人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
1、题目给的已知条件： 2、要解决什么问题： 3、涉及的概念定理公式等知识点： 4、关键词与隐含条件： 5、可能用到的数学思想与方法： 6、知识难点与思维障碍或心理因素：
2.2【浮想联翩------说思路】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
1. 数形结合时抓住什么不变？什么变？运动观点？
2.怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？
3.零点个数问题怎么处理？
4.恒成立问题怎么处理？
5.函数的单调性（极值）与导数的关系？……
作业：已知函数f(x)=7x2 -28x-c,g(x)=2x3 +4x2 -40x;
(1)若x[-3,3],都有f(x) g(x)成立，求实数c的范围；
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
问题：单调区间与极值？→思路：求导分解解不等式列表
问题：零点个数？ →对策：
数形结合？（单调性与极值）
关键词：参数a？ →对策：
分类讨论？ →为啥分怎么分？
隐含条件：
隐含条件：a>2; x>=3; 3个；
最近发展区：
三次函数的零点个数
思维障碍：
定义域的影响、参数的影响， 等号问题？
——以《导数单元复习》为例，进行学生”说题”尝试
背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、 解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》 中指出解题的四个步骤：“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻 找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我 们对解题的思维过程看得见，摸得着，而“说题” 就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定 规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面对题目的 思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解 学习动态，对症指导，从而提高复习效率。“说题” 就是提高解题教学效果，打造高效课堂的有力工具。 开展说题目、说思路、说解法、说检验、说反思和 说变式等数学说题活动，真实地展示学生的解题思 维过程，使数学课堂更精彩。华南师范大学等已组 织举办了多届广东省的高等师范院校的“说题”比 赛，取得了良好的效果，说题作为一种新型的校本 科研活动越来越引起了许多专家与创新研究型教师 的重视。本节公开课，就此进行尝试探索。
例题讲解
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.1【知此知彼------说题目】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
原始 问题
导数 大于0 恒成立
二次函数 小于0 恒成立
第二问：零点个数
1
2
3
原始问题
三次函数零点
函数图像的交点
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的 注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型 例题的讲解，让学生建立解决此类问题的模型，熟悉 思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通 法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生 掌握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化 归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法 等．对于学生而言，这些远远胜过掌握了某一道题的 解法。
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(5)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(6)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(7)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(8)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(9)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2ຫໍສະໝຸດ )成立，求实数c的范围;(10)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围;
(2)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，
求实数c的范围；
1、完成作业题及其任意两个不同类的变式。 2、研究性学习：总结函数、导数、解析几何
中有关x1、x2的知识，最好附有例题。
预设变式：(3)若x [-3,3],都有f(x) g(x)成立，求实数c的范围；
(4)若x1
课前热身
本题命题内容为人教版高中数学选修11第三章“导数应用”第一节，主要考察导 数单调性的运用、导数在高次方程零点上的 运用，以及二次不等式恒成立问题.
数学思想上本题考察了转化与化归思想、 分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
这是为什 么呢？
这是为什 么呢？
第一问：单调性与导数
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
f(-a)
-a
-2
f(-2)
a2
(1)
3 a
解得a ？ f (2) t f (a)
f (3) f (2)
f(-a)
-3
-a
-2
f(-2)
f(-3)
a2
(2)
3 a
解得a ？ f (3) t f (a)
f (3) f (2)
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
1、题目给的已知条件： 2、要解决什么问题： 3、涉及的概念定理公式等知识点： 4、关键词与隐含条件： 5、可能用到的数学思想与方法： 6、知识难点与思维障碍或心理因素：
2.2【浮想联翩------说思路】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
1. 数形结合时抓住什么不变？什么变？运动观点？
2.怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？
3.零点个数问题怎么处理？
4.恒成立问题怎么处理？
5.函数的单调性（极值）与导数的关系？……
作业：已知函数f(x)=7x2 -28x-c,g(x)=2x3 +4x2 -40x;
(1)若x[-3,3],都有f(x) g(x)成立，求实数c的范围；
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
问题：单调区间与极值？→思路：求导分解解不等式列表
问题：零点个数？ →对策：
数形结合？（单调性与极值）
关键词：参数a？ →对策：
分类讨论？ →为啥分怎么分？
隐含条件：
隐含条件：a>2; x>=3; 3个；
最近发展区：
三次函数的零点个数
思维障碍：
定义域的影响、参数的影响， 等号问题？
——以《导数单元复习》为例，进行学生”说题”尝试
背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、 解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》 中指出解题的四个步骤：“弄清问题”、“拟定计 划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻 找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我 们对解题的思维过程看得见，摸得着，而“说题” 就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定 规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面对题目的 思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解 学习动态，对症指导，从而提高复习效率。“说题” 就是提高解题教学效果，打造高效课堂的有力工具。 开展说题目、说思路、说解法、说检验、说反思和 说变式等数学说题活动，真实地展示学生的解题思 维过程，使数学课堂更精彩。华南师范大学等已组 织举办了多届广东省的高等师范院校的“说题”比 赛，取得了良好的效果，说题作为一种新型的校本 科研活动越来越引起了许多专家与创新研究型教师 的重视。本节公开课，就此进行尝试探索。
例题讲解
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.1【知此知彼------说题目】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
原始 问题
导数 大于0 恒成立
二次函数 小于0 恒成立
第二问：零点个数
1
2
3
原始问题
三次函数零点
函数图像的交点
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的 注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型 例题的讲解，让学生建立解决此类问题的模型，熟悉 思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通 法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生 掌握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化 归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法 等．对于学生而言，这些远远胜过掌握了某一道题的 解法。
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(5)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(6)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(7)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(8)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围；
(9)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2ຫໍສະໝຸດ )成立，求实数c的范围;(10)若x1
[-3,3],x2
[-4,4],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，求实数c的范围;
(2)若x1
[-3,3],x2
[-3,3],都有f(x1
)
g(x 2
)成立，
求实数c的范围；
1、完成作业题及其任意两个不同类的变式。 2、研究性学习：总结函数、导数、解析几何
中有关x1、x2的知识，最好附有例题。
预设变式：(3)若x [-3,3],都有f(x) g(x)成立，求实数c的范围；
(4)若x1
课前热身
本题命题内容为人教版高中数学选修11第三章“导数应用”第一节，主要考察导 数单调性的运用、导数在高次方程零点上的 运用，以及二次不等式恒成立问题.
数学思想上本题考察了转化与化归思想、 分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
这是为什 么呢？
这是为什 么呢？
第一问：单调性与导数
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
f(-a)
-a
-2
f(-2)
a2
(1)
3 a
解得a ？ f (2) t f (a)
f (3) f (2)
f(-a)
-3
-a
-2
f(-2)
f(-3)
a2
(2)
3 a
解得a ？ f (3) t f (a)
f (3) f (2)
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2017版人教A版高中数学选修1-1课件：模块复习课 第三
【解析】(1)因为f′(x)=3ax2+6x-6a,且f′(-1)=0,
所以3a-6-6a=0,所以a=-2.
(2)存在.因为直线m过定点(0,9),
先求过点(0,9)与曲线y=g(x)相切的直线方程,
设切点为(x0,3x02+6x0+12),又g′(x0)=6x0+6, 所以切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).
【易错警示】 1.关注导数的概念、几何意义
利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已
知,若切点未知,则设出切点,用切点坐标表示切线斜率.
2.正确理解单调性与导数、极值与导数的关系 (1)当函数在区间(a,b)上为增函数时,f(x)≥0. (2)f′(x0)=0是函数y=f(x)在x0处取极值的必要条件.
1 因为y′=3x2+6x,由题意令3x2+6x=9, 9
即x2+2x-3=0,解得x=1或x=-3,
,
当x=1时,切线方程为y+1=9(x-1),
即9x-y-10=0,
当x=-3时,切线方程为y+5=9(x+3),
即:9x-y+22=0.
【方法技巧】关于导数几何意义的应用 此类问题一般涉及:
(1)已知函数的图象上点的坐标,求该点处的切线斜率,
类型一
导数的几何意义
【典例1】(1)若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平
行于x轴,则a=__________.
(2)求垂直于直线2x-6y+1=0并且与曲】(1)对y=ax2-lnx求导得y′=2ax- 1 ,而x轴的 x 斜率为0,所以在点(1,a)处切线的斜率为y′|x=1=2a-
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.2.2(二)
答案
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题型探究
重点突破
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解 函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差. 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝xln110， 利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－xln110.
f′xgx－fx·g′x gfxx′＝________[g__x__]2_______
(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方
答案
思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确.f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2x·sin x＋x2·cos x.
∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)， 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12). 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟
解析答案
2′·x2－2·x2′ 3′·x3－3·x3′
＝
x4
＋
x6
＝－x43－x94.
解析答案
1－sin x (3)y＝1＋cos x；
解 y′＝11＋－csoins xx′
人教A版高中数学选修1-1第三章导数及其应用复习课说课教学课件(共32张PPT)
x[3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex,(aR)。
对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 数学思想上本题考察了转化与化归思想、分类讨论思想以及数形结合解决问题的能力.
1A、dd完Yx成ou 作r T业e[x题t 及3其， 任意两个)有 不同三 类的个 变式零 。 点，求实数t的取值范围。
导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 6【畅所欲言------说反思】 1、题目给的已知条件： 背景说明：高中数学复习课离不开解题，如何讲题、解题才能提高复习课的效率？波利亚在《怎样解题》中指出解题的四个步骤：“ 弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”， 它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题 的思维过程看得见，摸得着，而“说题”就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来，要求学习者暴露面 对题目的思维过程，即“说数学思维”，这样可以及时了解学习动态，对症指导，从而提高复习效率。 6【畅所欲言------说反思】 怎样分离变量？要变成怎样的目标呢？ 导数、二次函数均是高考考试的热点，要引起足够的注意．对于三次函数的零点讨论问题，可以通过典型例题的讲解，让学生建立解 决此类问题的模型，熟悉思路．另外要注意对学生进行掌握解决问题的通性通法的渗透教育，通过典型问题潜移默化逐步培养学生掌 握常见的数学思想，如：分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等，还有如分离参数的方法等．对于学生而言，这些远远胜 过掌握了某一道题的解法。 出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这方面知识，同时它也反 应出用导数知识解决函数问题的基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总结。
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.1
又∵x>0，∴0<x< 33.
∴f(x)的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，
3 3 ).
解析答案
(4) f(x)＝x3－3tx. 解 f′(x)＝3x2－3t. 令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t， ∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，解 x2＞t 得 x＞ t或 x＜－ t；
导数
单调递_增__
f′(x) ≥0
单调递_减__
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？ 答案 必要不充分条件.
答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 求可导函数单调区间的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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题型探究
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明
证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数.
12345
解析答案
12345
2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数； 当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.3
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解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
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4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
高中数学第三章导数及其应用本章整合课件新人教A版选修1_1
1 2
因为 f(x)的定义域是(0,+∞), 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0;当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以当 a=4 时,x=2 是一个极小值点,故 a=4.
专题1
专题2
专题3
专题4
(2) 解: 因为
������ f'(x)=x− ������
=
������2 -������ , ������ (������+ ������)(������- ������) , ������
16 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为− 3 , 求������(������)
2
1
1
2 ,+∞ 3
内存在单调递增区间, 求������的取值范围;
在该区间上的最大值.
解:(1)f'(x)=-x +x+2a=−
2
1 2 ������- 2
专题1
专题2
专题3
专题4
专题2 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 利用导数研究函数的性质,彰显了导数是研究函数性质的强有力 工具,因此,应熟练掌握利用导数研究函数性质的方法. (1)在研究函数的单调性方面,主要有两种题型:一是求单调区间; 二是根据单调性求参数的取值范围,这类题目中,通常根据单调性 得恒成立不等式,然后再分离参数求解. (2)在研究函数的极值方面,主要有三类题型:一是求极值;二是已 知极值求参数值,在这类题中,由于导数为零是函数取得极值的必 要非充分条件,所以解出结果后要注意检验;三是解答函数零点或 方程根的个数问题. (3)在研究函数最值方面,主要是求最值与已知最值求参数.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1
sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
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Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
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D 典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
第3章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修1-1课件
∴Δ＝1－12b≥0，得 b≤112.
(2)由题意知 x＝1 是方程 3x2－x＋b＝0 的一个根．
设另一个根为 x0，则xx00×＋11＝＝b313
，解得x0＝－23 . b＝－2
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋c. f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
当 x∈(－23，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(－1，－23)和(1,2]时，f′(x)>0. ∴当 x＝－23时，f(x)有极大值2227＋c. 当 x＝1 时，f(x)有极小值－32＋c.
1.注意区分“曲线在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的 切线”．
2．导数公式与导数的四则运算法则． (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax －1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数 值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一．定． 是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－e13
增
故函数 g(x)在 x＝3 处取得极小值，亦即最小值，
(2)由题意知 x＝1 是方程 3x2－x＋b＝0 的一个根．
设另一个根为 x0，则xx00×＋11＝＝b313
，解得x0＝－23 . b＝－2
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋c. f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
当 x∈(－23，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(－1，－23)和(1,2]时，f′(x)>0. ∴当 x＝－23时，f(x)有极大值2227＋c. 当 x＝1 时，f(x)有极小值－32＋c.
1.注意区分“曲线在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的 切线”．
2．导数公式与导数的四则运算法则． (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax －1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数 值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一．定． 是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－e13
增
故函数 g(x)在 x＝3 处取得极小值，亦即最小值，