2019-2020学年高中数学新教材必修一第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－a2＝－b3
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－a2＝－b3，正确，不合题意．故选C.]
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A．(x－2)2
B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2
D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选 B.]
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合作探究 提素养
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等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；
③－2x＝－2y；④
x y
＝1；⑤
x－2 3
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2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等 式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代 数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x ＋b)＝x2＋_(_a_＋__b_)_x_＋_a_b_.
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1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果 a＝b，那么 a＋c＝b－c B．如果 a2＝3a，那么 a＝3 C．如果 a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么 a＝b
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D [A.当 a＝b 时，a＋c＝b＋c，故 A 错误；B.当 a＝0 时，此时 a≠3，故 B 错误；C.当 c＝0 时，此时ac与bc无意义，故 C 错误；故选 D.]
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1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底， 要注意符号的变换．
2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解． 3．方程的解集要写成集合的形式．
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当堂达标 固双基
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1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1
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【例3】 十字相乘法分解因式： (1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.
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[解] (1)因为 所以：原式＝(x＋7)(x－8)．
(2)因为 所以：原式＝(x－2)(x－8)．
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常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异 号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括 号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
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[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即 (x－2)(x＋2)＝ 0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－ 2,2}．
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(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x ＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x ＝87或x＝32，
故原方程的解集为87，32.
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用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤 1移项，将一元二次方程的右边化为0； 2化积，利用提取公因式法、公式法等将一 元二次方程的左 边分解为两个一次因式的积； 3转化，两个因式分别为0，转化为两个一 元一次方程 4求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解； 5将其解写成集合的形式.
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2m
B．3n＋m
C．3n－m
D．3n＋2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]
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3．下列方程的解正确的是( ) A．x－3＝1的解集是{－2} B.12x－2x＝6的解集是{－4} C．3x－4＝52(x－3)的解集是{3} D．－13x＝2的解集是－32
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1．设x，y，c是实数，下列正确的是( ) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则xc＝yc D．若2xc＝3yc，则2x＝3y
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B [A.两边加不同的数，故A不符合题意； B．两边都乘以c，故B符合题意； C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]
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2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；
(4)4x2y－2xy2＝2xy 中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
A [(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a ＝8a.所以 4 个算式都错误．故选 A.]
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自主预习 探新知
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1．等式的性质 性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)， 等式仍成立． 用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a±c＝ b±c . 性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数 或代数式不为 0)，等式仍成立． 用字母表示为：如果 a＝b，则对任意的 c，都有 a×c＝ b×c ， a÷c＝ b÷c (c≠0)．
第二章 等式与不等式
2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集
2
学习目标
核心素养
1.理解且会运用等式的性质．(重 1.借助等式的性质，培养逻辑推理
点) 的素养．
2．理解恒等式的概念，会进行恒 2．通过求方程的解集，提升数据
等变形．(难点) 分析、数学运算的核心素养.
3．会求方程的解集．(重点)
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3．已知 A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则 2A－3B 等于
() A．－x3＋6x2
B．5x3＋6x2
C．x3－6x
D．－5x3＋6x2
B [依题意，可得 2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6) ＝5x3＋6x2，故选 B.]
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4．x2－4 的因式分解的结果是( )
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恒等式的化简
【例2】 化简： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]．
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[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13. (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2. (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n. (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋ 8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
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B [方程x－3＝1的解是x＝4，12x－2x＝6的解是x＝－4,3x－4＝ 52(x－3)的解是x＝－7，－13x＝2的解是x＝－6，故选B.]
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4．方程2x－1＝0的解集是________．
1
2
[由2x－1＝0，解得x＝12，方程的解集是12.]
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课时分层 作 业
点击右图进入…
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Thank you for watching !
＝
y－2 3
；⑥
x a
＝
y a
.其中正确的有
()
A．①②③
B．④⑤⑥
C．①③⑤
D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤x－3 2＝y－3 2正确，故选 C.]
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在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同 乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐 含的条件.
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(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式 x2＋(a＋b)x＋ ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式 acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求 方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方 程的_解__集___．
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[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2. (2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－ 9)n＝－m＋4n. (3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－ 14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
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4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的一个根，
则a的值为( )
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
B
[∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－
5 2
ax＋a2＝0的
一个
根， ∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0, 解得a＝－1或a＝－4.]
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去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－” 号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号， 一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变 括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误.
2019-2020人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第2章+2.1.1 等式的性质和方程的解集及
是 x＝－7，－13x＝2 的解是 x＝－6，故选 B.]
4．方程 2x－1＝0 的解集是________．
1 2
[由 2x－1＝0，解得 x＝12，方程的解集是12.]
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2019-2020 人教 B 版数学必修第一册新教材同步讲义：第 2 章+2.1.1 等式的性质和方程的解 集及答案
②利用公式 acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过 程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的 变换．
2．十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解． 3．方程的解集要写成集合的形式．
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2019-2020 人教 B 版数学必修第一册新教材同步讲义：第 2 章+2.1.1 等式的性质和方程的解 集及答案
1．若 3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )
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2019-2020 人教 B 版数学必修第一册新教材同步讲义：第 2 章+2.1.1 等式的性质和方程的解 集及答案
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16. [解] (1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8)． (2)因为 所以：原式＝(x－2)(x－8)．
常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系 数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最 后结果不要忘记把提出的负号添上.
2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2
2019-2020学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性
2．1 等式性质与不等式性质1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．1．两个实数大小的比较如果a －b 是正数，那么a >b ；如果a －b 等于零，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b .反过来也对．这个基本事实可以表示为：a >b ⇔a －b >0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a <b ⇔a －b <0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc. 3．不等式的性质(1)如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a . (2)如果a >b ，b >c ，那么a >c .即a >b ，b >c ⇒a >c . (3)如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .(4)如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (5)如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (6)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N ，n ≥2)．温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．若a >b ，且ab >0，则1a 与1b的大小关系如何？[答案] 因为ab >0，所以a 与b 同号． 而1a －1b ＝b －a ab，又a >b ，所以b －a <0.所以1a －1b <0，即1a <1b2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc成立的充要条件．( ) (2)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( ) (3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x 表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．[解] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．[针对训练]1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．[答案] 12(a 2＋b 2)>ab2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m 的免票，身高1.2～1.5 m 的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m 的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？[解] 设身高为h m ， 文字表述 身高不 足1.2 m身高在1.2 ～1.5 m 间 身高超 过1.5 m符号表示 h <1.21.2≤h ≤1.5 h >1.5票价免费半价票全价票【典例2】 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．[思路导引] 我们知道，a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b .因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．[解] (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0， ∴x 2＋3>3x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． ∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0.∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[针对训练]3．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 和n 的大小．[解] ∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．4．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． [解] ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式 【典例3】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a <b <0，则a b >b a.其中正确命题的序号是________．(2)已知a >b ，e >f ，c >0.求证：f －ac <e －bc .[思路导引] (1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc >－ac ，再由性质5证明．[解析] (1)对于①∵c 2≥0， ∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2， ∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2， 但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．(2)证明：∵a >b ，c >0，∴ac >bc ， ∴－ac <－bc .∵f <e ， ∴f －ac <e －bc .[答案] (1)②④ (2)见解析(1)利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[针对训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd.[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. 6．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e(a －c )2>e(b －d )2.[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， 则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e(a －c )2>e(b －d )2.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路导引] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24 ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2. 又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)， 即－7<a －b <2.故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2.[变式] (1)在本例条件下，求a b的取值范围．(2)若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] (1)∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b<2. (2)设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ， 则a ＝x ＋y2，b ＝x －y2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2、α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14.两式相加得－12<α＋β2<12.∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13.又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0.课堂归纳小结1．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)． 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1．下列说法正确的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤2课后作业(十)复习巩固一、选择题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400[解析] x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. [答案] B2．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a －c >b －d[解析] 由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. [答案] C3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b[解析] a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x ) ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， ∴a ≥b . [答案] C4．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b[解析] 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.[答案] B5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0. [答案] A 二、填空题6．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．[答案] 2v 1＋100≤v 2，v 1>3v 37．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．[解析] ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x1＋x 2≤12. [答案]x1＋x 2≤128．已知不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ；⑤b <a 且ab >0；⑥a <b 且ab <0.其中能使1a <1b成立的是________．[解析] 因为1a <1b ⇔b －aab<0⇔b －a 与ab 异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使1a <1b.[答案] ①②④⑤⑥ 三、解答题9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab .∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a2b≥a ＋b .10．已知12<a <60,15<b <36，求a －b ，ab的取值范围． [解] ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15.∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4. 综合运用11．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[解析] A 选项中，若c ≤0则不成立；B 选项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 选项中，若a ，b 均为负数则不成立，故选D.[答案] D12．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2[解析] 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .[答案] A13．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是________．①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <a b .[解析] 当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，∴a 2b >ab 2，1a 2b >1ab 2，①错，②对；当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故③错．[答案] ②14．若x >1，－1<y <0，则x ，y ，－y ，－xy 由小到大的顺序是________________(用“<”连接)．[解析] ∵x >1，－1<y <0，∴0<－y <x .∵－y －(－xy )＝y (x －1)<0，∴－y <－xy ，∵x －(－xy )＝x (1＋y )>0，∴－xy <x ，∴y <－y <－xy <x .[答案] y <－y <－xy <x15．已知：－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求：9a －c 的范围． [解] 令⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝x 4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13(y －x )c ＝13(y －4x ).∴9a －c ＝83y －53x∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203① ∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20 ∴－1≤9a －c ≤20.。
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.1.1 等式性质与不等式性质
问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2 000本。如何 定价才能使提价后的销售总收入不低于20万 元呢？
分析：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为
8 x 2.5 0.2 x万元，
0.1
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”
于是就有：
a2 b2 2ab
结论：一般地， a,b∈R，那么a2+b2≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
你能给出证明吗？
数的角度（作差法）
证明：因为 a2+b2－2ab=(a－b)2 当 a=b时，(a－b)2 =0； 当a ≠ b时，(a－b)2 ＞ 0 所以， (a－b)2 ≥ 0 ，即a2+b2 ≥ 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
巩固练习
1、某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种。按照生产的要求，600 mm的 数量不能超过500 mm钢管的3倍。怎样写出满足所 有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600
mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等
am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
p
≥
2.3%
(3).设点A向直线l做垂线，垂足为D，B为
直线l上的任意一点,则 _A_D__≤_A_B_.
2.1.1等式的性质与方程的解集-【高效课堂】高一数学同步精讲课件(人教B版2019必修第一册)
= 3x 2 + 6x
将2 + 1和 − 1分别看作一个
整体，然后用平方差公式变形
跟踪训练:
化简( + 1)( − 1)( 2 − + 1)( 2 + + 1).
【解析】(x + 1)(x − 1)(x 2 − x + 1)(x 2 + x + 1)
= ( + 1)( 2 − + 1)( − 1)( 2 + + 1)
等式进行分类吗？
（1）2 − 2 =____________
( + )( − ) （平方差公式）；
（2）( + )2 =____________
2 + 2 + 2 （两数和的平方差公式）；
（3）3 − 6 = 0;
（4）( + )�� = + ;
（5）( − 1) = 0;
x 2 + (a + 2)x + 2
= (x + 2)(x + a)
探究点3 方程的解集
思考1：集合 = 2 + 3 + 2 = 0 与方程 2 + 3 + 2 = 0是什么关
系？
集合A中的元素是方程x 2 + 3x + 2 = 0的根
定义：一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
（1）如果 = ,则对任意，都有
a+c=b+c
（2）如果 = ,则对任意不为零的，都有
ac = bc
；
.
思考2：若 = ,是否能得出 = ？不一定.当 ≠ 时，若 = ,则 = .
《2.1.1等式的性质与方程的解集》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过实际操练和巩固练习，加深学生对等式性质和方程解集的理解。
学生需掌握等式的基本性质，能够识别并应用不同形式的等式；理解方程的解集概念，并能根据给定条件判断解集的范围。
二、作业内容1. 基础练习：- 练习等式的基本性质，如等式的加法、减法、乘法、除法性质。
- 识别并应用等式中的恒等式、比例关系等。
2. 方程解集探索：- 分析一元一次方程的解集，通过实际操作，了解方程的解与解集的关系。
- 针对不同类型的方程（如线性方程、二次方程等），理解其解集的确定方法。
3. 实际问题应用：- 结合实际生活问题，建立等式和方程模型，并求解。
- 让学生体验数学在现实生活中的应用，如物理问题中的等式关系、经济问题中的线性规划等。
三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，注重过程和结果，不仅仅是答案的正确性。
2. 对于基础练习部分，要求熟练掌握并准确应用等式性质和方程解集的相关知识。
3. 在实际问题应用部分，学生需运用所学知识，合理建立数学模型，并能够用准确的语言解释其过程和结果。
4. 学生在作业中需体现思考过程，不仅仅是答案的堆砌，要展示对知识的理解和运用能力。
5. 作业需按时提交，不得抄袭他人成果。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、解题思路和答案的准确性进行评价。
2. 鼓励学生对作业进行自评和互评，培养学生自我反思和批判性思维的能力。
3. 评价时注重学生的努力程度和学习态度，鼓励学生在学习过程中积极思考和创新。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出错误并给出正确答案及解题思路。
2. 对于共性问题，将在课堂上进行讲解和讨论，帮助学生更好地理解相关知识点。
3. 对于学生的进步和优点，及时给予肯定和表扬，激发学生的学习兴趣和自信心。
4. 根据学生的反馈情况，及时调整教学策略和方法，以提高教学质量和效果。
通过以上作业设计方案的实施，旨在帮助学生巩固等式的性质和方程的解集知识，提高其运用数学知识解决实际问题的能力。
2.1.1+等式的性质与方程的解集2023-2024学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
(2) 如果a=b，则对任意不为零的c，都有_______________.
ac=bc
因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个不为
零的数等于乘以这个数的倒数，所以上述等式性质中的
“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，
结论仍成立。
思考 1：下列各式是否正确？
x y
错因探究：未知数的系数含有字母，a＋3 与 0 的关系不确定，
b－1
因此应对 a 进行讨论，切勿直接利用等式的性质得出 x＝
.
a＋3
解析：当 a＝－3，b＝1 时，
由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝0，此时解集为 R；
当 a＝－3，b≠1 时，
由(a＋3)x＝b－1 得 0·x＝b－1，
此时解集为∅；
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，
a，b，都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，
留作练习。
可以利用这个恒等式来进行因式分解。给定式子x2 +Cx +D，
如果能找到a和b，使得 D=ab 且C=a+b，则
x2 +Cx +D=(x+a)(x+b)
对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等
式仍会成立，若用一z 替换其中的 y，则
(x－z)2=x2+2x(－z)+(－z)2
=x2－2xz＋z2，
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
典例精析
例1 化简(2x＋1)2－(x－1)2.
2.1等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
可乘性
a>b，c>0⟺ ac>bc；a>b，c<0⟺ ac<bc.
不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向； 不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
性质4扩展：如果a>b，c>0，则a/c>b/c； 如果a>b，c<0，则a/c<b/c.
例题讲解
例2
已知 a > b >0, c <0, 求证:
(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f 2.5%
应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于2.3%；
p
2.3%
(3)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
设三角形的三边分别为a,b,c，则有a+b>c,a-b<c.
O
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有直线中，垂线
l
段最短.
c aLeabharlann c＞b.
证明：因为a > b >0, 于是 a 1 b 1 ,
ab ab
即 1 1.
ba
由 c<0 , 得 c c , 即 c c.
ba
ab
思考？
能否用 作差法 证明 ？
新知初探 不等式的性质
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
ac>>db，⟺ a+c>b+d.
同向可加性
a>b⟺ b<a
性质1表明，把不等式的左边和右边交 换位置，所得不等式与原不等式异向，我 们把这种性质称为不等式的对称性．
新知初探 不等式的性质
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.
2019新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结
第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么a+c=b+c.(2妆口果a=b,那么ac = be或学=#(CH0).(3妆口果a=b, b=c,那么a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据：因d_/2>OOa>b：^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a<b.⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.知识点三两个实数大小的比较(1)“> 如凹"-b>0:(2)"=bO"-b 図=0：(3)固αvZ?Ua —b<0.知识点四不等式的性质⑴如果a>b,那么b<a；如果b<cb那么回“>/?,即国台Z?V".(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即a>b, b>c=叵I ">c.(3)如果a>b,那么d+o画R+c.(4)如果a>b, c>0,那么ac >bc；如果a>b, c<O,那么UC <bc.(5)如果a>b, OcL那么α+c 画 >/?+〃.(6)如果a>b>O, c>d>O,那么ac回如果α>b>O, c<(l<0,那么ac 回G"∙⑺如果a>b>O,那么0 凹R"(n∈N, π≥2).(8)如果回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).【新知拓展】1.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?—d.2.常用的结论(1 )a>b,(2)bvO<"W>*;(3)a>b>O,o√>0=>^>p... r,I a a+m a a~m b b+m b b~m(4)右Qb>0,加>0,则沪书p丹百卩一心0)； £片；茗二需(方_心0).3.比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二者并用.4.利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小:(1)已知S 〃为正数，且a≠b,比较/+，与局+“2；⑵已知XV1,比较X3-I与2X2-2X:(3)已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与〃的大小.［解］(1 )(Λ3 ÷b3)—(a2b ÷ ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2{a-b)-b2(a—b)= (a-b)(a2-b2)= {a~b)2(a+b).Vt∕>O, b>0 且a≠b, Λ(a-b)2>Q9 a+b>O9/. (a y÷ /?3) — (a2b ÷ ab2)>O,即cr+b^>a2b+ab2.(2)X3- 1 — (2x2-2x)=x3-2X2÷2X- 1=(√-X2)-(X2-2X÷1)=X2(Λ:- I)-(X-1)2= (X-I)(X2-χ+1) = (X- 1 {(^-∣)2+∣•Txvl, Λχ- l<0.X^x-^2÷j>0,•••(XT)-(x^⅛+fl <0, ΛX3~1<2Λ2~2X.4 x+y 4 (x+y)2_4Xy (χ∙~y)'χ+y Xy x+y Q(X+y) xy(x÷y)* 乂“ y均为正数，Λ.r>0, y>0, xy>0, x÷y>0, (X-y)2≥0.Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时，等号成立)・金版点睛作差比较法的四个步骤［结论〕—(根据差的符号，判断两数(式)的大小「题型二 不等式的性质及应用例2下列命题正确的是 ___________②α>b 且 c>d=>ac>bch解析］①戸’ n 知 当XO, b>0时，满足已知条件，但推不出a>b, IoO (・•・①错误.②当a = 3, b=∖, C= —2, Cl=—3时，命题显然不成立∙ ∙°∙②错误•④显然c 2>0t Λ两边同乘以$得a>b.④正确.［答案］③④金版点睛 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所 需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结 论，也可举出一个反例予以否定・题型三 利用不等式的性质证明不等式例 3 (1)已知e>f 9 c>0,求证：f-ac<e~bc;(2)已知CVdV0,求证：土缶；-∖a>h>09‰>o一成立・・：③正确・ ③a>b>O 且 c>√>0=>=>^>p*0=>(3)已知bc-ad20, bd>O.求证：一T —W 〃・［证明］(I)Tα>∕?, c>O, .*.ac>hc./. -ac<-hc.'∙f<e,:・f— ac<e—be.(2) T CVdVO, /. —c>—d>0.乂a>b>O, C. ci—c>b—d>0.(3) •： be—adMO, :∙QdWbc,乂T bcl>O,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件.(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围；(2)已知一∣≤cc<^≤^,求笞迫，生亍©的取值范圉.［解］(I)V3≤∕^<10,・•・一10v-bW-3.乂2<t∕≤5τ •：—8<f∕-Z>≤2.⑵T —彳WaV厂W号,・•・-共鈴γ<⅛两式相加得一两式相加得一又*0,・・・三篡0, Λ［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+b,“b的取值范围.解由2<t∕≤5,3≤^<10 得2 +3 V/+b<5 ÷ 10,2 ×3<ab<5 ×10,即5<a÷b< 15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的"范围”间的联系.如已知20<x+yV30,15Vχ-y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出X, y的范围，再求"+3y的范围，应把已知的"x+y” “x—y” 视为整体，即2x+3y=I(X+>-)—∣(Λ—y),所以需分别求出∣(x+y), —∣(χ-y)的范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 •熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.【知识导学】知识点一基本不等式如果。
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修一教案：第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质与不等式性质
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质教学设计学过程二．知识探究【师】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mum和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：归纳小结：数运算性质与大小顺序之间的关系2比较两个实数a，b大小的方法；（1）作差a-b-—变形—与0比较—得出结论，1.（2）作商ab———变形-一与1比较一得出结论（作商的前提是两个数同号）三、典例分析：试比较下列各组数的大小,其中x R∈(1)61x+与42x x+61x+42()x x-+6421x x x=--+422(1)(1)x x x=---24(1)(1)x x=--222(1)(1)x x=-+当1x=±时, 61x+42()x x=+;当1x≠±,61x+42()x x>+.(2) a ba b与b aa b（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负.1.由以上不等关系，可得不等式组：学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。
培养学生分析，抽象能力、感受不等式发现和推导过程。
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。
分析：设该班共有x 人，这笔开学费用共y 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=-.,4011,10,8412*N x y x y x y x ＜.引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.板书设计等式性质与不等式性质引入知识探究方法归纳不等式和基本性质典例分析小结课堂练习。
第二章-2.1.1-等式的性质与方程的解集高中数学必修第一册人教B版
C.若 = ，则 =
)
B.若 = ,则 =
2
D.若
=
,则2
3
= 3
【解析】根据等式的性质1，若 = ,则 + = + ,反之亦成立,故选项A正确;
当 ≠ 0时，根据等式的性质2，若 = ，则 = ,当 = 0时，显然 = ,故选
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
教材帮|必备知识解读
知识点1 等式的性质
例1-1 ［多选题］下列说法正确的是( AD
A.若 = ,则 − = −
C.若 =
,则
=
)
B.若2 = ,则 =
D.若
=
，则
=
【解析】由等式的性质1可得A正确；B中 = 0, ≠ 0时不成立,故B错误；C中不能为
)
3.(2024·安徽省阜阳市期末)式子2 − 5 + 4分解因式的结果是( D
A. − 2 + 3
B. + 2 − 3
C. 2 − + 3
【解析】2 − 5 + 4 = − 1 − 4 ,选D.
)
D. − 1 − 4
4.［多选题］ 已知,,为实数，则下列说法错误的是( CD
所以原方程化为 − 2 − = 0,
解得 = 2 或 = .
当 = 0或1时，2 = ,（【明易错】此处易忽视两根相等的情况）此时原方程的
解集为{0}或{1};