数值分析第五版复习资料
第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q %1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。
解：25610x x -+=，故方程的根应为1,228x =故1282827.98255.982x =≈+=1x ∴具有5位有效数字211280.0178632827.98255.982x =-=≈=≈+2x 具有5位有效数字8．当N 充分大时，怎样求1211N Ndx x++⎰？解121arctan(1)arctan 1N Ndx N N x +=+-+⎰设arctan(1),arctan N N αβ=+=。
则tan 1,tan .N N αβ=+=12211arctan(tan())tan tan arctan1tan tan 1arctan1(1)1arctan 1N N dx x N NN NN N αβαβαβαβ++=-=--=++-=++=++⎰g 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？ 解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=g .当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 10．设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：21,02S gt t =>Q 2(*)(*)S gt t εε∴=g当*t 增加时，*S 的绝对误差增加2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t tεεεε===g当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。
11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：0 1.41y =≈Q201(*)102y ε-∴=⨯又1101n n y y -=-Q10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴=又21101y y =-Q21(*)10(*)y y εε∴= 220(*)10(*)......y y εε∴=101001028(*)10(*)1101021102y y εε-∴==⨯⨯=⨯计算到10y 时误差为81102⨯，这个计算过程不稳定。
12．计算61)f =≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？,3(3-,，99- 解：设6(1)y x =-，若x =* 1.4x =，则*11102x -ε()=⨯。
计算y 值，则***7***7**1(1)6(1)y x x y x x y x ε()=--6⨯ε()+ =ε()+ =2.53ε()g若通过3(3-计算y 值，则**2******(32)632y x x y x xy x ε()=-3⨯2⨯-ε() =ε()- =30ε()g g计算y 值，则 ***4***7**1(32)1(32)y x x y x x y x ε()=--3⨯ε()+ =6⨯ε()+ =1.0345ε()g计算后得到的结果最好。
13．()ln(f x x =,求(30)f 的值。
若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
ln(ln(x x =-+计算，求对数时误差有多大？ 解()ln(f x x =Q, (30)ln(30f ∴=-设(30)u y f ==则*u =29.9833*412u -∴ε()=⨯10故****310.0167y u uu -1ε()≈-ε()30- =ε() ≈3⨯10g若改用等价公式ln(ln(x x =-则(30)ln(30f =-+ 此时，****7159.9833y u uu -1ε()=∣-∣ε()30+ =⋅ε()≈8⨯10第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+-2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤oo的函数表，步长1(1/60),h '==o若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。
因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字；*20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =-，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯ 100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值分析第五版1-3章
* r
1 2a1
10(n1)
反之，若x*的相对误差限
* r
1 2(a1 1)10(n1) Nhomakorabea则x*至少具有n位有效数字.
2020/2/10
6 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
1. x1*与x2*为两近似数, 误差限为 ( x1* ), ( x2* ), 则 : ( x1* x2* ) ( x1* ) ( x2* ); ( x1* x2* ) x2* ( x1* ) x1* ( x2* );
3.多元函数误差限(多元函数Taylor展式) A f (x1,L , xn )
( A*)
n k 1
f ( xk
)*
(xk* ),
2020/2/10
r ( A*)
n k 1
( f )* xk
(xk* )
A*
7 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
1.3 误差定性分析及避免误差危害
概率分析法 向后误差分析法 区间分析法
1. 病态问题与条件数 病态问题 输入(微小的扰动)
输出(相对误差很大)
条件数 C p
对于f (x)， x有微小的扰动x x x*
er* ( f (x* ))
第1章 数值分析与科学计算引论
数值分析研究对象、作用与特点 数值计算的误差 误差定性分析与避免误差危害 数值计算中算法设计的技术 数学软件
李庆扬-数值分析第五版第4章习题答案(20130714)
第4章
复习与思考题
习题 1、给出计算积分的梯形公式及中矩形公式，说明它们的几何意义。
(1)
1 0
4
x x2
dx,
n
8
梯形公式
n6
Tn
h[ 2
f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
n8
,所以 xk
k 8
,k
0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8
f (x0 ) 0 f (x1) 0.0311 f (x2 ) 0.0615 f (x3) 0.0906 f (x4 ) 0.1176 f (x5 ) 0.1423 f (x6 ) 0.1644 f (x7 ) 0.1836 f (x8 ) 0.200
使得在满足精度前提下积分计算工作量尽可能小，针对这类问题的算法技巧是在不同区间上 预测被积函数变化的剧烈程度确定响应步长。就是自动求积的一般步骤。
12、怎样利用标准的一维求积公式计算矩形域上的二重积分
基本原则：累次积分。
多重积分的辛普森公式：
bd
a c f (x, y)dydx
k[ 6
h n1
n1
n1
S2
6
[f
k 0
(a) 4
k 0
f
(xk1/2 ) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
数值分析第五版
数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1 •设x 0,x 的相对误差为 解：近似值x *的相对误差为 而In x 的误差为e In x*进而有 (In x*)2 .设x 的相对误差为2%， xf'(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f (x)n 1 x nx n 1又Q f '(x) nx , C p || n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*)且 e r (x*)为 2r ((x*)n ) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x ；1.1021, x ； 0.031 , x ； 385.6, x ； 56.430, x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字；x 20.031是二位有效数字； x 3 385.6是四位有效数字；x ； 56.430是五位有效数字；x ； 7 1.0.是二位有效数字。
4 .利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x ： x 2 x ； ,(2) X ；X ；X 3,(3) X 2/X；. 其中x *,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。
解:，求In x 的误差。
* e* x* x =e r x* x* 1 In x* In x e* x* 求x n 的相对误差。
1(X 1) 2 10* 1 ,亠 3(X 2) 2 10* 1 1(X 3) 2 10* 1 ,亠 3(X 4) 2 10* 1 1(X 5)102(2) (x ；x ；x ；)* * *X 1X 2 (X 3) 0.2154 3解：球体体积为V — R 3 3则何种函数的条件数为r (V*) C p 9r (R*) 3 r (R*)(1) (x ； * (X 1 ) 1 10 2 1.05 10 * *X 2 X 4)*(X 2) 4 12310 (X 4)3 1.1021 0.031 10 1 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.610 0.031 13 1 310 3 56.430 10 32 2 10 556.430 56.430 * I * * *X 2I (X 4) X 4 (X 2) nX 45计算球体积要使相对误差限为 C p 啓X 2X 3 * * *X 1X 3 (x 2)1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?1 1又 Q r (V*) 1%1A 6 •设 Y o 28，按递推公式 Y n Y i 1.783 (n=1,2,…) 100 1 _____解：QY n Y n 1 ——冠100 1 ____ 783100故 x 1 28 ,783 28 27.982 55.982人具有5位有效数字x 2 28 、、783 ——1. 28 V783 28 27.9821 210 .设S -gt 2，假定g 是准确的，而对t 的测量有 0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的故方程的根应为 x-(,2 28 J783故度量半径R 时允许的相对误差限为?????）=存他= 1 300 计算到Y 00。
(完整版)数值分析第五版答案
令
则 在 上为奇函数
又 的最高次项系数为1，且为3次多项式。
与0的偏差最小。
从而有
16。 ，在 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：
若
且 ，则
则法方程组为
解得
故 关于 的最佳平方逼近多项式为
18。 ，在 上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。
解：
按勒让德多项式 展开
则
从而 的三次最佳平方逼近多项式为
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
其中
当 时，
当 时，
确定下列求积公式中的特定参数使其代数精度尽量高并指明所构造出的求积公式所具求解求积公式的代数精度时应根据代数精度的定义即求积公式对于次数不超过项式均能准确地成立但对于m1次多项式就不准确成立进行验证性求解
第一章绪论
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差〔为准确值〕：近似值的误差限：近似值相对误差〔较小时约等〕：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：余项：4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：最优一致〔-范数〕逼近多项式：最正确平方〔-范数〕逼近多项式：最小二乘拟合〔离散点〕：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7．切比雪夫多项式：递推关系：正交性：在上有个零点：在上有个零点：〔最优一致逼近〕首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。
〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式。
9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。
10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。
第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在。
(完整版)数值分析第五版答案
第一章 绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数， 即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字： x 1* 1.1021 , x 2* 0.031 , x 3385.6 , x 4 56.430 ,x 5 7 1.0.解： x 1 1.1021 是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； x 3 385.6 是四位有效数字； x 4 56.430 是五位有效数字； x 5 7 1.0. 是二位有效数字。
4．利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) x 1 x 2 x 4,(2) x 1 x 2 x 3 ,(3) x 2/ x 4.其中 x 1* , x *2, x 3* , x 4* 均为第 3题所给的数。
解： (x 1*) (x *2) (x *3) (x *4) (x 5)1 21 2 1 2 12 1 10 10 10 10 10 (1) (x 1 (x 1*) 1 10 2 1.05 10 x 2 x 4) (x *2) 1 2 3 10 (x *4) 1 10 3 2 (2) (x 1*x *2x 3*) x 1x 2 (x 3) x 2x 3 (x 1) x 1x 3 (x 2)1 1.1021 0.031 10 10.031 385.6 1 10 41.1021385.6 1 10 30.215又Q r (V*)计算到 Y 100 。
若取 783 27.982 （ 5 位有效数字）有 Y 100 Y 0 100 1 783 100 0100(3) (x *2/ x 4*)x 2* (x *4) x *4 (x 2*) *2x 4* 1 3 1 3 0.031 10 3 56.430 10 3 22 56.430 56.430 10 55 计算球体积要使相对误差限为 1 ， 43 解：球体体积为 V R 3 3 则何种函数的条件数为 问度量半径 R 时允许的相对误差限是多少？C p RgV'Rg4 R 2 4R 3 3r(V*)C p g r (R*) 3 r (R*)故度量半径 R 时允许的相对误差限为6．设 Y 0 28，按递推公式 Y n Y n13 1783100r (R*) 1 0.33n=1,2,⋯) 1解：QY n Y n 1783n n 1 100Y 100 Y 99 1783 100 99100 1 783100 1 783100 Y 99 Y 98 Y1Y 98 Y97Y 01010 783即Y 100 Y 0 783，若取 78327.982 , Y 100 Y 0 27.982，试问计算 Y 100 将有多大误差？依次代入后，10 3(Y 10*0) (Y 0) (27.982)x 2 具有 5 位有效数字29．正方形的边长大约为了 100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1cm 2 ？解：正方形的面积函数为 A(x) x 2(A*) 2A*g (x*) .当 x* 100时，若 (A*) 1,12则 (x*) 10 22故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 1cm 211．序列 y n 满足递推关系 y n 10y n 1 1 (n=1,2,⋯),若y 02 1.41 (三位有效数字) ，计算到 y 10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：Q y 02 1.4110又Q y n 10y n 1 1y 1 10y 0 1 (y 1*) 10 (y 0*)Y 100的误差限为 1 100210 3 。