第3章 第3讲 导数的应用(二)

b＝f12，c＝f(3)，则 A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
()
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
解析 依题意得，当 x＜1 时，f′(x)＞0，所以函数 f(x)在
(－∞，1)上为增函数．又 f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜12＜1，因
此有 f(－1)＜f(0)＜f12，即有 f(3)＜f(0)＜f12，c＜a＜b，故 选 C．
第3讲 导数的应用(二)
最新考纲 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会 解决与之有关的方程(不等式)问题；2．会利用导数解决某些 简单的实际问题．
知识梳理
1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)，并 确定函数的定义域． (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0． (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最 大(小)者为最大(小)值． (4)回归实际问题作答．
式共同确定．
( √)
(2)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．
(× )
(3)连续函数在闭区间上必有最值． (4)函数 f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．
(√ ) (√ )
2．(2014·辽宁实验中学模拟)函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)
＝f(2－x)，且当 x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设 a＝f(0)，
解 (1)因为 x＝5 时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2． (2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2． 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6． 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设 自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义Байду номын сангаас，利用 求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结 合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开 区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就 是最值点．
【训练 1】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销 售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数，已知销售价 格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元 千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
答案 C
3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点
M，N，则当|MN|达到最小时t的值为
()
A．1
C．
5 2
B．12
D．
2 2
解析 当 x＝t 时，f(t)＝t2，g(t)＝ln t，
∴y＝|MN|＝t2－ln t(t＞0)．
∴y′＝2t－1t ＝2t2－t 1＝2t＋
5． (人教A选修11P104A5改编)如图，用铁丝弯成一个上面是 半圆，下面是矩形的图形，其面积为a m2．为使所用材料 最省，底宽应为_________m．
解析 设底宽为 x m，矩形高为 y m，铁丝总长为 l m． 则 a＝π22x2＋xy，∴y＝ax－π8x， ∴l＝π2x＋x＋2y＝π2x＋x＋2xa－π4x＝π4x＋x＋2xa， 则 l′＝π4＋1－2xa2 ， 令 l′＝0，得 x＝2 π2＋a4．
(2)因 V(r)＝π5(300r－4r3)，故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 令 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(因 r＝－5 不在定义域内，舍 去)． 当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数； 当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数． 由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8． 即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
答案 2
2a π＋4
考点一 利用导数解决生活中的优化问题 【 例 1】 某 村 庄 拟 修 建 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 蓄 水 池 ( 不 计 厚
度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立 方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池 的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池 的体积最大．
解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元， 底面的总成本为 160πr2 元． 所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元． 又根据题意得 200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以 h＝51r(300－4r2)， 从而 V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)． 因 r>0，又由 h>0 可得 r<5 3， 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)．
22t－ t
2 2 ．
当 0＜t＜ 22时，y′＜0；当 t＞ 22时，y′＞0．
∴y＝|MN|＝t2－ln t 在 t＝ 22时有最小值．
答案 D
4．若函数 f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值 范围是_________． 解析 由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即 可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1) ＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)． 答案 (－2,2)
2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值 或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来， 将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析