中点，AD DE∴=，DAE AED∴∠=∠，AC是O的切线，90CAE EAO CAB∴∠+∠=∠=︒，OA OE=，OAE OEA∴∠=∠，90DEA OEA∴∠+∠=︒，即90DEO∠=︒，DE∴是O的切线；（2）解：90AEC CAB∠=∠=︒，C C∠=∠，AEC BAC∴∆∆∽，∴AC ECBC AC=，6CA=， 3.6CE=，∴6 3.66 BC=，10BC∴=，90CAB∠=︒，222AB AC BC∴+=，221068AB∴=-=，4OA∴=，即O的半径OA的长是4．28．（2020•张家界）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使BCD A∠=∠．（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADC∠，且分别交AC，BC于点E，F，当2CE=时，求EF的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，AB为O的直径，90ACB∴∠=︒，即90A ABC∠+∠=︒，又OC OB=，ABC OCB∴∠=∠，BCD A∠=∠，90BCD OCB∴∠+∠=︒，即90OCD∠=︒，OC是圆O的半径，CD∴是O的切线；（2）解：DE平分ADC∠，CDE ADE∴∠=∠，又BCD A∠=∠，A ADE BCD CDF∴∠+∠=∠+∠，即CEF CFE∠=∠，90ACB∠=︒，2CE=，2CE CF∴==，2222EF CE CF∴=+=．29．（2020•郴州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，在l上取一点D 使得DA DC=，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是O的切线；（2）若2BC=，30CAB∠=︒，求图中阴影部分的面积（结果保留)π．【解答】（1）证明：连接OC，AB是O的直径．直线l与O相切于点A，90DAB∴∠=︒，DA DC=，OA OC=，DAC DCA∴∠=∠，OAC OCA∠=∠，DCA ACO DAC CAO∴∠+∠=∠+∠，即90DCO DAO∠=∠=︒，OC CD∴⊥，∴直线DC是O的切线；（2）解：30CAB∠=︒，260BOC CAB∴∠=∠=︒，OC OB=，COB∴∆是等边三角形，2OC OB BC∴===，323CE OC∴==∴图中阴影部分的面积2160222232323603 OCE COBS Sππ∆⋅⨯=-=⨯⨯=扇形．30．（2020•长沙）如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为43，点C 是劣弧AB 上的一个动点，点D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE 、OD 、OE ．（1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记ODE ∆，CDE ∆的面积为1S ，2S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度． 【解答】解：（1）如图1中，过点O 作OH AB ⊥于H ．4OA OB ==，OH AB ⊥，1232AH HB AB ∴===，AOH BOH ∠=∠， 3sin 2AH AOH AO ∴∠==， 60AOH ∴∠=︒，2120AOB AOH ∴∠=∠=︒．（2）如图2中，连接OC ，取OC 的中点P ，连接DP ，OA OC OB ==，AD DC =，CE EB =，OD AC ∴⊥，OE CB ⊥，90ODC OEC ∴∠=∠=︒，180ODC OEC ∴∠+∠=︒，O ∴，D ，C ，E 四点共圆，OC ∴是直径，OC ∴的中点P 是OED ∆的外接圆的圆心， 122OP OC ∴==， ∴点P 在以O 为圆心，2为半径的圆上运动，120AOB ∠=︒，∴点P 的运动路径的长120241803ππ==．（3）当点C 靠近A 点时，如图3中，当AC BC <时，连接OC 交AB 于J ，过点O 作OH AB ⊥于H ，过点C 作CK AB ⊥于K ．AD CD =，CE EB =， //DE AB ∴，2AB DE =，CDE CAB ∴∆∆∽，∴21()4CDE CAB S DE S AB ∆∆==， 24ABC S S ∆∴=，ADO ODC S S ∆∆=，OBE OEC S S ∆∆=，12ODCE OACB S S ∴=四边形四边形， 12221(443)2232S S S S ∴+=+=+ 123S S ∴=+，221221S S -=，2222231221S S S ∴++-=，233S ∴， 1332ABC S AB CK ∆∴=⨯⨯， 32CK ∴=， OH AB ⊥，CK AB ⊥，//OH CK ∴，CKJ OHJ ∴∆∆∽，∴CK CJ OH OJ=， ∴33224CJ OJ ==， 312477CJ ∴=⨯=，416477OJ =⨯=，2222123315()()7214JK CJ CK ∴=-=-=，222216215()277JH OJ OH =-=-=， 152KH ∴=， 15232AK AH KH ∴=-=-， 2222153(23)()186515322AC AK CK ∴=+=-+=-=-． 当AC BC >时，同法可得153AC =+， 同理，当点C 靠近B 点时，可知22153(23)()15322AC =++=+． 综上所述，满足条件的AC 的值为153±．31．（2020•湘潭）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 作DE AC ⊥，垂足为点E ．（1）求证：ABD ACD ∆≅∆；（2）判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：AB 为O 的直径，AD BC ∴⊥，在Rt ADB ∆和Rt ADC ∆中AD AD AB AC =⎧⎨=⎩， Rt ABD Rt ACD(HL)∴∆≅∆；（2）直线DE 与O 相切，理由如下：连接OD ，如图所示：由ABD ACD ∆≅∆知：BD DC =，又OA OB =，OD ∴为ABC ∆的中位线，//OD AC ∴，DE AC ⊥，OD DE ∴⊥，OD 为O 的半径，DE ∴与O 相切．32．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于O 中，60BCD ∠=︒．求O 的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）AC BD ⊥，ED BD ⊥，//AC DE ∴，又//AD BC ，∴四边形ADEC 是平行四边形，AC DE ∴=，又45DBC ∠=︒，BDE ∴∆是等腰直角三角形，BD DE ∴=，BD AC ∴=，又BD AC ⊥，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE BD ⊥， 四边形ABCD 是垂等四边形，AC BD ∴=， 又垂等四边形的面积是24， ∴1242AC BD =， 解得，43AC BD ==又60BCD ∠=︒，60DOE ∴∠=︒，设半径为r ，根据垂径定理可得：在ODE ∆中，OD r =，23DE =234sin 603DE r ∴===︒，O ∴的半径为4．33．（2020•长沙）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 与过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，AC 平分DAB ∠．（1）求证：DC 为O 的切线．（2）若3AD =，3DC =，求O 的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC ，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，AC 平分DAB ∠，DAC OAC ∴∠=∠，OCA DAC ∴∠=∠， //AD OC ∴， AD DC ⊥，OC DC ∴⊥，又OC 是O 的半径，DC ∴为O 的切线；（2）过点O 作OE AC ⊥于点E ， 在Rt ADC ∆中，3AD =，3DC = 3tan DC DAC AD ∴∠=， 30DAC ∴∠=︒， 223AC DC ∴==OE AC ⊥，根据垂径定理，得132AE EC AC ===， 30EAO DAC ∠=∠=︒，2cos30AE OA ∴==︒， O ∴的半径为2．34．（2020•衡阳）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长．【解答】解：（1）BC 与O 相切，理由：连接OD ，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠， AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，ODA CAD ∴∠=∠，//OD AC ∴，90C ∠=︒，90ODC ∴∠=︒，OD BC ∴⊥， OD 为半径，BC ∴是O 切线；（2）连接DE ， AE 是O 的直径，90ADE ∴∠=︒，90C ∠=︒，ADE C ∴∠=∠，EAD DAC ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽， ∴AE AD AD AC =， 1088AC =， 325AC ∴=， 222232248()55CD AD AC ∴=-=-=， OD BC ⊥，AC BC ⊥，//OD AC ∴，OBD ABC ∴∆∆∽，∴OD BD AC BC=， ∴5322455BD BD =+， 1207BD ∴=．35．（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．【解答】解：（1）CD AB =，CAD BCA EAD α∴∠=∠==∠，设：DCA DEA β∠=∠=，DCE DEC γ∠=∠=，则ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，222180αβγ∴++=︒，90αβγ∴++=︒，CE ∴是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ==，则3CE x =， 则132CN CE AM ==，而AB x =， 则3sin ABM ∠，60ABM ∴∠=︒， OAB ∴∆为等边三角形，即60AOB ∠=︒，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒， 解得：3r =，故圆的半径为3．36．（2019•邵阳）如图1，已知O 外一点P 向O 作切线PA ，点A 为切点，连接PO 并延长交O 于点B ，连接AO 并延长交O 于点C ，过点C 作CD PB ⊥，分别交PB 于点E ，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：~APO DCA ∆∆；（2）如图2，当AD AO =时①求P ∠的度数；②连接AB ，在O 上是否存在点Q 使得四边形APQB 是菱形．若存在，请直接写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：如图1，PA 切O 于点A ，AC 是O 的直径，90PAO CDA ∴∠=∠=︒CD PB ⊥90CEP ∴∠=︒CEP CDA ∴∠=∠//PB AD ∴POA CAO ∴∠=∠~APO DCA ∴∆∆（2）如图2，连接OD ，①AD AO =，OD AO =OAD ∴∆是等边三角形60OAD ∴∠=︒//PB AD60POA OAD ∴∠=∠=︒90PAO ∠=︒90906030P POA ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒②存在．如图2，过点B 作BQ AC ⊥交O 于Q ，连接PQ ，BC ，CQ ， 由①得：60POA ∠=︒，90PAO ∠=︒60BOC POA ∴∠=∠=︒OB OC =60ACB ∴∠=︒30BQC BAC ∴∠=∠=︒BQ AC ⊥，CQ BC ∴=BC OB OA ==()CBQ OBA AAS ∴∆≅∆BQ AB ∴=30OBA OPA ∠=∠=︒AB AP ∴=BQ AP ∴=PA AC ⊥//BQ AP ∴∴四边形ABQP 是平行四边形AB AP =∴四边形ABQP 是菱形PQ AB ∴= ∴tan tan 603PQ AB ACB CQ BC==∠=︒=AB=，点C是AB上的一动点（不与A，B重合），37．（2019•张家界）如图，AB为O的直径，且43过点B作O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．（1）求证：EC是O的切线；（2）当30∠=︒时，求阴影部分面积．D【解答】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，AB为O的直径，ACB∴∠=︒，90在Rt BDC=，∆中，BE ED∴==，DE EC BEOC OB=，=，OE OE∴∆≅∆，()OCE OBE SSS∴∠=∠，OCE OBEBD是O的切线，∴∠=︒，ABD90∴∠=∠=︒，90OCE ABDOC 为半径，EC ∴是O 的切线；（2）OA OB =，BE DE =，//AD OE ∴，D OEB ∴∠=∠，30D ∠=︒，30OEB ∴∠=︒，60EOB ∠=︒， 120BOC ∴∠=︒，43AB =，23OB ∴=， ∴2336BE ==．∴四边形OBEC 的面积为1226231232OBE S ∆=⨯⨯⨯=， ∴阴影部分面积为2120(23)1231234360OBEC BOC S S ππ⋅⨯-=-=-四边形扇形． 38．（2019•邵阳）如图，在等腰ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ． （1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．【解答】解：在等腰ABC ∆中，120BAC ∠=︒，30B ∴∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，AD BC ∴⊥，BD CD =，363BD AD ∴=， 2123BC BD ∴==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2112066123363122360ABC EAF S S ππ∆⋅⋅=-=⨯⨯=扇形； （2）设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得12062180r ππ=，解得2r =， 这个圆锥的高226242h =-=39．（2019•郴州）如图，已知AB 是O 的直径，CD 与O 相切于点D ，且//AD OC ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）延长CO 交O 于点E ．若30CEB ∠=︒，O 的半径为2，求BD 的长．（结果保留)π【解答】（1）证明：连接OD ， CD 与O 相切于点D ，90ODC ∴∠=︒，OD OA =，OAD ODA ∴∠=∠，//AD OC ，COB OAD ∴∠=∠，COD ODA ∠=∠，COB COD ∴∠=∠，在COD ∆和COB ∆中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COD COB SAS ∴∆≅∆，90ODC OBC ∴∠=∠=︒，BC ∴是O 的切线；（2）解：30CEB ∠=︒，60COB ∴∠=︒，COB COD ∠=∠，120BOD ∴∠=︒，∴BD 的长：120241803ππ=． 40．（2019•常德）如图，O 与ABC ∆的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，//DE OA ，CE 是O 的直径．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若4BD =，6EC =，求AC 的长．【解答】（1）证明：连接OD ，OD OE =，OED ODE ∴∠=∠，//DE OA ，ODE AOD ∴∠=∠，DEO AOC ∠=∠，AOD AOC ∴∠=∠， AC 是切线，90ACB ∴∠=︒，在AOD ∆和AOC ∆中OD OC AOD AOC OA OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOD AOC SAS ∴∆≅∆，90ADO ACB ∴∠=∠=︒， OD 是半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：连接OD ，CD ， BD 是O 切线，90ODB ∴∠=︒，90BDE ODE ∴∠+∠=︒， CE 是O 的直径，90CDE ∴∠=︒，90ODC ODE ∴∠+∠=︒，BDE ODC ∴∠=∠，OC OD =，OCD ODC ∴∠=∠，BDE OCD ∴∠=∠，B B ∠=∠，BDE BCD ∴∆∆∽， ∴BD BE BC BD= 2BD BE BC ∴=，设BE x =，4BD =，6EC =，24(6)x x ∴=+，解得2x =或8x =-（舍去），2BE ∴=，8BC BE EC ∴=+=， AD 、AC 是O 的切线，AD AC ∴=，设AD AC y ==，在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+，222(4)8y y ∴+=+，解得6y =，6AC ∴=，故AC 的长为6．41．（2019•益阳）如图，在Rt ABC ∆中，M 是斜边AB 的中点，以CM 为直径作圆O 交AC 于点N ，延长MN至D ，使ND MN =，连接AD 、CD ，CD 交圆O 于点E ．（1）判断四边形AMCD 的形状，并说明理由；（2）求证：ND NE =；（3）若2DE =，3EC =，求BC 的长．【解答】（1）解：四边形AMCD 是菱形，理由如下： M 是Rt ABC ∆中AB 的中点，CM AM ∴=， CM 为O 的直径，90CNM ∴∠=︒，MD AC ∴⊥，AN CN ∴=，ND MN =，∴四边形AMCD 是菱形．（2）四边形CENM 为O 的内接四边形，180CEN CMN ∴∠+∠=︒，180CEN DEN ∠+∠=︒，CMN DEN ∴∠=∠，四边形AMCD 是菱形，CD CM ∴=，CDM CMN ∴∠=∠，DEN CDM ∴∠=∠，ND NE ∴=．（3）CMN DEN ∠=∠，MDC EDN ∠=∠，MDC EDN ∴∆∆∽， ∴MD DC DE DN=，。

2019年湖南省娄底市中考数学试卷(原卷+解析)

2019年湖南省娄底市中考数学试卷(原卷+解析)

2019年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．【解答】解：2019的相反数是：﹣2019．故选：A．2．【解答】解：A．（﹣2）3＝﹣8，故选项A不合题意；B．（a2）3＝a6，故选项B符合题意；C．a2•a3＝a5，故选项C不合题意；D.4x2与x不是同类项，故不能合并，所以选项D不合题意．故选：B．3．【解答】解：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC且EF＝AC，同理，GH∥AC且GH＝AC，∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又根据三角形的中位线定理，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：C．4．【解答】解：这组数据的众数为1，从小到大排列：﹣2，0，1，1，1，2，中位数是1，故选：C．5．【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9m．故选：B．6．【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误，是假命题；C、n边形（n≥3）的内角和是180°n﹣360°，正确，是真命题；D、旋转不改变图形的形状和大小，正确，是真命题，故选：C．7．【解答】解：双曲线y＝的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故选：C．8．【解答】解：设△ABC的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝AB＝，在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝＝tan30°，∴OH＝×＝1，即△ABC内切圆的半径为1．故选：A．9．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，y＝的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y＝；由“上加下减”的原则可知，函数y＝的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y＝+1．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．11．【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有④是正确的；故选：A．12．【解答】解：点运动一个用时为÷π＝2秒．如图，作CD⊥AB于D，与交于点E．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴CD＝AC＝×2＝1，∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，∴第1秒时点P运动到点E，纵坐标为1；第2秒时点P运动到点B，纵坐标为0；第3秒时点P运动到点F，纵坐标为﹣1；第4秒时点P运动到点G，纵坐标为0；第5秒时点P运动到点H，纵坐标为1；…，∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，∴第2019秒时点P的纵坐标为是﹣1．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．14．【解答】解：用树状图表示所有可能出现的结果有：∴能让灯泡发光的概率：P＝，故答案为：．15．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A，∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝28°，故答案为：28°．16．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．17．【解答】解：设方程的另一个根为c，∴c＝﹣．故答案为：﹣．18．【解答】解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．【解答】解：原式＝1﹣2+﹣2×＝1﹣2+﹣＝﹣1．20．【解答】解：÷（﹣）＝＝＝ab，当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．【解答】解：（1）根据上述统计图表，可得此次采访的人数为100÷0.5＝200（人），m＝200×0.4＝80（人），n＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1；故答案为200，80，0.4；（2）补全图中的条形统计图（3）高度关注新高考政策的人数：1500×0.4＝600（人），答：高度关注新高考政策的约有600人．22．【解答】解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．24．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∴AC∥OD，∵CD⊥AC，∴CD⊥OD，∴直线CD是⊙O的切线；（2）连接BD，∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BDE＝90°，∵CD⊥AC，∴∠C＝∠BDE＝90°，∵∠CAD＝∠BAE＝∠DBE，∴△ACD∽△BDE，∴＝，∴CD•BE＝AD•DE．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：如图，连接AC，BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD．∵E、H分别是边AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD．同理，FG＝BD，EF＝HG＝AC．∴（EH+HG+GF+EF）＝（AC+BD）＝AC．∴四边形EFGH的周长一半等于矩形ABCD一条对角线长度．26．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（x D﹣x P）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC与点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点Q（，﹣2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）；综上，点Q（，﹣2）或（，）．。

4.4.7 2020中考数学复习：《三角形、四边形的内切圆和外接圆》近8年全国中考题型大全(含答案)

4.4.7 2020中考数学复习：《三角形、四边形的内切圆和外接圆》近8年全国中考题型大全(含答案)

三角形、四边形的内切圆和外接圆一、选择题1. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．2B．22C．2D．12. (2017 山东省泰安市) 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（）A．20°B．35°C．40°D．55°3. (2018 辽宁省沈阳市) （2分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则的长是（）A．π B．πC．2πD．π4. (2018 山东省烟台市) （3.00分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）１２A ．56°B ．62°C ．68°D ．78°5. (2018 陕西省) （3.00分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC ，∠BCA=65°，作CD ∥AB ，并与⊙O 相交于点D ，连接BD ，则∠DBC 的大小为（ ）A ．15°B ．35°C ．25°D ．45°6. (2018四川省自贡市) （4分）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．7. (2017 山东省潍坊市) 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）３A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°8. (2019 湖北省荆门市) （3分）如图，△ABC 内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于D ，则线段DI 与DB 的关系是（ ）A ．DI ＝DBB ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定9. (2019 湖南省娄底市) （3分）如图，边长为23的等边ABC 的内切圆的半径为( )A ．1B 3C ．2D ．2310. (2019 云南省) （4分）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9二、填空题11. (2015 四川省成都市) 如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为．12. (2017 青海省西宁市) （2分）（2017•西宁, 17, 2分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD=120°，则∠DCE= 60°．４13. (2018 江苏省扬州市) （3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．14. (2018 江苏省镇江市) （2分）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACB= °．15. (2018 内蒙古呼和浩特市) （3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．16. (2018 山东省泰安市) （3.00分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为．17. (2018 浙江省湖州市) （4分）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是．５18. (2018 云南省曲靖市) （3分）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．19. (2019 黑龙江省绥化市) （3分）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．20. (2019 江苏省南京市) （2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是．21. (2019 江苏省宿迁市) （3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．22. (2018 四川省内江市) （6分）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c ﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．６三、解答题23. (2019 湖北省襄阳市) （8分）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．24. (2019 湖北省孝感市) （10分）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF 的平分线交AF于点G．（1）求证：DG∥CA；（2）求证：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．７25. (2015 湖南省怀化市) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2 （1）求作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，求出劣弧的长l．26. (2016 福建省福州市) （12分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为AD(⌒)⌒AD 中点，连接BM，CM．（1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O的半径为2 时，求BM(⌒)⌒BM的长．８27. (2016 四川省凉山州) 阅读下列材料并回答问题：材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b ，c，记，那么三角形的面积为．①古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：．②下面我们对公式②进行变形：=====．这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式．问题：如图，在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=7，⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F．（1）求△ABC的面积；（2）求⊙O的半径．９１０28. (2016 浙江省湖州市) 如图，已知四边形ABCD内接于圆O ，连结BD ，∠BAD=105°，∠DBC=75°．（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求的长．29. (2017 山东省临沂市) 如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.30. (2017 浙江省台州市) 如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．参考答案一、选择题1. 答案：A。

2023娄底市中考数学试卷

2023娄底市中考数学试卷

2023年湖南娄底中考数学试卷（附答案）温馨提示：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，数学卷面满分120分，考试时量120分钟．2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．3．请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．2023的倒数是（）A．2023-B．2023C．12023D．12023-2．下列运算正确的是（）A．248a a a ⋅=B．2234a a a +=C．()()2222a a a +-=-D．()326328a b a b -=-3．新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（）A．544310⨯B．74.4310⨯C．84.4310⨯D．80.44310⨯4．一个小组7名同学的身高（单位：cm ）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（）A．151B．155C．158D．1605．不等式组35220x x -+<⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．将直线 21y x =+向右平移2个单位所得直线的表达式为（）A．21y x =-B．23y x =-C．23y x =+D．25y x =+A．433π-B．4310．已知二次函数2y ax bx =+②420a b c -+>；③a b m ->图象上，则12y y >．其中正确的结论是（A．①②B．①④11．从n 个不同元素中取出(m m 中取出m 个元素的组合数，用符号中，AC16．如图，在ABC在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为18．若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的个以O 点为圆心，r 为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点）先到的同学都沿各自所在半径往后移距离与原来n 个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，（请用关于a 的代数式表示），才能使得这间的距离相等．三、解答题（本大题共2小题，每小题19．计算：()02023138π-+-+-20．先化简，再求值：211xx x ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭四、解答题（本大题共2小题，每小题21．某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，干名学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图．五、解答题（本大题共2小题，每小题23．为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗．已知购买甲种树苗乙种树苗3棵共需11元．(1)求每棵甲、乙树苗的价格．(2)本次活动共种植了200树，并且平均每棵树的价值（含生态价值，经济价值）均为原来树苗价的(1)求证：四边形BOCG 为菱形．(2)如图2，以O 点为圆心，OG 为半径作O ①判断直线AB 与O 的位置关系，并予以证明．②点M 为劣弧BC 上一动点（与点B 、点C 不重合），连接BM 并延长交AC 于点接CM 并延长交AB 于点F ，求证：AE AF +为定值．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF ∠的平分线交于点M ．(1)求证：2AE EF EM =⋅．(2)若1AF =，求AE 的长．(3)求ABCDEAEFS S 正五边形△的值．26．如图，抛物线2y x bx c =++过点()1,0A -、点()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求b ，c 的值．(2)点()()000,05P x y x <<是抛物线上的动点①当0x 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值；②过点P 作PE x ⊥轴，交BC 于点E ，再过点P 作PF x ∥轴，交抛物线于点F ，连接EF ，问：是否存在点P ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．．（3）45+6050003500150⨯=（人）；∴全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数有3500人．【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，是解本题的关键．22．A 、B 两点间的距离为500米．【分析】如图，过A 作AQ CD ⊥于Q ，由2425AQ AB =，设227BQ AB AQ x =-=，而20BE =，可得QE QB BE =+3AQ QE =，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过A 作AQ CD ⊥于Q ，∵24sin 25α=，即2425AQ AB =，设24AQ x =，则25AB x =，是等边三角形，∵ABC∴中线AD过点G，即=∴AD⟂BC，DB DC=，∵DO DG∴四边形BOCG是平行四边形，∵AD⟂BC，∴四边形BOCG为菱形；（2）①解：直线AB∵ABC 是等边三角形，G 是重心，点D 为BC 边的中点，∴中线AD 过点G ，即A 、G 、D 三点共线，60BAC ABC ACB ∠∠∠===︒，AB AC BC ==，AH CH =，∴BG 为ABC ∠的角平分线，∴30ABG GBO ∠∠==︒，∵四边形BOCG 是菱形，∴30CBO GBC ∠∠==︒，∴90ABO ABG GBC CBO ∠∠∠∠=++=︒，∴AB OB ⊥，∴直线AB 是O 的切线；②证明：在优弧BC 上取一点N ，连接BN 、CN ，由①得30OBC ∠=︒，∵OB OC =，∴30OBC OCB ∠∠==︒，∴180120BOC OBC OCB ∠∠∠=︒--=︒，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26．(1)4b =-，5c =-(2)①当052x =时，PBC ②当点P 的坐标为72⎛ ⎝-【分析】（1）将将(1,0A -（2）①由（1）可知：y P 作PE x ⊥轴，交BC 于点面积PEC PEB S S =+△△，可得()(01122C PE x x PE =⋅-+⋅②由题意可知抛物线的对称轴为轴左侧时，即002x <<时，当点可．【详解】（1）解：将(A -∵()()000,05P x y x <<，则∴点E 的横坐标也为0x ，则纵坐标为∴()005E PE y y x =-=--PBC 的面积PEC S S =+△△()(01122C PE x x PE =⋅-+⋅()12B C PE x x =⋅-()200552x x =-+2055125228x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，0042F PF x x x =-=-，当PE 即：2000254x x x -+=-，整理得：解得：07332x -=（07x =此时200033452y x x -=--=当点P 在对称轴右侧时，即0024F PF x x x =-=-，当PE 即：2000452x x x -+=-，整理得：解得：04x =（012x =-<，不符合题意，舍去）此时：204445y =-⨯-=-综上所述，当点P 的坐标为。

2019年中考数学试题汇编：二元一次方程组解答题部分2(解析版)

2019年中考数学试题汇编：二元一次方程组解答题部分2(解析版)

1. （2019年湖南省娄底市）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共 500箱，矿泉水的成求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【分析】（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水y 箱，根据该商场用14500元购进甲、 乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于 x , y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润=单箱利润X 销售数量，即可求出结论. 【解答】解：（1）设购进甲矿泉水 x 箱，购进乙矿泉水 y 箱， 依题意，得：严尸500 ,[2氐+35尸14500解得：仟呷ly=200答：购进甲矿泉水 300箱，购进乙矿泉水 200箱.（2） （35 - 25）X 300+ （ 48 - 35）X 200 = 5600 （元）. 答：该商场售完这 500箱矿泉水，可获利 5600元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组 是解题的关键.2. （2019年广西百色市）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时.（1） 求该轮船在静水中的速度和水流速度；（2） 若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航 行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是 x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时，根据路程=速度X 时间，即可得出关于x , y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90- a ）千米，根据时间=路程* 速度，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论.【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是 y 千米/小时，'6（x+y ）=90,（6+4）（x-y ）=9C ，K =12y=3答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是 3千米/小时.（2）设甲、丙两地相距 a 千米，则乙、丙两地相距（90 - a ）千米,依题意，得:225解得：a =——.4答：甲、丙两地相距 一；一千米.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,依题意，得:解题的关键是:（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.3.（2019年内蒙古呼和浩特市）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同.（1 ）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；（2 ）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.2019年内蒙古呼和浩特市钟，计算俩人各自的实际乘车时间.【分析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人付给滴滴快车的乘车费相同列方程求解即可；（2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.2019年内蒙古呼和浩特市钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解.【解答】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：1.8X 6+0.3x= 1.8X 8.5+0.3y+0.8 x（8.5- 7）10.8+0.3x= 16.5+0.3y0.3 （x-y）= 5.7x- y= 19•••这两辆滴滴快车的实际行车时间相差12019年内蒙古呼和浩特市钟.x-y=19（2 ）由（1）及题意得：“11. 5化简得'，：①+②得2y= 36• y= 18 ③将③代入①得x= 37•••小王的实际行车时间为32019年内蒙古呼和浩特市钟，小张的实际行车时间为12019年内蒙古呼和浩特市钟.【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键.4. （2019年山东省烟台市）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.（1 ）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有 y 名志愿者，则需调配 22 座新能源客车（x+4 ）辆，根据志愿者人数=36 X 调配36座客车的数量+2及志愿者人数 =22 X 调配22座客车的数量-2，即可得出关于x , y 的二元一次方程组，解之即可得出 结论；（2 ）设需调配36座客车m 辆，22座客车n 辆，根据志愿者人数=36 X 调配36座客车的数量+22 X 调配22座客车的数量，即可得出关于 m , n 的二元一次方程，结合 m , n 均 为正整数即可求出结论.【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x 辆，该大学共有y 名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，r36x+2=yL 22（x+4）-2=y ，y=218答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者. （2）设需调配36座客车m 辆，22座客车n 辆，依题意，得：36m+22n = 218,•n =1二-U• :又••• m , n 均为正整数，.firp3••片.卫二5答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程.2x+y=4【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. y-y=5®L 2x+y=4 ②’①+②得：3x = 9,即x = 3, 把x = 3代入①得：y =- 2, t y=-2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消兀法.6. （2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和 1千克“黄金”百香果需付 80元，若购买1千 克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付 115元.请问这两种百香果每千克各是 多少元？【分析】设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，由题意列出方程组， 解方程组即可. 【解答】解：设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，依题意，得:解得:5. （2019年福建省）解方程组“【解答】解:则方程组的解为由题意得：®+R0 ,1肝3尸115解得：严的；I 尸30答：“红土”百香果每千克 25元，“黄金”百香果每千克 30元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出 方程组是解题的关键.7.（ 2019年吉林省）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成•现将一些山楂分别串在若干根竹签上.如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7 根竹签•这些竹签有多少根？山楂有多少个？ 反思归纳现有a 根竹签，b 个山楂.若每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂，则下列等式成立的 是 （2） （填写序号）.（1） bc+d = a ; （2） ac+d = b ; （3） ac - d = b .显0【分析】问题解决 设竹签有x 根，山楂有y 个，由题意得出方程组: 円E ，解l8（i-7）=y方程组即可；反思归纳 由每根竹签串c 个山楂，还剩余 d 个山楂，得出ac+d = b 即可. 【解答】问题解决 反思归纳解：•••每根竹签串c 个山楂，还剩余d 个山楂, 贝U ac+d = b , 故答案为：（2）.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键.8.求解即可；【解答】解：设每节火车车皮装物资x 吨，每辆汽车装物资 y 吨,解：设竹签有x 根，山楂有 5z+4=y 卫（K -7）二/\=20尸 104，由题意得：-解得：答：竹签有20根，山楂有 y 个,104 个;【分析】设每节火车车皮装物资x 吨，每辆汽车装物资 y 吨，根据题意,ZB f2x+5y=130得£1虹+3尸218根据题意，得严鮎尸130, •妝二 50 (尸6•每节火车车皮装物资 50吨，每辆汽车装物资 6吨；【点评】本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减 消元法解方程组是关键.【分析】用加减法进行解答便可. 【解答】(2)①+②得，4x = — 8,• - x =— 2, 把x = — 2代入①得,—6 — 2y =— 8, • y = 1,.9-2••片-1尸1【点评】本题是解答题的基本计算题，主要考查了实数的计算，解二元一次方程组，是 基础题，要求100%得分，不能有失误.10 ( 2019年广西河池市)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元. (1) 跳绳、毽子的单价各是多少元？(2) 该店在“五？四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售•节 日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【分析】(1 )设跳绳的单价为 x 元/条，毽子的单件为 y 元/个，根据：购买 30根跳绳和 60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；(2)设该店的商品按原价的 x 折销售，根据：购买 100根跳绳和100个毽子只需1800 元，列出方程求解可得.【解答】解：(1)设跳绳的单价为x 元/条,毽子的单件为y 元/个,可得：E6答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为 5元/个;(2)设该店的商品按原价的 x 折销售，可得：(100 X 16+100 X 4)X 〒一=1800, 解得：x = 9, 答：该店的商品按原价的 9折销售.【点评】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系 是解题关键.9.( 2019年山西省)解方程组:r3x-2y=-8,① x+2y=0,②30x+60y=720L 10x+50y=360,解得：11 ( 2019年广东省广州市)解方程组:'x-y=LL r+3y 二9【分析】运用加减消元解答即可. ②-①得，4y = 2，解得y = 2,把y = 2代入①得，x - 2 = 1，解得x = 3, 故原方程组的解为〔芷=,【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消兀法.12. （2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的 “虾？稻”轮作模式.某农户有农田20亩，去年开始实施“虾？稻” 轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为 32元（利润=售价-成本）.由于开发成本 下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为 30元. （1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；（2） 该农户今年每亩农田收获小龙虾 100千克，若今年的水稻种植成本为 600元/亩， 稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾？稻”轮作收入不少于 8万元，则稻 谷的亩产量至少会达到多少千克？ 【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 x 元、y 元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2 ）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，由题意列出不等式，就不等式即可. 【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 y^x=32(l-10%)y-(l-25») i=3C解得:答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8元、40元;（2 ）设今年稻谷的亩产量为 z 千克，由题意得：20X 100 X 30+20 X 2.5z - 20X 600 > 80000, 解得：z > 640; 答：稻谷的亩产量至少会达到 640千克.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方 程组或不等式是解题的关键.13（2019年山东省淄博市）“一带一路”促进了中欧贸易的发展， 我市某机电公司生产的 A , B 两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？【分析】设A , B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；由题意列出方程组，解方程组 即可. 【解答】解：设 A , B 两种产品的销售件数分别为 x 件、y 件；【解答】解:曲+3尸9②x 元、y 元,由题意得：(2x+4y^2060-1020解得：’「「；ly=180答：A , B 两种产品的销售件数分别为160件、180件.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出 方程组是解题的关键.14 ( 2019年浙江省丽水市)解方程组‘'x^2y =l -【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子 ①化简，再用加减消元法(或代入消元法)求解；将①化简得：-x+8y = 5③, ②+③，得y = 1,将y = 1代入②，得x = 3,【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组 是解题的关键.15 ( 2019年江苏省盐城市)体育器材室有 A 、B 两种型号的实心球，1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克. (1) 每只A 型球、B 型球的质量分别是多少千克？(2) 现有A 型球、B 型球的质量共17千克，则A 型球、B 型球各有多少只？【分析】(1 )直接利用1只A 型球与1只B 型球的质量共7千克，3只A 型球与1只B 型球的质量共13千克得出方程求出答案；(2)利用分类讨论得出方程的解即可.【解答】解：(1)设每只A 型球、B 型球的质量分别是 x 千克、y 千克，根据题意可得：\+y=7 3x+y=13(x =3解得：*,Ly=4答：每只A 型球的质量是3千克、B 型球的质量是4千克；(2)•••现有A 型球、B 型球的质量共17千克， .•.设A 型球1个，设B 型球a 个，则3+4a = 17,7解得：a = __ (不合题意舍去)，设A 型球2个，设B 型球b 个，则6+4b = 17,解得：b =丄-(不合题意舍去)，由题意得：.5x+7y=2O6O 【解答】解:(x-2y)=5t ①L x-2y= 1②-4 ---------- -设A 型球3个，设B 型球c 个，则9+4c = 17,解得：c = 2,设A 型球4个，设B 型球d 个，则12+4d = 17, 解得：d = _ （不合题意舍去），4设A 型球5个，设B 型球e 个，则15+4e = 17, 解得：a = L_ （不合题意舍去），2综上所述：A 型球、B 型球各有3只、2只.【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键.16.（ 2019年湖南省怀化市）解二元一次方组:【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可. 【解答】解：卩+3円①，x-3y< ②①+②得：2x = 8, 解得：x = 4, 贝 V 4 - 3y = 1, 解得：y = 1, 故方程组的解为：戸".【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键.k 的取值范围.【分析】先用加减法求得 x -y 的值（用含k 的式子表示），然后再列不等式求解即可. ①-②得：x - y = 5 - k ,••• x > y , ••• x - y>0. 5 - k > 0.解得：k v 5.【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得 x -y 的值（用含k 的式子表示）是解题的关键.18. （2019年浙江省温州市）某旅行团32人在景区A 游玩，他们由成人、少年和儿童组成.已 知儿童10人，成人比少年多12人. （1）求该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2） 因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各 1名）带领10名儿童去另一景区 B 游玩.景区B 的门票价格为100元/张，成人全票，少年 8折，儿童6折，一名成人可以 免费携带一名儿童. ① 若由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？② 若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下， 最多可以安排成人和少年共x+3y=7, x-3y=l .17. （2019年山东省潍坊市）己知关于x , y 的二元一次方程组” x-2y=k的解满足x > y ,求【解答】解:多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少. 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决；（2）①根据题意可以求得由成人 8人和少年5人带队，所需门票的总费用; ②利用分类讨论的方法可以求得相应的方案以及花费，再比较花费多少即可解答本题. 【解答】解：（1）设成人有x 人，少年y 人，\+y+10=32 \^y+12 '解得，I 尸5答：该旅行团中成人与少年分别是 17人、5人；（2）①由题意可得，由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是：100X 8+5X 100X 0.8+ （10 -8）X 100X 0.6= 1320 （元）,答：由成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是 1320元；②设可以安排成人a 人，少年b 人带队，则 K a w 17, K b <5, 当 10w a w 17 时，若 a = 10,则费用为 100 X 10+100 X b X 0.8w 1200，得 b w 2.5,••• b 的最大值是2,此时a+b = 12,费用为1160元；r若 a = 11,则费用为 100 X 11+100X b x 0.8w 1200，得 b w 二411人，少年1人；成人9人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最少. 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质 和分类讨论的数学思想解答.19. （2019年甘肃省武威市、陇南市）小甘到文具超市去买文具•请你根据如图中的对话信 息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案.• b 的最大值是1,此时a+b = 12,费用为1180元；若a > 12, 100a 》1200，即成人门票至少是 1200元，不合题意, 当 1 wa v 10 时，若a = 9,则费用为 •- b 的最大值是3, 若a = 8,则费用为 •- b 的最大值是3, 同理，当a v 8时， 舍去;综上所述，最多安排成人和少年100X 9+100b X 0.8+100 X 1 X 0.6w 1200，得 a+b = 12,费用为1200元；100X 8+100b X 0.8+100 X 2 X 0.6w 1200，得 a+b = 11v 12,不合题意，舍去； a+b v 12,不合题意，舍去；12人带队，有三个方案：成人b w 3,b w 3.5, 10人，少年2人；成人支申性建和20丰笔记 亭.是不是一我1L2 无・ I 珂—哦，我躺1E 本的单労垂反了【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得:r12y+20x=112\12x+20y=144，解得：',ly=6答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元.【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键.20( 2019年山东省枣庄市)对于实数a、b，定义关于“ ？”的一种运算：a? b = 2a+b，例如3? 4= 2X 3+4= 10.(1 )求4? (- 3)的值；(2 )若x? (- y)= 2, (2y) ? x=- 1，求x+y 的值. 【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出所求.【解答】解：(1)根据题中的新定义得：原式= 8- 3= 5;2 K-y=-2© x+4y=-l②(2)根据题中的新定义化简得:① + ②得：3x+3y=- 3,贝U x+y=- 1.【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.。

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湖南省娄底市2019年中考数学试卷一、精心选一选，旗开得胜（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分，每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡相应题号下的方框里）1．（3 分）（2019•娄底）2019 的相反数是（）A．﹣2019 B．- 12019C．2019 D．12019考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2019 的相反数是﹣2019，故选：A．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3 分）（2019•娄底）下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6 B．（x3）3=x9 C．x2+x2=x4 D．x6÷x3=x2考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案．解答：解：A、x2•x3=x5，故原题计算错误；B、（x3）3=x9，故原题计算正确；C、x2+x2=2x2，故原题计算错误；D、x6÷x3=x3，故原题计算错误；故选：B．点评：此题主要考查了同底数幂的乘、除法，幂的乘方，以及合并同类项的法则，关键是掌握各种计算法则，不要混淆．3．（3 分）（2019•娄底）函数y=中自变量x 的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2考点：函数自变量的取值范围．分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．解答：解：根据题意，得x﹣2≥0，解得x≥2．故选C．点评：考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．4．（3 分）（2019•娄底）方程组的解是（）A．B．C．D．考点：解二元一次方程组．分析：用加减法解方程组即可．解答：解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2 代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．点评：此题考查二元一次方程组的解法．5．（3 分）（2019•娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．6．（3 分）（2019•娄底）若两圆的半径分别为2cm 和6cm，圆心距为了8cm，则两圆的位置关系为（）A．外切B．相交C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R 和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．解答：解：根据题意，得：R+r=8cm，即R+r=d，∴两圆外切．故选A．点评：本题主要考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系，属于基础题．7．（3 分）（2019•娄底）实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习．值周班长小兵每周对各小组合作学习情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果：“分值”这组数据的中位数和众数分别是（）A．89，90 B．90，90考点：众数；中位数C．88，95 D．90，95分析：根据中位数和众数的定义找出从小到大排列后最中间的数和出现次数最多的数即可．解答：解：把这组数据从小到大排列：85，89，90，90，90，91，96，最中间的数是90，则中位数是90；90 出现了3 次，出现的次数最多，则众数是90；故选B．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（3 分）（2019•娄底）下列命题中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．菱形的对角线互相垂直平分C．矩形的对角线相等且互相垂直平分D．角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理．分析：根据平行四边形的性质对A 进行判断；根据菱形的性质对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D 进行判断．解答：解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A 选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B 选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C 选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D 选项的说法正确．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3 分）（2019•娄底）如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=（）A．40°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．分析：由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3 的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2 的度数．解答：解：∵∠∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故选：C．点评：此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．10．（3 分）（2019•娄底）一次函数y=kx﹣k（k＜0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：一次函数的图象．分析：首先根据k 的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．解答：解：∵k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y=kx﹣k 的图象经过第一、二、四象限，故选：A．点评：此题主要考查了一次函数图象，直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx 平移|b|个单位而得到．当b ＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移．二、细心填一填，一锤定音（本大题共10 道小题，每小题3 分，满分30 分）11．（3 分）（2019•娄底）五月初五是我国的传统节日﹣端午节．今年端午节，小王在“百度”搜索引擎中输入“端午节”，搜索到与之相关的结果约为75100000 个，75100000 用科学记数法表示为7．51×107 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．解答：解：将75100000 用科学记数法表示为7．51×107．故答案为：7．51×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．12．（3 分）（2019•娄底）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为3，则输出的值为55 ．考点：代数式求值专题：图表型．分析：根据运算程序列式计算即可得解．解答：解：由图可知，输入的值为 3 时，（32+2）×5=（9+2）×5=55．故答案为：55．点评：本题考查了代数式求值，读懂题目运算程序是解题的关键．13．（3 分）（2019•娄底）已知关于x 的方程2x+a﹣5=0 的解是x=2，则a 的值为 1 ．考点：一元一次方程的解分析：把x=2 代入方程即可得到一个关于a 的方程，解方程即可求解解答：解：把x=2 代入方程，得：4+a﹣5=0，解得：a=1．故答案是：1．点评：本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．14．（3 分）（2019•娄底）不等式组的解集为2＜x≤5 ．考点：解一元一次不等式组分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞2，由②得x≤5，故此不等式组的解集为：2＜x≤5．故答案为：2＜x≤5．点评：本题解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．15．（3 分）（2019•娄底）如图，要使平行四边形ABCD 是矩形，则应添加的条件是∠ABC=90°或AC=BD（不唯一）（添加一个条件即可）．考点：矩形的判定；平行四边形的性质专题：开放型．分析：根据矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可．解答：解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD．故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．点评：本题主要应用的知识点为：矩形的判定．①对角线相等且相互平分的四边形为矩形．②一个角是90 度的平行四边形是矩形．16．（3 分）（2019•娄底）如图，M 为反比例函数y=的图象上的一点，MA 垂直y 轴，垂足为A，△ MAO 的面积为2，则k 的值为4 ．考点：反比例函数系数k 的几何意义．专题：计算题．分析：根据反比例函数比例系数k 的几何意义得到1|k|=2，然后去绝对值得到满足条件的k的值．2解答：解：∵MA 垂直y 轴，|k|，∴S△AOM= 12∴|k|=2，即|k|=4，而k＞0，∴k=4．故答案为4．点评：本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．17．（3 分）（2019•娄底）如图，小明用长为3m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB=12m，则旗杆AB 的高为9 m．考点：相似三角形的应用．分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：由题意得，CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴=，即=，解得AB=9．故答案为：9．点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．18．（3 分）（2019•娄底）五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是2．5考点：概率公式．分析：由五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵五张分别写有﹣1，2，0，﹣4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），∴该卡片上的数字是负数的概率是：．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（3 分）（2019•娄底）如图是一组有规律的图案，第1 个图案由4 个▲组成，第2 个图案由7 个▲组成，第3 个图案由10 个▲组成，第4 个图案由13 个▲组成，…，则第n（n 为正整数）个图案由3n+1个▲ 组成．考点：规律型：图形的变化类．分析：仔细观察图形，结合三角形每条边上的三角形的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可．解答：解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1=4 个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1=7 个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1=10 个三角形；…第n 个图形有3（n+1）﹣3+1=3n+1 个三角形；故答案为：3n+1．点评：考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．（3 分）（2019•娄底）如图，▱ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．分析：根据平行四边形的性质得出DE=AD= BC，DO= BD，AO=CO，求出OE=CD，求出△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD），代入求出即可．解答：解：∵E 为AD 中点，四边形ABCD 是平行四边形，∴DE= AD= BC，DO= BD，AO=CO，∴OE= CD，∵△BCD 的周长为18，∴BD+DC+B=18，∴△DEO 的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）= ×18=9，故答案为：9．点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出DE=1BC，DO= BD，OE= DC．2三、用心做一做，慧眼识金（本大题共3 道小题，每小题8 分，满分24 分）21．（8 分）（2019•娄底）先化简÷（1﹣），再从不等式2x﹣3＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式的解集，找出解集中的正整数解得到x 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，不等式2x﹣3＜7，解得：x＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x=1 时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（8 分）（2019•娄底）如图，有小岛A 和小岛B，轮船以45km/h 的速度由C 向东航行，在C 处测得A 的方位角为北偏东60°，测得B 的方位角为南偏东45°，轮船航行2 小时后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向．求小岛A 与小岛B 之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1．41，≈2．45）考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：先过点C 作CP⊥AB 于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC 的值，在Rt△PCB 中，根据勾股定理求出BP=CP 的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP 的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．解答：解：过点C 作CP⊥AB 于P，∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，∵轮船的速度是45km/h，轮船航行 2 小时，∴BC=90，∵BC2=BP2+CP2，∴BP=CP=45 ，∵∠CAP=60°，∴tan60°= =，∴AP=15 ，∴AB=AP+PB=15+45=15×2．45+45×1．41≈100（km）．答：小岛A 与小岛B 之间的距离是100km．点评：本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．23．（8 分）（2019•娄底）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D 四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）共抽取了多少个学生进行调查？（2）将图甲中的折线统计图补充完整．（3）求出图乙中B 等级所占圆心角的度数．考点：折线统计图；扇形统计图专题：数形结合．分析：（1）用C 等级的人数除以C 等级所占的百分比即可得到抽取的总人数；（2）先用总数50 分别减去A、C、D 等级的人数得到B 等级的人数，然后画出折线统计图；（3）用360°乘以B 等级所占的百分比即可得到B 等级所占圆心角的度数．解答：解：（1）10÷20%=50，所以抽取了50 个学生进行调查；（2）B 等级的人数=50﹣15﹣10﹣5=20（人），画折线统计图；（3）图乙中B 等级所占圆心角的度数=360°×=144°．点评：本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化；折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了扇形统计图．四．综合用一用，马到成功（本大题共1 道小题，满分8 分）24．（8 分）（2019•娄底）娄底到长沙的距离约为180km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比张晚出发1 小时，最后两车同时到达长沙，已知小轿车的速度是大货车速度的1．5 倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少？（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离长沙还有多远？考点：分式方程的应用．分析：（1）由题意，设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，根据“小刘比张晚出发 1 小时，最后两车同时到达长沙，”列出方程解决问题；（2）利用（1）中小张开着大货车的速度，即可求得答案．解答：解：（1）设大货车速度为xkm/h，则小轿车的速度为1．5xkm/h，由题意得解得x=60，则1．5x=90，答：大货车速度为60km/h，则小轿车的速度为90km/h．（2）180﹣60×1=120km答：当小刘出发时，小张离长沙还有120km．点评：此题考查分式方程的运用，注意题目蕴含的数量关系，设出未知数，列方程解决问题．五、耐心想一想，再接再厉（本大题共1 道小题，满分8 分）25．（8 分）（2019•娄底）如图，在⊙O 中，AB，CD 是直径，BE 是切线，B 为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC 的度数．考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据AB，CD 是直径，可得出∠ADB=∠CBD=90°，再根据HL 定理得出△ABD≌△CDB；（2）由BE 是切线，得AB⊥BE，根据∠DBE=37°，得∠BAD，由OA=OD，得出∠ADC 的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD 是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD 和△CDB 中，，∴△ABD 和△CDB（HL）；（2）解：∵BE 是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC 的度数为37°．点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质，是基础题，难度不大．六、探究试一试，超越自我（本大题共2 道小题，每小题10 分，满分20 分）26．（10 分）（2019•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x 轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y 轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．1 2 1 2考点：二次函数综合题．分析：（1）利用根与系数的关系，等式 x 2+x 2+x x =7．由一元二次方程根与系数的关系， 得 x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1．代入等式，即可求得 m 的值，从而求得解析式．（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得 P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．解答：解（1）依题意：x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=m ﹣1，∵x 1+x 2+x 1x 2=7，∴（x 1+x 2）2﹣x 1x 2=7，∴（﹣m ）2﹣（m ﹣1）=7， 即 m 2﹣m ﹣6=0，解得 m 1=﹣2，m 2=3，∵c=m ﹣1＜0，∴m=3 不合题意∴m=﹣2抛物线的解析式是 y=x 2﹣2x ﹣3；（2）能如图，设 p 是抛物线上的一点，连接 PO ，PC ，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D ． 若∠POC=∠PCO 则 PD 应是线段 OC 的垂直平分线∵C 的坐标为（0，﹣3）∴D 的坐标为（0，﹣）∴P 的纵坐标应是﹣令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=因此所求点P 的坐标是（，﹣），（。

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