第三章导数及其应用导数实际应用
河北省高中数学 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概
导数的概念及运算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义；3.能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 知 识 梳 理1．导数与导函数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0fx 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作＿＿＿＿＿＿，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝＿＿＿＿3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)[f (x )·g (x )]′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．一．判断1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (3)已知曲线y ＝x 3，则过点P (1,1)的切线有两条．( )(4)物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t ＝2.( ) 二．选择1.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2015·保定调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e3．已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 014)＋2 014ln x ，则f ′(2 014)＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．2 014D ．－2 014 4.函数f (x )＝ln x －2xx在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝05.设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝－3xC ．y ＝－3x ＋1D ．y ＝3x －3 6.曲线y ＝x 3在原点处的切线( )A ．不存在B ．有1条，其方程为y ＝0C ．有1条，其方程为x ＝0D ．有2条，它们的方程分别为y ＝0，x ＝0 7.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0 8.曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1 D ．y ＝－2x －1 三．填空1. 曲线y ＝sin x x在点M (π，0)处的切线方程为________.2.曲线y ＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________________.3.若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 4．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 四．解答题1.求下列函数的导数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝ln x e x . (3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 42.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．3.已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4，求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；4.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0，求f (x )的解析式 总结：1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．。
高中数学第三章 导数及其应用 第3课时 导数与函数的综合应用
第3课时 导数与函数的综合应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100 x ，总利润P (x )＝⎩⎨⎧300x －x 22－20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大． 答案 D2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 答案 D3．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]解析 令f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝3(舍去)．∵f (－1)＝7，f (－2)＝0，f (2)＝－20， ∴f (x )的最小值为f (2)＝－20，故m ≤－20. 答案 B4．(2017·景德镇联考)已知函数f (x )的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：f (x ))－a 的零点的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示．由于f(0)＝f(3)＝2,1<a<2，所以y＝f(x)－a的零点个数为4.答案 D5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)解析 a ＝0时，不符合题意，a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a .若a >0，则由图像知f (x )有负数零点，不符合题意． 则a <0，由图像结合f (0)＝1>0知，此时必有 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1>0， 化简得a 2>4. 又a <0，所以a <－2. 答案 C 二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0； x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值． 答案 407．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________. 解析 设f (x )＝x 3－3x ＋c ， 对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可知c ＝2； 若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2. 答案 －2或28．(2017·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x <1的解集为________． 解析 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x ·f ′(x )－e x ·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x <1，即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)． 答案 (0，＋∞) 三、解答题9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k (k >0)．现已知相距18 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)． (1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，且x ＝6时，y 取得最小值，试求b 的值． 解 (1)设点C 受A 污染源污染程度为kax 2， 点C 受B 污染源污染程度为kb(18－x )2，其中k 为比例系数，且k >0，从而点C 处受污染程度y ＝ka x 2＋kb(18－x )2.(2)因为a ＝1，所以，y ＝k x 2＋kb(18－x )2，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x 3＋2b (18－x )3， 令y ′＝0，得x ＝181＋3b，又此时x ＝6，解得b ＝8，经验证符合题意，所以，污染源B 的污染强度b 的值为8.10．(2017·榆林月考)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.(1)解 f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎨⎧x >0，x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明 令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在(1，＋∞)上单调递减， 故当x >1时，F (x )<F (1)＝0， 即当x >1时，f (x )<x －1. 故当x >1时，f (x )<x －1.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x ，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点． 答案 A12．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( )A ．3f (1)<f (3)B ．3f (1)>f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3) 解析 由于f (x )>xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， ∴f (3)3<f (1)1，即3f (1)>f (3)． 答案 B13．(2017·安徽江南名校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________． 解析 依题意，知k ＋2x －x 2>0.即k >x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，因此由原不等式，得k <e x x ＋x 2－2x 恒成立．令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 答案 [0，e －1)14．(2015·北京卷)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． (1)解 由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)， 得x >0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)． f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：x (0，k ) k (k ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )k (1－ln k )2所以f x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e－k2<0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点.。
第三章导数及其应用3-1导数的概念及运算
(2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近 于 0 时， 函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率 Δs ft0＋Δt－ft0 ＝ 趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 Δt Δt 时刻的瞬时速度．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 Δy ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率 ＝ Δx fx0＋Δx－fx0 趋近于一个常数 l， 那么常数 l 称为函数 f(x) Δx 在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化率通 常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝x0 处可 导．
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝ xa
x－1
u u′ .还要特别注意(uv)′≠u′v′，v′≠ v′
4 ex 解析：y′＝－ x e ＋12 4 ex 4 ex 4 ∴tanα＝－ x ＝－ x 2 ＝－ 1 e ＋12 e ＋2ex＋1 ex＋ x＋2 e 1 ∵e ＞0，∴e ＋ x ≥2(当且仅当 x＝0 时取等号) e
x x
1 4 ∴e ＋ x＋2≥4，∴0＜ ≤1 e 1 x e ＋ x＋2 e
x 轴、直
线 x＝π 所围成的三角形的面积为( π2 A. 2 C．2π
2
)
B．π2 1 D. (2＋π)2 2
解析： 曲线 y＝xsinx
π π － ， 在点 2 2处的切线方程
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数在实际生活中有许多应用，例如：1. 物理学：导数被广泛应用于物理学中的运动学和动力学。
导数可以描述物体在某一时刻的加速度和速度，以及其位置和速度之间的关系。
例如，在抛物线运动中，导数可以用来描述物体在不同时间点的速度和加速度，从而可以预测物体的轨迹。
2. 经济学：导数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在微观经济学中，导数可以用来描述供求关系、生产函数和成本函数。
在宏观经济学中，导数可以用来描述经济增长率、通货膨胀率和失业率等关键绩效指标。
3. 工程学：导数在工程学中的应用也非常广泛。
例如，在电力工程中，导数可以用来描述电流的变化率和电压的变化率，从而可以预测电路的性能。
在机械工程中，导数可以用来描述速度和加速度等关键参数，从而可以预测机械元件的性能。
4. 生物学：导数在生物学中的应用也很重要。
例如，在生物医学中，导数可以用来描述药物的代谢率和药物的效果，从而可以设计更有效的药物。
在生态学中，导数可以用来描述物种群的增长率和灭绝率，从而可以预测生态系统的稳定性和可持续性。
5. 计算机科学：导数在计算机科学中的应用也非常广泛。
例如，在计算机图形学中，导数可以用来定义曲线和曲面，从而可以绘制出复杂的图形。
在人工智能中，导数可以用来设计更高效的算法，例如反向传播算法用于神经网络的训练。
总之，导数在实际生活中有多种应用，涵盖了许多不同的领域，包括物理学、经济学、工程学、生物学和计算机科学。
了解导数的应用有助于我们更好地理解和应用微积分的原理。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版2
-15考点1
考点2
考点3
当x变化时,g(x),g'(x)的变化情况如下表:
2
-∞,
3
x
g'(x)
+
0
单调递增↗
g(x)
2
,4
3
2
3
68
27
则函数 g(x)的极大值为 g
-
4
(4,+∞)
0
+
-m 单调递减↘ -16-m 单调递增↗
2
3
=
68
27
-m,极小值为 g(4)=-16-m.
∴要使 g(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点,
则欲证
12 - 22
>2a,
只需证 2a(12 − 22 )>3x2-x1.
只需证 2a(12 − 22 )>2(x2-x1)+(x1+x2).
只需证 a(x1-x2)+
1 - 2
1 + 2
1
> .
2
因为 f'(x1)=0,f'(x2)=0,ax1=-ln x1,ax2=-ln x2,
(3)证明：由题设c>1,
设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'(x)=c-1-cxln c,
ln
令 g'(x)=0,解得 x0=
-1
ln
ln
.
当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
由(2)知 1<
-1
ln
高中数学同步教学 第3章 §2 第1课时 实际问题中导数的意义
§2 导数在实际问题中的应用 第1课时 实际问题中导数的意义
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
• 低碳生活(lowcarbon life)可以理解为减少二氧化碳的 排
则f′(10)表示
A
•( )
• A．t＝10时的降雨强度 B．t＝10时的降雨量
• C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度
• [解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度,故选A.
2．物体自由落体运动的方程为
s(t)＝12gt2，g＝9.8
m/s2，若lim Δt→0
s1＋Δt－s1 Δt
＝g＝9.8 m/s，那么下面说法正确的是( C )
即从 t＝2 变到 t＝3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即此段时间质点的平均 速度为 17m/s.
(2)s′(t)＝6t＋2，∴s′(2)＝6×2＋2＝14(m/s)． 即当 t＝2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为 v m/s，则 v(t)＝s′(t)＝6t＋2， ∴v′(t)＝6，∴v′(2)＝6.即当 t＝2 时的加速度为 6m/s2.
•放,就是低能量、低消耗、低开支的生活．低碳生活节能 环
•保,势在必行．现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们 •希望汽油的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗最少 或
•每升汽油能使汽车行驶的路程最长． • 如何使汽油的使用效率最高？
• 1．在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理 解的量．以中路学程物关于理时为间例,速度是_______质_量__关_于__长_度的导数, 线密功度关是于_时_间____________的导数,功率是____________的导 数．
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
导数在实际生活中的应用举例
导数在实际生活中的应用举例导数在实际生活中的应用举例___________________________导数是微积分里的一个重要概念，它可以让我们更好的理解变化的趋势和求取一些常见的量，在实际生活中也有广泛的应用。
下面就来介绍一些常见的应用案例。
##### 地形测量地形测量是地理学、测量学等领域中的重要内容，在进行地形测量时，需要通过计算导数来求取地形的斜率，以此来判断地形的坡度，从而可以准确的测量出地形的变化情况。
##### 加速度的计算加速度是物体运动中的重要参数，它是衡量物体运动变化的重要指标，而物体运动的速度则是其位置变化的函数，所以我们可以通过计算物体运动位置函数的导数来计算出物体的加速度。
##### 温度变化温度也是一个随时间变化的量，我们可以通过计算温度随时间变化函数的导数来求得温度变化率，从而得出温度变化情况。
##### 热传导热传导是物理学中的一个重要概念，它是描述物体温度随时间变化的一个重要函数，我们可以通过计算热传导函数的导数来求得物体温度随时间变化率，从而得出物体温度变化情况。
##### 势能势能也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体能量变化情况的重要参数，我们可以通过计算势能函数的导数来获得物体能量随时间变化率，从而得出物体能量变化情况。
##### 压强压强也是物理学中常见的一个概念，它是衡量物体压力变化情况的重要参数，我们可以通过计算压强函数的导数来获得物体压力随时间变化率，从而得出物体压力变化情况。
##### 投资分析投资分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算投资回报函数的导数来求得投资回报随时间变化率，从而得出未来投资回报情况。
##### 工程设计工程设计也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算工程成本函数的导数来求得工程成本随时间变化率，从而得出未来工程成本情况。
##### 社会发展分析社会发展分析也是实际生活中常用到的一个应用，通过计算人口增长函数的导数来求得人口增长随时间变化率，从而得出未来人口增长情况。
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第三章导数及其应用导数实际应用
故g(x)在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函 数．
所以当x＝2时，g(x)取最大值，即将2百万 元用于技术改造，1百万元用于广告促销， 该公司由此获得的收益最大．
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4 (0≤t≤3)，
∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万 元．即投入2百万元的广告费时，该公司由 此获得的收益最大．
第三章导数及其应用导数实际应用
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广 告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益 是g(x)，则有g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)] －3＝－31x3＋4x＋3 (0≤x≤3)，
[例1] 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶
中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的
函数解析式可以表示为y＝
1 128000
x3－
3 80
x＋
8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，
从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到
第三章导数及其应用导数实际应用
(3)生活中，经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为优 化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注 意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给 予表示，还应确定函数关系式中自变量的定 义区间．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
3V 5π
3 代入①中得h＝r＝
3V 5π
，∴当h＝r＝
3
3V 5π
时
用料最省.
第三章导数及其应用导数实际应用
[例2] 某集团为了获得更大的利益，每年要 投入一定的资金用于广告促销．经调查，每 年投入广告费t(百万元)可增加销售额约为－ t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万 元之内，则应投入多少广告费，才能使该公 司由此获得的收益最大？
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂设计一个密闭容器，下部是圆柱体形， 上部是半球形，容积为常数V，当圆柱的底 半径r与高h为何值时，制造这个容器的用料 最省？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：32πr3＋πr2h＝V① ∴43πr2＋2πrh＝2rV，S＝5π3r2＋2rV，
由S′＝103πr－2rV2 ＝0得，r＝ 3
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
当x∈(0,80)时，f ′(x)<0，f(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，f ′(x)>0，f(x)是增函数． ∴当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)． 因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是 最小值． 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
第三章导数及其应用导数实际应用
某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在
生产过程中产品的正品率P与日产量x(x∈N*)件之间的
关系为P＝
4200－x2 4500
，每生产一件正品盈利4000元，每
出现一件次品亏损2000元．(注：正品率＝产品中的正
品件数÷产品总件数)
(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数；
乙地耗油最少？最少为多少升？
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了 14000＝2.5(小时)，耗油1281000×403－830×40＋8×2.5 ＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油17.5升．
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
第三章导数及其应用导数实际应用
重点难点 重点：利用导数解决实际问题中的优化问题 难点：如何建立数学模型，借助导数求最值
第三章导数及其应用导数实际应用
知识归纳 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出
实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值 大小，最大(小)者为最大(小)值．
第三章导数及其Байду номын сангаас用导数实际应用
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广
告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费
x(百万元)，可增加的销售额约为－
1 3
x3＋x2＋3x(百万
元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得
的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的 收益为f(t)(百万元)，则有
(2)问该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求
出日利润的最大值．
第三章导数及其应用导数实际应用
解析：(1)∵y＝4000×
4200－x2 4500
×x－2000(1－
4240500－0 x2)2·x＝3600x－34x3.
∴所求的函数关系式是y＝－
4 3
x3＋3600x(x∈
N*,1≤x≤40)．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行 驶了10x0小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝1281000x3－830x＋8·10x 0 ＝12180x2＋80x0－145 (0<x≤120)， f ′(x)＝64x0－8x020＝x63－408x02 3(0<x≤120)． 令f ′(x)＝0，得x＝80.
第三章导数及其应用导数实际应用
误区警示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注
意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的 值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间 内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数 在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较， 也可以知道这就是最大(小)值．