3.1.2两条直线平行与垂直的判定
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解 : k BA k PQ 30 2 (4) 2 1 1 ( 3) 1 2 1 2
B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2
k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y
3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0
1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1
B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2
k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y
3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0
1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率之 积等于-1吗？
有可能一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在
y
l2
若一条直线的倾斜角为90°,
l1
另一条直线的倾斜角为0°
则两直线互相垂直.
o
x
思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
练习
下列哪些说法是正确的（ C ）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2；
巩固提高
试确定m的值，使过点A（m，1），B(–1, 2m)的直线与经过点P（1，2），Q（-5，0）的直 线 解： （由直线的斜率公式可得 1）平行；（2）垂直。 ( 2) PQ AB
k AB k PQ y2 y1 2m 1 1 2m , x2 x1 1 m 1 m y2 y1 0 2 1 x2 x1 5 1 3
y
C B
O
x
A
练习. 判断下列各小题中的直线 L1 和 L 2 是否垂直？ （1）. L1 经过 A(4，5)，B(1,2)， L 2 经过 M(－2, －1),N(2,1)。 (2). L1 的斜率为-10， L 2 经过 M(10,2),N(20,3)
（3）. L1 经过 A（3，4)，B(3,100)， L 2 经过 M(－10,40),N(10,40)。
问题探究二：两直线垂直与它们斜率有何关系？ 设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （α1,α2≠ 90°），且α1<α2，其斜率分别 为k 1，k 2。
类比： l1 /k /l 1时， 2 l tan 1 tan 2 k1 k2 l1⊥l2 思考 2 当 k 12 2=-1 1与l2的位置关系如何？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
关系，并证明你的结论.
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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讲授新课
（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
讲授新课
问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
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问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
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典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
必修2课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 l2 k1 k 2 =-1
例1：已知四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1:13:4,直线l2过点P:(1,0), : 3 Q:(2, )，求这四条直线的斜率？ 3
3 3 , , 不存在, 3 3 3
例2：过点m: 2,)，作直线l，分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点， ( 1 1：当 AOB面积S最小时，求l方程 2：当 MA MB 最小时，求l方程
例4：l：(2m +m-3)x+(m -m)x-4m+1=0,在下列 条件下分别求m的值：
2
2
1：直线l与2x-3y-5=0垂直？ 2：直线l与2x-3y-5=0平行？ 例5：l1: x-2y=1, l2: 2x+ty-3=0, l3:3tx+4y=5, 三线不能构成三角形，求t的值
3 2 6 4, , , 2 2 3
D
y
E F
C
B A 30
0
O
x
斜率存在， 且两直线不重合
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 // l2 k1 =k 2
问题： 1 l1：y k1x b1 , l2 : y k 2 x+b 2 , 则l1//l2 :
k1 =k 2 b b 1 2
2：直线l1，l2平行时，则l1与l2的斜率相等吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1. 倾斜角的定义
2： 一条直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 常用k来表示.
y2 y1 A k tan x2 x1 B （其中l : Ax+By+C=0）
( x1 x2 )
数学必修二课件3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
12
• 1．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)， 直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试判断直线l1 －1－1 与 l 的位置关系． 2 【解析】直线 l 的斜率 k ＝ ＝2，
1 1
－2＋1
－2－0 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝2，k1＝k2， 0－1 所以 l1∥l2.
13
【答案】(1)垂直 5 (2)2
7
• 3．思一思：当k1·k2＝－1时，l1⊥l2成立吗？ 反之是否成立？ • 【解析】由k1k2＝－1，可知直线l1，l2的倾斜 角α1，α2满足α2＝α1＋90°，故直线l1⊥l2.反 之不一定成立．当l1⊥l2时，可能其中一条斜 率为0，另一条斜率不存在，故k1·k2＝－1不 一定成立．
16
• 2．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°， 则直线l2的斜率为________．
【答案】－ 3
3 【解析】由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 30° ＝ 3 ，设直 线 l2 的斜率为 k2，则 k1· k2＝－1，∴k2＝－ 3.
17
• 平行与垂直的综合应用 • 【例3】 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)， D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判 定图形ABCD的形状． • 【解题探究】先由图形判断四边形各边的关 系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关 系完成证明．
• 1．两条直线平行与斜率的关系 • (1)如图①，设两条不重合的直线l1，l2的斜率 分别为k1，k2＝ ，若l1∥l2，则k1_____k2∥ ；反之， 若k1＝k2，则l1_____l2. • (2)如图②，若两条不重合的直线的斜率不存 在，则这两条直线也平行．
4
• 2．两条直线垂直与斜率的关系 • (1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互 －1 相垂直，那么它们的斜率之积等于_____；反 －1 k_____ 1k2＝－1 之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它 k1k2＝－1 们互相垂直．即 __________⇒l1⊥l2， l1⊥l2⇒__________. • (2)如图②，若l1与l2垂直 中的一条斜率不存在，另 一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是 ________．
第3章 3.1.2两条直线平行与垂直的判定
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2
2．两条直线垂直与斜率的关系
本 讲 栏 目
(1)如果直线 l1、l2 的斜率都存在，并且分别为 k1、k2， 那么 l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
开 关
(2)如果两条直线 l1、l2 中的一条斜率不存在，另一个斜 率是零，那么 l1 与 l2 的位置关系是 垂直 .
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3.1.2
本 讲
小结 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，
栏 目
如两直线重合，斜率不存在等．一般情况都成立，只有一
开 关
种特殊情况不成立．则该命题就是假命题．
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3.1.2
跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)，B(－5，
本
讲
k2 不存在，更谈不于两条不重合的直线 l1、l2，其斜率分别为 k1、
关
k2，有 l1∥l2⇔k1＝k2.若直线 l1 和 l2 可能重合时，我们得到
k1＝k2⇔l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
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3.1.2
例 1 已知 A(2,3)，B(－4,0)，P(－3,1)，Q(－1,2)，试判断
B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形 ABCD 的形状，
并给出证明．
本
解 AB 边所在直线的斜率 kAB＝－12，
讲 栏 目
CD 边所在直线的斜率 kCD＝－12，
开 关
BC 边所在直线的斜率 kBC＝32，
DA 边所在直线的斜率 kDA＝32.
因为 kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以 AB∥CD，BC∥DA.因此， 四边形 ABCD 是平行四边形．
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【答案】
C
2－（－2） (2)①直线 l1 的斜率 k1＝ ＝ 2，直线 l2 的斜率 k2 1－（－1） 1－（－1） 1 ＝ ＝ ，k1k2＝1，故 l1 与 l2 不垂直． 2－（－2） 2 ②因为 A、 B 的横坐标都是 3，所以 l1 的倾斜角为 90°， －10－（－ 10） 则 l1⊥ x 轴，直线 l2 的斜率为 k2＝ ＝0，则 l2∥ 5－（－5） x 轴，故 l1⊥ l2.
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【自主解答】 图，由斜率公式可得 A、B、 C、 D 四点在坐标平面内的位置如
5－ 3 0－ 3 1 1 kAB ＝ ＝ ， kCD＝ ＝ ， 2－（－ 4） 3 － 3－ 6 3 0－ 3 3－ 5 1 kAD＝ ＝－ 3， kBC＝ ＝－ . 2 － 3－（－ 4） 6－ 2
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利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则 直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相 等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含 有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
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1． 已知两直线的斜率存在， 两直线平行⇔两直线的斜率相 等且在坐标轴上的截距不等． 2．已知两直线的斜率不存在时，只要不重合，两直线就平 行.
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(1)已知三角形三个顶点的坐标为 A(4，2)，B(1， －2)，C(－2，4)，则 BC 边上的高的斜率为( )
1 1 A．2 B．－2 C. D．－ 2 2 (2)判断下列各小题中的直线 l1 与直线 l2 是否垂直．
① l1 经过点 A(－1，－2)，B(1，2)，l2 经过点 M(－ 2，－1)， N(2， 1)； ② l1 经过点 A(3， 4)，B(3，－20)，l2 经过点 M(5，－ 10)， N(－5，－10)．
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(1)(2014· 南京模拟)如果两条直线 l1：x＋ a2y＋ 6＝ 0 与 l2：(a－ 2)x＋ 3ay＋ 2a＝ 0 平行，则实数 a 的值是 ________． (2)判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行； ① l1 经过点 A(－ 1， － 2)， B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－ 1，－ 1)； ② l1 的斜率为 1， l2 经过点 A(1， 1)，B(2， 2)；
1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( (2)若 l1∥ l2，则 k1＝ k2.( ) )
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜 率存在，则两直线相交．( ) )
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (
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【思路探究】 (1)利用斜率乘积等于－1， 求出 BC 边上的 高的斜率． (2)求出斜率，利用 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 或一条直线斜率为 0，另一条斜率不存在来判断．
【自主解答】
(1)BC 边上的高所在的直线与 BC 边所在
4＋2 的直线垂直而 kBC＝ ＝－2，所以 BC 边上的高的斜率 k －2－1 1 1 ＝－ ＝ . kBC 2
【 解析】
5－1 利用斜 率相等 可以作 出判断， 因为 ＝ 0－2
1－7 ＝－2，所以，选 C. 2－（－1）
【答案】
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C
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4．(教材改编)经过点 A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则 m＝________.
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
________⇔两直线斜率都 对应关系 l1∥l2⇔________ 不存在
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图示
【答案】
k1＝k2
l1∥l2
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二、两条直线垂直与斜率之间的关系
【自主解答】
(1)若 a＝0，则 l1：x＋6＝ 0，l2：x＝ 0 两
1 直线平行，满足条件．若 a≠ 0，则直线 l1 的斜率为－ 2， y 轴 a 2－a 6 2 上的截距为－ 2， 直线 l2 的斜率为 ， 在 y 轴上的截距为－ ， a 3a 3 1 2－ a 由－ 2＝ 得 a＝3 或－1. a 3a 当 a＝3 时，两直线 l1 与 l2 重合． 综上， a 的值为－1 或 0.
【思路点拨】 a的值
(1) xC≠xD 斜率存在 ,Ｆ l1∥l2 → k1＝k2 →
(2) l1⊥l2 → 分情况讨论 → 求a的值
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【满分样板】 设直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2 则 2－a a k1＝ ，k2＝－ . 3 a－4 2－a a (1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，即 ＝－ . 3 a－4 ∴a＝1 或 a＝6.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 经检验，当 a＝1 或 a＝6 时，l1∥l2.
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分类讨论思想在直线方程中的应用 (12 分)已知直线 l1 经过点 A(3， a)， B(a－ 1，2)， 直线 l2 经过点 C(1，2)， D(－ 2， a＋ 2)． (1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值．
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∴kAB＝kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， ∴AB∥CD. 由 kAD≠kBC，∴AD 与 BC 不平行． 1 又 kAB·kAD＝ ×(－3)＝－1， 3 ∴AB⊥AD. 故四边形 ABCD 为直角梯形．
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利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤
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已知矩形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0，1)，B(1， 0)，C(3，c)(c 为常数)，求第四个顶点 D 的坐标．
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1． 两条直线的平行与垂直关系可以用代数方法判断：若不 重合的两条直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1＝ k2⇔l1∥l2； k1·k2＝－1⇔l1⊥ l2. 2．当两条不重合的直线的斜率都不存在时，两直线平行； 当一条直线的斜率不存在，另一条斜率为 0 时两直线垂直．
对应 关系
l1 与 l2 的斜率都存在， 分别为 k1， k2，则 l1 ⊥ l2⇔ ________
l1 与 l2 中的一条斜率 不存在，另一条斜率 为零，则 l1 与 l2 的位 置关系是 ________
图示
【答案】
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k1·k2＝－1 l1⊥l2
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③l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2， 0)； ④l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5，5)．
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【解析】 设两直线的斜率分别为 k1， k2， 则 k1· k2＝－1， 故 l1 与 l2 垂直．
【答案】
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)
D
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3．下列各组点中，在同一直线上的是( A． (－ 2， 3)， (－ 7， 5)，(3，－5) B． (3， 0)， (6，－4)， (－1，－3) C． (0， 5)，(2， 1)，(－ 1， 7) D． (0， 1)，(3， 4)，(－ 1，－1) )
2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直． (难点)
率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨 论．(易错点)
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一、两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，斜率存 在时斜率分别为 k1，k2.则对应关系如下：
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判断本题(2)中的①中直线 AM 和直线 BM 是否垂直．
【解】
－2－（－1） 直线 AM 的斜率为：kAM＝ ＝－1， －1－（－2）
2－（－1） 直线 BM 的斜率为 kBM＝ ＝1， 1－（－2） 因为 kAM·kBM＝－1， 所以直线 AM 与直线 BM 垂直.
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【答案】
C
2－（－2） (2)①直线 l1 的斜率 k1＝ ＝ 2，直线 l2 的斜率 k2 1－（－1） 1－（－1） 1 ＝ ＝ ，k1k2＝1，故 l1 与 l2 不垂直． 2－（－2） 2 ②因为 A、 B 的横坐标都是 3，所以 l1 的倾斜角为 90°， －10－（－ 10） 则 l1⊥ x 轴，直线 l2 的斜率为 k2＝ ＝0，则 l2∥ 5－（－5） x 轴，故 l1⊥ l2.
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【自主解答】 图，由斜率公式可得 A、B、 C、 D 四点在坐标平面内的位置如
5－ 3 0－ 3 1 1 kAB ＝ ＝ ， kCD＝ ＝ ， 2－（－ 4） 3 － 3－ 6 3 0－ 3 3－ 5 1 kAD＝ ＝－ 3， kBC＝ ＝－ . 2 － 3－（－ 4） 6－ 2
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利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则 直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相 等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含 有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
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1． 已知两直线的斜率存在， 两直线平行⇔两直线的斜率相 等且在坐标轴上的截距不等． 2．已知两直线的斜率不存在时，只要不重合，两直线就平 行.
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(1)已知三角形三个顶点的坐标为 A(4，2)，B(1， －2)，C(－2，4)，则 BC 边上的高的斜率为( )
1 1 A．2 B．－2 C. D．－ 2 2 (2)判断下列各小题中的直线 l1 与直线 l2 是否垂直．
① l1 经过点 A(－1，－2)，B(1，2)，l2 经过点 M(－ 2，－1)， N(2， 1)； ② l1 经过点 A(3， 4)，B(3，－20)，l2 经过点 M(5，－ 10)， N(－5，－10)．
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(1)(2014· 南京模拟)如果两条直线 l1：x＋ a2y＋ 6＝ 0 与 l2：(a－ 2)x＋ 3ay＋ 2a＝ 0 平行，则实数 a 的值是 ________． (2)判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行； ① l1 经过点 A(－ 1， － 2)， B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－ 1，－ 1)； ② l1 的斜率为 1， l2 经过点 A(1， 1)，B(2， 2)；
1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．( (2)若 l1∥ l2，则 k1＝ k2.( ) )
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜 率存在，则两直线相交．( ) )
(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． (
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【思路探究】 (1)利用斜率乘积等于－1， 求出 BC 边上的 高的斜率． (2)求出斜率，利用 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 或一条直线斜率为 0，另一条斜率不存在来判断．
【自主解答】
(1)BC 边上的高所在的直线与 BC 边所在
4＋2 的直线垂直而 kBC＝ ＝－2，所以 BC 边上的高的斜率 k －2－1 1 1 ＝－ ＝ . kBC 2
【 解析】
5－1 利用斜 率相等 可以作 出判断， 因为 ＝ 0－2
1－7 ＝－2，所以，选 C. 2－（－1）
【答案】
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C
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4．(教材改编)经过点 A(m，1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1，2)，Q(－5，0)的直线平行，则 m＝________.
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
________⇔两直线斜率都 对应关系 l1∥l2⇔________ 不存在
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图示
【答案】
k1＝k2
l1∥l2
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二、两条直线垂直与斜率之间的关系
【自主解答】
(1)若 a＝0，则 l1：x＋6＝ 0，l2：x＝ 0 两
1 直线平行，满足条件．若 a≠ 0，则直线 l1 的斜率为－ 2， y 轴 a 2－a 6 2 上的截距为－ 2， 直线 l2 的斜率为 ， 在 y 轴上的截距为－ ， a 3a 3 1 2－ a 由－ 2＝ 得 a＝3 或－1. a 3a 当 a＝3 时，两直线 l1 与 l2 重合． 综上， a 的值为－1 或 0.
【思路点拨】 a的值
(1) xC≠xD 斜率存在 ,Ｆ l1∥l2 → k1＝k2 →
(2) l1⊥l2 → 分情况讨论 → 求a的值
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【满分样板】 设直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2 则 2－a a k1＝ ，k2＝－ . 3 a－4 2－a a (1)若 l1∥l2，则 k1＝k2，即 ＝－ . 3 a－4 ∴a＝1 或 a＝6.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 经检验，当 a＝1 或 a＝6 时，l1∥l2.
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分类讨论思想在直线方程中的应用 (12 分)已知直线 l1 经过点 A(3， a)， B(a－ 1，2)， 直线 l2 经过点 C(1，2)， D(－ 2， a＋ 2)． (1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值．
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∴kAB＝kCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， ∴AB∥CD. 由 kAD≠kBC，∴AD 与 BC 不平行． 1 又 kAB·kAD＝ ×(－3)＝－1， 3 ∴AB⊥AD. 故四边形 ABCD 为直角梯形．
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1． 两条直线的平行与垂直关系可以用代数方法判断：若不 重合的两条直线 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则 k1＝ k2⇔l1∥l2； k1·k2＝－1⇔l1⊥ l2. 2．当两条不重合的直线的斜率都不存在时，两直线平行； 当一条直线的斜率不存在，另一条斜率为 0 时两直线垂直．
对应 关系
l1 与 l2 的斜率都存在， 分别为 k1， k2，则 l1 ⊥ l2⇔ ________
l1 与 l2 中的一条斜率 不存在，另一条斜率 为零，则 l1 与 l2 的位 置关系是 ________
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k1·k2＝－1 l1⊥l2
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③l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2， 0)； ④l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)， N(5，5)．
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【解析】 设两直线的斜率分别为 k1， k2， 则 k1· k2＝－1， 故 l1 与 l2 垂直．
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D
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3．下列各组点中，在同一直线上的是( A． (－ 2， 3)， (－ 7， 5)，(3，－5) B． (3， 0)， (6，－4)， (－1，－3) C． (0， 5)，(2， 1)，(－ 1， 7) D． (0， 1)，(3， 4)，(－ 1，－1) )
2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直． (难点)
率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨 论．(易错点)
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一、两条直线平行与斜率之间的关系 设两条不重合的直线 l1，l2，倾斜角分别为 α1，α2，斜率存 在时斜率分别为 k1，k2.则对应关系如下：
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判断本题(2)中的①中直线 AM 和直线 BM 是否垂直．
【解】
－2－（－1） 直线 AM 的斜率为：kAM＝ ＝－1， －1－（－2）
2－（－1） 直线 BM 的斜率为 kBM＝ ＝1， 1－（－2） 因为 kAM·kBM＝－1， 所以直线 AM 与直线 BM 垂直.
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