直线方程的点斜式复习过程
§ 3.2.1直线的点斜式方程
§ 3.2.1直线的点斜式方程12都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 .二、新课导学：※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？直线的方程怎么表示？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程 为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线 叫做直线的斜截式方程.注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标.问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题例1 直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ； ⑵直线过点(1,2)-，且平行于y 轴的直线方程 ； ⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程 .例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴ ，在y 轴上的距截是－2；⑵ 斜角是0135，在y 轴上的距截是0变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.练1. 求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2. 求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※ 学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提下才能使用.※ 当堂检测1. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）. A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)--2. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程 .3. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.4. 直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.§ 3.2.2直线的两点式方程3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 .2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为_________________________________，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例 已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程 叫做直线的截距式方程.注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※ 典型例题例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程. ⑴(2,1),(0,3)A B -； ⑵(4,5),(0,0)A B --.练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴ 倾斜角为045，在y 轴上的截距为0；⑵ 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6； ⑶ 在x 轴上截距是－3，与y 轴平行； ⑷ 在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.例2. 过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.例 3. 已知一直线被两直线1:460l x y ++=，2l ：3x 560y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.三、总结提升：1.中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.2．直线方程的各种形式总结为如下表格：3.在方程0Ax By C ++=中，,,A B C 为何值时，方程表示的直线⑴平行于x 轴；⑵平行于y 轴；⑶与x 轴重合；⑷与y 重合.§ 3.2.3直线的一般式方程知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，Ax By C简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平++=中，,,Ax By C行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.※典型例题例1 已知直线经过点(6,4)A -，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线l 的一般式方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y 轴上的截距，并画出图形⑴350x y +-=；⑵145x y-=；⑶20x y +=；⑷7640x y -+=；⑸270y -=.※ 动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）. A ．360x y ++= B ．320x y -+= C ．360x y +-= D ．320x y --=2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）. A ．1A ≠ B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠ 3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y + 20-=平行，则m = .1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.。
直线的点斜式方程(张爽)
y − y0 = k ( x − x0 )
概念理解
斜率是k的直线 上的点 上的点,其坐标代入都 （1）过点 0(x0,y0) 斜率是 的直线 l上的点 其坐标代入都 ）过点p 满足方程y-y 满足方程 0=k(x-x0)吗？ 吗 （2）坐标满足方程 0=k(x-xo)的点都在过点 p0(x0, y0) ,斜 ）坐标满足方程y-y 的点都在过点 斜 率为k的直线 上吗 率为 的直线l上吗？ 的直线 上吗？
x
学以致用
1.已知直线经过点p(3,4)，求 （1）倾斜角为0°时的直线方程； （2）斜率为２时的直线方程； （3）倾斜角为90°时的直线方程. 2.经过点p(2,3),倾斜角是30°的直线方程.
3.经过A(-2,-3),B(0,0)两点的直线的点斜式方程. 4.经过点p(0,3),斜率是1的直线方程，并画出图 形.
经过探究,上述两条都成立 所以这个方程就是过 经过探究 上述两条都成立,所以这个方程就是过 上述两条都成立 的直线l的方程 的方程． 点p0(x0,y0)，斜率为 k 的直线 的方程． ，
直线的点斜式方程
方程y-y 由直线上一点 方程 0=k(x-x0)由直线上一点 0(x0,y0)及 由直线上一点p 及 斜率k确定 把这个方程叫做直线的点斜式方 确定， 其斜率 确定，把这个方程叫做直线的点斜式方 简称点斜式 点斜式． 程，简称点斜式．
x − x0 = 0
或
x = x0
x 点斜式的局限性： 点斜式的局限性：只适用于斜率存在 的情形。 的情形。
当直线L的倾斜角为0 当直线L的倾斜角为0°时,直 线的方程怎么表示？ 线的方程怎么表示？
倾斜角为0 倾斜角为 ° 如图： 如图：
y
则 直线与x轴平行或重合；
直线方程的点斜式
3.2.1直线的点斜式方程
一、复习与引入
是不是所有直线都有斜率？怎样求解直线的斜率？
1:不是所有直线都有斜率，倾斜角为900的直线 没有斜率
2：直线的斜率有两种求解方法：
Ⅰ: 根据倾斜角来求 k tan
注：当 为钝角时 k tan tan(1800 )
Ⅱ: 根据直线上任意两点的坐标来求
例2 已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k 2x＋b2， 试讨论：（1）l1 // l2的条件是什么？（2）l1 l2的 条件是什么？
对于直线 l1 : y k1x b1
l2 : y k2x b2
Байду номын сангаас
l1 // l2 k1 k 2 , 且b1 b2
l1 l2 k1k 2 1
P2 P1
P1 P2
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
有斜率情况 ka kb a∥b
两条直线平行 无斜率情况 要无都无
有斜率情况 ka • kb 1 a⊥b
两条直线垂直
无斜率情况 一个没有，一个为0
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4。
y y0 0
y y0
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
?当过定点P（ 0 x0，y0），且直线l的倾斜角为90。时， 直线的方程是什么？
y l
.
x x0
P0 (x0 , y0 )
注意：不能用点斜式
O
x
1、直线方程的点斜式： y y0＝k（x x0）
例1 一条直线经过点P0（ 2，3），倾斜角＝45。， 求这条直线方程，并画出图象。
高一数学复习考点知识专题讲解3----直线的点斜式方程
高一数学复习考点知识专题讲解直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．知识点直线的点斜式方程和斜截式方程类别点斜式斜截式适用范围斜率存在已知条件点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距思考1经过点P0(x0，y0)且斜率不存在的直线能否用点斜式方程来表示？答案不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.思考2直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件？答案(1)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.思考3直线在y轴上的截距是距离吗？答案不是，距离和截距是两个不同的概念，距离非负，而截距是一个数值．1．直线的点斜式方程也可写成y －y 0x －x 0＝k ( × )2．y 轴所在直线方程为x ＝0.( √ )3．直线y －3＝k (x ＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) 4．直线y ＝2x －3在y 轴上的截距为3.( × )一、求直线的点斜式方程例1 已知在第一象限的△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，∠B ＝45°，求： (1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 边与BC 边所在直线的方程． 解 (1)如图所示，因为A (1,1)，B (5,1)，所以AB ∥x 轴， 所以AB 边所在直线的方程为y ＝1. (2)因为∠A ＝60°， 所以k AC ＝tan 60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)． 因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan 135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)． 反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)． (2)点斜式方程y －y 0＝k ·(x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外． 跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)过点P (4，－2)，倾斜角为150°； (2)过两点A (1,3)，B (2,5)．解 (1)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33， ∴直线的点斜式方程为y ＋2＝－33(x －4)． (2)∵k ＝5－32－1＝2，∴直线的点斜式方程为y －3＝2(x －1)． 二、直线的斜截式方程例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2， 又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2， 所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2. 由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2. 延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2， ∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟 求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y 轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2；(3)倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5.解 (1)y ＝2x ＋5.(2)∵α＝150°，∴k ＝tan 150°＝－33，∴y ＝－33x －2. (3)∵y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°， ∴所求直线的倾斜角为α＝120°×14＝30°，∴k ＝tan 30°＝33，∴y ＝33x －5.点斜式方程和斜截式方程的应用典例 (1) 求证：不论a 为何值，直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )恒过定点； (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ (1)证明 将直线方程变形为y －2＝a (x －3)， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3,2)． (2)解 由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．[素养提升](1)直线过定点问题可以结合直线方程的点斜式的意义结合图形探求和证明．(2)在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和截距，突出考查直观想象和数学运算的核心素养．1．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( ) A ．x ＝3 B ．y ＝－5 C ．2y ＝x D ．x ＝4y －1 答案 B2．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 3．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( ) A ．9 B ．－9 C.274 D ．－274答案 B解析 由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.4．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －2答案 D解析∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝3，∴直线l的方程为y＝3x－2.5．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 由y ＋2＝－x －1，得y ＋2＝－(x ＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2)． 2．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( ) A ．60°，2 B ．120°，2－ 3 C ．60°，2－3D ．120°，2 答案 B解析 该直线的斜率为－3，当x ＝0时，y ＝2－3， ∴其倾斜角为120°，在y 轴上的截距为2－ 3.3．与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)答案 C4．过点(－1,3)且平行于直线y ＝12(x ＋3)的直线方程为( )A ．y ＋3＝12(x ＋1)B ．y ＋3＝12(x －1)C ．y －3＝12(x ＋1)D ．y －3＝12(x －1)答案 C解析 由直线y ＝12(x ＋3)，得所求直线的斜率为12，其方程为y －3＝12(x ＋1)，故选C.5．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4 B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案 D解析 由题意可设所求直线方程为y ＝kx ＋4，又由2k ＝－1，得k ＝－12，∴所求直线方程为y ＝－12x ＋4.6．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案 y ＝3x －6或y ＝－3x －6 解析 因为直线与y 轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为3或－3， 又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6. 7．不管k 为何值，直线y ＝k (x －2)＋3必过定点________． 答案 (2,3)解析 化为点斜式y －3＝k (x －2)．8．已知直线l 的方程为y －m ＝(m －1)(x ＋1)，若l 在y 轴上的截距为7，则m ＝________. 答案 4解析 直线l 的方程可化为y ＝(m －1)x ＋2m －1， ∴2m －1＝7，得m ＝4. 9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行； (2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直． 解 (1)∵l 1∥l 2，∴两直线斜率相等． ∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1. (2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，直线l 与x 轴交点坐标为(a ，0)，且a 比直线在y 轴上的截距大1，求直线l 的斜截式方程． 解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，由32x ＋b ＝0得a ＝－23b ，在y 轴上的截距为b ， 所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的斜截式方程为y ＝32x －35.11．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.12．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )答案 D解析 对于A ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B ，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C ，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D ，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0.故选D.13．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k >0时，直线过第三象限； 当k <0时，直线不过第三象限．14．将直线y ＝x ＋3－1绕其上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________． 答案 y －3＝3(x －1)解析 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为 3. 又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程可得y －3＝3(x －1)．15．(多选)若AC ＜0，BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 ABD解析 将Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式为y ＝－A B x －C B ，∵AC ＜0，BC ＜0，∴AB ＞0，∴k ＜0，b ＞0. 故直线通过第一、二、四象限．16．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程． 解 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k ＋2.11 / 11 令y ＝0得，x ＝2k －2k， 由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪2k －2k ×2＝2. 解得k ＝12. 可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)， 综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．。
直线方程的点斜式
3.2.1直线的点斜式方程一、教学要求：明白直线可以由直线线上的一点坐标与斜率确定，会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程，会根据直线的点斜式方程求直线的截距。
二、教学重点：直线点斜式方程的理解与求解，由点斜式方程求直线的截距。
三、教学难点：直线点斜式方程的理解与求解。
四、教学过程：（一）、复习准备：1. 直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?2. 提问：两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?（二）、讲授新课：直线点斜式方程的教学:①已知直线上一点与这条直线的斜率，设为直线上的任意一点，则有：⑴探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?满足方程⑴的所有点是否都在直线上?点斜式方程：方程⑴:称为直线的点斜式方程.简称点斜式.②讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)结论:不能表示垂直于轴的直线.③斜截式方程:由点斜式方程可知,若直线过点且斜率为,则直线的方程为:方程称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中为直线在轴上的截距.④能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.( 截距就是函数图象与轴交点的纵坐标)⑤教学例题:⒈直线经过点,且倾斜角为,求直线的点斜式方程并画出直线图象.⒉求下列直线的斜截式方程:⑴斜率为3,在轴上的截距为1:⑵斜率为,在轴上的截距为5;⒊把直线的方程化成，求出直线的斜率和在y轴上的截距，并画图．（三）.:练习与提高:1.已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式和斜截式.2.方程表示过点、斜率是、倾斜角是、在y轴上的截距是的直线。
3.已知直线的方程为,求过点且垂直于的直线方程.（四）小结: 点斜式. 斜截式. 截距（五）:作业, 3. 5题.。
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
直线的点斜式方程知识讲解
变式：已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为 y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同， 求直线l的方程。
练习
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kl 23 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
试讨:(1论 )l1∥ l2的条件是 ? 什么
(2l1)l2的条件是 ? 什么
l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2
l1 ∥ l2 k1 k2 ,且b1 b2 l1 l2 k1 k2 1
练习
判断下列各直线是否平行或垂直
(1)
l1
:
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
x
3
1 l2 : y 2 x 2
P1 °°5
-°5 O
x
练习
1、写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过 A(3,1),斜率是 2 (2)经过 B( 2,2),倾斜角 300是 (3)经过 C(0,5),倾斜角 00是
(1) y 1 2 ( x 3)
(2) y 2 3 ( x 2 ) 3
(3) y 5
练习
2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜 率和倾斜角：
(一)直线的点斜式方程
(1)直角坐标系内确定一条直线的几何要素？
(2)在平面直角坐标系内，如果给定一条直线 l经过
的一个点 P0 x0,y0 和斜率 k ，能否将直线上所
有的点的坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
y
数学复习：直线的点斜式方程
数学复习：直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，射击手需达到上述的两个动作要求．一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1(教材60页例1改编)根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3；(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°.解(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1)．反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．跟踪训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝3x的倾斜角的2倍；3(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解(1)∵直线y＝33x的斜率为33，∴直线y＝33x的倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y＋3＝3(x－2)，即3x－y－23－3＝0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率k PQ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.二、直线的斜截式方程问题2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程．提示y＝kx＋b知识梳理1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．例2已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y 轴上的截距相同，求直线l的方程．解由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以k l＝－2.由题意知，l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.延伸探究本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12.∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．跟踪训练2已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程．解设l ：y ＝－43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b .由题意，得12·|b |·|34b |＝6，∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4.三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m .由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23；由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83，－3m 8·1无解．故当m ＝－23时，l 1与l 2平行；当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.跟踪训练3(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？(2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？解(1)由题意可知，1l k ＝－1，2l k ＝a 2－2，∵l 1∥l 2，2－2＝－1，a ≠2，解得a ＝－1，故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，1l k ＝2a －1，2l k ＝4，∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合法．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为()A ．9B ．－9C ．274D ．－274答案B解析由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.2．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2D．y＝3x－2答案D解析设直线l的倾斜角为α，则α＝60°，∴k＝tan60°＝3，∴直线l的方程为y＝3x－2.3．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有()A．k>0，b>0B．k>0，b<0C．k<0，b>0D．k<0，b<0答案B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________.答案－1解析由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.课时对点练1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为() A．x＝3B．x＝－2C．y＝3D．y＝－2答案D解析∵直线与x轴平行，∴其斜率为0，∴直线的方程为y＝－2.2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是() A．y－1＝x B．y＋1＝xC．y－1＝－x D．y＋1＝－x答案B解析∵直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率为1，又∵直线l过点(0，－1)，∴直线l的方程为y＋1＝x.3．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为() A．60°，2B．120°，2－3 C．60°，2－3D．120°，2答案B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.4．过点(－1,3)且垂直于直线y＝12x＋32的直线方程为()A．y－3＝－2(x＋1)B．y－3＝－2(x－1)C．y－3＝－12(x＋1)D．y－3＝12(x＋1)答案A解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为－2，故方程为y－3＝－2(x＋1)．5．以A(2，－5)，B(4，－1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A．y－(－3)＝2(x－3)B．y－3＝2(x－3)C．y－3＝－12(x－3)D．y－(－3)＝－12(x－3)答案D解析由A(2，－5)，B(4，－1)，知线段AB的中点坐标为P(3，－3)，又由斜率公式可得k AB＝－1－(－5)4－2＝2，所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝－1k AB＝－12，所以线段AB的垂直平分线的方程为y－(－3)＝－12(x－3)．6．(多选)已知直线l：y＝3x－1，则() A．直线l过点(3，－2)B．直线l的斜率为3C．直线l的倾斜角为60°D．直线l在y轴上的截距为1答案BC 解析对于A ，将(3，－2)代入y ＝3x －1，可知不满足方程，故A 不正确；对于B ，由y ＝3x －1，知直线l 的斜率为3，故B 正确；对于C ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝3，可得α＝60°，故C 正确；对于D ，由y ＝3x －1，令x ＝0，可得直线l 在y 轴上的截距为－1，故D 不正确．7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________．答案y ＝3x －6或y ＝－3x －6解析因为直线与y 轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为3或－3，又因为在y 轴上的截距为－6，所以直线的斜截式方程为y ＝3x －6或y ＝－3x －6.8．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________．答案y －1＝－(x －2)解析直线l 2的斜率k 2＝1，故l 1的斜率为－1，所以l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．9．求满足下列条件的m 的值．(1)直线l 1：y ＝－x ＋1与直线l 2：y ＝(m 2－2)x ＋2m 平行；(2)直线l 1：y ＝－2x ＋3与直线l 2：y ＝(2m －1)x －5垂直．解(1)∵l 1∥l 2，∴两直线的斜率相等．∴m 2－2＝－1且2m ≠1，∴m ＝±1.(2)∵l 1⊥l 2，∴2m －1＝12，∴m ＝34.10．直线l 过点(2,2)，且与x 轴和直线y ＝x 围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经检验符合题目的要求．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2k －2k ，由三角形的面积为2，得12×|2k －2k |×2＝2.解得k ＝12.可得直线l 的方程为y －2＝12(x －2)．综上可知，直线l 的方程为x ＝2或y －2＝12(x －2)．11．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与直线y ＝x ＋a 的图象(如图所示)正确的是()答案C 解析对于选项A ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B ，y ＝ax 过坐标原点，且a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；对于选项C ，y ＝ax 过坐标原点，且a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D ，两直线均不过原点，不符合题意．12．已知直线l ：y ＝x sin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案D 解析结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0，则角θ是第四象限角．13．设a ∈R ，如果直线l 1：y ＝－a 2x ＋12与直线l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1平行，那么a ＝________.答案－2或1解析由l 1∥l 2，得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1.14．将直线y ＝3(x －2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是________________.答案y ＝－3(x －2)解析∵直线y ＝3(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针方向旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－3，且过点(2,0)，∴其方程为y －0＝－3(x －2)，即y ＝－3(x －2)．15．已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案－2，12解析由已知得，直线l 恒过定点P (2,1)，如图所示．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB ，因为k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，所以－2≤k ≤12.16．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1.(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．(1)证明由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．(2)解设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，－3)≥0，3)≥0，3k ＋2k ＋1≥0，k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是－15，1.。
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直线方程的点斜式
§1.2直线方程的点斜式
【课时目标】审查人：1．掌握直线点斜式方程；
2．会由直线的一点坐标与斜率求直线的方程；
3. 培养学生分析问题、提出问题的思维能力；
重点：直线的点斜式方程
难点：直线点斜式方程的理解与应用
【知识梳理】
1.点斜式
（1）直线l过点p x y
000
(,)，且斜率为k，点斜式方程
为：。
（2）平面上的所有直线都能用点斜式方程表示吗?
2．斜截式
（1）截距是指直线与x轴（或y轴）交点的（或）。
（2）直线l过点p(0,b)，且斜率为k，斜截式方程
为：。
（3）截距和距离一样都是非负的吗？
【知识应用】
1. 直线4x+3y-7=0的斜率是（）
A．4 B.-4 C.
4
3
D.
4
3
2．直线方程可表示成点斜式方程的条件是
（A）直线的斜率存在（B）直线的斜率不存在（C）直线不过原点（D）不同于上述答案
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谢谢3
3．直线a ax y 1-
=的图象可能是
A B C D
4．斜率与直线3x-2y=0的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程为
_____ ；
5.方程()331--=+x y 表示过点______、斜率是______、在y 轴
上的截距是______的直线。
6．写出下列直线的方程：
(1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；
(3)经过点E(4，-2)，倾斜角是90°．
7．写出下列直线的斜截式方程：
y o y o y x x y
x x
(2)倾斜角是0°，y轴上的截距是3．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4。