三角函数的概念(一)全面版
三角函数的概念和性质
三角函数的概念和性质三角函数是数学中的一类重要函数，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍三角函数的概念和性质，并对其应用进行简要探讨。
一、三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
1. 正弦函数（sin(x)）：正弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数（cos(x)）：余弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标即为cos(x)。
3. 正切函数（tan(x)）：正切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为正弦函数与余弦函数的比值。
正切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标与横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标与横坐标之比即为tan(x)。
4. 余切函数（cot(x)）：余切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为余弦函数与正弦函数的比值。
余切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标与纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标与纵坐标之比即为cot(x)。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质对于解题和推导三角函数的各种公式都起到重要作用。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数都是周期函数。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数和余切函数的周期是π。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这表明正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 余切函数关于原点对称：cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)。
三角函数公式大全
三角函数公式大全三角函数是数学中一个重要的分支，在几何、物理、工程等众多领域都有着广泛的应用。
掌握三角函数的公式对于解决相关问题至关重要。
下面就为大家呈现一份较为全面的三角函数公式大全。
一、基本三角函数定义在直角三角形中，我们定义三个基本的三角函数：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
对于一个锐角θ，其对边与斜边的比值为正弦，即sinθ ＝对边／斜边；邻边与斜边的比值为余弦，即cosθ ＝邻边／斜边；对边与邻边的比值为正切，即tanθ ＝对边／邻边。
二、同角三角函数基本关系1、平方关系：sin²θ ＋cos²θ ＝ 1这意味着对于任何一个角度θ，其正弦的平方加上余弦的平方总是等于 1。
2、商数关系：tanθ ＝sinθ ／cosθ三、诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值。
1、sin(α) ＝sinα，cos(α) ＝cosα，tan(α) ＝tanα2、sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π ＋α) ＝cosα，tan(π ＋α) ＝tanα3、sin(π α) ＝ si nα，cos(π α) ＝cosα，tan(π α) ＝tanα4、sin(2π α) ＝sinα，cos(2π α) ＝cosα，tan(2π α) ＝tanα四、两角和与差的三角函数公式1、sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ2、sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ3、cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ4、cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ5、 tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1 tanαtanβ)6、tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)五、二倍角公式1、sin2α ＝2sinαcosα2、cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝1 2sin²α3、tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)六、半角公式1、sin²(α/2) ＝（1 cosα) ／ 22、cos²(α/2) ＝（1 ＋cosα) ／ 23、tan(α/2) ＝（1 cosα) ／sinα ＝sinα ／（1 ＋cosα)七、万能公式1、sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）2、cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）3、tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）八、积化和差公式1、sinαcosβ ＝（1/2)sin(α ＋β) ＋sin(α β)2、cosαsinβ ＝（1/2)sin(α ＋β) sin(α β)3、cosαcosβ ＝（1/2)cos(α ＋β) ＋cos(α β)4、sinαsinβ ＝（1/2)cos(α ＋β) cos(α β)九、和差化积公式1、sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 22、sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 23、cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 24、cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2十、辅助角公式asinx ＋ bcosx ＝√（a²＋ b²)sin(x ＋φ)，其中tanφ ＝ b ／ a这些三角函数公式在解决各种数学问题中都有着重要的作用。
三角函数的概念
(2)本质:用单位圆法定义三角函数,是把角与点的坐标有机结合,简单易行,便 于记忆,方便运算. (3)应用:适用于求任意角的三角函数值,特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】 终边在坐标轴的角α的三角函数值分别是什么? 提示:α终边在x轴非负半轴时,sin α=0,cos α=1,tan α=0; α终边在y轴非负半轴时,sin α=1,cos α=0,tan α不存在; α终边在x轴非正半轴时,sin α=0,cos α=-1,tan α=0; α终边在y轴非正半轴时,sin α=-1,cos α内容
因为点P的坐标为(-3a,4a)(a≠0),原点为O,
书写 表达
所以r=|OP|= （ 3a）2 4a2 =5|a|.
ⅰ当a>0时①,则r=5a,角α在第二象限,
sin α= y＝4a ＝4， cos α= x＝－3a ＝－3，
r 5a
所以2sinα+cos
5
α=
8－3＝1.
r
5a
5
55
【解题策略】
已知角α的终边上一点P(x,y)求三角函数值时, 先求r =|OP|(O为原点),
再根据定义sin α= y ,cos α= x ,tan α= y 确定三角函数值.
r
r
x
易错提醒:若条件中含有参数,要注意对参数进行分类讨论.
【跟踪训练】
已知角α的终边上一点(1,m),且sin α= 6 ,则m=( )
【变式探究】
本例中,若条件不变,求P,Q两点在第2 021次相遇时点P的坐标.
【解析】根据典例知,P,Q两点相遇2 021次时,共用了2 021秒,
所以此时点P转过的角度为
2
021 6
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。
它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。
在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。
在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。
在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。
3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。
四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
三角函数的概念逐字稿
三角函数的概念逐字稿三角函数是一种基本的数学函数，主要涉及到三角形的边和角之间的关系。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）以及余割函数（csc）。
首先，我们来讨论正弦函数（sin）。
正弦函数表示了一个角的对边与斜边之间的比例。
在一个直角三角形中，正弦函数的值等于对边的长度除以斜边的长度。
正弦函数的定义域是所有实数，值域在-1到1之间。
接下来，我们来谈一谈余弦函数（cos）。
余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比例。
在一个直角三角形中，余弦函数的值等于邻边的长度除以斜边的长度。
余弦函数的定义域是所有实数，值域也在-1到1之间。
第三个三角函数是正切函数（tan）。
正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比例。
在一个直角三角形中，正切函数的值等于对边的长度除以邻边的长度。
正切函数的定义域是除了那些余弦函数为零的点之外的所有实数，值域是所有实数。
然后，我们来讨论余切函数（cot）。
余切函数是正切函数的倒数，表示邻边与对边之间的比例。
余切函数的值等于邻边的长度除以对边的长度。
余切函数的定义域是除了那些正弦函数为零的点之外的所有实数，值域是所有实数。
接下来是正割函数（sec）。
正割函数是余弦函数的倒数，表示斜边与邻边之间的比例。
正割函数的值等于斜边的长度除以邻边的长度。
正割函数的定义域是除了那些余弦函数为零的点之外的所有实数，值域是大于等于1的实数集。
最后，我们来谈一谈余割函数（csc）。
余割函数是正弦函数的倒数，表示斜边与对边之间的比例。
余割函数的值等于斜边的长度除以对边的长度。
余割函数的定义域是除了那些正弦函数为零的点之外的所有实数，值域是大于等于1的实数集。
这些三角函数在数学和物理学中都有广泛的应用。
它们可以帮助我们计算角度、测量距离和处理周期性现象。
特别是在三角函数的图像中，我们可以看到它们呈现出一定的规律和周期性。
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一类重要的函数，与三角学密切相关。
它们被广泛应用于几何、物理、工程和计算机科学等领域中。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是根据三角比例关系而定义的。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为 sin。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值：sinθ = 对边/斜边。
正弦函数的图像具有周期性，且在0到360度（或0到2π弧度）内，图像呈现出一条周期性波浪线。
正弦函数的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是正弦函数的补充，常用符号为 cos。
在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值：cosθ = 邻边/斜边。
余弦函数的图像也具有周期性，和正弦函数的图像形状非常相似，但相位差为π/2。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为 tan。
在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值：tanθ = 对边/邻边。
正切函数的图像具有周期性，但它与正弦函数和余弦函数的图像形状有所不同。
正切函数的取值范围是整个实数集。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数。
它们与正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在特定的关系。
余切函数（Cotangent Function）是正切函数的倒数，常用符号为cot。
余切函数定义为邻边与对边的比值：cotθ = 邻边/对边。
正割函数（Secant Function）是余弦函数的倒数，常用符号为 sec。
正割函数定义为斜边与邻边的比值：secθ = 斜边/邻边。
余割函数（Cosecant Function）是正弦函数的倒数，常用符号为csc。
余割函数定义为斜边与对边的比值：cscθ = 斜边/对边。
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（三）巩固应用
例１.已知角α的终边上一点p(－4，－3) ，
分别求sinα，cosα，tanα.
演练反馈：
已知角α的终边上一点p(－１，２)，分别 求sinα，cosα，tanα.
例２．已知角α=π ，分别求sinα，cosα，
tanα.
演练反馈：
已知角α=π/2 ，分别求sinα，
cosα，tanα.
联系: 任意角的三角函数是锐角三角函数的推广； 锐角三角函数是任意角的三角函数的特例。
区别：锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是
正值；
任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与 坐标的比来定义的，不一定是正值。
５.记忆方法
为了便于记忆，我们可以利用两种三角 函数定义的一致性，将直角三角形置于 平面直角坐标系的第一象限，使一锐角 顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负 半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函 数类比记忆。
3.三角函数的记法及定义域
正弦函数记作: f(α) = sinα 定义域： Ｒ 余弦函数记作: h(α) = cosα 定义域： Ｒ
正切函数记作: g(α) = tanα 定义域： {α∈Ｒ│ α≠kπ+ π/2 , k ∈z}
4.概念辨析
任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义, 有什么区别和联系?
想一想：如果现在把锐角Ａ改成是任意大小的正角、负 角或零角，那你觉得还能在直角三角形中求解吗？为什 么？你有什么好的办法吗？
设α是任意大小的角，以它的顶点为原点，以它 的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系。 （想一想:它的终边可能会在哪里？）
注：角α的终边也可以在其它象限或坐标轴上。
在角α的终边上任取一点P(x，y)，它到原点的距离为r (r>0) 想一想:(1)能不能用P点的坐标来表示α角的三角函数呢？
（四）总结提炼
１．任意角三角函数的定义及其定义域．
Ｒ Ｒ
{α∈Ｒ│α≠kπ+ π/2 , k ∈z} ２．任意角三角函数实质上是锐角三角函数的扩展， 是将锐角三角函数中边长的比变为坐标与距离、坐 标与坐标的比。
（五）布置作业
1。（课本p204）在下列各小题中，已知角α
的终边上一点p的坐标，求sinα，cosα，tanα. （１）p(4，-3) (2)p(-3，4)
丽水市职业高级中学
欢迎您
课题：
三角函数的概念(一)
执教者 李勇伟
（一）创设情境
Sin180°＝？
现实世界中有很多周期性的现象（比如钟表的指 针），所形成的角不一定都是锐角，那么，我们又该 怎样计算它们的三角函数值呢？等学完本节课，你就 能找到这个问题的答案！
（二）探索研究
１．锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠A是锐角，∠C是直角 ,则：
2.(补充）已知角α=3π/2 ，分别求sinα，
cosα，tanα.
3.预习:课本p 1.若点p(-8，y)是角α终边上一点，且 sin α=3/5，则y的值是__________.
2.已知角α的终边经过点
p(-
4a，3a)，(a≠0)，求sinα，cosα，tanα.
谢谢指导!
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
(2).如果把P点在α角终边上移动，那么，x、y、r是否随 之改变?这三个比值是否也随之改变?为什么?
由此可见，三个比值都是由角α完全决定，而与点p在 α的终边上的位置无关。
２．任意角的三角函数
注意：
其中点p 不是原点， 当角α的 终边不在y 轴上时， tanα才有 意义！
对应的函数分别叫做正弦函数、余弦函数、正切 函数，统称为三角函数。