2.1.2.1 直线方程的点斜式 课件(北师大必修2)(2)

3 若(2k＋3)(k＋2)＝8， 则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解． 3 若(2k＋3)(k＋2)＝－8， 则整理得4k2＋20k＋9＝0， 1 9 解之，得k＝－ 或k＝－ . 2 2 所以直线l的方程为x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.
直线y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)的图像是(
[小问题·大思维]
y－y0 1．方程 y－y0＝k(x－x0)与方程 k＝ 是等价的吗？ x－x0 y－y0 提示：方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝ 不是等 x－x0
价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0) 的一条直线．
2．方程为y＋3＝k(x＋2)的直线过的定点是什么？ 提示：由y＋3＝k(x＋2)可得，y－(－3)＝k[x－ (－2)]因此，直线过定点(－2，－3)． 3．直线的截距是与坐标轴的交点到坐标原点的距离吗？
(4)根据经过两点的直线斜率公式得直线 CD 的斜率 －2－6 8 k＝ ＝ ， －3－2 5 8 该直线的点斜式方程为 y－6＝ (x－2)， 5 可化为 8x－5y＋14＝0，如图④所示．
[悟一法] 利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一
点，并确定其坐标(x0，y0)；②判断斜率是否存在，若
D中，k<0，b<0.
[答案] B
法二：由于直线过点(－1,2)和(0，－2)， －2－2 ∴直线斜率k＝ ＝－4， 0－－1 又∵直线在y轴上的截距为－2， ∴斜截式方程为y＝－4x－2.
[悟一法] 1．已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜 截式写出直线方程． 2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率
是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方
存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时， 方程为x＝x0)．
[通一类] 1．求满足下列条件的直线方程： (1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x轴平行； (3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；
(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)
解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，由直线方程 的点斜式，得直线方程为y－3＝－3(x＋4)， 即3x＋y＋9＝0.
(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方 程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5. －4－3 (4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝ 5－－2 －7 ＝ ＝－1.又∵直线过点P(－2,3)， 7 ∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1(x＋2)， 即x＋y－1＝0.
)
[解析] 法一：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k b ＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0时，x＝－ k ＝1，所以直 线过点(1,0)．
法二：已知k＋b＝0，所以k＝－b，代入直线方程， 可得y＝－bx＋b，即y＝－b(x－1)．又k≠0，所以b≠0，所 以直线过点(1,0)．
法三：由直线方程为y＝kx＋b，可得直线的斜率为k， 在y轴上的截距为b.因为k＋b＝0，所以k＝－b，即直线的 斜率与直线在y轴上的截距互为相反数．选项A中，k>0， b>0；选项B中，k>0，b<0；选项C中，k<0，b＝0；选项
提示：不是．截距是一个数值，可正、可负、也可
以为零．当截距为非负数时它等于交点到坐标原点 的距离，当截距为负数时它是交点到坐标原点距离 的相反数．
[研一题]
[例1]
根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．
(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为30°； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C(2,6)，D(－3，－2)．
[自主解答]
(1)这条直线经过点A(－1,4)，斜率k＝－3，
点斜式方程为y－4＝－3[x－(－1)]， 可化为3x＋y－1＝0，如图①所示．
(2)由于直线经过原点(0,0)， 3 斜率 k＝tan 30° ＝ ， 3 3 点斜式方程为 y＝ x，可化为 x－ 3y＝0，如图 3 ②所示． (3)由于直线经过点 B(3，－5)且与 x 轴垂直， 所以直线方程为 x＝3，如图③所示．
[读教材·填要点] 1．直线方程的点斜式和斜截式 方程 名称 已知条件 直线方程 y－y0＝ k(x－x0) 示意图 应用范围 直线不与x轴 垂直 直线不与x轴 垂直
及 斜率k 直线l的斜率k 斜截式 及在y轴上的 截距b
y＝kx＋b
2．直线l的截距 (1)在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0，b)的 纵坐标 ． (2)在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的 横坐标 ．
[研一题] [例2] 求满足下列条件的直线方程： (1)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－3；
(2)经过点A(－1,2)，在y轴上的截距为－2.
[自主解答]
(1)所求直线的斜率 k＝tan 60° 3. ＝
又直线在 y 轴上的截距为－3，代入直线的斜截式方程， 得 y＝ 3x－3，即 3x－y－3＝0. (2)法一：∵直线在 y 轴上的截距为－2， ∴设直线的斜截式方程为 y＝kx－2， ∵点 A(－1,2)在此直线上， ∴2＝k· (－1)－2，∴k＝－4， ∴直线方程为 y＝－4x－2.
程表示，在y轴上也没有截距．
[通一类] 2．已知直线l过点(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面
积为4，求直线l的方程．
解： 显然， 直线 l 与两坐标轴不垂直， 否则不构成三角形， 设其斜率为 k(k≠0)，则直线 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 3 令 x＝0，得 y＝2k＋3，令 y＝0，得 x＝－k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 3 |(2k＋3)(－k－2)|＝4， 2 3 即(2k＋3)(k＋2)＝± 8.