人教版小学数学五年级上册刘徽的“出入相补”原理
数学视野：经典算法割圆术
数学视野经典算法----割圆术根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积.应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式.刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积.这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密.他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的.因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明.他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积.刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念.“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值.刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径.以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积.这是圆面积的一个上界序列.刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径.表无余径，则幂不外出矣.”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了.因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积.于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积.利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
刘徽阳马术的直观证明
刘徽阳马术的直观理解
刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。
”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。
（如图1）
图1
刘徽对此的证明运用了出入相补原理和无穷分割求和原理，具体如下：把阳马和鳖臑沿各边的中点做进一步的分割（如图2），这样就把阳马分成了2个小阳马，1个小立方体和2个小堑堵；把鳖臑分成了2个小鳖臑和2个小堑堵。
先把2个小阳马和2个小鳖臑放一边，则各自剩下的部分体积比显然为2：1。
再将放一边的小阳马和小鳖臑做同样的分割，则可得到更小的阳马、立方体、堑堵和鳖臑，把4个小小阳马和4个小小鳖臑放一边，各自剩下的部分体积比仍然为2：1。
此过程可以无限的做下去，直到剩余部分体积为0。
而整个
过程中各自剩下部分体积比总为2：1。
这样刘徽就证明了“不易之率”。
图2
但刘徽出入相补和无穷分割的方法有点难懂，其实，阳马术有一个更直观的理解，方法如下：在阳马的底面再做一条对角分割线，即把阳马分成了三棱锥E-ABC和三棱锥E-BCD两块（如图3）。
再把整个堑堵进行空间旋转得到图4，对比图3和图4，显然有三棱锥E-ABC ≌三棱锥E-BDF，则体积相等。
最后把阳马单独拿出来观察（如图5），显然三棱锥E-ABC与三棱锥E-BCD对称，则两者体积相等。
综上，三块三棱锥体积都相等，则得到刘徽的“不易之率”。
图3 图4 图5。
人教版数学五年级上册《期末检测题》带答案解析
12.小周家到学校有3.6km，他步行每小时行4.2km，0.8小时能从家走到学校.（ ）
【答案】×
【解析】
【分析】根据路程÷速度＝时间，用小周家到学校的路程除以他步行的速度，求出小周步行需要的时间，再把它和0.8比较大小即可.
【详解】3.6÷4.2≈0.857
【详解】4.5÷0.15＝450÷15；
3.5÷2.5×10
＝1.4÷10
＝14
【点睛】熟记被除数、除数和商的关系、商不变的性质是解答本题的关键.
5.2.3÷0.33的商是一个（ ）小数，用简便形式表示是（ ），商保留到十分位是（ ）.
【答案】①.循环②. ③.7.0
【解析】
【分析】2.3÷0.33＝6.9696…，商是一个循环小数；
C.足球比赛通过掷硬币选正、反面来确定哪队先开球很公平
D.要把7根彩带连成一根长彩带，需要打7个结.
21.下边除法竖式中的“5”表示（ ）.
A.5个一B.5个十分之一C.5个百分之一D.5个千分之一
22.下面每组中的两个式子，结果不一定相同的是（ ）.
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
四、计算题.（共28分）
11.工人们要在一条长1600米的公路一侧每隔40米安装一盏路灯（两端都安装），一共需要安装（ ）盏路灯.
【答案】41
【解析】
【分析】根据题意可知，属于两端都植的情况，棵数＝间隔数＋1，用1600÷40即可求出间隔数，再加1即可.
【详解】1600÷40＋1
＝40＋1
＝41（盏）
【点睛】明确植树问题中，两端都植的特点（棵数＝间隔数＋1）是解答本题的关键.
出入相补原理
出入相补原理我国古代数学历史悠久，内容丰富，有着许许多多的重大成就，不胜枚举，出入相补原理就是中国古代数学，特别是几何学中最基本的原理之一，突出地反映了我国古代数学的博大精深。
出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。
若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
出入相补的名字出自《九章算术注》，三国时期的数学家刘徽在他的《九章算术注》中对勾股定理进行阐述的时候说：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，”出入相补由此得名。
在我国古代许多重要的数学巨著中都涉及出入相补，而出入相补原理的应用最早可以追溯到先秦时期。
出入相补原理的应用最具有普遍意义的就是应用它能够得出三角形的面积等于二分之一倍的底乘高这一基本公式，人们还由此定义出任意多角形的面积。
通过这些可见这一原理应用的广泛性，并且它与人们日常生活联系得也很紧密。
在先秦社会体制由奴隶制社会向封建社会转型的时期，思想领域出现了诸子百家各自著书立说，造就了中国历史上著名的百家齐鸣的辉煌，先秦诸子的世界观、人生观和哲学深深地扎根在了中华民族的土地上，直到今天，他们仍然左右着炎黄子孙的思想。
那时出入相补原理在许多名家的著作里都有影子，可以说出入相补原理的雏形就在诸子百家的字里行间诞生了。
割圆术也是应用了出入相补原理才得出的。
在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆的面积。
而应用了出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。
在这次尝试中，出入相补原理的应用价值得到了淋漓尽致的体现。
除了刘徽，我国古代还有一位数学家对应用出入相补原理解决问题有着突出的成就，他就是赵爽。
赵爽是我国东汉末年至三国时期的人，他的主要贡献是约在公元3世纪深入研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并作了详细注释。
五上数学6单元作业单
订正栏第六单元练习一基础演练场班级姓名学号____一、列竖式计算或列方程1.46×3=8.4÷3=12x+2.4=24二、填空1.在一个底是8cm、高是6cm 的平行四边形的左边沿高剪下一个三角形，再平移到右边，就拼成一个长方形。
这个长方形的面积和原来平行四边形的面积（），长方形的长是（）cm，宽是（）cm，面积是（）c ㎡，所以原来平行四边形的面积是（)c ㎡。
2.平行四边形的面积是3.6㎡，涂色三角形的面积是（）㎡。
3.一个面积是36cm²的梯形，如果上底增加5cm，下底减少5cm，高不变，那么得到的新梯形的面积是（）cm²。
二、选择1.如下图所示，大长方形的长均是40cm，宽均是30cm，A、B 为大长方形内部或边上的任意一点，有（）个图形的涂色部分的面积是600c ㎡A.2B.3C.4D.52.一个三角形的底和面积与一个平行四边形的底和面积分别相等。
平行四边形的高是10cm，三角形的高是（)cm。
A.20B.10C.5D.无法确定3.一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28c ㎡，这个三角形的面积是（)c㎡A.14B.28C.42D.56订正栏第六单元练习一能力提升站班级姓名学号____一、简算2.5×4.9×48.6×99+8.63.6×0.4+6.4×0.4二、计算下面各图形的面积三、生活应用题1.计算下面两种机动车停车位每个车位的占地面积。
（单位：m）2.废品收购站的张叔叔收购了很多啤酒瓶、并把啤酒瓶堆成了下图的形状。
这堆啤酒瓶一共有多少个？（列式计算）订正栏第六单元练习二基础演练场班级姓名学号____一、列竖式计算或列方程1.15×3.2=28÷16=0.3×7+4x=12.5二、填空1.下图这块平行四边形玻璃的高是（)dm。
2.如图，正方形的周长是28cm，平行四边形（涂色部分）的面积是（)c ㎡。
人教版数学五年级上册《期末测试卷》附答案
（2）这个游戏公平吗？（ ）（填“公平”或“不公平）。
（3）如果想让丽丽获胜的可能性比较大可以把上图中的数字5改成（ ）。
三、选择。（20分）
9.下列算式中与96÷0.03结果相等的式子是（ ）。
A.9.6÷0.003B.0.96÷0.003C.9600÷30D.960÷3
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A. 40B. 42C. 36D. 34
16.一根木头长20米,要把它锯成5段,每锯一次需用3分钟,锯完一共要用（ ）分钟。
A. 15B. 12C. 18D. 9
17.两城相距480km,甲、乙两车同时从两地相向而行,经过4小时相遇,甲车每小时行80km,乙车每小时行（ ）km。
A. 120B. 40C. 80D. 100
（1）请仔细观察里程表中的数字规律,A＝（ ）。
（2）高铁G字头票价的定价标准为：一等座约为0.74元/人千米,二等座约为0.46元/人千米。来参加活动的聪聪的爸爸从郑州东出发,买了一张票价为377.5元的二等座车票,你认为他买的是郑州东到哪个城市的火车票？
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料
勾股定理的证明和出入相补原理(最全)word资料勾股定理的证明和出入相补原理出入相补原理是我国著名数学家吴文俊先生提出的，他认为这个原理“就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移到他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系．立体的情形也是如此”．我们教材中介绍的勾股定理的证明就用到了出入相补原理．下面我们再介绍刘徽的一种证明勾股定理的方法：如下图，正方形ABCD、BFGI的边长分别为b、a，在BF上取一点E，使AE=a连结DE、GE，将△ADE移至△CDH，将△EFG 移至△HIG，由此就可以证明勾股定理，你试一试吧!20中学数学教学2020 年第1期勾股定理证明的探讨与教学思考安徽省合肥市第四十五中学李光武孔云( :230001勾股定理的证明方法有很多种,目前教材给出的几种证明方法是面积法.如下图所示:①利用若干个全等的直角=三角形和一个小正方形,拼成一个大正方形(图1是邹元治的证明拼图法、图2是赵爽的证明拼图法;②利用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形,拼成一个直角梯形(图3是1876年总统Garfield的证明拼图法.教材选用这几种证明方法,都是利用几个简单的直角三角形和一个正方形或等腰直角三角形,拼成一个学生比较熟悉,而且它们的面积也是很容易求解的一种几何图形.够珞图1图2图3然后,教材给出学生比较熟悉的证明方法——面积法,即先算出整个图形的面积,再算出各个部分的图形面积,利用图形分割前后的面积相等,构成一个等式,最后经过整式的化简、整理o,c9c’o'070?o_c'coc,t70’o’o’o’o,o’_。
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小学数学教材中的数学史――数学家刘徽
小学数学教材中的数学史――数学家刘徽【摘要】刘徽的数学成绩在中国乃至世界数学史上都产生了深远阻碍，人教版小学数学教材别离介绍了刘徽在小数、面积计算、圆周率计算和正负数表示方面的成绩，文章对以上内容作了详细介绍，同时还介绍了刘徽的其他数学成绩，为小学数学教师进一步了解刘徽的数学成绩提供帮忙.中国论文网 /9/【关键词】刘徽；小数；割圆术；负数；阳马术刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上都产生了深远影响.他一生取得了许多数学成就，尤其是他在几何、分数、重差术等方面的研究对数学发展具有深刻的意义.基于刘徽对数学发展所做的重大贡献，人教版小学数学教材分别在四年级下册第33页“小数的意义和性质”部分介绍了刘徽对小数发展的贡献（图1）；在五年级上册“梯形的面积”部分介绍了刘徽的“出入相补”原理（图2）；在六年级上册“圆的面积”部分介�B了刘徽的“割圆术”（图3）；在六年级下册“负数”部份介绍了刘徽对负数进展的奉献（图4）.其内容之多仅次于《九章算术》，因此，为了让小学一线数学教师能够更详细地了解刘徽的数学成绩，并将其在教学中进行渗透，以下将结合小学数学教材进一步详细介绍刘徽的数学成绩.一、徽数“徽数”也就是我们今天的小数.公元3世纪左右，刘徽在注解《九章算术》时，我国的长度单位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，忽是最小的单位，刘徽在研究中遇到忽以下的数，他没有继续命名，而是创造了十进小数，刘徽称作“徽数”，他在《九章算术注》的方田章圆田术注、少广章开方术注和少广章开立圆术注中分别用到了十进小数.这是世界上对小数的最早认识.[1]二、出入相补原理出入相补原理是指：一个平面图形从一处移置它处，面积不变.即若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而，图形移置前后各面积间的和、差有简单的相等关系.立体的情形也是这样.刘徽在《海岛算经》的“测望术”中使用这一原理，历史上这一原理至迟在战国时代就已经被广泛认识和应用了.[2]今天的小学数学教材利用出入相补原理进行三角形、梯形等平面图形面积的推导.三、割圆术割圆术是刘徽为《九章算术》方田章“圆田术”作注时引入的.《九章算术》提出了圆田术：半周半径相乘得积步.这就是圆面积公式：其中S，L，r分别是圆面积、周长和半径.在刘徽之前人们用圆内接正六边形的周长代替圆周长.为了证明这一公式，刘徽提出了割圆术，刘徽从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍（图5），并计算逐次得到的正多边形的周长和面积.刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而，三之，得十二觚之幂.若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而，六之，则得二十四觚之幂.割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”也就是说，当分割的次数无限增加时，则存在圆内接正多边形面积的极限，此极限就是圆面积，即刘徽计算到了圆内接正192边形，求得圆周率的近似值.他自己也认为“此率尚微少”.[3]南北朝时期的祖冲之算出了圆周率数值的上下限：592 6<π< 592 7一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术.事实上，如果按刘徽割圆术从正六边形出发连续算到正24576边形，恰好可以得到祖冲之的结果.[4]四、负数负数一般定义为小于零的数.中国古代没有负数一词，但有“负”（亦作负算）.目前国内外一致公认最早的负数记法出现于中国的《九章算术》.《九章算术》“正负术”中给出正确的负数运算法则，公元263年（魏景元四年）刘徽的《九章算术注》把正与负看成是相对存在的数的两种情况，刘徽指出“正算赤，负算黑.否则以邪正为异”.说明负数可以用黑色算筹或者以斜画的筹表示，刘徽在世界数学史上第一个采取了把数的正负与加减运算关系统一起来的做法.[3，5]五、其他成就（一）阳马术《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一，即（二）球体积计算刘徽作球的外切立方体，再在立方体内作两个与球半径相同的互相垂直的圆柱，刘徽称这两个圆柱的公共部分为“牟合方盖”（图7）.他指出用水平面去截球和“牟合方盖”所得的面积比为π∶4，因此，球和“牟合方盖”的体积比也为π∶4，只要能够求出“牟合方盖”的体积即可取得球的体积.[8]但是，刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积.并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖��原理“缘幂势既同，那么积不容异”，[9]即两个等高立体若是在所有等高处的水平截面积相同，那么两个立体的体积相同.（三）重差术刘徽在《海岛算经》中借助于相似勾股形的比例关系和中国古代的“重差术”计算山上的松高，这是刘徽对中国古代重差理论的进一步发展，展示了勾股比例和重差测量的演化历程.[3] 【。
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人教版小学数学
刘徽的“出入相补”原理
在“九章算术注”中，刘徽发展了中国古代“率”的思想和“出入相补”原理。
用“率”统一证明“九章算术”的大部分算法和大多数题目，用“出入相补”原理证明了勾股定理以及一些求面积和求体积的公式。
刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。
鉴于刘徽的巨大贡献，不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。
所谓出入相补原理，简单地说，就是指：一个平面图形从一处移至他处，面积不变，假如把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形转移前后各部分面积的和、差有简单的相等关系。
立体的情形也是这样。
举几个简单的例子，如图：。