年湖北省荆门市中考数学试题及答案
湖北省荆门市2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)
湖北省荆门市2021年中考数学试卷一、单选题1.（2021·荆门）2021的相反数的倒数是（）.A. -2021B. 2021C. −12021D. 12021【答案】C【考点】相反数及有理数的相反数，有理数的倒数【解析】【解答】解：2021的相反数是：-20212021的相反数的倒数是：−12021故答案为：C.【分析】先求出2021的相反数，再求出相反数的倒数即可.2.（2021·荆门）“绿水青山就是金山银山”.某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.102×108元资金.数据1.102×108用科学记数法可表示为（）A. 10.12亿B. 1.012亿C. 101.2亿D. 1012亿【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：1.102×108=110200000=1.102亿，故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.3.（2021·荆门）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意.B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意.故答案为：C.【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐一判断即可. 4.（2021·荆门）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（ ）A. 传B. 国C. 承D. 基【答案】 D【考点】几何体的展开图【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面.故答案为：D.【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此判断即可.5.（2021·荆门）下列运算正确的是（ ）A. (−x 3)2=x 5B. √(−x)2=xC. (−x)2+x =x 3D. (−1+x)2=x 2−2x +1【答案】 D【考点】完全平方公式及运用，二次根式的性质与化简，合并同类项法则及应用，幂的乘方【解析】【解答】解：∵ (−x 3)2=x 6 ，∴A 计算错误;∵ √(−x)2=|x | ，∴B 计算错误;∵ (−x)2 +x 无法运算，∴C 计算错误;∵ (−1+x)2=x 2−2x +1 ，∴D 计算错误;故答案为：D.【分析】根据幂的乘方、二次根式的性质、合并同类项、完全平方公式分别进计算，然后判断即可. 6.（2021·荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A. {y =x +4.512y =x −1B. {y =x −4.512y =x +1 C. {y =x +4.52y =x −1 D. {y =x −4.52y =x +1 【答案】 A【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题【解析】【解答】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为：{y =x +4.512y =x −1 ， 故答案为：A.【分析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，根据：绳长=木条+4.5；12绳长=木条-1，列出方程组即可. 7.（2021·荆门）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设 ∠1=30° ，那么 ∠2= （ ）A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°【答案】 C【考点】平行线的判定与性质，平行四边形的性质【解析】【解答】解：如图，延长EG 交AB 于H ，∵∠BMF=∠BGE=90°，∴MF//EH ，∴∠BFM=∠BHE ，∵ ∠1=30° ，∴∠BFM=∠BHE=60°，∵在平行四边形ABCD 中，DC//AB ，∴∠DEH=∠BHE=60°，∵∠GEN=45°，∴ ∠2=180°−60°−45°=75° ，故答案为：C.【分析】延长EG 交AB 于H ，由∠BMF=∠BGE=90°，可得MF//EH ，利用平行线的性质可得∠BFM=∠BHE=60°，由平行线的性质可得∠DEH=∠BHE=60°，利用平角的定义可得∠2=180°-∠DEH-∠GEN ，从而求出结论.8.（2021·荆门）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，若 ∠P =70° ，则 ∠ABO = （）A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°【答案】B【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，切线的性质【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA=PB∴∠PAB=∠PBA∵∠P=70°∴∠PBA=(180°−70°)÷2=55°∵OB⊥PB∴∠OBP=90°∴∠ABO=90°−55°=35°故答案为：B.【分析】根据切线的性质可得PA=PB，利用等边对等角可得∠PAB=∠PBA，利用三角形内角和求出∠PBA=55°，根据垂直的定义可得∠OBP=90°，利用∠ABO=∠OBP-∠PBA即可求出结论.(k≠0)的大致图象是（）9.（2021·荆门）在同一直角坐标系中，函数y=kx−k与y=k|x|A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④【答案】B【考点】反比例函数的图象，一次函数图象、性质与系数的关系【解析】【解答】解：当k＞0时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，函数的y=k|x|(k≠0)（k≠0）的图象在一、二象限，故答案为：②的图象符合要求.当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，函数的y=k|x|(k≠0)（k≠0）的图象经过三、四象限，故答案为：③的图象符合要求.故答案为：B.【分析】分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，据此分别判断一次函数及y=k|x|(k≠0)的图象是否一致即可.10.（2021·荆门）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A(1,0)，B(m,0)（−2< m<−1），下列结论：① 2b+c>0；② 2a+c<0；③ a(m+1)−b+c>0；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，则4ac−b2<4a.其中正确结论的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【考点】一元二次方程根的判别式及应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下∴a<0把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0∴am2+bm=a+b∴am2+bm−a−b=0(m−1)(am+a+b)=0∵−2<m<−1∴am+a+b=0∴am=c,a(m+1)=−b∴c>0∴−1<m+1<0∵m+1<0∴−12<m+12<0∴−12<−b2a<0∴1>ba>0∴a<b<0① 2b+c=2b−a−b=b−a>0，故①正确；② 2a+c=2a−a−b=a−b<0，故②正确；③ a(m+1)−b+c=−2b+c=−2b−a−b=−3b−a>0，故③正确；；④若方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，即ax2−a(m+1)x+am−1=0Δ=a2(m+1)2−4a(am−1)=a2(m+1)2−4a2m+4a=b2−4a2⋅−a−ba+4a=b2+4a2+4ab+4a=b2+4a(a+b)+4a=b2−4ac+4a>0∴4ac−b2<4a，故④正确，即正确结论的个数是4，故答案为：A.【分析】根据抛物线的开口方向，可得a<0，把A(1,0)，B(m,0)代入y=ax2+bx+c得{a+b+c=0am2+bm+c=0，结合已知可求出c>0，a<b<0，c=-a-b，am2+bm−a−b=0，从而求出am+a+b=0，将c=-a-b分别代入①②中，可得2b+c=b−a>0，2a+c=a−b< 0，据此判断①②；将am+a+b=0代入③得a(m+1)−b+c=−2b+c=−3b−a>0，据此判断③；由方程a(x−m)(x−1)−1=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，先将方程化为一般式，由△＞0求出结论，然后判断④即可.二、填空题11.（2021·荆门）计算：|1−√2|+(12)−1+2cos45°+(−1)0=________.【答案】2√2+2【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：|1−√2|+(12)−1+2cos45°+(−1)0=√2−1+2+2×√22+1=√2−1+2+√2+1=2√2+2.故答案为：2√2+2.【分析】根据绝对值的性质、负整数幂的性质、特殊角三角函数值，零指数幂的性质分别进行计算，再合并即可.12.（2021·荆门）把多项式x3+2x2−3x因式分解，结果为________.【答案】x(x+3)(x-1)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】【解答】解：x3+2x2−3x＝x(x2+2x−3)＝x(x+3)(x−1).故答案为：x(x+3)(x-1).【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解即可.13.（2021·荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB=30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx(k≠0)的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC=30°，则点M的坐标为________.【答案】(√3,1)【考点】含30°角的直角三角形，特殊角的三角函数值，坐标与图形变化﹣旋转，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴，过点M作MF⊥x轴，由题意可知∠EOC=∠MOF=30°，CE=1则OE=CEtan30°=√3，C在y=kx(k≠0)上，∴k=√3设M(√3m,m)(m>0)∵∠MOF=30°∴tan∠MOF=√33即 √3m =√33 解得 m =1,m =−1 （不符合题意，舍去）所以 M(√3,1)故答案为： (√3,1) .【分析】过点 C 作 CE ⊥y 轴，过点 M 作 MF ⊥x 轴，先求出OE =CE tan30°=√3 ， 可得点C （1，√33），设 M(√3m ,m) (m >0) ， 由tan ∠MOF =tan30°=√33=MF OF ， 据此求出m 值即可. 14.（2018·新乡模拟）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以A 、D 为圆心，2为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】 2 √3 ﹣ 2π3【考点】扇形面积的计算【解析】【解答】解：如图所示,过点F 作FE ⊥AD 于点E ，∵正方形ABCD 的边长为2，∴AE= 12 AD= 12 AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF= √3 ．∴S 弓形AF =S 扇形ADF －S △ADF = 60π×4360−12×2×√3=23π−√3 ， ∴ S 阴影=2(S 扇形BAF －S 弓形AF )=2×[ 30π×4360−(23π−√3) ]=2×( 13π−23π+√3 )= 2√3−23π ． 【分析】由图知S 阴影=2(S 扇形BAF －S 弓形AF )，S 弓形AF =扇形DAF-三角形DAF ，将已知条件代入即可求解。
湖北省荆门市中考数学试题及答案
荆门市初中毕业生学业水平及升学考试数 学 试 题 卷本试题卷共6页。
满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，将准考证 条形码粘贴在答题卡上的指定位置，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否 正确。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，必须先用橡皮擦干净后，再选涂另一个答案标号。
答案写在试题卷上一律无 效。
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上每题对应的答题区域内。
答案写在试题卷上一律无效。
3.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分） 1．－6的倒数是A ．6B ．－6C ．61D ．－612．小明上网查得H7N9禽流感病毒的直径大约是0.00000008米，用科学记数法表示为A ．0.8×107-米 B ．8×107-米C ．8×108-米D ．8×109-米3．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的 俯视图为A. B.C.D.4．下列运算正确的是A ．8a ÷2a =4aB ．325)(a a a -=--C ．523)(a a a =-⋅D ．b a 35+机密★启用前人数5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名 学生参赛成绩统计如图所示. 对于这10名学生的参赛成 绩，下列说法中错误．．的是 A ．众数是90B ．中位数是90C ．平均数是90D ．极差是156．若反比例函数y =xk的图象过点（-2, 1）则一次函数k kx y -=的图象过 A ．第一、二、四象限 B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、三象限7．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件：①AD ∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种8．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l 与底面半径r 的关系是A ．r l 2=B ．r l 3=C ．r l =D ．r l 23=9．若关于x 的一元一次不等式组 有解，则m 的取值范围为A ．32->mB ．m ≤32 C ．32>mD ．m ≤ 32-10．在平面直角坐标系中，线段OP 的两个端点坐标分别是O （0，0），P (4，3)，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°到OP ′位置，则点P ′的坐标为 A ．（3，4）B ．（-4，3）C ．（-3，4）D ．（4，-3）11．如图，在半径为1的⊙O 中，∠AOB =45°,则sin C 的值为A ．22B ．222- C ．222+D ．42 12．如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD ∥BC ，若动直 线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是02<-m x 2>+m x 45°OCyADl ss二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 13．分解因式：=-642x .14．若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为 .15．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线 交AC 于点E ，BC =6，53sin =A ， 则DE = .16．设1x ，2x 是方程020132=--x x 的两实数根，则=-+20132014231x x . 17．若抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且过点)(n m A ，，)6(n m B ，+.则=n .三、解答题（本大题共7小题，共69分） 18．（本题满分8分）⑴计算：︒--++-60tan 3)1(8)5(201330π⑵化简求值：⋅+-÷++-2344922a a a a a 31+a ，其中25-=a19．（本题满分9分）如图，在∆ABC 中，AB =AC ，点DBAC ED是BC 的中点，点E 在AD 上. ⑴求证：BE =CE ；⑵若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ,垂足为 F ，∠BAC =45°，原题设其它条件不变. 求证：∆AEF ≌∆BCF .20．（本题满分10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时： ⑴求三辆车全部同向而行的概率； ⑵求至少有两辆车向左转的概率；⑶由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时 段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为52，向左转和直行的频 率均为103.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿 灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向 的绿灯亮的时间做出合理的调整.21．（本题满分10分）A 、B 两市相距150千米，分别从A 、B 处测得国家级风景区中心C 处的方位角如图所示，风景区区域是以C 为圆心，45千米为半径的圆，tan α=1.627， tan β=1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB 两市的高速公路.问连接AB 高速 公路是否穿过风景区，请说明理由.E AFβα北北CA B22．（本题满分10分）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出 了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积（平方米） 单价（万元/平方米）不超过30（平方米）0.3 超过30平方米不超过m （平方米）部分（45≤m ≤60） 0.5 超过m 平方米部分 0.7根据这个购房方案：⑴若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；⑵设该家庭购买商品房的人均面积为x 平方米，缴纳房款y 万元，请求出y 关于x 的 函数关系式；⑶若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y 万元，且 57<y ≤60 时， 求m 的取值范围.23．（本题满分10分）如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线， 交AD 于点F ，切点为E .⑴求证：OF ∥BE ；⑵设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ， 使∆EFO ∽∆EHG (E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点)，如果存在，试求⑵中x 和y 的 值，如果不存在，请说明理由.24．（本题满分12分）已知关于x 的二次函数m m mx x y ++-=222的图象与关于x 的函数1+=kx y 的图象交于两点),(11y x A 、),(22y x B ；)(21x x <⑴当==m k ,10，1时，求AB 的长；C A ED C BOMF OMPEH （图1） （图2）⑵当m k ,1=为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想. ⑶当m =0，无论k 为何值时，猜想∆AOB 的形状. 证明你的猜想. （平面内两点间的距离公式212212)()(y y x x AB -+-=）.荆门市初中毕业生学业水平及升学考试数学参考答案及评分标准一、 选择题（每小题3分，共36分） 1~6 DCBCCA 7~12 BACCBA 二、 填空题（每小题3分，共15分） 13、（x -8）•(x +8) 14、50°或80° 15、41516、 17、9 三、 解答题（本题包括7个小题，共69分） 18、（共8分）解：（1）原式=1+2-1-3×3 = -1 ………………………4＇ （2）原式=21+a 代入a 值得原式=55………………………4＇19、证明：（1）∵AB =AC ，D 是BC 的中点∴∠BAE =∠EAC 在∆ABE 和∆ACE 中， ∵AB =AC , ∠BAE =∠EAC ,AE =AE ∴∆ABE ≌∆ACE∴BE =CE ………………………5＇ (2) ∵∠BAC =45°,BF ⊥AF∴∆ABF 为等腰直角三角形，∴AF =BF , 由（1）知AD ⊥BC ∴∠EAF =∠CBF在∆AEF 和∆BCF 中,AF =BF , ∠AFE ＝∠BFC =90°∠EAF =∠CBF ∴∆AEF ≌∆BCF ………………………4＇20、根据题意，画出树形图直左右 左 直 直右 左 直 右右左 直 左左右 左 直 直右 左 直 右右 左 直 右左左 左 直 直右 左 直 右右左 直P （三车全部同向而行）=91………………………4＇ （2）P （至少两辆车向左转）=277………………………3＇（3）由于汽车向右转、向左转、直行的概率分别为103,103,52，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮时间为90×3/10=27（秒），直行绿灯亮时间为90×3/10=27（秒） 右转绿灯亮的时间为90×2/5=36（秒） ………………………3＇21、AB 不穿过风景区.如图，过C 作CD ⊥AB 与D ，AD =CD ·tan α；BD =CD ·tan β ………………………4＇ 由AD +DB =AB ，得CD ·tan α+CD ·tan β=AB ………………………2＇ CD =βαtan tan +AB =503150373.1627.1150==+（千米） ……………………3＇∵CD =50＞45 ∴高速公路AB 不穿过风景区. ………………………1＇22、解：（1）三口之家应缴购房款为0.3×90＋0.5×30=42（万元）…………………4＇ （2）①当0≤x ≤30时,y=0.3×3x=0.9x②当30＜x ≤m 时,y=0.9×30+0.5×3×(x-30)=1.5x-18 ③当x ＞m 时,y=1.5m-18+0.7×3×(x-m)=2.1x-18-0.6m0.9x (0≤x ≤30)1.5x-18 ( 30＜x ≤m ） (45≤m ≤60) ………3＇2.1x －18－0.6m （x ＞m ）(3) ①当50≤m ≤60时，y=1.5×50-18=57(舍)②当45≤m ﹤50时,y=2.1×50-0.6m-18=87－0.6m ∵57＜87－0.6m ≤60 ∴45≤m ＜50综合①②得45≤m ＜50. ……………3＇23、（1）证明：连接OEFE 、FA 是⊙O 的两条切线 ∴∠FA O =∠FEO =90° FO =FO ，OA =EO ∴Rt △FAO ≌Rt △FEO ∴∠AOF =∠EOF=21∠AOE ∴∠AOF =∠ABE∴OF ∥BE ………………4＇（2）、过F 作FQ ⊥BC 于Q∴PQ =BP －BQ =x －yy=PF =EF ＋EP =FA ＋BP =x ＋y ∵在Rt △PFQ 中 ∴2FQ ＋22PF QP=∴222)()(2y x y x +=-+化简得xy 1=，（1＜x ＜2） ………………3＇ （3）、存在这样的P 点∵∠EOF =∠AOF∴∠EHG =∠EOA =2∠EOF 当∠EFO =∠EHG =2∠EOF 时即∠EOF =30°时，Rt △EFO ∽Rt △EHG 此时Rt △AFO 中，y =AF =OA ·tan30°=33 31==y x ∴当33,3x ==y 时，△EFO ∽△EHG ………………3＇24、解：（1）当m=0时，2x y =联立得012=--x x∴x 1＋x 2=1 x 1·x 2=－1AB =2AC =2| x 2- x 1|=2212124)(x x x x -+=10同理，当k =1，m =1时，AB =10 ………………4＇(2)猜想：当k =1，m 为任何值时，AB 的长不变，即AB =10 下面证明： 联立 y =x 2-2mx +m 2+my =x +1消y 整理得 x2-（2m +1）x +m 2+m -1=0∴x 1＋x 2=2m+1 ，x 1·x 2= m2+m -1AB =2AC =2| x 2- x 1|=2212124)(x x x x -+=10， ………………4＇(3)当m =0，k 为任意常数时，三角形AOB 为直角三角形，y =x 2y =x +1①当k=0时，则函数的图像为直线y=1, 则由y=x2y=1得A（－1,1），B（1，1）显然∆AOB为直角三角形②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1,则由y=x2y=x+1x2-x-1=0x1＋x2=1 x1·x2=-1AB=2AC=2| x2- x1|=2212124)(xxxx-+=10A(x1,y1) 、B(x2,y2)∴AB²=10OA²+OB²=x1²+ y1²+x2²+ y2²=10∴AB²=OA²+OB²(3)当k为任意实数，∆AOB仍为直角三角形联立y=x2y=kx+1得x2-kx-1=0x1＋x2=k x1·x2= -1AB²=(x1-x2)²-+ (y1-y2)²=k4+5k ²+4OA ²+OB ²=x1²+ y1²+x2²+ y2²=k4+5k ²+4∴AB²=OA²+OB ²∴∆AOB为直角三角形……………4＇。
2022年湖北省荆门市中考数学试题及精品解析
2022年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果|x|=2，那么x=( )A. 2B. −2C. 2或−2D. 2或−122.纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=0.000000001m，将数据0.000000001用科学记数法表示为( )A. 10−10B. 10−9C. 10−8D. 10−73.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC=30，∠A=45°，∠C=90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为( )A. 20√3B. 60C. 30√2D. 304.若函数y=ax2−x+1(a为常数)的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )A. a=14B. a≤14C. a=0或a=−14D. a=0或a=145.对于任意实数a，b，a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)恒成立，则下列关系式正确的是( )A. a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)B. a3−b3=(a+b)(a2+ab+b2)C. a3−b3=(a−b)(a2−ab+b2)D. a3−b3=(a+b)(a2+ab−b2)6.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为( )A. 120mB. 60√3mC. 60√5mD. 120√3m7.如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB=12，BE=3，则四边形ACBD的面积为( )A. 36√3B. 24√3C. 18√3D. 72√38.抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若y1<y2，则下列结论正确的是( )A. 0≤x1<x2B. x2<x1≤0C. x2<x1≤0或0≤x1<x2D. 以上都不对(x<0)图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x 9.如图，点A，C为函数y=kx轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的时，k的值为( )中点．当△AEC的面积为34A. −1B. −2C. −3D. −410.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的对称轴为x=−2，过点(1,−2)和点(x0,y0)，且c>0.有下列结论：①a<0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a−2b；③16a+c>4b；④若x0>−4，则y0>c.其中正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）3+cos60°−(−2022)0=______．11.计算：√−1812.八(1)班一组女生的体重(单位：kg)分别是：35，36，38，40，42，42，45.则这组数据的众数为______．13.如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为______．14.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50√2海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t=______小时．15.如图，过原点的两条直线分别为l1：y=2x，l2：y=−x，过点A(1,0)作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，⋯，依次进行下去，则点A20的坐标为______．16.如图，函数y={x2−2x+3(x<2)−34x+92(x≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y=m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1< x2<x3).设t=x1y1+x2y2x3y3，则t的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.已知x+1x=3，求下列各式的值：(1)(x−1x)2；(2)x4+1x4．18.如图，已知扇形AOB中，∠AOB=60°，半径R=3．(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；(2)在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与AB⏜只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．19.如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=x(0<x<8)，将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示)．20.为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：成绩/888990919596979899分学生人21a321321数数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．(1)试确定a的值及测评成绩的平均数x−，并补全条形图；(2)记测评成绩为x，学校规定：80≤x<90时，成绩为合格；90≤x<97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值：(3)从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．21.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上(点C与A，B两点不重合)，OC=3，点D在⊙O上且满足AC=AD，连接DC并延长到E点，使BE=BD．(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE=6，试求cos∠CDA的值．22. 已知关于x 的不等式组{x +1+2a >0x −3−2a <0(a >−1)． (1)当a =12时，解此不等式组；(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a 的取值范围．23. 某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x(元/个)满足40<x <80时，其销售量y(万个)与x 之间的关系式为y =−110x +9.同时销售过程中的其它开支为50万元．(1)求出商场销售这种商品的净利润z(万元)与销售价格x 函数解析式，销售价格x 定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x 的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x 应定为多少元？24. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 过点A(−2,0)，B(4,0)，D(0,−8)．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)如图，抛物线y =ax 2+bx +c 向上平移，使顶点E 落在x 轴上的P 点，此时的抛物线记为C ，过P 作两条互相垂直的直线与抛物线C 交于不同于P 的M ，N 两点(M 位于N 的右侧)，过M ，N 分别作x 轴的垂线交x 轴于点M 1，N 1． ①求证：△PMM 1∽△NPN 1；②设直线MN 的方程为y =kx +m ，求证：k +m 为常数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|±2|=2，∴x=±2．故选：C．利用绝对值的意义，直接可得结论．本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：0.000000001=1×10−9．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=∠A=45°，∴BC=AC=30，∴AB=√AC2+BC2=30√2，故选：C．根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：①函数为二次函数，y=ax2−x+1(a≠0)，∴Δ=1−4a=0，∴a=1，4②函数为一次函数，∴a=0，∴a的值为1或0；4故选：D．由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2−x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)恒成立，∴a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)，故选：A．根据立方差公式，进行分解即可解答．本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握立方差公式是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，×120=60m，∴BC=12∵AC⊥BC，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=120m，∴AC=√1202−602=60√3m.答：这个金字塔原来有60√3米高．故选：B．根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．本题考查的是勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】解：如图，连接OC，∵AB=12，BE=3，∴OB=OC=6，OE=3，∵AB⊥CD，在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，∴CD=2CE=6√3，∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×6√3=36√3．故选：A．根据AB=12，BE=3，求出OE=3，OC=6，并利用勾股定理求出EC，根据垂径定理求出CD，即可求出四边形的面积．本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8.【答案】D【解析】解：∵抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且y1<y2，∴|x1|<|x2|，∴0≤x1<x2，或x2<x1≤0或x2+x1>0，故选：D．根据二次函数的性质判断即可．本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵点E为OC的中点，∴△AEO的面积=△AEC的面积=34，∵点A，C为函数y=kx(x<0)图象上的两点，∴S△ABO=S△CDO，∴S四边形CDBE =S△AEO=34，∵EB//CD，∴△OEB∽△OCD，∴S△OEBS△OCD =(12)2，∴S△OCD=1，则12xy=−1，∴k=xy=−2．故选：B．根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD=1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k 的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的对称轴为x=−2，过点(1,−2)，且c>0，∴抛物线开口向下，则a<0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=−2，∴函数的最大值为4a−2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a−2b+c，即am2+bm≤4a−2b，故②错误；∵对称轴为x=−2，c>0．∴当x=−4时的函数值大于0，即16a−4b+c>0，∴16a+c>4b，故③正确；∵对称轴为x=−2，点(0,c)的对称点为(−4,c)，∵抛物线开口向下，∴若x0>−4，则y0<c，故④错误；故选：B．根据抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的对称轴为x=−2，过点(1,−2)且c>0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．11.【答案】−1【解析】解：√−183+cos60°−(−2022)0=−12+12−1=0−1=−1，故答案为：−1．先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．12.【答案】42【解析】解：在这一组数据中42出现了2次，次数最多，故众数是42．故答案为：42．众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解．此题考查众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数有时不止一个．13.【答案】18【解析】解：∵CG：GF=2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6=9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积=△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9=18，故答案为：18．根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．14.【答案】(1+√3)【解析】解：如图：由题意得：∠PAC=45°，∠PBA=30°，AP=100海里，在Rt△APC中，AC=AP⋅cos45°=100×√22=50√2(海里)，PC=AP⋅sin45°=100×√22=50√2(海里)，在Rt△BCP中，BC=PCtan30∘=√2√33=50√6(海里)，∴AB=AC+BC=(50√2+50√6)海里，∴t=√2+50√650√2=(1+√3)小时，故答案为：(1+√3).根据题意可得：∠PAC=45°，∠PBA=30°，AP=100海里，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义求出AC，PC的长，再在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AB的长，最后根据时间=路程÷速度，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15.【答案】(32,−32)【解析】解：当x=1时，y=2，∴点A1的坐标为(1,2)；当y=−x=2时，x=−2，∴点A2的坐标为(−2,2)；同理可得：A3(−2,−4)，A4(4,−4)，A5(4,8)，A6(−8,8)，A7(−8,−16)，A8(16,−16)，A9(16,32)，…，∴A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)．∵20=5×4，∴点A20的坐标为(22+2,−22+2)，即(32,−32)．故答案为：(32,−32)．写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)”，依此规律结合20=5×4即可找出点A20的坐标．本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1(22n,22n+1)，A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2)，A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数)”是解题的关键．16.【答案】35<t<1【解析】解：由二次函数y=x2−2x+3(x<2)可知：图象开口向上，对称轴为x=1，∴当x=1时函数有最小值为2，x1+x2=2，由一次函数y=−34x+92(x≥2)可知当x=2时有最大值3，当y=2时x=103，∵直线y=m(m为常数)相交于三个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1<x2< x3)，∴y1=y2=y3=m，2<m<3，∴2<x3<103，∴t=x1+x2x3=2x3，∴35<t<1．故答案为：根据A、B关于对称轴x=1对称，可知x1+x2=2，由直线y=m(m为常数)相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．17.【答案】解：(1)∵(x+1x )2=x2+2⋅x⋅1x+1x2∴(x−1x )2=x2−2⋅x⋅1x+1x2=x2+2x⋅1x +1x2−4x⋅1x=(x+1x )2−4x⋅1x=32−4 =5；(2)∵(x−1x )2=x2−2+1x2，∴x2+1x2=(x−1x)2+2 =5+2=7，∵(x2+1x2)2=x4+2+1x4，∴x4+1x4=(x2+1x2)2−2=49−2=47．【解析】(1)利用完全平方公式的特征得到：(a−b)2=(a+b)2−4ab，用上述关系式解答即可；(2)将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵∠AOB=60°，半径R=3，∴S=60π×32360=3π2，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴S△OAB=9√34，∴阴影部分的面积S阴=3π2−9√34．(2)设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，∴∠EOO1=12∠AOB=30°，∠OEO1=90°，在Rt△OO1E中，∵∠EOO1=30°，∴OO1=2O1E，∴O1E=1，∴⊙O1的半径O1E=1．∴S1=πr2=π．【解析】(1)根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；(2)先求出⊙P的半径，再利用阴影部分面积=扇形的面积−圆的面积进行计算．本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得：BC=CE，∠E=∠B=90°，∴∠E=∠D=90°，AD=CE，在△CEF与△ADF中，{∠ CFE=∠AFD ∠D=∠E=90°AD=CE，∴△CEF≌△ADF(AAS)；(2)解：设DF=a，则CF=8−a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD=BC=x，∴∠DCA=∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC=∠BAC，∴∠DCA=∠EAC，∴AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2=AF2，∴x2+a2=(8−a)2，∴a=64−x216，∴tan∠DAF=DFAD =64−x216x．【解析】(1)根据矩形的性质得到∠B=∠D=90°，BC=AD，根据折叠的性质得到BC= CE，∠E=∠B=90°，等量代换得到∠E=∠D=90°，AD=CE，根据AAS证明三角形全等即可；(2)设DF=a，则CF=8−a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF=CF=8−a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换(折叠问题)，根据矩形的性质和折叠的性质证出AF=CF是解题的关键．20.【答案】解：(1)由题意可知，a=20−(2+1+3+2+1+3+2+1)=5，∴a=5，x−=120(88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99)=93，补全的条形统计图如图所示：(2)m=1+220×100=15；n=3+2+120×100=30；(3)从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，故概率为：1230=25．【解析】(1)根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得a的值以及平均数x−的值并补全条形图；(2)根据数据除以总数等于百分比求解；(3)根据简单事件的概率公式求解．本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDE+∠ADC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ACD=∠ECB，∴∠ECB=∠ADC，∵EB=DB，∴∠E=∠BDE，∴∠E+∠BCE=90°，∴∠EBC=180°−(∠E+∠ECB)=90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OC=3，∴AC=AD=AO+OC=3+r，∵BE=6，∴BD=BE=6，在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，∴36+(r+3)2=(2r)2，∴r1=5，r2=−3(舍去)，∴BC=OB−OC=5−3=2，在Rt△EBC中，EC=√EB2+BC2=√62+22=2√10，∴cos∠ECB=BCEC =2√10=√1010，∴cos∠CDA=cos∠ECB=√1010，∴cos∠CDA的值为√1010．【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而可得∠BDE+∠ADC= 90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB=∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E=∠BDE，从而可得∠E+∠BCE=90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC=90°，即可解答；(2)设⊙O的半径为r，则AC=AD=3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r=5，从而求出BC=2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．22.【答案】解：(1)当a=12时，不等式组化为：{x+2>0x−4<0，解得：−2<x<4；(2)解不等式组得：−2a−1<x<2a+3，∵不等式组的解集中恰含三个奇数，∴4<4a+4<5，解得：0<a<0.25．【解析】(1)把a的值代入再求解；(2)先解不等式组，再根据题意列不等式求解．本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．23.【答案】解：(1)z=y(x−30)−50=(−110x+9)(x−30)−50=−110x2+12x−320，当x=−b2a=−122×(−110)=60时，z最大，最大利润为−110×602+12×60−320=40；(2)当z=17.5时，17.5=−110x2+12x−320，解得x1=45，x2=75，∵净利润预期不低于17.5万元，且a<0，∴45≤x≤75，∵y=−110x+9.y随x的增大而减小，∴x=45时，销售量最大．【解析】(1)根据总利润=单价利润×销量−40，可得z与x的函数解析式，再求出x=−b2a =−122×(−110)=60时，z最大，代入即可；(2)当z=17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题．本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键．24.【答案】(1)解：将A(−2,0)，B(4,0)，D(0,−8)代入y=ax2+bx+c，∴{4a−2b+c=0 16a+4b+c=0 c=−8，解得{a=1b=−2 c=−8，∴y=x2−2x−8，∵y=x2−2x−8=(x−1)2−9，∴E(1,−9)；(2)①证明：∵PN⊥PM，第21页，共21页 ∴∠MPN =90°，∴∠NPN 1+∠MPM 1=90°，∵NN 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，∴∠NN 1P =∠MM 1P =90°，∴∠N 1PN +∠PNN 1=90°，∴∠MPM 1=∠PNN 1，∴△PMM 1∽△NPN 1；②证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y =(x −1)2，设N(x 1,kx 1+m)，M(x 2,kx 2+m)，联立方程组y ={y =(x −1)2y =kx +m， 整理得x 2−(2+k)x +1−m =0，∴x 1+x 2=2+k ，x 1⋅x 2=1−m ，∵△PMM 1∽△NPN 1，∴PN 1MM 1=NN 1PM 1，即1−x 1kx 2+m =kx 1+mx 2−1，∴k +m =(k +m)2，∴k +m =1或k +m =0，∵M 、N 与P 不重合，∴k +m =1，∴k +m 为常数．【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；(2)①利用一线三垂直即可证明；②先求平移后的抛物线解析式为y =(x −1)2，设N(x 1,kx 1+m)，M(x 2,kx 2+m)，联立方程组y ={y =(x −1)2y =kx +m，整理得x 2−(2+k)x +1−m =0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=2+k ，x 1⋅x 2=1−m ，再由△PMM 1∽△NPN 1，可得1−x 1kx2+m =kx 1+m x 2−1，整理后可求k +m =1或k +m =0(舍)．本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．。
荆门中考数学试题及答案
荆门中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数y=2x+3，当x=1时，y的值为：A. 5B. 4C. 3D. 22. 以下哪个选项是完全平方数？A. 16B. 18C. 20D. 223. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么第三边的长度为：A. 2B. 3C. 4D. 54. 计算下列有理数的乘积：(-2) × (-3) × 4：A. -24B. 24C. -12D. 125. 如果一个数的平方等于9，那么这个数可能是：B. -3C. 3或-3D. 以上都不是6. 一个圆的直径为10厘米，那么它的周长为：A. 31.4厘米B. 62.8厘米C. 15.7厘米D. 31.8厘米7. 以下哪个选项是不等式2x-3>5的解？A. x>4B. x<4C. x>1D. x<18. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3、4，那么它的体积为：A. 24立方单位B. 12立方单位C. 8立方单位D. 6立方单位9. 已知一个角的补角是120°，那么这个角的度数为：A. 60°B. 30°C. 90°D. 120°10. 计算下列表达式的值：(3+2)^2 - 2^2：A. 9C. 7D. 5二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
12. 一个数除以-1/3等于它本身，这个数是______。
13. 一个三角形的内角和为______度。
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度为______。
15. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
16. 一个圆的半径为5厘米，那么它的面积为______平方厘米。
17. 一个数的绝对值是7，这个数可能是______。
18. 一个长方体的体积是60立方厘米，长宽高比为2:3:5，那么它的高为______厘米。
荆门市中考数学试题及答案解析版
2021年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题〔本题共12小题，每题3分，共36分，每题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的〕1．2的绝对值是〔〕A．2B．﹣2C．D．﹣2．以下运算正确的选项是〔〕2222463222 A．a+2a=2aB．〔﹣2ab〕=4abC．a÷a=aD．〔a﹣3〕=a﹣93．要使式子存心义，那么x的取值范围是〔〕A．x＞1B．x＞﹣1C．x≥1D．x≥﹣14．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的均分线．AB=5，AD=3，那么BC的长为〔〕A．5B．6C．8D．105．在平面直角坐标系中，假定点A〔a，﹣b〕在第一象限内，那么点B〔a，b〕所在的象限是〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．由5个大小同样的小正方体拼成的几何体以下列图，那么以下说法正确的选项是〔〕A．主视图的面积最小C．俯视图的面积最小B．左视图的面积最小D．三个视图的面积相等7．化简的结果是〔〕A．B．C．x+1D．x﹣18．如图，正方形的方向运动到点积y〔cm2〕对于ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿C停止，设点P的运动行程为x〔cm〕，在以下列图象中，能表示x〔cm〕的函数关系的图象是〔〕A→B→C△ADP的面A．B．C．D．9．3是对于x的方程x 2﹣〔m+1〕x+2m=0的一个实数根，而且这个方程的两个实数根恰巧是等腰△ABC的两条边的边长，那么△ABC的周长为〔〕A．7B．10C．11D．10或1122A．x1=0，x2=6B．x1=1，x2=7C．x1=1，x2=﹣7D．x1=﹣1，x2=711．如图，在矩形ABCD中〔AD＞AB〕，点E是BC上一点，且D E=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在以下结论中，不必定正确的选项是〔〕A．△AFD≌△DCEB．AF=ADC．AB=AFD．BE=AD﹣DF12．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是〔A，〕A．12cmB．6cmC．3cmD．2cm二、填空题〔本题共5小题，每题3分，共15分〕13．分解因式：〔m+1〕〔m﹣9〕+8m=．14．为了改良办学条件，学校购买了笔录本电脑和台式电脑共100台，笔录本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，那么购买的笔录本电脑有台．15．荆楚学校为了认识九年级学生“一分钟内跳绳次数〞的状况，随机选用了3名女生和2名男生，那么从这5名学生中，选用2名同时跳绳，恰巧选中一男一女的概率是．16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的地点，将此中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的地点，使点A恰巧落在边DE上，AB与CE订交于点F．∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，那么CF=cm．17．如图，点A〔1，2〕是反比率函数y=图象上的一点，连结AO并延伸交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；假定△PAB 是等腰三角形，那么点P的坐标是．三、解答题〔本题共7小题，共69分〕18．〔1〕计算：|1﹣|+3tan30°﹣〔〕﹣1．〕﹣〔﹣〔2〕解不等式组．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连结EF．1〕增补达成图形；2〕假定EF∥CD，求证：∠BDC=90°．20．秋天新学期开学时，红城中学对七年级重生掌握“中学生平时行为标准〞的状况进行了知识测试，测试成绩所有合格，现学校随机选用了局部学生的成绩，整理并制作成了以下不完好的图表：分数段频数频次60x＜709a≤70≤x＜803680≤x＜9027b90≤x≤100c请依据上述统计图表，解答以下问题：〔1〕在表中，a=，b=，c=；2〕补全频数直方图；3〕依据以上选用的数据，计算七年级学生的均匀成绩．4〕假如测试成绩不低于80分者为“〞800名学生中，“〔优异等次，请你预计全校七年级的优秀〞等次的学生约有多少人？21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800〔1+〕米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．假定小明与小军同时抵达山顶C处，那么小明的行走速度是多少？22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延伸线的一点，AC均分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．1〕求证：CE是⊙O的切线；2〕假定AE=1，CE=2，求⊙O的半径．23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机所有运往C，D两乡，调运任务承包给某运输企业．C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D两乡运送农机的花费分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的花费分别为150元/台和240元/台．〔1〕设A城运往C乡该农机x台，运送所有农机的总花费为W元，求W对于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕现该运输企业要求运送所有农机的总花费不低于16460元，那么有多少种不一样的调运方案？将这些方案设计出来；〔3〕现该运输企业决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元〔a≤200〕作为优惠，其余花费不变，怎样调运，使总花费最少？24．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动〔运动到点O停止〕，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为极点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB订交于点F．〔1〕求点A，点B的坐标；〔2〕用含t的代数式分别表示EF和AF的长；〔3〕当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB能否相像，并说明原因．（4〕能否存在t的值，使△AGF为直角三角形？假定存在，求出这时抛物线的分析式；假定不存在，请说明原因．2021年湖北省荆门市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题〔本题共12小题，每题3分，共36分，每题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的〕1．2的绝对值是〔〕A．2B．﹣2C．D．﹣【考点】绝对值．【剖析】计算绝对值要依据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步依据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵2＞0，|2|=2．应选：A．2．以下运算正确的选项是〔〕A．a+2a=2a2B．〔﹣2ab2〕2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．〔a﹣3〕2=a2﹣9【考点】同底数幂的除法；归并同类项；幂的乘方与积的乘方；完好平方公式．【剖析】依据归并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案．【解答】解：A、归并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；同底数幂的除B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D、差的平方等余平方和减积的二倍，故C错误；D错误；应选：B．3．要使式子存心义，那x的取值范围是〔么〕A．x＞1B．x＞﹣1C．x≥1D．x≥﹣1【考点】二次根式存心义的条件．【剖析】直接利用二次根式存心义的条件从而得出x﹣1≥0，求出答案．【解答】解：要使式子存心义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．那么x的取值范围是：x≥1．应选：C．4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的均分线．AB=5，AD=3，那么B的长C为〔〕A．5B．6C．8D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【剖析】依据等腰三角形的性质获得AD⊥BC，BD=CD，依据勾股定理即可获得结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的均分线，∴AD⊥BC，BD=CD，AB=5，AD=3，∴BD==4，BC=2BD=8，应选C．5．在平面直角坐标系中，假定点A〔a，﹣b〕在第一象限内，那么点B〔a，b〕所在的象限是〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【剖析】依据各象限内点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵点A〔a，﹣b〕在第一象限内，a＞0，﹣b＞0，b＜0，∴点B〔a，b〕所在的象限是第四象限．应选D．6．由5个大小同样的小正方体拼成的几何体以下列图，那么以下说法正确的选项是〔〕A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积相等【考点】简单组合体的三视图．【剖析】依据从正面看获得的图形是主视图，从左侧看获得的图形是左视图，的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左侧一个小正方形，从上面看获得主视图的面积是4；从左侧看第一层是两个小正方形，第二层左侧一个小正方形，左视图的面积为3；从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，俯视图的面积是4，左视图面积最小，故B正确；应选：B．7．化简的结果是〔〕A．B．C．x+1D．x﹣1【考点】分式的混淆运算．【剖析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法那么计算，同时利用除法法那么变形，约分即可获得结果．【解答】解：原式=÷=?=，应选A8．如图，正方形的方向运动到点积y〔cm2〕对于ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿C停止，设点P的运动行程为x〔cm〕，在以下列图象中，能表示x〔cm〕的函数关系的图象是〔〕A→B→C△ADP的面A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【剖析】△ADP的面积可分为两局部议论，由A运动到B时，面积渐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2x＜4时，y=22=2＜××，切合题意的函数关系的图象是A；应选：A．9．3是对于x的方程x 2﹣〔m+1〕x+2m=0的一个实数根，而且这个方程的两个实数根恰巧是等腰△ABC的两条边的边长，那么△ABC的周长为〔〕A．7B．10C．11D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【剖析】把x=3代入方程求得m的值；而后经过解方程求得该方程的两根，的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3〔m+1〕+2m=0，解得m=6，即等腰△ABC那么原方程为x 2﹣7x+12=0，解得x 1=3，x 2=4，由于这个方程的两个根恰巧是等腰 △ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为 4，底边为 3 时，那么△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为 3，底边为 4 时，那么△ABC 的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．应选：D ．10．假定二次函数y=x 2+mx 的对称轴是x=3，那么对于x 的方程x 2+mx=7的解为〔〕A ．x 1=0，x 2=6B ．x 1=1，x 2=7C ．x 1=1，x 2=﹣7D ．x 1=﹣1，x 2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程 -因式分解法．【剖析】先依据二次函数y=x 2+mx 的对称轴是x=3求出m 的值，再把m 的值代入方程x 2+mx=7，求出x 的值即可．2【解答】解：∵二次函数 y=x+mx 的对称轴是x=3，∴﹣ =3，解得m=﹣6，2 2∴对于x 的方程x+mx=7可化为x ﹣6x ﹣7=0，即〔x+1〕〔x ﹣7〕=0，解得x 1=﹣1，x 2=7．11．如图，在矩形 ABCD 中〔AD ＞AB 〕，点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE ，垂足 为点F ，在以下结论中，不必定正确的选项是〔〕A ．△AFD ≌△DCEB ．AF= ADC ．AB=AFD ．BE=AD ﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判断．【剖析】先依据条件判断判断△AFD ≌△DCE 〔AAS 〕，再依据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：〔A 〕由矩形ABCD ，AF ⊥DE 可得∠C=∠AFD=90°，AD ∥BC ，∴∠ADF=∠DEC ．又∵DE=AD ，∴△AFD ≌△DCE 〔AAS 〕，故〔A 〕正确；〔B 〕∵∠ADF 不必定等于30°，∴直角三角形 ADF 中，AF 不必定等于 AD 的一半，故〔B 〕错误；〔C 〕由△AFD ≌△DCE ，可得AF=CD ，由矩形ABCD ，可得AB=CD ，∴AB=AF ，故〔C 〕正确；〔D 〕由△AFD ≌△DCE ，可得CE=DF ，由矩形ABCD ，可得BC=AD ，又∵BE=BC ﹣EC ，BE=AD﹣DF，故〔D〕正确；应选〔B〕12．如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC ，使点B ，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是〔A ， 〕A ．12cmB ．6cmC ．3 cmD ．2 cm【考点】圆锥的计算．【剖析】圆的半径为 2，那么过圆心向 AC 引垂线，利用相应的三角函数可得 A C 的一半的长度，从而求得 AC 的长度，利用弧长公式可求得弧 BC 的长度，圆锥的底面圆的半径 =圆锥的弧长÷2π．【解答】解：作OD ⊥AC 于点D ，连结OA ，∴∠OAD=45°，AC=2AD ，∴AC=2〔OA ×cos45°〕=12 cm ，∴=6π∴圆锥的底面圆的半径 =6 π÷〔2π〕=3 cm ．应选C ．二、填空题〔本题共 5小题，每题 3分，共 15分〕13．分解因式：〔m+1 〕〔m ﹣9〕+8m= 〔m+3 〕〔m ﹣3〕． 【考点】因式分解-运用公式法．【剖析】先利用多项式的乘法运算法那么睁开，归并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：〔m+1〕〔m ﹣9〕+8m ，=m 2﹣9m+m ﹣9+8m ，=m 2﹣9，=〔m+3〕〔m ﹣3〕．故答案为：〔m+3〕〔m ﹣3〕．14．为了改良办学条件，学校购买了笔录本电脑和台式电脑共100台，笔录本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，那么购买的笔录本电脑有16台．【考点】一元一次方程的应用．【剖析】设购买的笔录本电脑有x台，那么购买的台式电脑为台．依据笔录本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，可列出对于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设购买的笔录本电脑有x台，那么购买的台式电脑为台，依题意得：x=﹣5，即20﹣x=0，解得：x=16．∴购买的笔录本电脑有16台．故答案为：16．15．荆楚学校为了认识九年级学生“一分钟内跳绳次数〞的状况，随机选用了3名女生和2名男生，那么从这5名学生中，选用2名同时跳绳，恰巧选中一男一女的概率是．【考点】列表法与树状图法．【剖析】第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得所有等可能的结果与恰巧抽到一男一女的状况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图以下：由树状图可知共有20种等可能性结果，此中抽到一男一女的状况有12种，因此抽到一男一女的概率为P〔一男一女〕=，故答案为：．16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的地点，将此中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的地点，使点A恰巧落在边DE上，AB与CE订交于点F．∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，那么CF= 2cm．【考点】旋转的性质．【剖析】利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．【解答】解：∵将此中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的地点，使点A恰好落在边DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2〔cm〕．故答案为：2．17．如图，点A〔1，2〕是反比率函数y=图象上的一点，连结AO并延伸交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；假定△PAB是等腰三角形，那么点P的坐标是〔﹣3，0〕或〔5，0〕或〔3，0〕或〔﹣5，0〕．【考点】反比率函数图象上点的坐标特点；等腰三角形的性质．【剖析】由对称性可知O为AB的中点，那么当△PAB为等腰三角形时只好有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为〔x，0〕，可分别表示出PA和PB，从而可获得关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比率函数y=图象对于原点对称，∴A、B两点对于O对称，∴O为AB的中点，且B〔﹣1，﹣2〕，∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为〔x，0〕，∵A〔1，2〕，B〔﹣1，﹣2〕，∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，那么有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为〔﹣3，0〕或〔5，0〕；当PB=AB时，那么有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为〔3，0〕或〔﹣5，0〕；综上可知P点的坐标为〔﹣3，0〕或〔5，0〕或〔3，0〕或〔﹣5，0〕，故答案为：〔﹣3，0〕或〔5，0〕或〔3，0〕或〔﹣5，0〕．三、解答题〔本题共7小题，共69分〕18．〔1〕计算：|1﹣|+3tan30°﹣〔〕0﹣〔﹣〕﹣1．〔2〕解不等式组．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】〔1〕第一去掉绝对值符号，计算乘方，代入特别角的三角函数值，而后进行加减计算即可；〔2〕第一解每个不等式，两个不等式的解集的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：〔1〕原式=﹣1+3×﹣1﹣〔﹣3〕=﹣1++3=2；〔2〕解①得x＞﹣，解②得x≤0，那么不等式组的解集是﹣＜x≤0．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连结CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连结EF．1〕增补达成图形；2〕假定EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【考点】旋转的性质．【剖析】〔1〕依据题意补全图形，以下列图；〔2〕由旋转的性质获得∠DCF为直角，由EF与CD平行，获得∠EFC为直角，利用SAS获得三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：〔1〕补全图形，以下列图；2〕由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC〔SAS〕，∴∠BDC=∠EFC=90°．20．秋天新学期开学时，红城中学对七年级重生掌握“中学生平时行为标准〞的状况进行了知识测试，测试成绩所有合格，现学校随机选用了局部学生的成绩，整理并制作成了以下不完好的图表：分数段频数频次60≤x＜709a70≤x＜803680≤x＜9027b90≤x≤100c请依据上述统计图表，解答以下问题：〔1〕在表中，a=，b=，c=18；2〕补全频数直方图；3〕依据以上选用的数据，计算七年级学生的均匀成绩．〔4〕假如测试成绩不低于80分者为“优异〞等次，请你预计全校七年级的800名学生中，“优异〞等次的学生约有多少人？【考点】频数〔率〕散布直方图；用样本预计整体；频数〔率〕散布表；加权均匀数．【剖析】〔1〕依据表格中的数据能够求得抽查的学生数，从而能够求得a、b、c的值；2〕依据〔1〕中c的值，能够将频数散布直方图增补完好；3〕依据均匀数的定义和表格中的数据能够求得七年级学生的均匀成绩；〔4〕依据表格中的数据能够求得“优异〞等次的学生数．【解答】解：〔1〕抽查的学生数：36÷0.4=90，a=9÷，b=27÷，c=90×0.2=18，故答案为：，，18；〔2〕补全的频数散布直方图如右图所示，〔3〕∵=81，即七年级学生的均匀成绩是81分；4〕∵800×〔〕=800×0.5=400，即“优异〞等次的学生约有400人．21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800〔1+〕米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．假定小明与小军同时抵达山顶C处，那么小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【剖析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，依据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再依据小明与小军同时抵达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC== =2x，∵小军的行走速度为米/秒．假定小明与小军同时抵达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延伸线的一点，AC均分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．1〕求证：CE是⊙O的切线；2〕假定AE=1，CE=2，求⊙O的半径．【考点】切线的判断；角均分线的性质．【剖析】〔1〕证明：连结CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判断获得OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；2〕证明：连结BC，由圆周角定理获得∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，依据相像三角形的性质即可证得结论．【解答】〔1〕证明：连结CO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC均分∠FAB，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；〔2〕证明：连结BC，在Rt△ACE中，AC===，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA，∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴=，∴，AB=5，，即⊙O的半径为．23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机所有运往C，D两乡，调运任务承包给某运输企业．C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D 两乡运送农机的花费分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的花费分别为150元/台和240元/台．〔1〕设A城运往C乡该农机x台，运送所有农机的总花费为W元，求W对于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕现该运输企业要求运送所有农机的总花费不低于16460元，那么有多少种不一样的调运方案？将这些方案设计出来；〔3〕现该运输企业决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元〔a≤200〕作为优惠，其余花费不变，怎样调运，使总花费最少？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【剖析】〔1〕A城运往C乡的化肥为x吨，那么可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣〔34﹣x〕吨，从而可得出W与大的函数关系．2〕依据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是获得有3种不一样的调运方案，写出方案即可；〔3〕依据题意获得W=x+12540，因此当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．于是获得结论．【解答】解：〔1〕W=250x+200〔30﹣x〕+150〔34﹣x〕+240〔6+x〕=140x+12540〔0＜x≤30〕；2〕依据题意得140x+12540≥16460，∴x≥28，x≤30，∴28≤x≤30，∴有3种不一样的调运方案，第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D城34台；第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D城35台；第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台，3〕W=x+200〔30﹣x〕+150〔34﹣x〕+240〔6+x〕=x+12540，因此当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小=10740元．此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D城36台．24．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动〔运动到点O停止〕，运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为极点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB订交于点F．〔1〕求点A，点B的坐标；〔2〕用含t的代数式分别表示EF和AF的长；3〕当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB能否相像，并说明原因．4〕能否存在t的值，使△AGF为直角三角形？假定存在，求出这时抛物线的分析式；假定不存在，请说明原因．【考点】二次函数综合题．【剖析】〔1〕在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，简单求得A、B两点坐标；2〕由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；〔3〕利用菱形的性质可求得t的值，那么可求得AF=AG的长，可获得=，可判断△AFG与△AGB相像；〔4〕假定△AGF为直角三角形时，由条件可知只好是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由〔2〕可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可获得EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可获得对于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的分析式．【解答】解：〔1〕在直线y=﹣令y=0可得0=﹣令x=0可得y=2∴A为〔2，0〕，B 〔2〕由〔1〕可知x+2中，x+2，解得x=2，，为〔0，2〕；OA=2，OB=2，∴t an∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE?tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2∴AB=4，∴AF=4﹣2t；〔3〕相像．原因以下：当四边形ADEF为菱形时，那么有，EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣= ，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，那么四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的极点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG 2=GH2+AH2=〔〕2+22=，又AF?AB=×4=，∴AFAB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，?∴△AFG∽△AGB；4〕存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不可以在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，那么有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，FG=2AF，EF=t，EG=4，FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，4﹣t=2〔4﹣2t〕，解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×，∴E点坐标为〔0，〕，∵抛物线的极点为A，2把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线分析式为y=〔x﹣2〕2，即y=x 2﹣x+．2021年7月12日。
2022年湖北省荆门市中考数学真题(含答案解析)
2022年湖北省荆门市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果|x |＝2，那么x ＝( )A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．2或12- 2．纳米（nm ）是非常小的长度单位，1nm ＝0.000000001m ，将数据0.000000001用科学记数法表示为( )A ． 1010-B ． 910-C ． 810-D ． 710- 3．数学兴趣小组为测量学校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离，在A 的同岸选取点C ，测得AC ＝30，∠A ＝45°，∠C ＝90°，如图，据此可求得A ，B 之间的距离为( )A ．B ．60C ．D ．30 4．若函数y ＝ax 2﹣x +1（a 为常数）的图象与x 轴只有一个交点，那么a 满足( )A ．a ＝14B ．a ≤14C ．a ＝0或a ＝﹣14D ．a ＝0或a ＝14 5．对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2）6．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m 的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为( )A ．120mB ．C ．D ． 7．如图，CD 是圆O 的弦，直径AB ∠CD ，垂足为E ，若AB ＝12，BE ＝3，则四边形ACBD 的面积为( )A ．B ．C ．D ．8．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图，点A ，C 为函数y ＝k x（x ＜0）图象上的两点，过A ，C 分别作AB ∠x 轴，CD ∠x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，且点E 恰好为OC 的中点．当∠AEC 的面积为34时，k 的值为( )A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣410．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的对称轴为x ＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x 0，y 0），且c ＞0．有下列结论：∠a ＜0；∠对任意实数m 都有：am 2+bm ≥4a ﹣2b ；∠16a +c ＞4b ；∠若0x ＞﹣4，则0y ＞c ．其中正确结论的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11﹣（﹣2022）0＝_____．12．八（1）班一组女生的体重（单位：kg）分别是：35，36，38，40，42，42，45．则这组数据的众数为_____．13．如图，点G为∠ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知∠AFG的面积为3，则∠ABC的面积为_____．14．1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝_____小时．15．如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A 5，∠，依次进行下去，则点A 20的坐标为 _____．16．如图，函数y ＝223(2)39(2)42x x x x x ⎧-+<⎪⎨-+≥⎪⎩的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y ＝m （m 为常数）相交于三个不同的点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）（x 1＜x 2＜x 3）．设t ＝112233x y x y x y +，则t 的取值范围是 _____．三、解答题17．已知x +1x＝3，求下列各式的值： (1)（x ﹣1x）2； (2)x 4+41x ． 18．如图，已知扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，半径R ＝3．(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；(2)在扇形AOB的内部，∠O1与OA，OB都相切，且与弧AB只有一个交点C，此时我们称∠O1为扇形AOB的内切圆，试求∠O1的面积S1．19．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将∠ACB沿AC对折到∠ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：∠CEF∠∠ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．20．为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了20名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：数据表中有一个数因模糊不清用字母a表示．(1)试确定a的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；(2)记测评成绩为x，学校规定：80≤x＜90时，成绩为合格；90≤x＜97时，成绩为良好；97≤x≤100时，成绩为优秀．求扇形统计图中m和n的值：(3)从成绩为优秀的学生中随机抽取2人，求恰好1人得97分、1人得98分的概率．21．如图，AB为∠O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在∠O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．(1)求证：BE是∠O的切线；(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．22．已知关于x的不等式组120320x ax a++>⎧⎨--<⎩（a＞﹣1）．(1)当a＝12时，解此不等式组；(2)若不等式组的解集中恰含三个奇数，求a的取值范围．23．某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为y＝﹣110x+9．同时销售过程中的其它开支为50万元．(1)求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？(2)若净利润预期不低于17．5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？24．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（4，0），D（0，﹣8）．(1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2)如图，抛物线y＝ax2+bx+c向上平移，使顶点E落在x轴上的P点，此时的抛物线记为C，过P作两条互相垂直的直线与抛物线C交于不同于P的M，N两点（M位于N的右侧），过M，N分别作x轴的垂线交x轴于点M1，N1．∠求证：∠PMM1∠∠NPN1；∠设直线MN的方程为y＝kx+m，求证：k+m为常数．参考答案：1．C 【分析】根据绝对值的意义即可求解．【详解】∠|±2|＝2，∠x ＝±2．故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．2．B 【分析】科学记数法的表现形式为10n a ⨯，（110a ≤<且n 为整数），确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值大于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】0.000000001变成1，小数点向左移动了9位，且0.0000000011<，所以1a =，9n =-，即910-．故选：B ．【点睛】本题主要考查科学记数法，确定a 及n 的值是解题的关键．3．C 【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝30，∠∠B ＝∠A ＝45°，∠BC ＝AC ＝30，∠AB=故选：C【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键．4．D 【分析】由题意分两种情况：∠函数为二次函数，函数y =ax 2-x +1的图象与x 轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a 值；∠函数为一次函数，此时a =0，从而求解．【详解】解：∠函数为二次函数，y =ax 2﹣x +1（a ≠0），∠Δ=1﹣4a =0，∠a =14； ∠函数为一次函数，∠a =0，∠a的值为14或0；故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．5．A【分析】根据立方差公式即可求解．【详解】解：∠a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：∠a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A．【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．6．B【分析】根据题意作出图形，即求AC的长，求得∠BAC＝30°，进而解Rt ABC△即可求解．【详解】如图，∠底部是边长为120m的正方形，∠BC＝12×120＝60m，∠AC∠BC，∠ABC＝60°，∠∠BAC＝30°，∠AB＝21sin2BCBCBABCC==∠＝120m，∠AC．答：这个金字塔原来有故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．7．A 【分析】连接OC ，首先根据题意可求得OC =6，OE =3，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长，据此即可求得四边形ACBD 的面积．【详解】解：如图，连接OC ，∠AB ＝12，BE ＝3，∠OB ＝OC ＝6，OE ＝3，∠AB ∠CD ，∠在Rt ∠COE 中，EC ==∠CD ＝2CE ＝∠四边形ACBD 的面积＝111222AB CD ⋅=⨯⨯= 故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．8．D 【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定．【详解】∠抛物线y ＝x 2+3开口向上，在其图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且y 1＜y 2，∠|x 1|＜|x 2|，∠0≤x 1＜x 2，或x 2＜x 1≤0，或x 2＞0，x 1≤0且x 2+x 1＞0，或x 2＜0，x 1＞0且x 2+x 1＜0， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键．9．B 【分析】根据三角形的中线的性质求出∠AEO 的面积，根据相似三角形的性质求出S △OCD ＝1，根据反比例函数系数k 的几何意义解答即可．【详解】∠点E为OC的中点，∠34AEO AECS S==，∠点A，C为函数y＝kx（x＜0）图象上的两点，∠S△ABO＝S△CDO，∠S四边形CDBE＝S△AEO＝34，∠EB∠CD，∠∠OEB∠∠OCD，∠2ΔΔ12OEBOCDSS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∠S△OCD＝1，则12xy＝﹣1，∠k＝xy＝﹣2．故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．B【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断∠；根据二次函数的性质即可判断∠；根据抛物线的对称性即可判断∠；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断∠．【详解】∠抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∠抛物线开口向下，则a＜0，故∠正确；∠抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∠函数的最大值为4a﹣2b+c，∠对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故∠错误；∠对称轴为x＝﹣2，c＞0．∠当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∠16a+c＞4b，故∠正确；∠对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∠抛物线开口向下，∠若-4<0x <0，则0y ＞c ．若0x ≥0，则0y ≤c ，故∠错误； 故选：B【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．11．﹣1【分析】先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．﹣（﹣2022）0＝﹣12+12﹣1 ＝0﹣1 ＝﹣1故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．12．42【分析】根据众数的定义即可求得．【详解】解：在这组数据中42出现了2次，出现的次数最多， 故这组数据的众数是42． 故答案为：42．【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握和运用众数的定义是解决本题的关键． 13．18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∠CG ：GF ＝2：1，∠AFG 的面积为3， ∠∠ACG 的面积为6， ∠∠ACF 的面积为3+6＝9， ∠点F 为AB 的中点，∠∠ACF 的面积＝∠BCF 的面积， ∠∠ABC 的面积为9+9＝18， 故答案为：18．【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键． 14．1）【分析】根据题意求出PAC ∠和PBA ∠的度数以及AP 的长度，然后再Rt APC 中，利用锐角三角函数的定义求出AC ，PC 的长，再在Rt BCP △中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长，从而求出AB 的长，最后根据时间=路程÷速度，进行计算即可求解． 【详解】由题意得：∠P AC ＝45°，∠PBA ＝30°，AP ＝100海里，在Rt∠APC 中，AC ＝AP •cos45°＝（海里），PC＝AP •sin45°＝＝，在Rt∠BCP 中，BC ＝tan 30PC︒＝（海里），∠AB＝AC +BC ＝（）海里，∠t故答案为：（．【点睛】本题考查了解直角三角形在实际问题中的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（210，﹣210）【分析】首先把x ＝1代入l 1：y ＝2x ，可得点A 1的坐标为（1，2），把y =2代入l 2：y ＝﹣x ，可得点A 2的坐标为（﹣2，2），据此即可求得A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，A 9的坐标，即可找到规律，据此即可求得． 【详解】解：当x ＝1时，y ＝2，∠点A 1的坐标为（1，2）； 当y ＝﹣x ＝2时，x ＝﹣2， ∠点A 2的坐标为（﹣2，2）；同理可得：A 3（﹣2，﹣4），A 4（4，﹣4），A 5（4，8），A 6（﹣8，8），A 7（﹣8，﹣16），A 8（16，﹣16），A 9（16，32），…，∠A 4n +1（22n ，22n +1），A 4n +2（﹣22n +1，22n +1），A 4n +3（﹣22n +1，﹣22n +2），A 4n +4（22n +2，﹣22n +2）（n 为自然数）． ∠20＝4×4+4，∠点A 20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210）． 故答案为：（210，﹣210）．【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，根据函数图象找到坐标规律是解决本题的关键．16．35＜t ＜1##0.6<t<1【分析】根据A 、B 关于对称轴x ＝1对称，可知x 1+x 2＝2，由直线y＝m （m 为常数）相交于三个不同的点，可得y 1＝y 2＝y 3＝m ，求出x 3的范围，进而求出t 的范围．【详解】解：由二次函数y ＝x 2﹣2x +3（x ＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x ＝1， ∠当x ＝1时函数有最小值为2，x 1+x 2＝2，由一次函数y ＝﹣34x +92（x ≥2）可知当x ＝2时有最大值3，当y ＝2时x ＝103，∠直线y ＝m （m 为常数）相交于三个不同的点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）（x 1＜x 2＜x 3），∠y 1＝y 2＝y 3＝m ，2＜m ＜3，∠2＜x 3＜103， ∠t ＝123x x x ＝32x ，∠35＜t ＜1． 故填：35＜t ＜1【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键． 17．(1)5(2)47【分析】（1）由21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+、21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+，进而得到21()x x +﹣4x •1x即可解答；（2）由21()x x-＝2212x x -+可得221x x +=7，又2221()x x +＝4412x x ++，进而得到441x x +＝2221()x x +﹣2即可解答． （1）解：∠21()x x +＝22112x x x x +⋅⋅+∠21()x x -＝22112x x x x -⋅⋅+＝2211124x x x x x x +⋅+-⋅＝21()x x+﹣4x •1x ＝32﹣4＝5．（2）解：∠21()x x -＝2212x x -+，∠221x x +＝21()x x -+2＝5+2＝7，∠2221()x x +＝4412x x ++，∠441x x +＝2221()x x+﹣2＝49﹣2＝47． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．18．(1)扇形面积S ＝32π，阴影部分面积S ＝32π(2)π【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；（2）设⊙O 1与OA 相切于点E ，连接O 1O ，O 1E ，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．（1）∠∠AOB ＝60°，半径R ＝3，∠S ＝2603360π⨯＝32π，∠OA ＝OB ，∠AOB ＝60°，∠∠OAB是等边三角形，∠S △OAB ∠阴影部分的面积S 阴＝32π（2）设∠O 1与OA 相切于点E ，连接O 1O ，O 1E ，∠∠EOO 1＝12∠AOB ＝30°，∠OEO 1＝90°，在Rt∠OO 1E 中，∠∠EOO 1＝30°，∠OO 1＝2O 1E ，∠OC =OO 1+O 1C ，O 1E =O 1C ，∠O 1E ＝1，∠∠O 1的半径O 1E ＝1．∠S 1＝πr 2＝π．【点睛】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径． 19．(1)证明见解析 (2)tan∠DAF ＝26416x x-【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ，根据折叠的性质得到BC ＝CE ，∠E ＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E ＝∠D ＝90°，AD ＝CE ，根据AAS 证明三角形全等即可；（2）设DF ＝a ，则CF ＝8﹣a ，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF ＝CF ＝8﹣a ，在Rt △ADF 中，根据勾股定理表示出DF 的长，根据正切的定义即可得出答案．（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形，∠∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝AD ，根据折叠的性质得：BC ＝CE ，∠E ＝∠B ＝90°，∠∠E ＝∠D ＝90°，AD ＝CE ，在∠CEF 与∠ADF 中，90CFE AFD D E AD CE ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠∠CEF ∠∠ADF （AAS ）； （2）解：设DF ＝a ，则CF ＝8﹣a ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ∠CD ，AD ＝BC ＝x ，∠∠DCA ＝∠BAC ，根据折叠的性质得：∠EAC ＝∠BAC ，∠∠DCA ＝∠EAC ，∠AF ＝CF ＝8﹣a ，在Rt∠ADF 中，∠AD 2+DF 2＝AF 2，∠x 2+a 2＝（8﹣a ）2，∠a ＝26416x -，∠tan∠DAF ＝DF AD ＝26416x x-． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF ＝CF 是解题的关键． 20．(1)a ＝5，平均值为93，补图见解析 (2)m ＝15；n ＝30 (3)25【分析】（1）根据题意用20减去其他学生人数求得a 的值，根据表格数据求平均数即可求解；（2）根据题意分别求得80≤x ＜90与97≤x ≤100的人数所占的百分比，即可求得,m n 的值； （3）先列表表示出所有可能的情况，然后再找出符合条件的情况数，最后利用概率公式进行求解即可（1）由题意可知，a＝20﹣（2+1+3+2+1+3+2+1）＝5，∠a＝5，测评成绩的平均数＝120（88×2+89+90×5+91×3+95×2+96+97×3+98×2+99）＝93，补全的条形统计图如图所示：（2）m%＝1220+×100%＝15%；n%＝32120++×100%＝30%；所以m=15，n=30；（3）根据题意列表得，设97分的用A1、A2、A3表示，98分的用B1、B2，表示，99分的用C表示，如图从6个人中选2个共有30个结果，一个97分，一个98分的有12种，故概率为：1230＝25．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求扇形统计图的百分比，根据列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．21．(1)证明见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC ＝90°，即可解答；（2）设∠O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt∠ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt∠EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∠AB为∠O的直径，∠∠ADB＝90°，∠∠BDE+∠ADC＝90°，∠AC＝AD，∠∠ACD＝∠ADC，∠∠ACD＝∠ECB，∠∠ECB＝∠ADC，∠EB＝DB，∠∠E＝∠BDE，∠∠E+∠BCE＝90°，∠∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∠OB是∠O的半径，∠BE是∠O的切线；（2）解：设∠O的半径为r，∠OC＝3，∠AC ＝AD ＝AO +OC ＝3+r ， ∠BE ＝6， ∠BD ＝BE ＝6，在Rt ∠ABD 中，BD 2+AD 2＝AB 2， ∠36+（r +3）2＝（2r ）2， ∠r 1＝5，r 2＝﹣3（舍去）， ∠BC ＝OB ﹣OC ＝5﹣3＝2，在Rt ∠EBC 中，EC2BC +∠cos∠ECB ＝BCEC∠cos∠CDA ＝cos∠ECB∠cos∠CDA 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．(1)﹣2＜x ＜4 (2)0＜a ≤1【分析】（1）把a 的值代入再求解；（2）先解不等式组可得−2a −1＜x ＜2a ＋3，然后令b 1＝−2a −1，b 2＝2a ＋3，画出函数图象并求出临界情况下a 的值，然后结合题意得出a 的取值范围．（1）解：当a ＝12时，不等式组化为：2040x x +>⎧⎨-<⎩，解得：−2＜x ＜4；（2）解不等式组得：−2a −1＜x ＜2a ＋3，令b 1＝−2a −1，b 2＝2a ＋3，函数图象如图所示，当a ＝0时，b 1＝3，b 2＝－1，此时为有1个奇数解和3个奇数解的临界情况，当a ＝1时，b 1＝－3，b 2＝5，此时为有3个奇数解和5个奇数解的临界情况，∠−2a −1＜x ＜2a ＋3，且不等式组的解集中恰含三个奇数，∠0＜a ≤1．【点睛】本题考查了不等式组的解法，利用一次函数图象求不等式解集，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 23．(1)z ＝﹣2110x +12x ﹣320，当x ＝60时，z 最大，最大利润为40 (2)45≤x ≤75，x ＝45时，销售量最大【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣40，可得 z 与x 的函数解析式，再求出126012210bx a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，z 最大，代入即可． （2）当 z =17.5时，解方程得出x 的值，再根据函数的增减性和开口方向得出 x 的范围，结合 y 与 x 的函数关系式，从而解决问题． （1）由题可知：z ＝y （x ﹣30）﹣50＝（﹣1910x +）（x ﹣30）﹣50＝﹣2110x +12x ﹣320，∠当126012210b x a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，z 最大，∠最大利润为：﹣2160126032010⨯+⨯-＝40； （2）当z ＝17.5时，17.5＝﹣2110x +12x ﹣320，∠x 1＝45，x 2＝75，∠净利润预期不低于17.5万元，且a ＜0，∠45≤x ≤75，∠y ＝﹣110x +9．y 随x 的增大而减小，∠x ＝45时，销售量最大．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出 z 关于x 的函数的解析式是解题的关键．答案第14页，共14页 24．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣8，E （1，﹣9）(2)∠证明见解析；∠证明见解析【分析】（1）将点A 、B 、C 的坐标分别代入y ＝ax 2+bx +c ，即可得到该抛物线的函数解析式；将该函数解析式化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）∠通过1NN x ⊥轴，1MM x ⊥轴，可知∠PMM 1和∠NPN 1是直角三角形，结合MP ∠NP 以及直角三角形两个锐角互余，可得∠MPM 1＝∠PNN 1，即可证明∠PMM 1∠∠NPN 1，∠根据平移后“顶点E 落在x 轴上的P 点”，可得到平移后的函数解析式，设N （x 1，kx 1+m ），M （x 2，kx 2+m ），联立直线与抛物线的解析式，结合根与系数的关系即可证明k +m 是常数．（1）将A （﹣2，0），B （4，0），D （0，﹣8）代入y ＝ax 2+bx +c ，∠42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得128a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∠y ＝x 2﹣2x ﹣8，∠y ＝x 2﹣2x ﹣8＝（x ﹣1）2﹣9，∠E （1，﹣9）；（2）∠证明：∠PN ∠PM ，∠∠MPN ＝90°，∠∠NPN 1+∠MPM 1＝90°，∠NN 1∠x 轴，MM 1∠x 轴，∠∠NN 1P ＝∠MM 1P ＝90°，∠∠N 1PN +∠PNN 1＝90°，∠∠MPM 1＝∠PNN 1，∠∠PMM 1∠∠NPN 1；∠证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2，设N（x 1，kx 1+m ），M （x 2，kx 2+m ），联立方程组()21y x y kx m⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，整理得x 2﹣（2+k ）x +1﹣m ＝0，∠x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝1﹣m ，∠∠PMM 1∠∠NPN 1，∠11PN MM ＝11NN PM ，即121x kx m -+＝121kx m x +-，∠k +m ＝（k +m ）2，∠k +m ＝1或k +m ＝0，∠M 、N 与P 不重合，∠k +m ＝1，∠k +m 为常数．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系以及相似三角形的判定，会用待定系数法求解函数的解析式，熟练地将函数解析式的一般式化为顶点式、会求交点坐标以及掌握相似三角形的判定是解题的关键．。
2021年湖北省荆门市中考数学试卷(学生版+解析版)
2021年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)1．（3分）2021的相反数的倒数是（）A．﹣2021B．2021C．−12021D．120212．（3分）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为（）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿3．（3分）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．因C．承D．基5．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣x3）2＝x5B．√(−x)2=xC．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+16．（3分）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）A．{y=x+4.512y=x−1B．{y=x−4.512y=x+1C ．{y =x +4.52y =x −1D ．{y =x −4.52y =x +17．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°8．（3分）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，若∠P ＝70°，则∠ABO ＝（）A ．30°B ．35°C ．45°D ．55°9．（3分）在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ﹣k 与y =k |x|（k ≠0）的大致图象是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)11．（3分）计算：|1−√2|+（12）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝．12．（3分）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y=kx（k≠0）的图象上，若在y=kx的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为．15．（3分）关于x的不等式组{−(x−a)＜31+2x3≥x−1恰有2个整数解，则a的取值范围是．16．（3分）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第行第列．三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)17．（8分）先化简，再求值：x x−4•（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4），其中x ＝3−√2．18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A 等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A 等的都是女生，年级要求从这两个班A 等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．19．（8分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的动点，∠AEF ＝90°，且EF ＝AE ，FH⊥BH ．（1）求证：BE ＝CH ；（2）若AB ＝3，BE ＝x ，用x 表示DF 的长．20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+√3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√2海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=6m−5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O 交AB边于另一点F，且F是AÊ的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB 边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当CD=25AB时，求sin∠ACF的值．23．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．2021年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)1．（3分）2021的相反数的倒数是（）A．﹣2021B．2021C．−12021D．12021【解答】解：2021的相反数是﹣2021，﹣2021的倒数是−1 2021，故选：C．2．（3分）“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资1.012×108元资金．数据1.012×108可表示为（）A．10.12亿B．1.012亿C．101.2亿D．1012亿【解答】解：数据1.012×108可表示为：1.012×108＝101200000＝1.012亿，故选：B．3．（3分）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A ．传B ．因C ．承D ．基【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D ．5．（3分）下列运算正确的是（ ）A ．（﹣x 3）2＝x 5B ．√(−x)2=xC ．（﹣x ）2+x ＝x 3D ．（﹣1+x ）2＝x 2﹣2x +1【解答】解：A ．（﹣x 3）2＝x 6，错误，不满足题意．B .√(−x)2=|x |，错误，不满足题意．C ．（﹣x ）2+x ＝x 2+x ，错误，不满足题意．D ．（﹣1+x ）2＝x 2﹣2x +1，正确，满足题意．故选：D ．6．（3分）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A ．{y =x +4.512y =x −1B ．{y =x −4.512y =x +1 C ．{y =x +4.52y =x −1 D ．{y =x −4.52y =x +1【解答】解：设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为：{y =x +4.512y =x −1． 故选：A ．7．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（）A．55°B．65°C．75°D．85°【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：C．8．（3分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（）A．30°B．35°C．45°D．55°【解答】解：连接OA，∵P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，∴∠PBO＝∠P AO＝90°，∵∠P＝70°，∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠P AO﹣∠P＝110°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO=12（180°﹣∠BOA）=12（180°﹣110°）＝35°，故选：B．9．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y=k|x|（k≠0）的大致图象是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，函数的y=k|x|（k≠0）的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：B．10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：根据题意得a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，∴2a+c＜0，∴②正确，由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，∴2（﹣a﹣c）+c＞0，∴2b+c＞0，∴①正确，若a（m+1）﹣b+c＞0，则a﹣b+c＞﹣am，取x＝﹣1，则y＝a﹣b+c＞0，又∵a＜0，m＜0，∴﹣am＜0∴﹣am＜a﹣b+c，即a（m+1）﹣b+c＞0成立，∴③正确，若方程a （x ﹣m ）（x ﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，即a （x ﹣m ）（x ﹣1）＝1有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标4ac−b 24a ＞1，∴4ac ﹣b 2＜4a ，∴④正确，故选：A ．二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分,请将结果填写在答题卡相应位置)11．（3分）计算：|1−√2|+（12）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ 2√2+2 ． 【解答】解：原式=√2−1+2+2×√22+1=√2−1+2+√2+1＝2√2+2．12．（3分）把多项式x 3+2x 2﹣3x 因式分解，结果为 x （x +3）（x ﹣1） ．【解答】解：原式＝x （x 2+2x ﹣3）＝x （x +3）（x ﹣1），故答案为：x （x +3）（x ﹣1）．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 斜边上的高为1，∠AOB ＝30°，将Rt△OAB 绕原点顺时针旋转90°得到Rt △OCD ，点A 的对应点C 恰好在函数y =k x （k ≠0）的图象上，若在y =k x 的图象上另有一点M 使得∠MOC ＝30°，则点M 的坐标为 （√3，1） ．【解答】解：作AE ⊥OB 于E ，MF ⊥x 轴于F ，则AE ＝1，∵∠AOB ＝30°，∴OE =√3AE =√3，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，√3），∵点C在函数y=kx（k≠0）的图象上，∴k＝1×√3=√3，∴y=√3 x，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF=√3MF，设MF＝n，则OF=√3n，∴M（√3n，n），∵点M在函数y=√3x的图象上，∴n=√3√3n，∴n＝1（负数舍去），∴M（√3，1），故答案为（√3，1）．14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为2√3−2π3．【解答】解：连接PB 、PC ，作PF ⊥BC 于F ，∵PB ＝PC ＝BC ，∴△PBC 为等边三角形，∴∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°，∴BF ＝PB •cos60°=12PB ＝1，PF ＝PB •sin60°=√3，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP 的面积﹣（扇形BPC 的面积﹣△BPC 的面积）]×2 ＝[30⋅π×22360−（60⋅π×22360−12×2×√3）]×2＝2√3−2π3， 故答案为：2√3−2π3．15．（3分）关于x 的不等式组{−(x −a)＜31+2x 3≥x −1恰有2个整数解，则a 的取值范围是 5≤a ＜6 ．【解答】解：解不等式﹣（x +a ）＜3，得：x ＞a ﹣3，解不等式1+2x 3≥x ﹣1，得：x ≤4，∵不等式组有2个整数解，∴2≤a ﹣3＜3，解得5≤a ＜6．故答案为：5≤a ＜6．16．（3分）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 64 行第 5 列．【解答】解：由图可知，第一行1个数字，第二行2个数字，第三行3个数字，…，则第n 行n 个数字，前n 行一共有n(n+1)2个数字， ∵63×642＜2021＜64×652，2021−63×642=2021﹣2016＝5， ∴2021是表中第64行第5列，故答案为：64，5．三、解答题(本大题共8小题,共72分,请在答题卡相应区域作答)17．（8分）先化简，再求值：x x−4•（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4），其中x ＝3−√2． 【解答】解：x x−4（x+2x 2−2x −x−1x 2−4x+4）=x x−4[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2] =x x−4[(x+2)(x−2)x(x−2)2−x(x−1)x(x−2)2] =x x−4•x−4x(x−2)2 =1(x−2)2， 把x ＝3−√2代入原式得： (3−√2−2)2=(1−√2)2=3−2√2=3+2√2．18．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，其等级对应的分值分别为100分、90分、80分、70分，将这两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．（1）这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数是多少？（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；（3）已知一班成绩A 等的4人中有两个男生和2个女生，二班成绩A 等的都是女生，年级要求从这两个班A 等的学生中随机选2人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1个男生的概率．【解答】解：（1）由条形图可知，一班比赛的人数为：4+9+5+2＝20（人），∵两个班参加比赛的人数相同，∴二班参赛人数为20人，∴这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数为：20×10%+20×35%＝9（人）；（2）一班成绩的平均数为：120（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），由题意得：二班成绩的中位数为80分；（3）∵二班成绩A 等的都是女生，∴二班成绩A 等的人数为：20×10%＝2（人），把一班成绩A 等的2个男生分别记为A 、B ，其他成绩A 等的4个女生分别记为C 、D 、E 、F ，画树状图如图：共有30种等可能的结果，抽取的2人中至少有1个男生的结果有18种，∴抽取的2人中至少有1个男生的概率为1830=35． 19．（8分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的动点，∠AEF ＝90°，且EF ＝AE ，FH⊥BH ．（1）求证：BE ＝CH ；（2）若AB ＝3，BE ＝x ，用x 表示DF 的长．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD ，∴∠B ＝90°，AB ＝BC ，∵FH ⊥BH ，∴∠H ＝90°＝∠B ，∠F ＝90°﹣∠FEH ，∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＝90°﹣∠FEH ，∴∠AEB ＝∠F ，在△ABE 和△EHF 中，{∠B =∠H∠AEB =∠F AE =EF，∴△ABE ≌△EHF （AAS ），∴EH ＝AB ＝BC ，BE ＝FH ，∴EH ﹣EC ＝BC ﹣EC ，即CH ＝BE ；（2）连接DF ，过F 作FP ⊥CD 于P ，如图：∵∠H ＝∠DCH ＝∠FPC ＝90°，∴四边形PCHF 是矩形，由（1）知：BE ＝FH ＝CH ，∴四边形PCHF 是正方形，∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，∵DC＝AB＝3，∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，Rt△DPF中，DF=√DP2+PF2，∴DF=√(3−x)2+x2=√2x2−6x+9．20．（8分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+√3）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√2海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20√2，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△P AC中，∵tan30°=PCAC=x+20√2=√33，∴x＝10√6+10√2，∴P A＝2x＝20√6+20√2，答：A，P之间的距离AP为（20√6+20√2）海里；（2）因为PC﹣10（3+√3）＝10√6+10√2−30﹣10√3=10（√3+1）（√2−√3）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+√3）海里时，有sin∠PBE=10(3+√3)√2⋅PC=10(3+√3)20(√3+1)=√32，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根．（1）若x1＝1，求x2及m的值；（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）=6m−5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，∵x1＝1，∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，∴x2＝5，m＝3；（2）存在．∵（x1﹣1）（x2﹣1）=6m−5，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=6m−5，即2m﹣1﹣6+1=6m−5，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2．22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O 交AB边于另一点F，且F是AÊ的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB 边于M点．（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；（2）当CD=25AB时，求sin∠ACF的值．【解答】（1）证明：连接DF、EF，∵∠BAC＝90°，∴FC是⊙O的直径，∵F是AÊ的中点，∴AF̂=EF̂，∴∠ADF＝∠EDF，∵OF＝OD，∴∠ADF＝∠OFD，∴∠OFD＝∠EDF，∴FC∥DM，∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，∴四边形AFDC为矩形，∴AF∥CD，∴四边形CDMF为平行四边形；（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，∴CD＝AF＝FM＝EF，∵CD=25AB，∴CD=25（2CD+BM），∴CD＝2BM，∵BM ∥CD ，∴△BEM ∽△CED ，∴BM CD =BE EC =12， ∴EC ＝2BE ，设BM ＝a ，则CD ＝2a ，BF ＝3a ，EF ＝2a ，在Rt △BEF 中，BE =√BF 2−EF 2=√5a ，∴EC ＝2√5a ，在Rt △CEF 中，FC =√EF 2+EC 2=2√6a ，在Rt △F AC 中，sin ∠ACF =AF FC =2a 2√6a =√66．23．（10分）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x ，周销售量y ，周销售利润W （元）的三组对应值数据．x40 70 90 y180 90 30 W 3600 4500 2100（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若该商品进价a （元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润；（3）因疫情期间，该商品进价提高了m （元/件）（m ＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m 的值．【解答】解：（1）设y ＝kx +b ，由题意有：{40k +b =18070k +b =90，解得{k =−3b =300， 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣3x +300；（2）由（1）W ＝（﹣3x +300）（x ﹣a ），又由表知，把x ＝40，W ＝3600，代入上式可得关系式得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a ），∴a ＝20，∴W ＝（﹣3x +300）（x ﹣20）＝﹣3x 2+360x ﹣6000＝﹣3（x ﹣60）2+4800，所以售价x ＝60时，周销售利润W 最大，最大利润为4800；（3）由题意W ＝﹣3（x ﹣100）（x ﹣20﹣m ）（x ≤55），其对称轴x ＝60+m 2＞60， ∴0＜x ≤55时，W 的值随x 增大而增大，∴只有x ＝55时周销售利润最大，∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m ），∴m ＝5．24．（12分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 交x 轴于A （﹣1，0），B （3，0）两点，交y 轴于点C （0，﹣3），点Q 为线段BC 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO |+|QA |的最小值；（3）过点Q 作PQ ∥AC 交抛物线的第四象限部分于点P ，连接P A ，PB ，记△P AQ 与△PBQ 面积分别为S 1，S 2，设S ＝S 1+S 2，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．【解答】解：（1）∵抛物线交x 轴于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴设y ＝a （x +1）（x ﹣3），将C （0，﹣3）代入，得：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，∴y ＝（x +1）（x ﹣3）＝x 2﹣2x ﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）如图1，作点O 关于直线BC 的对称点O ′，连接AO ′，QO ′，CO ′，BO ′， ∵OB ＝OC ＝3，∠BOC ＝90°，∴∠BCO ＝45°，∵O 、O ′关于直线BC 对称，∴BC 垂直平分OO ′，∴OO ′垂直平分BC ，∴四边形BOCO ′是正方形，∴O ′（3，﹣3），在Rt △ABO ′中，|AO ′|=√AB 2+O′B 2=√42+32=5，∵|QA |+|QO ′|≥|AO ′|，|QO ′|＝|QO |，∴|QO |+|QA |＝|QA |+|QO ′|≥|AO ′|＝5，即点Q 位于直线AD 与直线BC 交点时，|QO |+|QA |有最小值5；（3）设直线BC 的解析式为y ＝kx +d ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴{3k +d =0d =−3， 解得：{k =1d =−3， ∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴{−m +n =0n =−3， 解得：{m =−3n =−3， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3，∵PQ ∥AC ，∴直线PQ 的解析式可设为y ＝﹣3x +b ，由（1）可设P （m ，m 2﹣2m ﹣3），代入直线PQ 的解析式， 得：m 2﹣2m ﹣3＝﹣3m +b ，解得：b ＝m 2+m ﹣3，∴直线PQ 的解析式为y ＝﹣3x +m 2+m ﹣3，联立方程组，得：{y =x −3y =−3x +m 2+m −3， 解得：{x =m 2+m 4y =m 2+m−124， ∴Q （m 2+m 4，m 2+m−124），由题意：S ＝S △P AQ +S △PBQ ＝S △P AB ﹣S △QAB ，∵P ，Q 都在第四象限，∴P ，Q 的纵坐标均为负数，∴S =12|AB |•（﹣m 2+2m +3）−12|AB |•（−m 2+m−124）=−32m 2+92m =−32（m −32）2+278， 由题意，得0＜m ＜3，∴m =32时，S 最大，即P （32，−154）时，S 有最大值278．。
2020年湖北省荆门市中考数学试卷及答案解析(word版)
2020年湖北省荆门市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的）1．2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣2．下列运算正确的是（）A．a+2a=2a2B．（﹣2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a﹣3）2=a2﹣93．要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣14．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．105．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（）A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积相等7．化简的结果是（）A．B．C．x+1 D．x﹣18．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或1110．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=711．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF12．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）13．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=．14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有台．15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是．16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=cm．17．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是．三、解答题（本题共7小题，共69分）18．（1）计算：|1﹣|+3tan30°﹣（）0﹣（﹣）﹣1．（2）解不等式组．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：分数段频数频率60≤x＜70 9 a70≤x＜80 36 0.480≤x＜90 27 b90≤x≤100 c 0.2请根据上述统计图表，解答下列问题：（1）在表中，a=，b=，c=；（2）补全频数直方图；（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩．（4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB 交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D 两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？24．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2020年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的）1．2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵2＞0，∴|2|=2．故选：A．2．下列运算正确的是（）A．a+2a=2a2B．（﹣2ab2）2=4a2b4C．a6÷a3=a2D．（a﹣3）2=a2﹣9【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，差的平方等余平方和减积的二倍，可得答案．【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A错误；B、积的乘方等于乘方的积，故B正确；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、差的平方等余平方和减积的二倍，故D错误；故选：B．3．要使式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x﹣1≥0，求出答案．【解答】解：要使式子有意义，故x﹣1≥0，解得：x≥1．则x的取值范围是：x≥1．故选：C．4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8，故选C．5．在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，∴a＞0，﹣b＞0，∴b＜0，∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．故选D．6．由5个大小相同的小正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是（）A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小C．俯视图的面积最小D．三个视图的面积相等【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，主视图的面积是4；从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图的面积为3；从上边看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，俯视图的面积是4，左视图面积最小，故B正确；故选：B．7．化简的结果是（）A．B．C．x+1 D．x﹣1【考点】分式的混合运算．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=÷=•=，故选A8．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．9．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．10．若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，∴﹣=3，解得m=﹣6，∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2﹣6x﹣7=0，即（x+1）（x﹣7）=0，解得x1=﹣1，x2=7．故选D．11．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】先根据已知条件判定判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选（B）12．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm【考点】圆锥的计算．【分析】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=12cm，∴=6π∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．故选C．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）13．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=（m+3）（m﹣3）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．14．为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，则购置的笔记本电脑有16台．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台，依题意得：x=﹣5，即20﹣x=0，解得：x=16．∴购置的笔记本电脑有16台．故答案为：16．15．荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）=，故答案为：．16．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=2cm．【考点】旋转的性质．【分析】利用旋转的性质得出DC=AC，∠D=∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC=90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2（cm）．故答案为：2．17．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴AB==2，PA=，PB=，当PA=AB时，则有=2，解得x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB时，则有=2，解得x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．三、解答题（本题共7小题，共69分）18．（1）计算：|1﹣|+3tan30°﹣（）0﹣（﹣）﹣1．（2）解不等式组．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）首先去掉绝对值符号，计算乘方，代入特殊角的三角函数值，然后进行加减计算即可；（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：（1）原式=﹣1+3×﹣1﹣（﹣3）=﹣1++3=2；（2）解①得x＞﹣，解②得x≤0，则不等式组的解集是﹣＜x≤0．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF．（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．【考点】旋转的性质．【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到∠DCF为直角，由EF与CD平行，得到∠EFC为直角，利用SAS 得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：∠DCF=90°，∴∠DCE+∠ECF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD=90°，∴∠ECF=∠BCD，∵EF∥DC，∴∠EFC+∠DCF=180°，∴∠EFC=90°，在△BDC和△EFC中，，∴△BDC≌△EFC（SAS），∴∠BDC=∠EFC=90°．20．秋季新学期开学时，红城中学对七年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了如下不完整的图表：分数段频数频率60≤x＜70 9 a70≤x＜80 36 0.480≤x＜90 27 b90≤x≤100 c 0.2请根据上述统计图表，解答下列问题：（1）在表中，a=0.1，b=0.3，c=18；（2）补全频数直方图；（3）根据以上选取的数据，计算七年级学生的平均成绩．（4）如果测试成绩不低于80分者为“优秀”等次，请你估计全校七年级的800名学生中，“优秀”等次的学生约有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；加权平均数．【分析】（1）根据表格中的数据可以求得抽查的学生数，从而可以求得a、b、c的值；（2）根据（1）中c的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据平均数的定义和表格中的数据可以求得七年级学生的平均成绩；（4）根据表格中的数据可以求得“优秀”等次的学生数．【解答】解：（1）抽查的学生数：36÷0.4=90，a=9÷90=0.1，b=27÷90=0.3，c=90×0.2=18，故答案为：0.1，0.3，18；（2）补全的频数分布直方图如右图所示，（3）∵=81，即七年级学生的平均成绩是81分；（4）∵800×（0.3+0.2）=800×0.5=400，即“优秀”等次的学生约有400人．21．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．22．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB 交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；角平分线的性质．【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．【解答】（1）证明：连接CO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠FAB，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥FD，∵CE⊥DF，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）证明：连接BC，在Rt△ACE中，AC===，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCA=∠CEA，∵∠CAE=∠CAB，∴△ABC∽△ACE，∴=，∴，∴AB=5，∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．23．A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36天，从A城往C，D 两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（a≤200）作为优惠，其它费用不变，如何调运，使总费用最少？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）A城运往C乡的化肥为x吨，则可得A城运往D乡的化肥为30﹣x吨，B城运往C乡的化肥为34﹣x吨，B城运往D乡的化肥为40﹣（34﹣x）吨，从而可得出W与x大的函数关系．（2）根据题意得140x+12540≥16460求得28≤x≤30，于是得到有3种不同的调运方案，写出方案即可；（3）根据题意得到W=x+12540，所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最=10740元．于是得到结论．小【解答】解：（1）W=250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=140x+12540（0＜x≤30）；（2）根据题意得140x+12540≥16460，∴x≥28，∵x≤30，∴28≤x≤30，∴有3种不同的调运方案，第一种调运方案：从A城调往C城28台，调往D城2台，从，B城调往C城6台，调往D 城34台；第二种调运方案：从A城调往C城29台，调往D城1台，从，B城调往C城5台，调往D 城35台；第三种调运方案：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D 城36台，（3）W=x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）=x+12540，=10740元．所以当a=200时，y最小=﹣60x+12540，此时x=30时y最小此时的方案为：从A城调往C城30台，调往D城0台，从，B城调往C城4台，调往D 城36台．24．如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．（1）求点A，点B的坐标；（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG 与△AGB相似；（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．【解答】解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0可得0=﹣x+2，解得x=2，令x=0可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（）2+22=，又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即=，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB；（4）存在，∵EG∥x轴，∴∠GFA=∠BAO=60°，又G点不能在抛物线的对称轴上，∴∠FGA≠90°，∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，又∠FGA=30°，∴FG=2AF，∵EF=t，EG=4，∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，∴4﹣t=2（4﹣2t），解得t=，即当t的值为秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2﹣t=2﹣×=，∴E点坐标为（0，），∵抛物线的顶点为A，∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把E点坐标代入可得=4a，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+．2020年7月12日第21页（共21页）。
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年湖北省荆门市中考数学试题及答案Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998第3题图2830 31 32 34 37 4 6 5 用水量/吨 1 2 3 日期/日 第4题图 -4 (-1,4)2-1 -2 4 12 3 xO y(1,1) (-4,-1)-1 1 -2-3 2008年湖北省荆门市中考数学试卷注意事项：1．本卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．考生答题前务必将自己所在县(市、区)、学校、姓名、准考证号填写在密封线内的相应空格处．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．4－(－7)等于(A) 3． (B) 11． (C) －3． (D) －11． 2．下列各式中，不成立的是(A) 3-=3． (B) －3=－3． (C) 3-=3． (D) -3-=3． 3．某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图 所示，那么这6天的平均用水量是(A) 30吨． (B) 31 吨． (C) 32吨． (D) 33吨． 4．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位 长度，则平移后三个顶点的坐标是(A) (1, 7) , (－2, 2),(3, 4)． (B) (1, 7) , (-2, 2),(4, 3)． (C) (1, 7) , (2, 2),(3, 4)． (D) (1, 7) , (2,－2),(3, 3)．5．计算ab ba b a b a b a b a 22222-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+的结果是(A)b a -1． (B) ba +1． (C) a -b ． (D) a +b ． 6．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于 A mB ⌒(A) 60°． (B) 90°． (C)120°． (D)150°．7．左下图是由若干个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时, 所看到的几何图形是8．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按 照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 (A) 6米． (B) 8米． (C) 12米． (D)不能确定．9．把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平 移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则(A) b =3,c =7．(B) b =6,c =3．(C) b =－9,c =－5．(D) b =－9,c =21．10．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x ，y 表示矩形的长和宽(x ＞y )，则下列关系式中不正确的是(A) x +y =12 ． (B) x －y =2．(C) xy =35． (D) x 2＋y 2=144．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11． ()322x -= ___________．12．如图，半圆的直径AB =__________．第10题图第8题图从左面看第7题图(D )(C)第12题图第15题图13．如图，l 1∥l 2,∠α=__________度．14．计算：27124148÷⎪⎭⎫⎝⎛+＝_________． 15．数学老师布置10道选择题作为课堂练习，科代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，根据图 中信息，全班每位同学答对题数的中位数和众数分 别为______________．16．如图，l 1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l 2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公 司赢利(收入大于成本)时，销售量必须____________． 17．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________． 18．如图，矩形纸片ABCD 中，AD =9，AB =3，将其折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，那么折痕EF 的长 为________．19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于Ａ、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值 范围是_____________．20．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F的坐标分别为 (3,2)，(－1,－1)，则两个正方形的位似 中心的坐标是_________．第13题图25°αl 1l 2120°第17题图DABCP MN第16题图E三、解答题（本大题共8小题，共70分）21．（本小题满分6分）给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z =a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．22．（本小题满分6分）今年5月12日，四川省汶川发生级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少人均捐款多少元23．（本小题满分8分）将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1)将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；D C’A F D BC第18题图(2)第23题A CBED EA CB EDl(3) l D ’F C BED(4)A CB EDl E’C ’(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．24．（本小题满分8分）如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高．(精确到0．1米)（已知sin10°≈, cos10°≈, tan10°≈, sin15°≈,cos15°≈, tan15°≈．)25．（本小题满分10分）小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看．可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小敏，将数字为4、6、7、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去；如果和为奇数，则哥哥去．(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率； (2)哥哥设计的游戏规则公平吗 若公平，请说明理由； 若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．26．（本小题满分10分）如图，⊙O 是Rt△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC =30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ，(1)判断△DCE 的形状；(2)设⊙O 的半径为1，且OF =213-，求证△DCE ≌△OCB ．27．（本小题满分10分）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ． (1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；第26题图AB DEOF C(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省28．（本小题满分12分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A 若不存在说明理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；(3) 根据(2)小题的结论，你发现B 、P 、C 三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系2008年湖北省荆门市中考数学试卷参考答案第27题图(2)A DFBE C(1)EFGHAB DC OxyA 第28题图B说明：除本答案给出的解法外，如有其他正确解法，可按步骤相应给分．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．-8x 6 12．22 13．35 14．2315．9, 8 16．大于417．5 18．10 19．x ﹤-1或0﹤x ﹤2 20． (1,0) 或(-5,-2) 三、解答题（本大题共8小题，共70分）21．(以下给出三种选择方案，其他方案从略) 解答一：Y + Z =(3a 2+3ab )+ (a 2+ab )=4a 2+4ab …………………………………………………………3分 =4a (a +b )． …………………………………………………………6分 解答二： X- Z = (2a 2＋3ab ＋b 2)-(a 2+ab )=a 2+2ab +b 2 ……………………………………………………………3分=(a +b )2． ……………………………………………………………6分解答三：Y- X =(3a 2+3ab )- (2a 2＋3ab ＋b 2)=a 2- b 2 ……………………………………………………………3分 =(a +b )(a -b )． ……………………………………………………………6分说明：整式计算正确得3分，因式分解正确得3分． 22．解：设第一天捐款x 人，则第二天捐款x +50人，由题意列方程x 4800=506000x ． 化简得，4x +200=5x ． 解得 x =200．检验：当x =200时，x (x +50)≠0，∴ x =200是原方程的解． ………………………………………………3分两天捐款人数x +(x +50)=450．人均捐款x4800=24． ……………………………………………………………5分 答：两天共参加捐款的有450人；人均捐款24元． ……………………………6分23．(1) 3-3； …………………………………………………………2分(2)30°； …………………………………………………………4分 (3)证明：在△AEF 和△D ′BF 中，∵AE =AC -EC , D’ B =D’ C -BC ，又AC =D’ C ,EC =BC ，∴AE =D’ B ．又 ∠AEF =∠D’ BF =180°-60°=120°，∠A =∠CD’E =30°，∴△AEF ≌△D’ BF ．∴AF =FD’． ………………………………………8分24．解：延长CD 交PB 于F ,则DF ⊥PB ．∴DF =BD ·sin15°≈50×=． …………2分 (写13不扣分)∴CE =BF =BD ·cos15°≈50×=． …………4分 ∴AE =CE ·tan10°≈×=． …………6分∴AB =AE +CD +DF =++13 =．答:树高约为米. ………………………8分 25．解：(1)根据题意，我们可以画出如下的树形图：或者：根据题意，我们也可以列出下表：从树形图(表) 中可以看出，所有可能出现的结果共有16个,这些结果出现的可能性相等．而和为偶数的结果共有6个,所以小敏看比赛的概率P (和为偶数)=166=83． ……………………………………………………………6分2 3 5 9 4 (4,2) (4,3) (4,5) (4,9)6 (6,2) (6,3) (6,5) (6,9)7 (7,2) (7,3) (7,5) (7,9) 8(8,2) (8,3) (8,5) (8,9)小敏 哥哥 4 6 7 896 7 82 …………3分小敏 哥哥F…………3分(2)哥哥去看比赛的概率P (和为奇数)=1-83=85，因为 83＜85，所以哥哥设计的游戏规则不公平； ………………………………………………………………8分如果规定点数之和小于等于10时则小敏(哥哥)去，点数之和大于等于11时则哥哥(小敏)去．则两人去看比赛的概率都为21，那么游戏规则就是公平的． …………………10分或者:如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为21，那么游戏规则也是公平的．(只要满足两人手中点数为偶数（或奇数）的牌的张数相等即可.) …………………………………………10分 26．解：(1)∵∠ABC =30°，∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形． 又∵CD 是切线，∴∠OCD =90°， ∴∠DCE =180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED =90°-∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形． …………………………………………………4分 (2)证明：在△ABC 中，∵AB =2，AC =AO =1，∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+．又∵∠AEF =30°,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ． 而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°-60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB . ……………………………………………10分 27．解：(1) 四边形EFGH 是正方形． …………………………………………… 2分 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的,故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形.因此四边形EFGH 是正方形.… 4分(2)设CE =x , 则BE =－x ,每块地砖的费用为y ,那么 y =21x 2×30+21×××20+[21221×××10]=102+=10［2+］ (0＜x ＜ ． ………………………………………8分当x =时,y 有最小值,即费用为最省,此时CE =CF =．答:当CE =CF =米时,总费用最省. ………………………………………10分28．解：(1)由抛物线过B (0,1) 得c =1．又b =-4ac , 顶点A (-ab2,0), ∴-a b 2=a ac24=2c =2．∴A (2,0)． ………………………………………2分 将A 点坐标代入抛物线解析式，得4a +2b +1=0 ，∴ ⎩⎨⎧=++-=.0124,4b a a b 解得a =41,b =-1.故抛物线的解析式为y =41x 2-x +1． (4)分另解: 由抛物线过B (0,1) 得c =1．又b 2-4ac =0, b =-4ac ，∴b =-1． ………2分∴a =41,故y =41x 2-x +1． ……………………………………………4分 (2)假设符合题意的点C 存在，其坐标为C (x ，y ), 作CD ⊥x 轴于D ,连接AB 、AC ． ∵A 在以BC 为直径的圆上,∴∠BAC =90°．∴ △AOB ∽△CDA ． ∴OB ·CD =OA ·AD ．第28题图O x yA C BPP 1 D P 2 P即1·y =2(x-2)， ∴y =2x -4． ……………………6分由⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.141,422x x y x y 解得x 1=10,x 2=2．∴符合题意的点C 存在，且坐标为 (10,16)，或(2,0)． …………………………8分∵P 为圆心，∴P 为BC 中点．当点C 坐标为 (10,16)时，取OD 中点P 1 ，连PP 1 , 则PP 1为梯形OBCD 中位线．∴PP 1=21(OB +CD )=217．∵D (10,0), ∴P 1 (5,0), ∴P (5, 217)．当点C 坐标为 (2,0)时, 取OA 中点P 2 ，连PP 2 , 则PP 2为△OAB 的中位线．∴PP 2=21OB =12．∵A (2,0), ∴P 2(1,0), ∴P (1,12)．故点P 坐标为(5, 217),或(1,12)． ………………………………………10分(3)设B 、P 、C 三点的坐标为B (x 1,y 1), P (x 2,y 2), C (x 3,y 3)，由(2)可知：.2,2312312y y y x x x +=+=………………………………………12分。